Modèle de concours : CNC 2020 Physique I (PSI) — Concours National Commun
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En bref
Ce document est une ancienne épreuve écrite du concours de Concours d'accès aux écoles d'ingénieurs organisé par Concours National Commun (CNC) — CPGE (2020), publiée sur Wadifa Info en consultation et téléchargement PDF gratuits, avec une correction proposée.
- Organisme
- Concours National Commun (CNC) — CPGE
- Grade
- Concours d'accès aux écoles d'ingénieurs
- Spécialité
- Physique I
- Année
- 2020
- Pages
- 7
- Langue des questions
- français
- Correction
- correction proposée disponible sur cette page
📝 Texte des questions (extrait automatiquement des pages scannées)
Ce texte est extrait automatiquement des images de l'épreuve et peut contenir des erreurs de lecture — les images ci-dessus font foi.
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المملكة المغربية
وزارة التربية الوطتية والتكوين اطهني
والتعليم العالي والبحث العلمي
4-01 1/1/ 2-4-1 1/11 با 0-5 ©
40013 04150[145-1- 520/15015444411
ASOOUEA-I1›-HUMU-ASOXHA3-C-OO-oI
Royaume du Maroc
Ministère de l'Éducation Nationale, de la Formation Professionnelle,
de l'Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique
Département de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique
2
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E ك3 ] A ك3 Université Mohammed V de Rabat
CNC Z0OZ0
CONCOURS NATIONAL COMMUN
d’Admission dans les Établissements de Formation d’Iingénieurs
et Établissements Assimilés
Épreuve de Physique
Filières : PSI
Durée 4 heures
Cette épreuve comporte 6 pages au format A4, en plus de la page de garde
La calculatrice est autorisée
Page de garde
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Concours National Commun - Session 2020 - Filière PSI
e On veillera à une présentation et une rédaction claires et soignées des copies. Il convient en
particulier de rappeler avec précision les [numéros des questions abordées.
* Toutes les réponses devront être très soigneusement justifiées.
e Si un résultat donné par l'énoncé est non démontré, il peut néanmoins être admis pour les
questions suivantes. Les différentes parties du problème sont relativement indépendantes entre elles.
e Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé ou un oubli, il
le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant clairement les raisons des initiatives qu'il est
amené à prendre.
Oscillations. Couplages
On parle d'oscillations de grandeurs physiques lorsque celles-ci varient périodiquement; elles
sont décrites par les mêmes équations quelle qu’en soit leur nature (mécanique, électrique, etc.). Dans
certaines situations les oscillations temporelles peuvent aussi se propager dans l’espace. Lorsque des
grandeurs physiques quelconques sont interdépendantes, on dit qu’elles sont couplées : c’est le cas
lorsqu’on a des liaisons entre oscillateurs (mécaniques, électriques, …), et on peut alors avoir des
transferts énergétiques.
Données
e Il peut être commode d'utiliser la notation complexe ; ainsi à une grandeur sinusoïdale fonction
du temps f(t) = Fy.cos(wt + @), on associe le complexe souligné f(t) = ,متها م.م où j? = —1, et
tel que f(t) représente sa partie réelle : f(t) = Re(f(t)); et on notera son conjugué par f
e On notera par f((t) et f(t) les dérivées temporelles première et seconde d’une fonction f (t).
e Le champ de pesanteur ع est uniforme, vertical, descendant et de module ع = 9871.5 2.
e La perméabilité magnétique du vide est up = 4710 75.1
Exercice : oscillateurs élastiques (barème : 4 points sur 20)
1. Oscillateur élastique libre et sans frottements
Un palet S de masse m, de barycentre G, est attaché à un ressort de raideur k et de longueur à
vide .و1 S peut se translater horizontalement selon l'axe X’X d’un référentiel R(OXYZ) galiléen,
muni de la base { Tu 7 7 }; l'origine 0 des espaces coïncide avec la position de 6 lorsque le
ressort n’est ni comprimé ni dilaté (sa longueur est lo ), ainsi G est repéré par 03 )0( = x(t).Ü x:
voir figure 1. À l'instant initial, G est écarté en x(t = 0) = xo › 0 puis lâché sans vitesse initiale
*(t = 0) = 0. On néglige, ici, tous les frottements fluide et solide. On posera w? = £
nZ ressort:K AIRE
S000000 à
0 0 x
Figure 1 — Oscillateur élastique
1.1 Exprimer la tension = (x) exercée par le ressort sur S ; en déduire l'expression de l'énergie
potentielle élastique E,e(x), on prendra )مع = 0) =0.
1.2 A l’aide du principe fondamental de la dynamique (P.F.D) déterminer l'équation différen-
tielle vérifiée par la position x(t). Déterminer l'expression de x(t).
1.3 Représenter sur un même graphe les allures de E, (x), de l'énergie cinétique Ec(x) et de
l'énergie mécanique Em(x).
Épreuve de Physique 1/6 Tournez la page S.V.P
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1.4 Tracer le graphe du portrait de phase %(x), en précisant le sens.
2. Oscillateur élastique avec frottement solide (frottement fluide négligé)
On reprend l’oscillateur S de la question 1(figure 1), mais, cette fois, la réaction R du plan Sy à
elle s'oppose نز بد une composante tangentielle, appelée force de frottement de glissement : R;.
au glissement, et on note f le coefficient de frottement. On pose x. = FE.
2.1 Lors du mouvement, justifier l'écriture générale de l'équation différentielle sous la forme :
m.Ÿ + k.x = e.fmg, avec € = +1 (deux cas).
2.2 Lorsqu'on lâche S en xp › 0, justifier que pour t vérifiant :07 › + ‹ 7, onae = +1.
Déterminer, alors, la solution x(t) de l'équation différentielle du mouvement.
2.3 Cette première phase du mouvement s'achève en x = x1(t = T,) et le mobile repart en
sens inverse ; déterminer x.
2.4 On prend comme origine des temps l'instant où G repart en sens inverse vers les x crois-
sants (cette fois). Déterminer la position x de 6 lorsque cette deuxième phase s'achève.
2.5 Dans la suite, le solide effectuera des allers et retours. Pour la n°" phase du mouvement
exprimer la position x,, d'annulation de la vitesse, en fonction de xp, x. et H € IN*.
Exprimer la durée T; 1‹;‹n de chaque phase en fonction de la période T = 2
2.6 On suppose que la vitesse s’annule pour رود à l'instant ta.
Déterminer la condition sur |xa| pour que le palet 5 reste immobile (point d'arrêt).
2.7 Établir l'expression de l'énergie mécanique لماوع entre مد et x (X(xo) = x(x1) = 0).
2.8 Tracer sur un même graphe les courbes : Ey,e(x) (voir question 1), ainsi que E,,;(x) pour
les trois premières phases (i = 1,2, 3). En déduire la valeur de ود et positionner x» et x3.
2.9 Tracer l'allure du portrait de phase pour les trois premières phases du mouvement.
Problèmes : oscillations ; couplages (barème : 16 points sur 20)
l‘’problème : couplage magnétique entre deux circuits
P p'ag 8 q
1.1. Couplage magnétique entre deux circuits
On considère deux solénoïdes supposés infinis (C; ) et (C,) de même axe Z'Z de vecteur unitaire
7 . Ils ont respectivement : les longueurs /, et را les sections de surfaces Sy et 52 › S,, les rayons
R, et وا et les nombres de spires N, et N5. (C;) et (C,) sont parcourus, respectivement, par les
courants d'intensité /, et /) orientés dans le sens direct par rapport à l'axe OZ.
Le solénoïde (Cy) pénètre à l’intérieur du solénoïde (C ) sur une longueur 1. On note Ly et La les
inductances respectives des deux solénoïdes. Voir figure 2.
1.1.1. Déterminer le champ magnétique B 1(r › Ry) à l’intérieur du solénoïde (C1), en exploitant
les symétries et invariances et en appliquant le théorème d'Ampère.
Donner, aussi, l'expression du champ magnétique B 2(M) à l’intérieur de (C2).
On admettra que le champ magnétique propre est nul à l'extérieur de chacun des solénoïdes.
1.1.2. Déterminer les expressions des flux propres ®c, /c, et ®c,/c, et en déduire les expression
des inductances propres L, et L».
L1.3. Déterminer l'expression du coefficient d’inductance mutuelle M = Mç,/e, = Mc,/c,- Dis-
cuter l'influence du paramètre géométrique 1 sur la valeur de M.
Épreuve de Physique 27/6 Tournez la 0266
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v Vi solénoïde(C,) 37 il ia fi
4 solénoïde )0( - peste
Figure 2 — Solénoïdes en influence magnétique
1.1.4. Montrer que l’on a nécessairement M › .مما Peut-on avoir M = /L1 La? Expliquer.
Le résultat précédent est général pour deux circuits parcourus par des courants i, et i9 en influence
magnétique, et dont l'énergie magnétique s'écrit :En = 3 L1 + 1:18 + 7/1112: où L, et L» sont les
inductances propres et le coefficient d'inductance mutuelle est M. On pose x = ;!.
L1.5. Montrer par étude du polynôme f(x) = 5 › 0 que M › /LyL».
1.2. Circuits RLC couplés par une inductance mutuelle
On considère les deux circuits RLC série représentés sur la
figure 3, et couplés par une inductance mutuelle M. On note
e(t) la tension d’excitation imposée en série au circuit (1) et
u(t) la tension de sortie aux bornes de 12. On note i (t) et
i2(t) les courants parcourant les deux circuits. On suppose
que le sens des enroulements est tel que M › 0. Figure 3 — Circuits RLC couplés par
une mutuelle
1.2.1. Établir le système de deux équations différentielles reliant i; (t), i2(t) et e(t).
On suppose que la tension e(t) est sinusoidale, de pulsation w, et on adopte la notation complexe
soulignée : e(t) = Re(e(t)), avec e(t) = اا E € R*. On cherche les courants complexes sous
la forme : i1(t) = L.el®* et i,(t) = L.el**; I, et L sont les amplitudes complexes des courants. On
s'intéresse à la réponse au niveau du circuit (2), qui est de la forme u(t) = U.ei#*,
1.2.2. Montrer que les amplitudes complexes des courants sont données par le système suivant :
Exprimer les coefficients wo, Y1, Y2 et le coefficient de couplage k en fonction des données
du problème, on remarquera que 1 est positif.
On se place au voisinage de روم et on pose € = w — وه avec | = | ‹1eta = 1.00.
1.2.3. Montrer qu'avec l’approximation | = | ›› 1, le système prend la forme simplifiée suivante :
1.2.4. En déduire l'expression de la fonction de transfert H(e, (م = 4 au voisinage de .ونم
1.2.5. Déterminer l'expression du module H(e = 0,«), on le notera Ho (a).
L2.6. On étudie Ho(«), en fonction de .نه Exprimer la valeur نه pour laquelle ce module est maxi-
mal, en fonction de y; et y2. Donner la valeur de Ho(ac).
Épreuve de Physique 3/6 Tournez la page S.V.P
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II” problème : couplage magnétique et principe d’un transformateur
P p'ag 8 q P P
11.1. Le transformateur parfait
On considère un noyau torique de centre O, de rayon moyen OM = R, et de section droite S. Ce tore
est constitué d’un matériau ferromagnétique assimilé à un milieu linéaire, homogène isotrope de
perméabilité magnétique relative u, = £ supposée infinie. Sur ce tore on réalise deux enroulements
l’un appelé primaire, noté (C;), à N, spires et l’autre appelé secondaire, noté (Cz), à N2 spires. On
note par 11 et 12 les courants dans le primaire et le secondaire respectivement. Le champ magnétique
est supposé uniforme ( R? › S ), parfaitement canalisé et le couplage est fort. On suppose que
chacune des N, + N° spires est traversée par le même flux commun @.
7
1
Su = a dE Symbole d'un transformateur
Primaire ب د إلا // Secondaire
N4 spires 5e
= = ge” No spires
ut سحن يح اا
Figure 4 — Transformateur torique parfait
11.1.1. Montrer que le flux commun a pour expression p = راقم Na) 5
11.1.2. Exprimer les flux totaux © et ده à travers les deux circuits et en déduire les inductances
propres respectives L, et وآ ainsi que le coefficient d’inductance mutuelle M. Vérifier que la
condition de couplage parfait est réalisée.
11.1.3. Exprimer les forces électromotrices e, et e induites respectivement dans les deux circuits.
11.1.4. Déterminer le rapport de transformation en tension m = 2 :
11.1.5. En supposant la perméabilité magnétique relative u, = 7, COMmme infinie, déterminer le
rapport de transformation en courant 2 :
Ua. i 2
U. i 1
IL1.6. Déterminer le rapport de transformation en puissance r = |-2-2|. Commenter.
11.2. Utilisation d’un transformateur d'isolement dans la réalisation d’un wattmètre
On s'intéresse à la mesure de la puissance moyenne consommée aux bornes du dipôle AB formé
d’un résistor R en série avec un condensateur de capacité C; il est parcouru par le courant d’in-
tensité /(t) lorsqu'il est soumis à la tension u(t) : voir figure 5. Les deux amplificateurs linéaires
intégrés (A.O) sont supposés parfaits et fonctionnent en régime linéaire et le multiplieur, noté x,
délivre à sa sortie la grandeur s = k.x.y où k = 10 est une constante.
On donne r = 1000, R = R; = رقنا Ra = 1079, R3 = 10010 et C = 2.0 = ع2
11.2.1. Quel est l'intérêt d'utiliser un transformateur d'isolement pour ce montage.
I[.2.2. Exprimer v1(t) en fonction de i(t), puis x(t) en fonction de i(t).
I[.2.3. Exprimer y(t) en fonction de u(t).
IL2.4. Exprimer la grandeur s(t) en fonction des grandeurs i(t) et u(t).
Épreuve de Physique 4/6 Tournez la page S.V.P
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Transformateur
d'isolement
Figure 5 — Réalisation d’un wattmètre
11.2.5. En régime sinusoidal, établir la relation entre les grandeurs complexes v4(t) et v»(t) ; com-
ment appelle-t-on le montage situé après le multiplieur ?
Établir la relation mathématique pertinente reliant la grandeur v3(t) à la grandeur vz(t), et
préciser, alors, la condition de travail.
11.2.6. Que représente physiquement la grandeur v3 pour le dipôle AB? Justifier votre réponse.
11.3. Dans cette question, on s'intéresse à un transformateur réel en régime sinusoidal de fréquence
f-On note R, et R, les résistances respectives du primaire et du secondaire; on note و la conduc-
tivité du matériau magnétique ohmique et Pr la puissance liée aux courants de Foucault. Au
primaire, la puissance absorbée moyenne est P, et la puissance moyenne disponible au secon-
daire est P,.
11.3.1. Donner l'expression du bilan complet des puissances et l'expression du rendement 7.
11.3.2. Donner les relations locales permettant de justifier, sommairement, que Pr est proportion-
nelle au carré de la fréquence.
III ‘”’‘problème : oscillations transversales et propagation lelong d’une corde
On considère une corde de longueur L, de masse linéique ju tendue avec la tension 10 › 0. Au
repos la corde est rectiligne et parallèle à l'axe horizontal OX. On étudie les petits mouvements
verticaux de la corde autour de sa position d'équilibre, et on note z(x, t) le déplacement du point
d’abscisse x à l'instant t. L'axe OZ est vertical ascendant. On fait les hypothèses suivantes :
(1) Les déplacements sont petits, ainsi que l'angle œ(x, t) que fait la corde avec l'axe OX;
(2) La tension de la corde en mouvement est : T(x, t) = To + T,(x,t) avec |T,(x,t)| › To;
(3) On ne gardera que les termes du premier ordre en z(x, t) et en ses dérivées.
(4) On néglige les effets de la pesanteur.
Tox+dx.t)
4 TOUS -
x x+dx
Figure 6 — Elément de corde en mouvement transversal
111.1. On considère que la corde est le siège de petits mouvements transversaux.
II[.1.1. Montrer que l'élément de corde situé entre x et x + dx a pour longueur élémentaire dL = dx.
111.1.2. Appliquer, puis projeter, le théorème de la résultante cinétique à cet élément de corde.
II.1.3. En déduire l'équation d'onde vérifiée par l’élongation z(x, t).
111.1.4. Donner l'expression d’une onde sinusoïdale progressive vers les x croissants z, (x, t), d'am-
plitude a et de pulsation .ف Donner l'expression de la vitesse de propagation c de cette onde.
Épreuve de Physique 5/6 Tournez la page S.V.P
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111.2. Ondes stationnaires. Corde de Melde.
La corde de Melde étudiée est homogène de longueur utile L = OA = 1m et de masse linéique
pu = 4,9.10-*kg.m—}. La corde est tendue horizontalement et son extrémité À est fixe et son extrémité
O est attachée à un vibreur qui lui impose un mouvement sinusoidal de fréquence f.
x=0
© secteur
(FILISSIISSSSSA
Figure 7 — Étude expérimentale de la corde de Melde
II[.2.1. Montrer que l'équation d’onde peut avoir une solution en ondes stationnaires de la forme
z(x,t) = f(x).g(t); et montrer qu’elle peut s’écrire : z(x, t) = z0.cos(k.x + œ).cos(wt + B).
IIL.2.2. On cherche une solution avec les conditions aux limites z(0,t) = a.coswt et z(L,t) = 0, Vt;
en déduire l'expression finale de l’élongation z(x, t).
111.2.3. Montrer que la condition de résonance est k.L = n.r,n € IN”, et commenter.
On observe cette corde avec un stroboscope donnant des éclairs brefs et périodiques à la fréquence
fs. On rappelle que l'œil humain ne discerne pas les éclairs successifs lorsqu'ils ont une fréquence
fs › fo = 24Hz (l'éclairage semble continu). Dans la suite on supposera aussi f › fo-
II[.2.4. Pour que la corde semble fixe lors des illuminations par le stroboscope, quelle doit être la
relation entre les fréquences fs; et f ?
111.2.5. Lorsqu'on éclaire la corde précédente avec un stroboscope de fréquence fs = 9,9Hz, on
perçoit un mouvement apparent, dans le même sens que le mouvement réel, et de fréquence
fa = 0,99Hz . Etablir les relations qui relient les fréquences fs, f et fa-
111.2.6. Pour une tension adéquate de la corde, et donc pour une masse accrochée m, on observe
p € IN’ fuseaux à la résonnance. Établir la relation entre la fréquence f et le nombre م de
fuseaux observés. On pourra supposer la présence d’un noeud en 0.
111.2.7. Dans l'expérience de la figure 7, on am = 0,125kg; la poulie est parfaite.
En déduire la valeur de fréquence f du vibreur de Melde.
111.3. Ouverture sur la mécanique quantique; dualité onde-corpuscule
L'équation d'onde est généralisée à une particule, et on peut l'écrire :
2, 1 2 EE
2 2 aise = + ; Fass, w › 0 et k sont deux constantes.
La particule a pour masse m, et on note م = m.v sa quantité de mouvement, Ep(x) son énergie
potentielle et E son énergie totale. On pose z(x, t) = P(x).cos(wt).
IIL.3.1. En utilisant la relation de De Broglie اا = م 7 étant une constante, établir l'équation de
Schrodinger en régime permanent : — 5 ; à + Ep(x).p(x) = E.p(x).
IIL3.2. On considère une particule libre se trouvant dans un puits de potentiel : E,(0 › x ‹a) =0,
Etablir l'expression de l'énergie E et montrer qu’elle est quantifiée.
Fin de l'épreuve de physique.
Épreuve de Physique 6/6 Fin
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✅ Correction proposée
Il s'agit d'une correction proposée, rédigée par l'équipe wadifa-info pour vous aider à comprendre la méthode — ce n'est pas un corrigé officiel de l'administration organisatrice.
Ce modèle est l'épreuve de Physique (Physique I) du Concours National Commun (CNC) 2020, filière PSI, pour l'admission dans les écoles d'ingénieurs. Durée : 4 heures, calculatrice autorisée. Thème : « Oscillations. Couplages » — un exercice sur les oscillateurs élastiques (4 points) et trois problèmes (16 points) : couplage magnétique de deux circuits, transformateur et wattmètre, corde vibrante et ouverture quantique. Voici une correction proposée, question par question.
Méthode : les parties sont indépendantes. Le jury attend des résultats encadrés, des conventions de signe clairement annoncées et des applications numériques avec unités.
Exercice : oscillateurs élastiques
1. Oscillateur libre sans frottement
1.1 L'origine O correspond au ressort à vide, donc l'allongement vaut x : T = −k·x·ux. La force dérive de Ep,e : −dEp,e/dx = −kx, d'où Ep,e(x) = ½·k·x² (avec Ep,e(0) = 0).
1.2 PFD projeté sur ux (poids et réaction normale se compensent sur l'axe vertical) : m·ẍ = −k·x, soit ẍ + ω²·x = 0 avec ω² = k/m. Solution x = A·cos ωt + B·sin ωt ; x(0) = x0 et ẋ(0) = 0 donnent x(t) = x0·cos(ωt).
1.3 Em = ½k·x0² est constante (droite horizontale) ; Ep,e = ½kx² est une parabole tournée vers le haut ; Ec(x) = Em − Ep,e = ½k(x0² − x²) est une parabole tournée vers le bas. Le mouvement est limité à −x0 ≤ x ≤ x0 (là où Ec ≥ 0) ; Ep,e et Ec se croisent en x = ±x0/√2.
1.4 ẋ = −x0ω·sin ωt, donc x²/x0² + ẋ²/(ωx0)² = 1 : le portrait de phase est une ellipse centrée en O, de demi-axes x0 et ωx0. Partant de (x0, 0), x diminue avec ẋ < 0 : l'ellipse est parcourue dans le sens horaire (trajectoire fermée : mouvement périodique conservatif).
2. Oscillateur avec frottement solide
2.1 Pendant le glissement, la loi de Coulomb donne |Rt| = f·|Rn| = f·m·g, la force s'opposant à la vitesse : Rt = −f·m·g·signe(ẋ). Le PFD donne m·ẍ = −k·x − f·m·g·signe(ẋ), soit m·ẍ + k·x = ε·f·m·g avec ε = +1 si ẋ < 0 et ε = −1 si ẋ > 0.
2.2 Lâché en x0 > 0 (avec x0 > xc, sinon le palet ne démarre pas), le ressort tire le palet vers les x décroissants : ẋ < 0, donc ε = +1. L'équation s'écrit ẍ + ω²x = ω²xc : x(t) = xc + (x0 − xc)·cos(ωt), valable tant que ẋ < 0, soit jusqu'à τ1 = π/ω = T/2.
2.3 x1 = x(τ1) = xc − (x0 − xc), soit x1 = 2xc − x0 = −(x0 − 2xc). L'amplitude a perdu 2xc.
2.4 Phase 2 : ẋ > 0, ε = −1 : x(t) = −xc + (x1 + xc)·cos ωt, qui s'arrête à t = π/ω en x2 = −xc − (x1 + xc) = −2xc − x1, soit x2 = x0 − 4xc.
2.5 À chaque demi-oscillation l'amplitude diminue de 2xc et le signe alterne : xn = (−1)n·(x0 − 2n·xc). Chaque phase est une demi-période d'un oscillateur harmonique (centre décalé de ±xc) : τi = π/ω = T/2, identique pour toutes les phases. La décroissance de l'amplitude est linéaire (et non exponentielle comme pour un frottement fluide).
2.6 En xa la vitesse est nulle ; le palet reste immobile si la force de rappel ne dépasse pas le frottement maximal : k·|xa| ≤ f·m·g, soit |xa| ≤ xc (en prenant le même coefficient f pour l'adhérence et le glissement). Le point d'arrêt se trouve dans la zone [−xc, xc].
2.7 Théorème de l'énergie mécanique : dEm = Rt·dx. Phase 1 : dx < 0 et Rt = +fmg, donc dEm = f·m·g·dx. En intégrant depuis x0 : Em,1(x) = ½k·x0² − k·xc·(x0 − x), fonction affine de x (pente +k·xc).
2.8 Sur le graphe : la parabole Ep,e = ½kx² et trois segments de droite. Em,1 part du point (x0, ½kx0²) avec la pente +k·xc ; la phase s'arrête quand Ec = 0, c'est-à-dire quand la droite recoupe la parabole : ½kx² = ½kx0² − k·xc(x0 − x) ⇔ (x − x0)(x + x0 − 2xc) = 0, d'où x1 = 2xc − x0 (on retrouve 2.3). Phase 2 : Em,2(x) = ½kx1² − k·xc(x − x1), pente −k·xc, qui recoupe la parabole en x2 = x0 − 4xc. Phase 3 : Em,3(x) = ½kx2² + k·xc(x − x2), pente +k·xc, qui recoupe la parabole en x3 = 6xc − x0. Les segments descendent en « escalier » le long de la parabole.
2.9 Phase 1 (ẋ < 0) : demi-ellipse de centre (xc, 0) dans le demi-plan ẋ < 0, d'équation (x − xc)² + ẋ²/ω² = (x0 − xc)². Phase 2 (ẋ > 0) : demi-ellipse de centre (−xc, 0) dans le demi-plan supérieur, de demi-grand axe x0 − 3xc. Phase 3 : demi-ellipse de centre (xc, 0) de demi-axe x0 − 5xc, dans le demi-plan inférieur. On obtient une « spirale » parcourue dans le sens horaire, formée de demi-ellipses de taille décroissante, qui s'arrête sur l'axe ẋ = 0 dans le segment [−xc, xc].
Problème I : couplage magnétique entre deux circuits
I.1. Couplage magnétique entre deux solénoïdes
I.1.1 Tout plan perpendiculaire à l'axe passant par M est plan de symétrie de la distribution de
courants (spires assimilées à des courants orthoradiaux) : le champ B, pseudo-vecteur, lui est orthogonal, donc porté
par uz. Invariances par rotation autour de l'axe et par translation le long de l'axe (solénoïde infini) :
B = B(r)·uz. Le théorème d'Ampère sur un rectangle d'axe parallèle à Oz, à cheval sur les spires (côté
extérieur où B = 0), donne B·ℓ = μ0·(N1/l1)·ℓ·i1, d'où, uniforme à
l'intérieur :
B1 = μ0·(N1/l1)·i1·uz (r < R1),
et de même B2(M) = μ0·(N2/l2)·i2·uz à l'intérieur de (C2).
I.1.2 ΦC1/C1 = N1·B1·S1 = μ0N1²S1i1/l1 ⇒ L1 = μ0N1²S1/l1 ; de même L2 = μ0N2²S2/l2.
I.1.3 Flux de B1 à travers (C2) : seules les spires de (C2) situées dans la zone de recouvrement (longueur h) sont dans le champ B1, soit N2·h/l2 spires de surface S2 : ΦC1→C2 = (N2h/l2)·μ0(N1/l1)i1·S2, donc M = μ0·N1N2·S2·h/(l1·l2). (Le calcul inverse — flux de B2, non nul sur la seule section S2, à travers les N1h/l1 spires de (C1) de la zone commune — donne le même résultat.) M est proportionnel à h : nul quand les solénoïdes ne s'interpénètrent pas, maximal quand l'enfoncement est total (h = l2 si l2 ≤ l1). C'est le principe d'une inductance mutuelle variable.
I.1.4 M²/(L1L2) = (h²·S2²/(l1²l2²))·(l1l2/(S1S2)) = (h/l1)·(h/l2)·(S2/S1) ≤ 1 car h ≤ l1, h ≤ l2 et S2 ≤ S1. Donc M ≤ √(L1L2). L'égalité exige h = l1 = l2 et S1 = S2 : deux bobinages identiques et confondus (tout le flux de l'un traverse l'autre). C'est un cas limite idéal (couplage parfait), approché en pratique avec un noyau ferromagnétique fermé (cf. problème II).
I.1.5 Em ≥ 0 pour tous courants, donc f(x) = Em/i2² = ½L1x² + Mx + ½L2 ≥ 0 pour tout x réel. Ce trinôme (L1 > 0) garde un signe constant si son discriminant est négatif ou nul : M² − L1L2 ≤ 0, d'où |M| ≤ √(L1L2).
I.2. Circuits RLC couplés par mutuelle
I.2.1 Avec q1, q2 les charges des condensateurs (i = dq/dt), la loi des mailles donne :
circuit (1) : e = R1i1 + L·di1/dt + M·di2/dt + q1/C ;
circuit (2) : 0 = R2i2 + L·di2/dt + M·di1/dt + q2/C.
En dérivant : L·i1'' + R1i1' + i1/C + M·i2'' = de/dt et
L·i2'' + R2i2' + i2/C + M·i1'' = 0.
I.2.2 En complexe : E = (R1 + jLω + 1/(jCω))·I1 + jMω·I2 et
0 = jMω·I1 + (R2 + jLω + 1/(jCω))·I2. On multiplie par jω/L (et j·j = −1) puis on change
de signe : (ω² − 1/(LC) − jωR1/L)·I1 + (M/L)ω²·I2 = −jω·E/L, et de même pour la seconde.
Par identification :
ω0 = 1/√(LC), γ1 = R1/L, γ2 = R2/L,
k = M/L > 0 (car M > 0).
I.2.3 Au voisinage de ω0 : ω² − ω0² = (ω − ω0)(ω + ω0) ≈ 2ω0ε ;
jγω ≈ jγω0 ; kω² ≈ kω0² = α·ω0 ; −jωE/L ≈ −jω0E/L. En divisant chaque équation
par ω0 on obtient bien :
(2ε − jγ1)·I1 + α·I2 = −jE/L et α·I1 + (2ε − jγ2)·I2 = 0.
I.2.4 La 2e équation donne I1 = −(2ε − jγ2)·I2/α ; en reportant :
I2·[α² − (2ε − jγ1)(2ε − jγ2)] = −jαE/L. Avec U = R2·I2 et R2/L = γ2 :
H(ε, α) = U/E = −j·α·γ2 / [α² + γ1γ2 − 4ε² + 2jε(γ1 + γ2)].
I.2.5 Pour ε = 0 (ω = ω0) : H0(α) = α·γ2/(α² + γ1γ2).
I.2.6 dH0/dα = γ2(γ1γ2 − α²)/(α² + γ1γ2)² s'annule pour αc = √(γ1γ2) (maximum : H0 croît avant, décroît après). Alors H0(αc) = γ2√(γ1γ2)/(2γ1γ2) = ½·√(γ2/γ1) = ½·√(R2/R1). C'est le « couplage critique », soit Mc = √(R1R2)/ω0 ; pour R1 = R2, H0(αc) = ½.
Problème II : couplage magnétique et transformateur
II.1. Le transformateur parfait
II.1.1 Les symétries du tore donnent H = H(r)·uθ. Théorème d'Ampère sur le cercle de rayon R (ligne moyenne) : H·2πR = N1i1 + N2i2, donc B = μ(N1i1 + N2i2)/(2πR), uniforme sur la section (R² ≫ S). Le flux commun est φ = B·S = μ·(N1i1 + N2i2)·S/(2πR).
II.1.2 Φ1 = N1φ et Φ2 = N2φ :
L1 = μN1²S/(2πR), L2 = μN2²S/(2πR), M = μN1N2S/(2πR).
On vérifie M² = L1L2 : couplage parfait (coefficient de couplage égal à 1).
II.1.3 Loi de Faraday : e1 = −N1·dφ/dt et e2 = −N2·dφ/dt.
II.1.4 Enroulements sans résistance, orientés comme sur la figure 4 (courants i1 et i2 créant des flux de même sens) : u1 = −e1 = N1dφ/dt et u2 = −e2 = N2dφ/dt, d'où m = u2/u1 = N2/N1.
II.1.5 D'après II.1.1, N1i1 + N2i2 = 2πR·φ/(μS). Le flux φ restant fini (imposé par u1), μ → ∞ impose N1i1 + N2i2 = 0 : i2/i1 = −N1/N2 = −1/m.
II.1.6 r = |u2i2/(u1i1)| = m·(1/m) = 1 : toute la puissance reçue par le primaire est restituée au secondaire. Le transformateur parfait n'a aucune perte (ni effet Joule dans les enroulements, ni pertes fer par hystérésis ou courants de Foucault, ni fuites de flux). Il modifie tension et courant mais conserve la puissance ; un transformateur réel a un rendement proche mais inférieur à 1 (cf. II.3).
II.2. Wattmètre avec transformateur d'isolement
II.2.1 Le point B est relié à la masse du montage (masse des A.O., du multiplieur et des appareils de mesure, elle-même reliée à la terre du secteur). Sans isolement, cette masse court-circuiterait une partie du circuit à travers la terre/neutre du réseau. Le transformateur d'isolement rend le circuit de mesure flottant : on peut placer librement la référence de potentiel en B et prélever u et i par rapport à la même masse. Il assure aussi la sécurité de l'opérateur (pas de liaison galvanique avec le secteur) et abaisse la tension à 6,3 V.
II.2.2 Le courant i parcourt R et C de A vers B, puis r de B vers D : VB − VD = r·i, et
VB = 0, donc la tension appliquée à l'entrée de AO1 est vD = −r·i. AO1 est monté en
amplificateur inverseur (gain −R2/R1), d'où
v1(t) = x(t) = (R2/R1)·r·i(t).
A.N. : (10 kΩ/1 kΩ)·100 Ω = 1000 Ω, soit x(t) = 10³·i(t) (x en V, i en A).
II.2.3 L'entrée y est reliée à A et VB = 0 : y(t) = VA − VB = u(t).
II.2.4 s(t) = k·x·y = k·(rR2/R1)·u(t)·i(t) = 10⁴·u(t)·i(t) (unités SI).
II.2.5 v2 = s. Pour AO2 (inverseur, impédance de contre-réaction Z = R3 // C') :
V3 = −V2/(1 + jR3C'ω). C'est un filtre passe-bas actif du premier ordre
(inverseur), de pulsation de coupure ωc = 1/(R3C'). Avec C' = C/2 = 1 µF et R3 = 100 kΩ :
R3C' = 0,1 s, fc = 1/(2π·0,1) ≈ 1,6 Hz.
En temps réel : R3C'·dv3/dt + v3 = −v2. Pour une composante
sinusoïdale de fréquence très supérieure à fc, le montage se comporte en intégrateur
(v3 ≈ −(1/R3C')∫v2dt, fortement atténuée) ; pour la composante continue, v3 = −v2.
Il réalise donc la valeur moyenne : v3 ≈ −⟨v2⟩.
Condition de travail : u·i = UeffIeffcos φ + UeffIeffcos(2ωt + …) contient une
composante à 2f ; il faut 2f ≫ fc, soit R3C'·2ω ≫ 1. Pour le secteur (f = 50 Hz, 2f = 100 Hz),
l'ondulation résiduelle est atténuée d'un facteur ≈ 100/1,6 ≈ 60 : la condition est vérifiée.
II.2.6 v3 = −k(rR2/R1)·⟨u·i⟩ = −10⁴·P : v3 mesure (au signe et au
facteur 10⁴ près) la puissance moyenne (active) P consommée par le dipôle AB, P = UeffIeffcos φ
= R·Ieff² (le condensateur ne consomme rien en moyenne). Le montage est un wattmètre électronique.
Ordre de grandeur (si le secteur est à 50 Hz) : 1/(Cω) = 1/(2·10⁻⁶·314) ≈ 1592 Ω ; impédance totale
|R + r + 1/(jCω)| = √(1100² + 1592²) ≈ 1935 Ω ; Ieff = 6,3/1935 ≈ 3,26 mA ;
P = R·Ieff² ≈ 10,6 mW, d'où v3 ≈ −0,11 V.
II.3. Transformateur réel
II.3.1 Bilan : P1 = P2 + R1I1,eff² + R2I2,eff² + PF (pertes cuivre par effet Joule + pertes fer par courants de Foucault ; les pertes par hystérésis sont nulles pour un matériau supposé linéaire). Rendement : η = P2/P1 = P2/(P2 + R1I1,eff² + R2I2,eff² + PF) < 1.
II.3.2 Maxwell-Faraday : rot E = −∂B/∂t ; loi d'Ohm locale : j = γ·E ; puissance volumique dissipée : p = j·E = γE². Avec B = Bmcos(ωt), E est proportionnel à ω·Bm (dimensionnellement E ~ ω·Bm·a, a taille transverse), donc ⟨p⟩ ∝ γ·ω²·Bm²·a² : à champ maximal fixé, PF ∝ f². D'où le feuilletage du noyau (a petit) et l'emploi de matériaux peu conducteurs.
Problème III : corde vibrante
III.1. Équation d'onde
III.1.1 dL = √(dx² + dz²) = dx·√(1 + (∂z/∂x)²) ≈ dx·(1 + ½(∂z/∂x)²) ; au premier ordre, dL ≈ dx (la corde ne s'allonge pas, sa masse dm = μ·dx est conservée).
III.1.2 Théorème de la résultante cinétique pour l'élément de masse μdx (seules forces : tensions aux deux
extrémités, pesanteur négligée) : μdx·∂²z/∂t²·uz = T(x + dx) − T(x), avec T(x) = T·(cos α·ux + sin α·uz).
Sur Ox (pas de mouvement horizontal) : ∂(T cos α)/∂x = 0 ⇒ T cos α ≈ T0 + T1 uniforme, et au premier
ordre T ≈ T0.
Sur Oz : μ·∂²z/∂t² = ∂(T sin α)/∂x ≈ T0·∂(tan α)/∂x = T0·∂²z/∂x² (sin α ≈ tan α = ∂z/∂x).
III.1.3 ∂²z/∂x² − (1/c²)·∂²z/∂t² = 0 avec c = √(T0/μ) (équation de d'Alembert).
III.1.4 z1(x, t) = a·cos(ωt − kx) avec k = ω/c ; vitesse de propagation (de phase) c = ω/k = √(T0/μ), indépendante de ω (pas de dispersion).
III.2. Ondes stationnaires — corde de Melde
III.2.1 En reportant z = f(x)g(t) : f''/f = (1/c²)·g''/g. Une fonction de x seul égale à une fonction de t seul est une constante, notée −k² (négative pour obtenir des solutions bornées oscillantes). Donc g'' + k²c²g = 0 et f'' + k²f = 0 : g = cos(ωt + β) avec ω = kc, f = z0cos(kx + α), d'où z(x, t) = z0·cos(kx + α)·cos(ωt + β).
III.2.2 z(0, t) = a·cos ωt impose β = 0 et z0cos α = a ; z(L, t) = 0 impose cos(kL + α) = 0, soit α = π/2 − kL. Alors z0cos α = z0sin(kL) = a et z(x, t) = a·[sin(k(L − x))/sin(kL)]·cos(ωt).
III.2.3 L'amplitude a/sin(kL) diverge quand sin(kL) = 0 : kL = nπ, n ∈ ℕ*, soit L = n·λ/2 et fn = n·c/(2L). Commentaire : la corde résonne quand sa longueur contient un nombre entier de demi-longueurs d'onde ; les modes propres sont quantifiés. En pratique l'amplitude reste finie (amortissement, le vibreur n'est pas un point parfaitement fixe) mais devient très grande devant a : l'extrémité O est alors quasiment un nœud.
III.2.4 La corde paraît immobile si, entre deux éclairs, elle a effectué un nombre entier d'oscillations : f = n·fs, n ∈ ℕ* (la plus grande valeur fs = f donne l'image la plus nette).
III.2.5 Si f est légèrement supérieure à n·fs, entre deux éclairs la corde fait n oscillations plus une
petite fraction : on voit un mouvement ralenti dans le sens réel, de fréquence apparente
fa = f − n·fs, soit f = n·fs + fa (si f était légèrement inférieure
à n·fs, le mouvement apparent serait inversé : f = n·fs − fa).
A.N. : f = n·9,9 + 0,99 Hz. La mesure seule ne fixe pas n ; avec la valeur trouvée en III.2.7, n = 10 donne
f = 99 + 0,99 = 99,99 Hz ≈ 100 Hz, cohérent.
III.2.6 À la résonance avec un nœud en O et en A, la corde présente p fuseaux, chacun de longueur λ/2 : L = p·λ/2, d'où f = p·c/(2L) = (p/(2L))·√(T0/μ), avec T0 = m·g (poulie parfaite).
III.2.7 T0 = 0,125 × 9,8 = 1,225 N ; c = √(1,225/4,9·10⁻⁴) = √2500 = 50 m·s⁻¹. La figure 7 montre p = 4 fuseaux, donc f = 4 × 50/(2 × 1) = 100 Hz (vibreur électromagnétique alimenté par le secteur à 50 Hz : il vibre à 2 × 50 Hz). Cela confirme le résultat stroboscopique de III.2.5.
III.3. Ouverture quantique
III.3.1 Avec z = ψ(x)cos(ωt) : (1/k²)ψ'' = −ψ, soit ψ'' + k²ψ = 0. L'énergie s'écrit E = p²/(2m) + Ep, avec p = ħk : k² = 2m(E − Ep)/ħ². Donc ψ'' + (2m/ħ²)(E − Ep)ψ = 0, soit −(ħ²/2m)·ψ'' + Ep(x)·ψ = E·ψ.
III.3.2 Hors du puits Ep infinie : ψ = 0 ; par continuité ψ(0) = ψ(a) = 0. Dans le puits (Ep = 0) : ψ'' + k²ψ = 0 avec k = √(2mE)/ħ, d'où ψ = A·sin(kx) (ψ(0) = 0) et sin(ka) = 0 : k = nπ/a, n ∈ ℕ*. Donc En = n²π²ħ²/(2ma²) = n²h²/(8ma²) : l'énergie est quantifiée (comme les modes de la corde fixée aux deux bouts), et le niveau fondamental E1 = π²ħ²/(2ma²) n'est pas nul.
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