Modèle de concours : CNC 2023 Physique II (PSI) — Concours National Commun

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Concours National Commun - Session 2023 - Filière PSI

e On veillera à une présentation et une rédaction claires et soignées des
copies. Il convient en particulier de rappeler avec précision les références des
questions abordées.

e Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant
clairement les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.

e Toutes les réponses devront être très soigneusement justifiées.

e Si un résultat donné par l'énoncé est non démontré, il peut néanmoins être
admis pour les questions suivantes. Ainsi, les diverses parties de l’épreuve
sont relativement indépendantes entre elles.

L'épreuve est composée de deux parties indépendantes, à l’intérieur
desquelles de nombreuses questions peuvent être traitées indépendamment les
unes des autres.

La partie 1 est notée sur 4 points, la partie 2 sur 16 points.

Partie 1

Thermodynamique

On désigne par C, et C, les capacités thermiques respectivement à volume

et à pression constants et par y le rapport y= cn . On suppose que ces trois
grandeurs sont indépendantes de la température et de la pression. On rappelle
que C, = (25) et C,= (25) , OÙ U est l’énergie interne et H est l’enthalpie.
ôT )y 07 ‏مر‎
‎1. Donner l’équation d’état vérifiée par ‏م‎ moles d’un gaz parfait en indiquant
le nom et l'unité de chaque grandeur.
Préciser les unités de C, et C,.
Simplifier les expressions de ‏ى‎ et C, pour un gaz parfait.
Quelle est la relation qui lie la fonction d'état H à la fonction d'état U ?
Etablir la relation dite de Mayer, C, -C, =nR.
Exprimer C, et ‏م‎ en fonction de n, R et y.

99 كن 9

Partie 2

Viscosité

La ténacité d’un liquide résulte de la liaison réciproque des particules du
liquide entre elles. Plus cette liaison augmente, plus la mobilité des particules
diminue. La formation d’un gradient de vitesse dans un profil d’écoulement
nécessite alors une contrainte de cisaillement plus élevée. Décrivant la ténacité
du liquide, le facteur de proportionnalité entre le gradient de vitesse et la
contrainte de cisaillement est une grandeur appelée « viscosité dynamique ».

Dans l'industrie, la viscosité a une très grande importance pratique, car elle
conditionne l’écoulement des fluides dans les canalisations et le long des parois.
Elle permet de mesurer directement ou indirectement certaines caractéristiques

Épreuve de Physique II 1/6

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des produits (texture, taille de polymère, …). Elle conditionne le bon
fonctionnement des processus (combustion, imprimerie, couchage, …).

Données :

- Dans un écoulement de fluide newtonien incompressible, le champ de
vitesse v(M,r) et le champ de pression P(M,1) sont reliés par l’équation de
Navier-Stokes :

‎v.grad) ] = 7 - gradP +mA v‏ + 5 م

‎-  Équation locale de conservation de la masse dans le cas d’un fluide
: 90; af
quelconque : ‏ا‎ div(pv) =0.

‎-  Divergence d’un vecteur A= A,e,+A,e,+A,e, : divA= 144), 194, ‏ولق‎
‏ن"‎ r ôr ro
-  Laplacien de la composante orthoradiale d’un vecteur :

‎- Élément de surface en coordonnées cylindriques :
dS = rd0dze, + drdze, + rd0dre, .

‎1.  Écoulement de Couette-Taylor

‎On étudie l’écoulement d’un fluide entre
deux cylindres coaxiaux verticaux (C,) et (C,), de

‎rayons respectifs R, et R,, et de même hauteur L
(L››R,›R,) . Le cylindre intérieur (C,) et le
cylindre extérieur (C,) sont mis en rotation autour
de leur axe (Oz) avec les vitesses angulaires

‎respectives w,=w,e, €t w,=w,e, constantes (figure

‎L’espace annulaire entre les deux cylindres est
rempli du liquide de viscosité dynamique ‏و‎ . Ce
liquide, de masse volumique p, est visqueux,

‎Figure 1 : écoulement de
Couette entre deux cylindres
coaxiaux en rotation.

‎newtonien, homogène, isotrope et incompressible. On suppose e=R,-R, ‹‹R, et
on se place en régime stationnaire. La hauteur h du liquide est suffisante pour
pouvoir négliger les effets de bord, et notamment l’action du fond sur le liquide.
On suppose que l’écoulement du fluide entre les deux cylindres est
laminaire et est uniquement provoqué par la rotation des cylindres et qu'aucun
gradient de pression extérieur n’est appliqué.
On repère un point de l’espace par ses coordonnées cylindriques (r,0,z)

‎auxquelles on assoie la base orthonormée directe (44 t;) , e étant vertical

‎ascendant.

‎Épreuve de Physique II 2/6

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Le champ de pesanteur est supposé uniforme, g= -ge, . La force de viscosité
qui s’exerce sur l’élément de surface dS est df = nr (2e as . L’étude est faite

dans le référentiel du laboratoire que l’on considère galiléen.

1.1. Définir ce qu’est un fluide newtonien. Citer un exemple de fluide newtonien
et un autre de fluide non newtonien.

1.2. Donner l'équation aux dimensions et l’unité de la viscosité dynamique n
dans le système SI. Donner l'ordre de grandeur de la viscosité dans le cas
de l’eau.

1.3. Quelle conséquence l'hypothèse de fluide incompressible a-t-elle sur la
masse volumique du fluide ?

1.4. Lorsqu’on met (€ ) en rotation, que se passe-t-il dans le fluide ? En déduire
que la forme la plus simple du champ de vitesses que l’on puisse imaginer,
en coordonnées cylindriques est v= v(r,0,2)e, -

1.5. Simplifier l’expression du champ de vitesses par des considérations de
symétrie.

1.6. Indiquer en justifiant de quelle(s) variable(s) spatiale(s) dépend le champ de
pression.

1.7. Que représente l’équation de Navier-Stokes ? Interpréter chacun de ses
termes.

1.8. Réécrire l’équation de Navier-Stokes dans les conditions de l’écoulement
étudié.

1.9. Déduire les trois équations scalaires :

9

‏بلحت‎ 1
2
0z

1.10. Montrer que l’une de ces trois équations s’intègre sous la forme :
P(r,z)=C,z+ f@), OÙ f(r) est une fonction de la seule variable radiale et C,
est une constante que l’on exprimera en fonction des données. Conclure.

1.11. Montrer que le champ de vitesse se met nécessairement sous la forme

v(r)=Cr ‏مكار‎ , C, et C, sont deux constantes que l’on ne cherchera pas à
7

déterminer ici.

1.12. Déterminer le champ de pression p(r,z)-

1.13. En utilisant les conditions aux limites, déterminer l’expression de C, et
celle de C,. À quoi correspondrait le cas limite ‏,نه‎ =0 #0 ?

1.14. Exprimer dF , la force élémentaire de viscosité que le fluide exerce sur
l’élément de surface ds de la paroi externe du cylindre intérieur.

1.15. Exprimer 41, le moment de la force dF. En déduire le couple 1 résultant
exercé par le fluide sur le cylindre intérieur. Commenter l’expression
trouvée.

1.16. Le système étudié précédemment décrit le principe du viscosimètre dit de
Couette inventé par Couette en 1890. Ce type de viscosimètre est utilisé

Épreuve de Physique II 3/6

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dans certains secteurs industriels pour la mesure de la viscosité de
liquides. Le cylindre extérieur tourne à la vitesse angulaire constante
w,=w›0, le cylindre intérieur est fixe (w, =0). Déduire du résultat de la
question précédente le couple Fr, qu’il est nécessaire d’appliquer au
cylindre intérieur pour le maintenir immobile.

1.17. Déduire de ce qui précède l’expression de la viscosité n en fonction de 1, et
des autres paramètres connus. Montrer qu’en mesurant le couple appliqué
au cylindre tournant en fonction de la vitesse de rotation constante ‏مه‎ on
peut remonter à la viscosité du liquide.

1.18. Dans le but d’avoir une bonne précision sur la

mesure de n, comment faut-il choisir a = F9 , R st
1

h étant fixés ?

1.19.Indépendamment de toute problématique de
thermique, d’un point de vue hydrodynamique, à
quoi faut-il faire attention lorsque l’on fait de telles
mesures di viscosité ?

1.20. On place un liquide de viscosité n inconnue dans le
viscosimètre de Couette dont les dimensions sont
R, =45,0mm , R, =45,4mm , h=150,0mm (figure 2). Le
cylindre extérieur tournant à la vitesse constante
‏ره‎ =@ =102 tours/min, le cylindre intérieur étant fixe,

Figure 22

on mesure un couple [F, | ‏:م.142.1037-‎ . Calculer la | Viscosimètre de
viscosité n.. couette
2. Contrôle de la vitesse de rotation du cylindre extérieur

Le cylindre mobile du viscosimètre de couette étudié ci-dessus est entraîné
à vitesse de rotation variable ‏وه د ره‎ par un moteur à courant continu à aimants
permanents. À des fins d’analyse, cette vitesse est traduite sous forme d’une
tension quasi-continue y, à l’aide d’un dispositif optoélectronique. En régime
stationnaire, le cylindre intérieur est maintenu immobile (w, =0) grâce à un
couple qu’on lui impose. La f.é.m. du moteur est liée à la vitesse de rotation de ce
dernier par la relation : E=kw, avec k=3,34.10°5/, E en volt et ‏مه‎ en rads!. On
suppose que cette expression est valable que le moteur soit à vide ou en charge.

Le schéma électrique équivalent représentant l’induit 4
du moteur à courant continu est donné par la figure 3. 7
représente l'intensité du courant absorbé par l’induit de r
résistance r=0,330Q. Les pertes magnétiques et mécaniques
sont modélisées par un couple résistant de moment supposé
constant : PF, =0,02N.m . 7

La partie mobile du viscosimètre développe un couple |
résistant (égal au couple utile développé par le moteur en
régime stationnaire) de moment 1 variant de 0 à 0,28N.m en | Figure 3 : schéma

fonction de la vitesse de rotation et de la viscosité du fluide à électrique
étudier. équivalent

Épreuve de Physique II 4/6

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2.1. Exprimer la tension U aux bornes de l’induit du moteur en fonction des
données.
2.2. Dans cette question, on suppose que le moteur tourne à vide avec, ‏ره‎ la

vitesse de rotation, /, l'intensité du courant et E, la f.é.m. correspondant à

ce cas.
2.2.1. Exprimer la puissance électromagnétique P

moteur en fonction de 1 et w, , puis en fonction de E, et 1,.

2.2.2. En déduire l’expression de 7, en fonction de Fr, et k. Calculer sa
valeur numérique.

2.3. Dans cette question, on suppose que le moteur développe son couple
maximal.

2.3.1. Exprimer l’intensité 7. du courant absorbé par l’induit du moteur.
Calculer sa valeur numérique.

2.3.2. En déduire la tension U,, QU'’il faut appliquer au moteur pour qu’il

développée par le

tourne, à pleine charge, à la vitesse de rotation ‏جين‎ 628rad.s"".
2.3.3. Calculer le rendement n,, du moteur développant son couple maximal

à cette vitesse de rotation.

2.4. Un photodétecteur est installé à proximité d’un disque solidaire du rotor du
moteur et percé de dix trous équidistants à sa périphérie. Il fournit la
tension v,(r) représentée dans la figure 4. Cette tension commande un
monostable non redéclenchable. La tension de sortie y,(r) du monostable

est nulle lorsque celui-ci est à l'état stable.

Figure 4
2.4.1. Que vaut la période propre T, (durée de l'état instable) du
monostable ?
2.4.2. Déterminer la fréquence f de la tension y,(r). En déduire, en rad”,

la vitesse de rotation w, du disque percé de 10 trous.
2.4.3. Exprimer en volts, la valeur moyenne ‹v,(t)› de ‏)ب‎ en fonction de

T (en s) puis de w (en rad.s”*).

Épreuve de Physique II 5/6

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2.5. La tension v,(r) est appliquée à l’entrée d’un filtre dont le diagramme de
Bode en amplitude est représenté dans la figure 5.

2.5.1. En utilisant le diagramme de la figure 5, déterminer la nature du
filtre, la fréquence de coupure /. du filtre à - 3 dB et son ordre.

2.5.2. À quelle condition sur f le signal de sortie correspondra-t-il à une
composante continue ?
Pour une fréquence de rotation particulière, la tension v,(r) possède la

décomposition en série de Fourier suivante :

10 1 ;
v,(t) étant exprimée en volts et ; en secondes.

2.5.3. Calculer numériquement la fréquence de ‏)د‎
‎2.5.4. Préciser la valeur moyenne de v,(t).
2.5.5. En utilisant le diagramme de la figure 5, déterminer la valeur

moyenne de la tension v(s) puis l'amplitude du fondamental de v.(1)
lorsque la tension v,(1) est appliquée à son entrée.
2.5.6. Dire si un tel filtrage paraît suffisant.

19° 10! 10? 10$
40

ب 20

—60

ال 80—

—100

ب 120—

—140

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Figure 5 : diagramme de 3006 en amplitude du filtre.

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