Modèle de concours : CNC 2022 Physique II (TSI) — Concours National Commun
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En bref
Ce document est une ancienne épreuve écrite du concours de Concours d'accès aux écoles d'ingénieurs organisé par Concours National Commun (CNC) — CPGE (2022), publiée sur Wadifa Info en consultation et téléchargement PDF gratuits, avec une correction proposée.
- Organisme
- Concours National Commun (CNC) — CPGE
- Grade
- Concours d'accès aux écoles d'ingénieurs
- Spécialité
- Physique II
- Année
- 2022
- Pages
- 5
- Langue des questions
- français
- Correction
- correction proposée disponible sur cette page
📝 Texte des questions (extrait automatiquement des pages scannées)
Ce texte est extrait automatiquement des images de l'épreuve et peut contenir des erreurs de lecture — les images ci-dessus font foi.
— صفحة 1 — Concours National Commun - Session 2022 - Filière TSI * On veillera à une présentation et une rédaction claires et soignées des copies. Il convient en particulier de rappeler avec précision les des questions abordées. * Si au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant clairement les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre. Toutes les réponses devront être très soigneusement justifiées. * Si un résultat donné par l'énoncé est non démontré, il peut néanmoins être admis pour les questions suivantes. Ainsi, les diverses parties du problème sont relativement indépendantes entre elles. * Tous les résultats numériques seront donnés avec un nombre de chiffres significatifs compatibles avec les données fournies. Le sujet de cette épreuve est constitué de deux parties indépendantes : la première partie est notée sur 4 points, la deuxième sur 16 points. Partie 1 : Champ magnétique d’une spire circulaire On considère une spire circulaire de rayon a, de centre O et d’axe Oz (figure 1.1). Cette spire est contenue dans le plan Oxy orthogonal à l’axe Oz. Elle est parcourue par un courant électrique d'intensité constante /. Figure 1.1 : spire circulaire 1. Montrer, par un raisonnement rigoureux, que le champ magnétique B,,(M) créé par la spire au point M de son axe Oz est porté par 5 ; 2. Montrer que B,(M) est donné par l'expression B,(M) = بو مو où a est l’angle sous lequel la spire est vue depuis le point M . Exprimer le champ magnétique B,(0) au centre O de la spire. 3. Représenter l'allure du champ B,(M) en fonction de z= OM €, ; 4. Application numérique : on fixe a=5em. Calculer B,(0) pour 71214 . Calculer la valeur de 1 pour avoir B,(0)=1T . Commenter. Citer deux systèmes qui permettent d’obtenir un champ magnétique intense. On donne la perméabilité magnétique du vide : حمر 4.10 777017 Épreuve de Physique II 1/5 نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو wadifa-info.com — صفحة 2 — Concours National Commun - Session 2022 - Filière TSI Partie 2 : Modélisation d’une bobine Données : - Équations de Maxwell dans un milieu assimilé au vide en présence de charge et de courant : divE=L divB=0 86 7 Lo ji ان | - Relation de passage du champ magnétique à la traversée d’une surface (Z) parcourue par un courant surfacique de densité j B,(M) - B(M) = 4j (M) Alu , M» étant la normale à la surface (X) en M. - On repère un point M de l’espace par ses coordonnées cylindriques (r,0,z) rapportées à la base cylindrique (Et ) ; - Rotationnel du vecteur A(r)e, en coordonnées cylindriques : rot (A0)e: ) = eu e. 1. Champ magnétique créé par une bobine infinie On forme une bobine simple en enroulant un fil conducteur électrique sur un cylindre isolant d’axe Oz, de rayon a et de longueur 7 (figure 2.1). Le fil, de diamètre négligeable, est enroulé en formant N spires circulaires jointives de rayon a d’axe Oz. La bobine est parcourue par un courant d'intensité 7 constante. On désigne par n le nombre de spires jointives par unité de longueur. Figure 2.1 : bobine 1.1. Montrer que le champ B,(M) créé par la bobine au un point M de l’axe Oz est donné par B_(M)= لط (cos(e )- cos(a, 3 : 1.2. Déduire le champ magnétique créé par la bobine supposée de longueur infinie en un point M de son axe Oz. Dans toute la suite, on fait l'hypothèse que la bobine, constituée de n spires jointives par unité de longueur, de rayon a et d’axe Oz, est suffisamment longue Épreuve de Physique 1 2/5 نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو wadifa-info.com — صفحة 3 — Concours National Commun - Session 2022 - Filière TSI pour pouvoir négliger les effets de bord. On note B(M) le champ magnétique créé par la bobine de longueur infinie en tout point M de l’espace. 1.3. Justifier que le champ magnétique B(M) créé par la bobine en tout point M de l’espace est de la forme B(M)= B(r)e. . 1.4. Comment se simplifient les équations de Maxwell en régime statique ? 1.5. À partir de l’une des équations locales de Maxwell, montrer que le champ magnétique B(M) est uniforme. Que vaut alors le champ magnétique pour 1.6. En utilisant la relation de passage en r=a, établir l'expression de B(M) pour 2. L’ARQS magnétique La bobine est parcourue par un courant sinusoïdal d’intensité i(t)=1,cos(wt). On admet que dans le cadre de l’approximation du régime quasi- stationnaire (ARQS), les champs magnétique et électrique, dans l’espace intérieur à la bobine assimilé au vide, sont respectivement donnés par : 2.1. En quoi consiste l’approximation du régime quasi-stationnaire (ARQS) ? Quelle inégalité vérifient w, c et a dans l’ARQS, c désigne la vitesse de la lumière dans le vide ? 2.2. Donner l’expression de B, en fonction de مر n et 1. 2.3. Calculer les densités volumiques d’énergie électrique (u,) et magnétique (#4, ) emmagasinées dans la bobine. Calculer leurs valeurs moyennes temporelles respectives, ‹u, › et ‹u, ›. 2.4. En déduire que la contribution électrique › يلا › à l’énergie électromagnétique dans la bobine est négligeable devant la contribution magnétique ‹u, ›. 2.5. Exprimer les champs B(r,t) et E(r,t) en fonction de l’intensité i(t) et de sa dérivée première. En déduire que le vecteur de Poynting a pour expression Tir) = dos ا 2.6. Calculer la puissance électromagnétique P, rayonnée à travers la surface qui limite la portion de la bobine de longueur 1. Montrer que P,, s’identifie Épreuve de Physique 1 3/5 نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو wadifa-info.com — صفحة 4 — Concours National Commun - Session 2022 - Filière TSI à l’opposé de la variation d’énergie magnétique stockée dans la portion de la bobine. 2.7. On rappelle que dans le cadre de la magnétostatique, le coefficient de self inductance d’une telle portion de la bobine de rayon a a pour expression : L=u,n'a’x|. Vérifier si le résultat obtenu dans la question 2.7 est conforme au bilan local de puissance électromagnétique dans la portion de la bobine. 3. Caractéristiques d’une bobine 3.1. Self inductance 3.1.1. Calculer le flux du champ magnétique à travers l’ensemble des spires de la bobine. 3.1.2. Retrouver l’expression de l’inductance L de la bobine donnée ci- dessus. 3.2. Résistance interne Le fil conducteur ayant une conductivité y finie, la bobine résiste au passage du courant électrique. Pour calculer la résistance du fil, on considère que le fil est un cylindre de matériau conducteur, d’axe (Oz), de longueur 71, de diamètre d et parcouru par le courant / uniformément réparti en volume avec la densité j= je.. On néglige les effets de bord et on raisonne comme si l’on a affaire à un cylindre infini. La densité j de courant dans le fil conducteur ohmique est reliée au champ électrique E par j=yE. 3.2.1. Déterminer le champ électrique E en tout point intérieur au conducteur en fonction de /. 3.2.2. Exprimer la tension U aux bornes du fil conducteur. 3.2.3. En déduire la résistance interne r de la bobine. 3.2.4. Sachant qu’il y a N spires enroulées, montrer que la résistance est 8Na donnée par r= 4. Mesure des caractéristiques d’une bobine On modélise une bobine par l’association série d’une résistance r et d’une inductance L. 4.1. On effectue une première mesure en continu. On dispose pour cela d’un générateur idéal de tension continue de valeur E, d’un ampèremètre Épreuve de Physique 1 4/5 نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو wadifa-info.com — صفحة 5 — Concours National Commun - Session 2022 - Filière TSI numérique, d’un voltmètre numérique, d’un interrupteur K , des fils de connexion et de la bobine à étudier. 4.1.1. Dessiner le schéma du montage pour effectuer les mesures en précisant le sens de branchement des appareils. 4.1.2. Comment se comporte la bobine en régime continu ? 4.1.3. L’ampèremètre indique /=2A et le voltmètre indique E=20,0V . Déterminer, avec un nombre correct de chiffres significatifs, la valeur de la résistance r de la bobine. 4.2. Pour chercher l’inductance L, la bobine est montée en série avec une résistance R=509 . Un générateur de tension basse fréquence, idéal, impose aux bornes du tout une tension sinusoïdale e(t)= Ecos(wt) de Voie 1 fréquence f =100Hz (figure 2.2). On TU(V) obtient les chronogrammes de la figure 2.3 donnant la tension u(t)=U,cos(wr) aux bornes de la résistance sur la voie 1 d’un oscilloscope et les variations de la tension u,(t)=U, cos(t +@) aux bornes de la bobine obtenues sur la voie 2. ……… Voi ie 2 Figure 2.3 : chronogrammes Figure 2.2 : circuit de mesure de L 4.2.1. Exprimer l’impédance de la bobine et celle de la résistance. 4.2.2. Exprimer le rapport 5 en fonction de r, R, Letw. À l’aide des chronogrammes déterminer la valeur de L. 4.2.3. Exprimer م en fonction de r,œ et L. À l’aide des chronogrammes déterminer p. On donnera sa valeur en radian ainsi que son signe. En déduire la valeur de L. 4.2.4. Les deux mesures de L sont-elles cohérentes ? 4.2.5. Quelle grandeur a été négligée en qualifiant le générateur idéal ? Que faudra-t-il faire si l’on doit en tenir compte ? Épreuve de Physique II 5/5 نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو wadifa-info.com
✅ Correction proposée
Il s'agit d'une correction proposée, rédigée par l'équipe wadifa-info pour vous aider à comprendre la méthode — ce n'est pas un corrigé officiel de l'administration organisatrice.
Ce modèle est l'épreuve de Physique II du Concours National Commun (CNC) 2022, filière TSI, commun d'accès aux écoles d'ingénieurs marocaines après les classes préparatoires. Deux parties : champ d'une spire circulaire (4 points) et modélisation d'une bobine (16 points : solénoïde infini, ARQS et bilan de Poynting, inductance et résistance, mesure de r et L en continu puis en sinusoïdal). La durée n'est pas indiquée sur les pages fournies. Voici une correction proposée, dans l'ordre et avec la numérotation du sujet.
💡 La partie 4 se joue sur la lecture des chronogrammes : relevez les amplitudes en comptant les carreaux, et le décalage temporel entre deux maxima voisins pour la phase. Indiquez toujours le signe de φ et quelle voie est en avance.
Partie 1 — Champ magnétique d'une spire circulaire (4 points)
1. Direction du champ sur l'axe
Tout plan contenant l'axe Oz est un plan d'antisymétrie de la distribution de courant (le courant orthoradial lui est perpendiculaire et change de sens par réflexion). Le champ magnétique, pseudo-vecteur, est contenu dans les plans d'antisymétrie. Un point M de l'axe appartient à tous ces plans : B⃗sp(M) appartient à leur intersection, l'axe Oz. Donc B⃗sp(M) = Bsp(M) e⃗z.
2. Expression du champ
Biot et Savart : dB⃗ = (μ0I/4π) dl⃗ ∧ PM⃗/PM³, avec dl⃗ ⊥ PM⃗ et PM = a/sin α. Seule la composante axiale subsiste (question 1) : dBz = (μ0I/4π)(dl/PM²) sin α.
En intégrant sur la spire (∫dl = 2πa) : Bsp = (μ0I/4π) · 2πa · sin³α/a², d'où B⃗sp(M) = (μ0I/2a) sin³α e⃗z.
Au centre, α = π/2 : Bsp(O) = μ0I/(2a).
3. Allure de Bsp(z)
sin α = a/√(a² + z²) ⟹ Bsp(z) = μ0I a² / [2(a² + z²)3/2] : fonction paire, maximale en z = 0 (μ0I/2a), courbe « en cloche » avec points d'inflexion en z = ±a/2, décroissant comme 1/|z|³ loin de la spire.
4. Application numérique
Bsp(O) = 4π×10−7 × 1 / (2 × 0,05) ≈ 1,26×10−5 T (12,6 µT, du même ordre que le champ magnétique terrestre).
Pour 1 T : I = 2aB/μ0 = 0,1/(4π×10−7) ≈ 8,0×104 A. Commentaire : intensité irréalisable dans un fil ordinaire (effet Joule destructeur) ; une spire unique ne peut pas produire un champ intense.
Systèmes produisant un champ intense (deux au choix) : bobines (solénoïdes) à grand nombre de spires, électroaimants à noyau ferromagnétique, bobines supraconductrices (IRM : de l'ordre du tesla), aimants permanents néodyme-fer-bore.
Partie 2 — Modélisation d'une bobine (16 points)
1. Champ magnétique créé par une bobine infinie
1.1. Bobine de longueur finie, champ sur l'axe
Une tranche d'épaisseur dζ, à l'abscisse ζ, contient n dζ spires et crée en M le champ dB = (μ0 n I dζ/2a) sin³α. Avec ζ − zM = a cot α, on a dζ = −a dα/sin²α, d'où dB = −(μ0nI/2) sin α dα.
Quand ζ parcourt la bobine (de l'extrémité la plus proche de M à la plus éloignée), α varie de α2 à α1 :
Bso = −(μ0nI/2) ∫α2α1 sin α dα = (μ0nI/2)(cos α1 − cos α2), dirigé selon e⃗z.
1.2. Bobine infinie
α1 → 0 et α2 → π : B⃗ = μ0 n I e⃗z en tout point de l'axe.
1.3. Forme du champ
On assimile les spires jointives à une nappe de courant orthoradiale. Invariances par rotation autour de Oz et par translation selon Oz : B⃗ ne dépend que de r. Symétrie : le plan passant par M et perpendiculaire à Oz est un plan de symétrie des courants ; le pseudo-vecteur B⃗ lui est perpendiculaire, donc porté par e⃗z. D'où B⃗(M) = B(r) e⃗z.
1.4. Régime statique
Les dérivées temporelles s'annulent : div E⃗ = ρ/ε0 ; rot E⃗ = 0⃗ ; div B⃗ = 0 ; rot B⃗ = μ0 j⃗. Les équations de E⃗ et de B⃗ sont découplées.
1.5. Champ uniforme
En dehors de la nappe (r < a ou r > a), j⃗ = 0⃗ : rot B⃗ = −(dB/dr) e⃗θ = 0⃗ ⟹ B est uniforme dans chaque région. Pour r < a, B garde sa valeur sur l'axe : B⃗int = μ0 n I e⃗z.
1.6. Champ extérieur
En r = a, la densité surfacique de courant est j⃗s = nI e⃗θ (sens qui donne Bint selon +e⃗z). Du milieu 1 (intérieur) au milieu 2 (extérieur), n⃗1→2 = e⃗r :
B⃗ext − B⃗int = μ0 nI e⃗θ ∧ e⃗r = −μ0nI e⃗z ⟹ B⃗(r > a) = 0⃗.
2. L'ARQS magnétique
2.1.
L'ARQS consiste à négliger les temps de propagation des ondes électromagnétiques devant la période des sources : dans Maxwell-Ampère, on néglige le courant de déplacement ε0∂E⃗/∂t devant j⃗, et B⃗ se calcule à chaque instant comme en magnétostatique avec les courants de cet instant. La taille du système doit être petite devant la longueur d'onde λ = 2πc/ω : a ≪ c/ω, soit ωa/c ≪ 1.
2.2.
Dans l'ARQS, B garde l'expression statique avec l'intensité instantanée : B = μ0 n I0 cos(ωt), donc B0 = μ0 n I0.
💡 Le champ électrique donné vient de Maxwell-Faraday sous forme intégrale : 2πr E = −d(Bπr²)/dt = πr²B0ω sin(ωt). Savoir le retrouver est utile pour la suite.
2.3. Densités d'énergie
ue = ε0E²/2 = ε0B0² r²ω² sin²(ωt)/8 ⟹ ⟨ue⟩ = ε0B0² r²ω²/16.
um = B²/(2μ0) = B0² cos²(ωt)/(2μ0) ⟹ ⟨um⟩ = B0²/(4μ0).
2.4.
⟨ue⟩/⟨um⟩ = ε0μ0 r²ω²/4 = (rω/c)²/4 ≤ (aω/c)²/4. Dans l'ARQS, aω/c ≪ 1 : ⟨ue⟩ ≪ ⟨um⟩, l'énergie électrique est négligeable.
2.5. Champs en fonction de i(t), vecteur de Poynting
B⃗ = μ0 n i(t) e⃗z. Comme di/dt = −I0ω sin(ωt), on a B0ω sin(ωt) = −μ0n di/dt, donc E⃗ = −(μ0 n r/2)(di/dt) e⃗θ.
Π⃗ = E⃗ ∧ B⃗/μ0 = −(μ0n r/2)(di/dt) · n i (e⃗θ ∧ e⃗z) = −(μ0n²r/2) d(i²/2)/dt e⃗r (car e⃗θ ∧ e⃗z = e⃗r).
2.6. Puissance rayonnée
Surface fermée : cylindre de rayon a et de longueur l. Π⃗ est radial : flux nul à travers les deux bases ; à travers la surface latérale (normale sortante e⃗r) :
Pray = Πr(a) · 2πa l = −μ0n²πa² l · d(i²/2)/dt.
Énergie magnétique stockée : Wm = (B²/2μ0) πa² l = μ0n² πa² l i²/2, donc Pray = −dWm/dt : la puissance qui sort est exactement la diminution de l'énergie magnétique (l'énergie électrique étant négligée). Quand i² croît, l'énergie entre (Pray < 0) et est stockée.
2.7. Comparaison avec L
💡 L'énoncé renvoie à « la question 2.7 » : dans ce sujet TSI, il s'agit du résultat de la question 2.5 (vecteur de Poynting) et de 2.6. Signalez-le sur la copie et poursuivez.
Avec L = μ0n²a²πl : Wm = L i²/2 et Pray = −d(Li²/2)/dt = −L i di/dt : la puissance qui entre dans la bobine, L i di/dt, est la puissance électrique u·i reçue par une inductance pure (u = L di/dt). Le résultat est conforme.
Vérification locale (identité de Poynting, j⃗ = 0⃗ dans le vide intérieur) : div Π⃗ = (1/r) ∂(rΠr)/∂r = −μ0n² i di/dt et ∂um/∂t = μ0n² i di/dt, donc div Π⃗ + ∂um/∂t = 0 : le bilan local de puissance est bien vérifié (à ue près, négligée).
3. Caractéristiques d'une bobine
3.1.1. Flux propre
Chaque spire est traversée par le flux μ0nI · πa² ; pour les N = n l spires : Φ = N μ0 n I πa² = μ0n² πa² l I.
3.1.2. Inductance
Φ = L I ⟹ L = μ0n²πa² l, l'expression donnée.
3.2.1. Champ électrique dans le fil
Courant uniforme sur la section πd²/4 : j⃗ = (4I/πd²) e⃗z, et loi d'Ohm locale : E⃗ = j⃗/γ = 4I/(γπd²) e⃗z.
3.2.2. Tension
E⃗ uniforme : U = ∫E⃗·dl⃗ = E l′ = 4I l′/(γπd²).
3.2.3. Résistance
r = U/I = 4l′/(γπd²) = l′/(γS), avec S = πd²/4.
3.2.4. Avec N spires
Longueur du fil : l′ = N · 2πa ⟹ r = 4 · 2πaN/(γπd²) = 8Na/(γd²).
4. Mesure des caractéristiques d'une bobine
4.1.1. Schéma du montage
Circuit série : générateur E → interrupteur K → ampèremètre → bobine → retour au générateur. Le voltmètre est branché en parallèle aux bornes de la bobine.
(+) E ──── K ──── [A] ────┬──── bobine (r, L) ────┬──── (−) E
entrée A ─►COM │ │
└──── V ──[V]── COM ────┘
Sens de branchement : le courant entre dans l'ampèremètre par la borne A (ou mA) et en sort par COM ; la borne V du voltmètre est reliée au point de plus haut potentiel (côté +), la borne COM au côté −, pour lire des valeurs positives.
4.1.2.
En régime continu établi, di/dt = 0 : la tension L di/dt est nulle, la bobine se comporte comme un simple conducteur ohmique de résistance r.
4.1.3.
r = U/I = 20,0/2 = 10 Ω. L'intensité « I = 2 A » n'a qu'un chiffre significatif, qui limite le résultat : r = 1×101 Ω (soit ≈ 10 Ω).
4.2.1. Impédances
Bobine : Zb = r + jLω ; résistance : ZR = R.
4.2.2. Rapport des amplitudes et valeur de L
Le même courant traverse les deux dipôles : U1 = R Im et U2 = √(r² + L²ω²) Im, donc U1/U2 = R/√(r² + L²ω²), et L = (1/ω)√((RU2/U1)² − r²).
Lecture de la figure 2.3 : voie 1, U1 ≈ 8,4 V ; voie 2, U2 ≈ 2,0 V ; période 10 ms (f = 100 Hz, ω = 628 rad/s). |Zb| = 50 × 2,0/8,4 ≈ 11,9 Ω ⟹ Lω = √(11,9² − 10²) ≈ 6,5 Ω ⟹ L ≈ 1,0×10−2 H (≈ 10 mH).
4.2.3. Déphasage
u1 est en phase avec i ; u2 = Zbi, donc φ = arg(Zb) = arctan(Lω/r), positif (u2 en avance sur i).
Sur la figure, le maximum de la voie 2 (t ≈ 9,1 ms) précède celui de la voie 1 (t = 10 ms) de Δt ≈ 0,9 ms : φ = 2πΔt/T ≈ +0,57 rad. Alors L = r tan φ/ω ≈ 10 × 0,64/628 ≈ 1,0×10−2 H.
4.2.4. Cohérence
Les deux méthodes donnent L ≈ 10 mH : elles sont cohérentes aux incertitudes de lecture près (quelques %), sachant que r n'est connue qu'à un chiffre significatif.
4.2.5. Générateur idéal
On a négligé sa résistance interne (résistance de sortie Rg, typiquement 50 Ω pour un générateur basse fréquence). Pour en tenir compte, on modélise le générateur par E en série avec Rg : le courant devient Im = E/|Rg + R + r + jLω|. Les mesures de L ci-dessus restent valables car elles n'utilisent que les tensions mesurées directement aux bornes de R et de la bobine (rapport U1/U2 et déphasage). Remarque pratique : pour visualiser u1 et u2 simultanément, la masse de l'oscilloscope doit être au point commun bobine-résistance, avec un générateur à masse flottante, et une des voies inversée.
Questions fréquentes sur ce sujet
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