Modèle de concours : CNC 2022 Physique I (MP) — Concours National Commun

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Concours National Commun - Session 2022 - Filière MP

e On veillera à une présentation et une rédaction claires et soignées des copies. Il
convient en particulier de rappeler avec précision les des questions
abordées.

* Si au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant
clairement les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.

Toutes les réponses devront être très soigneusement justifiées.

e Si un résultat donné par l'énoncé est non démontré, il peut néanmoins être
admis pour les questions suivantes. Ainsi, les diverses parties du problème
sont relativement indépendantes entre elles.

* Tous les résultats numériques seront donnés avec un nombre de chiffres
significatifs compatibles avec les données fournies.

Le sujet de cette épreuve est constitué de deux parties indépendantes : la
première partie est notée sur 4 points, la deuxième sur 16 points.

Partie 1 : Turbine à gaz

De la vapeur d’eau évolue dans une turbine horizontale, de section
constante Z, munie d’une hélice. À l’extérieur, la température est constante et
vaut 7, =35 °C. La vapeur est admise dans la turbine à la température 1 = 400 °C
et la pression PR =6,0 bar, et ressort à la température T, =100 °C sous pression
P, =1,0 bar . Le débit massique au travers de la turbine vaut D, =1 kgs". On
assimile la vapeur d’eau à un gaz parfait et on note c, sa chaleur massique.
Données :

- Masse molaire de l’eau : M, =18g.mol".

- Coefficient isentropique : y = ce 15.
0
- Constante des gaz parfaits : R=8,314 ‏.1م71‎
‎- Expression de l’entropie molaire d’un gaz parfait en fonction de la
température T et de la pression P
‏أورج- | |والتسرري ي‎ Es rn
y-1 \T P
- Expression des deux principes de la thermodynamique pour un fluide en
écoulement stationnaire :

1 th

0

avec 7 l’enthalpie massique, e, l’énergie cinétique massique et e, l’énergie
potentielle massique du fluide ; P, la puissance mécanique utile qu’il reçoit et P,
la puissance thermique reçue, s.…, l’entropie créée par unité de temps et où l’on a
noté e les grandeurs en entrée et s celles en sortie.

On néglige les variations d’énergie cinétique.
1. Sachant que le but d’une turbine est de récupérer une puissance

mécanique, les pertes thermiques sont donc a priori faibles. Exprimer, en

Épreuve de Physique I 1/6

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fonction de D

› Cp» T, et T,, la puissance maximale cédée à la turbine dans
l'hypothèse d’un écoulement adiabatique.

2. Calculer la variation d’entropie du fluide entre l’entrée et la sortie de la
turbine. Justifier que le résultat obtenu est contradictoire avec l’hypothèse
d’un écoulement adiabatique.

On suppose que la transformation est réversible dans la turbine.

3. Déduire du second principe de la thermodynamique la puissance P, cédée
par la vapeur d’eau à l’extérieur.
4. En déduire la puissance P, cédée à la turbine.

Partie 2 : Vibromètre

1.  Vibromêtre mécanique

La figure 1 représente le schéma de
principe d’un dispositif mécanique de mesure
de vibrations. Ce dernier est constitué d’une
masse m , d’un ressort de raideur k, d’un
amortisseur de coefficient de frottement
visqueux à et d’un traceur qui donne le
mouvement de la masse m en fonction du
temps. L'ensemble est rigidement lié au
système mécanique dont on veut étudier les

Figure 1 : Vibromètre

vibrations. mécanique.

On repère le mouvement de la masse m par z,(1) et on suppose que celui
de la base est de la forme z,(t)= Z, sin(œt) . L'origine de l’axe (Oz) vertical ascendant
est prise à la position d’équilibre du système. L'étude est faite dans le référentiel
du laboratoire (R) supposé galiléen. On note g= -ge, le champ de pesanteur

supposé uniforme.
1.1. Appliquer le deuxième loi de Newton à la masse m. Montrer que l'équation
de son mouvement en fonction de la variable z(#)=z,(t)-z,(#) s’écrit sous la

d’z y, 7 2 d’z .
forme : —+p/—+w,7=-—. Exprimer ‏ون‎ et f.
7 2 7 os dt 2 0 0 B

1.2. On cherche une solution permanente sous la forme z(t)=Zsin(wt-0) .
Déterminer Z=Z(w) et 6=0(w).

1.3. Représenter la variation de — en fonction du rapport des pulsations ‏و‎

2 00
pour f=0 et f=0,1 et f=1.

1.4. On considère le cas d'un ressort de faible raideur, ‏ره‎ ››. Écrire dans ce
cas z(f). Montrer que la mesure de l’amplitude Z permet de déduire
l'amplitude Z, des vibrations. Quel est le rôle du système dans ce cas ?

1.5. On considère le cas d'un ressort de raideur élevée, w ››w. Montrer que la

mesure de l’amplitude Z permet de déduire l'accélération des vibrations.
Quel est le rôle du système dans ce cas ?

Épreuve de Physique I 2/6

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2.  Vibromètre laser

La vibrométrie laser est une technique de mesure sans contact des
vibrations qui utilise l’effet Doppler. Elle est actuellement le procédé disposant de
la plus haute résolution de déplacement et de vitesse, elle est utilisée dans de
nombreux domaines des sciences fondamentales. Le vibromètre est un dispositif
interférométrique à deux faisceaux utilisant le principe de l’interféromètre de
Michelson et qui détecte la différence de phase entre une référence interne et le
faisceau de mesure réfléchi sur la cible. Il permet la mesure sur des surfaces
chaudes, molles, mobiles, miniatures, légères ou difficilement accessibles, sans
les charger par la masse d’un accéléromètre. Il peut être utilisé à des distances de
quelques centimètres à plusieurs centaines de mètres.

Données :
-  Célérité de la lumière dans le vide : ‏3,00.10حي‎ 7

- Constante de Planck : h=6,63.10*J.s.

On considère l’interféromètre 7
de Michelson (figure 2). L'ensemble 1
laser-élargisseur de faisceau est
modélisé par une source ponctuelle
placée au foyer objet d'une lentille
convergente (L,). Les deux ondes de
l'interféromètre sont issues de la
même source laser de longueur
d’onde dans le vide À, = 632,8 nm .
L'onde initiale est divisée en
amplitude par une lame séparatrice
semi-transparente (semi-
réfléchissante). Une des deux ondes,
appelée onde de référence,
d'intensité /,, est dirigée directement
vers le photodétecteur,
après réflexion en incidence normale sur le miroir fixe (M,), sans changer de
fréquence. La deuxième onde, appelée sonde d'intensité /,, est envoyée en
incidence normale vers l’objet cible (représenté par le miroir mobile (M,)) et subit
un décalage Doppler avant d'interférer avec l'onde de référence au niveau du
photodétecteur.

Les miroirs (M,) et (M,) sont parfaitement orthogonaux entre eux et
initialement à égale distance de la séparatrice (d,=d,=d ), avec OO, =d, et
OO, =d, . L’interféromètre est placé dans l’air d'indice n, =1.

2.1. Dans un laser hélium-néon, le pompage est effectué entre des niveaux
d’énergie de l’hélium, mais la radiation amplifiée À correspond à une
transition électronique entre deux niveaux d’énergie de l’atome de néon. La
figure 3 représente un diagramme simplifié des niveaux d’énergie du néon.

2.1.1. Quelle est la couleur de la lumière émise par ce laser ?

; Miroir (M1)

Laser

Objet (Ma)

Photodétecteur

Figure 2 : vibromètre laser.

Épreuve de Physique I 3/6

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2.1.2. Quelle relation lie la longueur d’onde dans le vide À, d’une onde à sa
fréquence f, 2

2.1.3. Donner l’expression de la différence E
d’énergie AE entre les deux niveaux
d’énergie concernés. Calculer
numériquement AE (en eV). Préciser entre | Es = ‏الأ‎
‎quels niveaux s’effectue la transition ‏يل‎ 17
responsable de la lumière du laser.

2.1.4. ; Justifier que la transition est de type | = 10e
électronique.

2.1.5. Quelles propriétés du rayonnement | ‏ولا المح‎ — 18.70eV
laser sont mises à profit dans la technique ‏ها‎ = 18.37eV
de vibrométrie laser ? Figure 3 : Diagramme

énergétique simplifié du néon.

2.2. Justifier que les deux ondes issues de la division d'amplitude sont
mutuellement cohérentes.

2.3. En se servant d’un schéma clair, expliquer brièvement le rôle de la lame
compensatrice. Cette compensation est-elle parfaite ?

2.4. Expliquer ce qu’est le contact optique. Donner l’allure du signal délivré par
le photodétecteur dans ce cas.

2.5. Justifier la présence de la lentille mince (L) placée à l’entrée de
l’interféromètre de Michelson. Illustrer la réponse à l’aide d’un dessin de
rayons lumineux.

Dans toute la suite, on admet que l’ensemble {6,) + (C,)} est équivalent à
une lame séparatrice théorique (S,), qui n’introduit aucune différence de marche

supplémentaire. À partir de la situation correspondant au contact optique, on
translate le miroir mobile (M,) le long de l’axe Ox de la distance e.

2.6. Justifier rigoureusement, et à l’aide d’un schéma soigné, que
l’interféromètre est équivalent, de point de vue chemin optique, à une lame
d’air à faces parallèles. Donner l’épaisseur de cette lame.

2.7. Préciser la localisation des franges d’interférences et justifier qu’il s’agit
d’anneaux avec ce réglage de l’interféromètre de Michelson.

2.8. On place le photodétecteur dans le plan focal image d’une lentille
convergente (L,) à la sortie de l’interféromètre. Quel est le rôle cette
lentille ?

2.9. Justifier brièvement que l'intensité lumineuse reçue par le photodétecteur
s’écrit sous la forme 1=21,(1+Ccos@), où 1,+1,=21, et ‏و‎ est la différence de
phase entre les deux ondes qui interférent en un point du champ
d’interférence. Exprimer C en fonction de /, et /,.

2.10. Que représente C ? De quoi dépend-il ? Quelle est sa valeur maximale ?

2.11. Exprimer la différence de phase ‏م‎ entre les deux ondes passant par les
centres O, et O, des deux miroirs et interférant au centre 7 du
photodétecteur, en fonction de l’écart e= 00-00 et ٠

2.12. Justifier que l’on ne peut pas accéder au sens de déplacement de la cible
mobile.

2.13. Pour quelles valeurs de @, les interférences sont-elles constructives ? Pour
quelles valeurs de , les interférences sont-elles destructives ? À quelle

Épreuve de Physique I 4/6

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variation de ‏م‎ correspond le passage d'un maximum d'intensité au
maximum suivant 2

2.14. La surface de la cible est mise en vibration, sa position varie au cours du
temps : X(r)=d+e+x(t), x(t) repère la position du miroir mobile (M,) à
partir du réglage correspondant à l’écart ‏-ر00 د‎ 00. Le photodétecteur
produit une tension ‏)ب‎ proportionnelle à l'intensité lumineuse /(r) qu'il
reçoit : u(t)=U, (1 +Ccosg'), U, étant une constante.

2.14.1. Exprimer ‏'ه‎ en fonction des données utiles.

2.14.2. Justifier pourquoi la tension u(r) évolue dans le temps.
On suppose que l'intensité lumineuse est une fonction sinusoïdale du

temps.

2.14.3. Montrer que la fréquence de ce signal est donnée par / = ar ;
7

2.14.4. On note v= = la vitesse de la cible et on suppose que, en régime
1

quasi-sinusoïdal, le signal reçu par le photodétecteur varie avec une
fréquence instantanée f(t) qui suit la relation f = 22 . Exprimer f(r) en
7 dt

fonction de v, c, et 0. Commenter le résultat obtenu et en proposer une

application.
2.14.5. Exprimer puis calculer numériquement le déplacement Ax,

correspondant au passage d'un maximum d'intensité au maximum suivant.
2.14.6. On suppose que la position de la cible varie de x à x,

(Ax=x, -x ›› À,). En utilisant le résultat précédent, montrer que l’amplitude
de déplacement Ax peut être déterminée en fonction du nombre N de

maxima du signal u(#) produit par le photodétecteur par Ax= Fa . Quelle

est la limite inférieure de l'incertitude sur la mesure ?

2.14.7. La cible vibre harmoniquement avec une amplitude instantanée
x(1)= X(1)-e = x, cos(wt) telle que x, ‹‹ ‏.م1‎ Montrer que l’expression linéarisée
de la tension u(t) s’écrit sous la forme :

2.14.8. Quelles sont les fréquences présentes dans la décomposition en série
de Fourier du signal u(t) ? Tracer l’allure du spectre de u(t)..
On souhaite mesurer l’amplitude ‏.ود‎ On applique alors le signal u(r) délivré
par le photodétecteur à l’entrée d’un oscilloscope numérique.
2.14.9. Quelle précaution faut-il prendre si l’on souhaite numériser le signal
u(r) 2
2.14.10. Donner l’allure du signal observé en mode AC de l’oscilloscope puis
en mode DC.
L’oscilloscope intercale une capacité C, en plus de la résistance d’entrée R,
pour réaliser un filtrage. Le filtre de la figure 4 est donc réalisé en entrée du mode
AC de l’oscilloscope.

Épreuve de Physique I 5/6

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2.14.11. Pour supprimer la valeur moyenne, 0:

quelle fréquence faut-il éliminer dans le
signal u(t) 2

2.14.12. En utilisant des schémas équivalents
à haute puis à basse fréquence, vérifier que
le filtre réalisé permet d’effectuer l’opération u ‏أن‎ u’
recherchée.

2.14.13. Déterminer la fonction de transfert

H= E de ce filtre et l’écrire sous la forme

‎Figure 4 : filtre en entrée du‏ : وب
‎SENONIQUE mode AC de l’oscilloscope.‏

‎000
‎0 œ
1+j7—

‎Exprimer H, et w, -

‎2.14.14.  Exprimer la pulsation de coupure ‏.هه‎ du filtre à -3dB. Calculer w,
pour C,=15pF et R,=1MQ.

‎2.14.15. Quelle condition doit être vérifiée par ‏ره‎ pour que le filtre permette
d’effectuer l’opération recherchée ?

‎2.14.16. À quelle condition sur la fréquence de vibration f = = , le filtre AC de
7

‎l’oscilloscope utilisé remplit-il bien l’opération souhaitée ? Donner alors
l’expression du signal de sortie u'(r).

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