Modèle de concours : CNC 2022 Physique II (MP) — Concours National Commun

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Concours National Commun - Session 2022 - Filière MP

e On veillera à une présentation et une rédaction claires et soignées des copies. Il
convient en particulier de rappeler avec précision les des questions
abordées.

* Si au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant
clairement les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.

Toutes les réponses devront être très soigneusement justifiées.

e Si un résultat donné par l'énoncé est non démontré, il peut néanmoins être
admis pour les questions suivantes. Ainsi, les diverses parties du problème
sont relativement indépendantes entre elles.

* Tous les résultats numériques seront donnés avec un nombre de chiffres
significatifs compatibles avec les données fournies.

Le sujet de cette épreuve est constitué de deux parties indépendantes : la
première partie est notée sur 4 points, la deuxième sur 16 points.

Partie 1 : Champ magnétique d’une spire circulaire

On considère une spire circulaire
de rayon R, de centre 0 et d’axe Oz
(figure 1.1). Cette spire est contenue
dans le plan Oxy orthogonal à l’axe Oz.
Elle est parcourue par un courant
électrique d'intensité constante /.

Figure 1.1 : spire circulaire

1. Montrer, par un raisonnement rigoureux, que le champ magnétique B,,(M)

créé par la spire au point M de son axe Oz est porté par 5 :

2. Montrer que B,(M) est donné par l’expression B,(M)= ‏كم‎ où a est

l’angle sous lequel la spire est vue depuis le point M . Exprimer le champ

magnétique B,(0) au centre O de la spire.

3. Représenter l'allure du champ B,(M) en fonction de z= OM ee. .

4. Application numérique : on fixe R=5em . Calculer B,(0) pour I=1A.
Calculer la valeur de 1 pour avoir B,(0)=1T . Commenter. Citer deux
systèmes qui permettent d’obtenir un champ magnétique intense. On

donne la perméabilité magnétique du vide : u, 4.10 777.07

Épreuve de Physique II 1/6

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Partie 2 : Radioactivité ‏بن‎

Naturellement présente dans l'Univers, la ‏ج‎
‎radioactivité est un phénomène physique dû à des
noyaux atomiques instables qui se désintègrent de
manière spontanée pour donner un autre élément,
en émettant des particules (électrons, neutrons etc)
ou des rayonnements électromagnétiques.
Historiquement, la radioactivité a été découverte en
1896 par Becquerel avant le noyau de l’atome dans
le cas de l’uranium, et très vite confirmée par les
Curie pour le radium.

La radioactivité alpha « a » fut d'abord observée comme un rayonnement de
type inconnu, dévié par des champs, électrique et magnétique. Ernest Rutherford
identifia en 1908 ces particules à des noyaux d'hélium : un noyau lourd X se
désintègre en un noyau fils ‏ل‎ plus léger en éjectant une particule «.

0

Radioactivité » @ »

Données :
- Charge d’un électron : q, =-e=-1,60.10""C .
- Masse d’une particule a : m, =6,645.10”"kg.
-31 kg
- Masse d’un proton : m, =1,67.10"" kg.

- Masse d’un électron : m, =9,11.10

- Constante de Planck réduite : h= ‏ب‎ - 1,005.10 7.
7

-  Permittivité électrique du vide : ‏دق‎
‎36x10

- Accélération de la pesanteur : g=9,8m.s”.

0 2 ‏لت‎ 6
- Equation de Schrôdinger : ‏انا ف كه‎ + V(X)W(x,1)= , ‏اكاك‎
‎2m 0x ôt
© ‏ون 12“ د أ‎
1. Traversée d’une barrière de potentiel
On considère une particule quantique V(=)
de masse m évoluant dans le potentiel V(x)
indépendant du temps (figure 2.1). V(x) est Vo
composé de deux zones à potentiel nul
séparées par une barrière de hauteur V, et 00 8 (3)

d’épaisseur a.
On s’intéresse aux états stationnaires
2

cf) = —i— é ie E tell
men ‏ذه‎ : 7 energie si que Figure 2.1 : barrière de potentiel

Épreuve de Physique II 2/6

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1.1. Que prévoit la mécanique classique dans le cas correspondant à O‹E‹V,

pour une particule arrivant sur la barrière par la gauche.

On va étudier le point de vue de la mécanique quantique.
2. Écrire l’équation de Schrôdinger pour des états stationnaires.
Résoudre l’équation de Schrôdinger vérifiée par la fonction d’onde ‏مم‎
‎stationnaire dans les zones (1), (2) et (3) de l’espace et montrer que la
solution générale s’écrit sous la forme :

نر يم

‎Ae"*+B,e"" si xs0 zone (1)‏ دواو

‎Donner les expressions de k =k, et k,.

‎1.4. Commenter la forme générale de la fonction d’onde totale w(x,t) dans
chacune des trois zones.

‎1.5. La source de particules est située en x=-œ. Justifier pourquoi la constante
B, est nécessairement nulle.

‎1.6. On s’intéresse, au sens quantique, à la possibilité de traversée de la

‎barrière de potentiel par effet tunnel. On note T= ‏و‎ le coefficient de

‎transmission, rapport du flux de particules atteignant la zone (3) sur le flux
de particules incidentes dans la zone (1). Écrire les équations de continuité

‎de y(x,r) et de ‏مج‎ en x=0 et x=a. En déduire les conditions aux
interfaces qui permettent d’écrire T sous la forme :

(La démonstration de cette expression n’est pas demandée.)
1.7. On suppose que l’approximation de la barrière épaisse (k,a››1) est vérifiée.

‎—nka

‎Trouver une formule approchée de T sous la forme 1-7607 . Exprimer T,
et n.
1.8. Dans la limite de la barrière épaisse, étudier le comportement du coefficient
de transmission 7 en fonction de a, m et (V,-E).
1.9. Applications. Calculer le coefficient 7 dans les trois cas suivants :
- pour qu’un cycliste de masse m=70kg lancé à la vitesse v=36km.h" sur une
colline de hauteur H =20m et de largeur a =50m franchisse cette colline ;
- pour qu’un électron ayant une énergie F=1,0 eV franchisse une barrière de
hauteur V, =2,0 eV et de largeur a=10""m ‏ب‎
‎- pour qu’un proton franchisse la barrière dans les mêmes conditions que
l’électron.
Commenter chaque résultat. On calculera ka dans chaque cas.

‎2. Radioactivité ao - Loi de Gamow - Condon - Gurney

‎Une application de l’effet tunnel à travers une barrière de potentiel est l’_émission
de particules ‏عه‎ décrite par la théorie de Gamow - Condon - Gurney. On rend compte de
la répulsion coulombienne repoussant une particule ‏مه‎ sortant du noyau d'un atome X,

‎Épreuve de Physique II 3/6

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de numéro atomique Z et de nombre de nucléons A, par un puits de potentiel.
On constate expérimentalement que certains noyaux lourds sont spontanément
émetteurs à suivant la transformation :
1x ‏ل ج‎ + 6

Nous admettrons que la masse du noyau V(r)
restant est très grande par rapport à la masse m,
de la particule a ; il reste donc au repos lors d'une Vmp---0
émission. La loi d'’interaction entre ces deux
particules est définie par leur énergie potentielle
V(r) représentée en fonction de leur distance r

(figure 2.2). Si r est supérieure à une limite ‏م‎

rayon du noyau père (aussi demi-largeur du puits),
la particule œ, quasi ponctuelle, est soumise au
potentiel coulombien du noyau (figure 2.2). Ainsi,
pour r‹n, V(r)=-V, (KV ›0) et pour r›n, VG)= £ Figure 22: potentiel
0 7 coulombien du noyau
avec K= (2e ‘
2750

Dans la suite, on considère un atome X de radium ‏م2‎ avec

1 =7,3.10*m. Les particules ‏ه‎ sont émises avec une énergie 125 2 4,78 MeV .

2.1. Quelle est l’interaction permettant la cohésion entre deux entités de même
charge dans le noyau et qui est associée au puits de potentiel ? Estimer la
portée de cette interaction.

2.2. Expliquer pourquoi l’émission ‏ه‎ ne peut se faire que par effet tunnel.

2.3. En considérant que l’on peut obtenir un ordre de grandeur de la vitesse de

la particule ‏مه‎ en utilisant la relation E= ‏“مص‎ , exprimer la longueur

d’onde À,,, de l’onde de matière de De Broglie associée à une particule a.
Calculer sa valeur numérique. Commenter.

2.4. Donner les relations permettant de déterminer l'énergie maximale de la
barrière V, et le rayon de sortie de la barrière 7 en fonction de l’énergie E
et des autres données. Calculer numériquement 7 et V, . Commenter
l’épaisseur de la barrière de potentiel.

2.5. Expliquer pourquoi l'énergie E doit être positive pour espérer franchir la
barrière.

2.6. Le résultat sur 16 coefficient de V(r)
transmission 7, donné précédemment,
dans la question 1.7, doit être adapté
puisque la barrière a un profil non
rectangulaire. Dans un esprit de
simplification, on approche le profil
coulombien par une succession de
barrières rectangulaires élémentaires de
hauteur V(r) et d’épaisseur dr (figure

Épreuve de Physique II 4/6

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2.6.1. En admettant localement l’approximation de la barrière épaisse,

montrer que 5 =-2k,(r)dr . Donner l’expression de k,(r).

2.6.2. Montrer que le coefficient de transmission pour atteindre r est tel
que In(T)= LE pr Li. On prend T(n)=1. ‏وما‎ (T) = —2 na (K | ‏مها دا‎
‏م‎ ٠ 1 ‏ميد + امل ط‎
2.6.3. En introduisant la variable d’intégration 6 telle que r=rcos"6 ,

montrer que le coefficient de transmission s’écrit sous la forme :
2K 2m, 0 _sin20, |

hJE ]' 2
2.6.4. Pour une particule a existant à l’intérieur du noyau avec une énergie
E comprise entre V, et O0, établir la formule de Gamow - Condon -

fonction de ñ, K, m

Gurney : InT =c, + , c, et c, étant deux constantes que l’on exprimera en

et n. On admettra pour établir cette relation que

localement on peut appliquer la formule approchée établie donnant In(T) et

7 = + ae x
que — est très inférieur à 1.

2

2.7. Si N, est le nombre initial de noyaux émetteurs de particules ‏,»م‎ N celui à

linstant : et À leur constante de désintégration (constante de
proportionnalité), exprimer le nombre de noyaux dN qui se désintègrent
pendant la durée dt . En déduire l'activité a*=- an) de l'élément radioactif,

nombre de particules @ émises par seconde, en fonction de À, N, et 1.

2.8. On définit la période radioactive © de l’élément (encore appelée temps de
demi-vie), comme la durée pour laquelle la moitié des noyaux initialement
présents s’est désintégrée. Exprimer © et calculer sa valeur numérique
pour le radium “Ra. On donne : A(°Ra)=4,33.10* an.

2.9. On suppose que la particule a existe primitivement dans le noyau et qu’elle

oscille entre les deux bords du puits avec la vitesse ‏ل‎

2.9.1. Exprimer la vitesse v, de la particule œ dans le noyau en fonction de
m,É, E et V,.

2.9.2. Exprimer la fréquence des oscillations de la particule » en fonction
de v, et 5

2.9.3. À chaque collision avec la paroi située en r=r, la particule à a une

probabilité 7 de franchir la barrière de potentiel par effet tunnel et donc de
sortir du puits. Exprimer le nombre de particules œ émises par unité de
temps en fonction de N, v,, ‏ل‎ et T. En déduire le nombre de noyaux dN

qui se désintègrent pendant la durée dr.
2.9.4. En identifiant l’expression de dN établie dans la question 2.7 et celle
établie dans la question 2.9.3, montrer que À = Yet :

7

Épreuve de Physique II 5/6

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2.9.5. Montrer que 70 = ‏خجي‎ . Exprimer c, et c, en fonction des données.
3 VE 3 4
2.9.6. Le résultat du modèle est comparé aux données expérimentales dans
le graphe de la figure 2.4 (en échelles logarithmiques). Commenter.
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‎1010 | - | Courbe théorique
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40 45 50 55 6 7, 8" 89

Énergie E en MeV
Figure 2.4 : Période des émetteurs a en fonction de l’énergie de la particule ‏مه‎
‎émise

Épreuve de Physique II 6/6

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