Modèle de concours : CNC 2016 Physique I (PSI) — Concours National Commun
En bref
Ce document est une ancienne épreuve écrite du concours de Concours d'accès aux écoles d'ingénieurs organisé par Concours National Commun (CNC) — CPGE (2016), publiée sur Wadifa Info en consultation et téléchargement PDF gratuits, avec une correction proposée.
- Organisme
- Concours National Commun (CNC) — CPGE
- Grade
- Concours d'accès aux écoles d'ingénieurs
- Spécialité
- Physique I
- Année
- 2016
- Pages
- 10
- Langue des questions
- français
- Correction
- correction proposée disponible sur cette page
📝 Texte des questions (extrait automatiquement des pages scannées)
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— صفحة 1 — ROYAUME DU MAROC Ministère de l’Enseignement Supérieur de la Recherche Scientifique de la Formation des Cadres Présidence du Concours National Commun Ecole Nationale Supérieure des Mines de Rabat CONCOURS NATIONAL COMMUN D’admission dans les Etablissements de Formation d'Ingénieurs et Etablissements Assimilés Session 2016 ÉPREUVE DE PHYSIQUE I Filière PSI Durée 4 heures Cette épreuve comporte 9 pages au format A4, en plus de cette page de garde L’usage de la calculatrice est autorisé page de garde نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو wadifa-info.com — صفحة 2 — Concours Commun Marocain-Session 2016- PSI e On veillera à une présentation et une rédaction claires et soignées des copies. Il convient en particulier de rappeler avec précision les |références | des questions abordées. ٠ Toutes les réponses devront être très soigneusement justifiées. e Si un résultat donné par l'énoncé est non démontré, il peut néanmoins être admis pour les questions suivantes. Les différentes parties du problème sont relativement indé- pendantes entre elles. e Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant clairement les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. Le climat est devenu une priorité pour 1 Humanité ; il fait l’objet de congrès mondiaux et le prochain, COP22, aura lieu au Maroc en novembre 2016. On se propose d'étudier quelques bilans énergétiques ayant une influence sur les para- mètres climatiques du sol terrestre. La présence de la vie sur Terre est tributaire du soleil ; le rayonnement solaire détermine la température du sol terrestre et par conséquent affecte aussi les principaux paramètres climatiques et météorologiques comme la pression et le taux d'humidité. Des équilibres complexes font intervenir en plus du soleil, l’intérieur de la terre, l'atmosphère et les océans. Données Intensité du champ de pesanteur au sol : ع = 1000.872. La constante d'attraction gravitationnelle : G = 6, 6.10-!1S1. Rayon de la terre : R; = 6, 4.106m. Rayon du soleil : Rs = 7.10$m. Distance moyenne soleil-terre : D ح 7 Masse de la terre : M; = 6.10**kg. Masse du soleil : M; = 2.10°kg Nombre d’Avogadro : Na = 6,02.10*mol 1 Constante de Boltzmann : k = 1.38.10-*J.K1. Permittivité diélectrique du vide : وع = A D’autres données sont insérées dans les parties concernées de l'énoncé. I 1ère partie : Energie transmise par rayonnement du soleil vers la terre 1.1. Propagation du rayonnement solaire. Le soleil émet de façon isotrope du rayonnement électromagnétique à travers le vide interstellaire et la Terre en reçoit une partie. 1.1.1. Donner les expressions de la densité volumique d'énergie électromagnétique tem( M, t) et du vecteur de Poynting 77 (M,t), en fonction du champ électrique (M,t) et du champ magnétique B (M,t). 1.1.2. Donner l'expression de la puissance électromagnétique rayonnée à travers une surface fermée S. Epreuve de Physique I 1/9 Tournez la page SVP نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو wadifa-info.com — صفحة 3 — Concours Commun Marocain-Session 2016- PSI 1.1.3. Donner l'expression de l'énergie électromagnétique Uencontenue dans un vo- lume V délimité par la surface 5 1.1.4. Établir l'expression globale du bilan d'énergie électromagnétique. 1.1.5. Que devient cette expression du bilan d'énergie électromagnétique en régime permanent. 1.1.6. La puissance surfacique rayonnée par le soleil est p = o.T$, où 0 est appelée constante de Stefan, à = 5,67.10 8 SI, et T, est la température de surface du soleil. Déterminer l'expression de la puissance électromagnétique totale P, rayonnée par la surface du soleil. . 1.1.7. Justifier la propagation rectiligne des rayonnements électromagnétiques solaires vers la terre. L1.8. Soit وو la puissance surfacique moyenne reçue orthogonalement par mètre carré à la limite supérieure de l'atmosphère terrestre : 7 = Ps- 72 avec Un vecteur unitaire de même sens que . Établir la relation donnant l'expression de ps en fonction de P; et des données utiles. 1.1.9. Sachant que ps = 1,36kW, donner une estimation de la température de surface du soleil T,. 1.2. Production de l'énergie du soleil . L'énergie est produite à l’intérieur du soleil grâce à la fusion nucléaire entre protons.Pour modéliser cette interaction, on considère un système de deux protons, supposé isolé, et qui se dirigent l’un vers l'autre. Dans l’état initial ils sont très éloignés, l'énergie poten- tielle d'interaction est nulle et ont une même énergie cinétique e, ; égale à €, = 5k.T, k étant la constante de Boltzmann et où T = 1,5.10/K est la température à l’intérieur du soleil. La masse d’un proton est my = 1,67.10-7”kg et sa charge e = 1,6.10 19 1.2.1. On note par M, et M, les positions des deux protons. Montrer que l'étude des mouvements peut se ramener à celle d’un mobile fictif M de masse .يز Ce mobile est repéré par GM dans le référentiel du centre de masse R*(GXYZ), et 6 est le barycentre. 1.2.2. Déterminer l'expression de l'énergie potentielle e,(r) et celle de l'énergie méca- nique رومع pour le mobile M. 1.2.3. Pour que la fusion puisse avoir lieu, les deux particules doivent s'approcher à une distance minimale d'approche r9 = 1015171 (rayon estimé d’un proton). Don- ner l'expression de l'énergie mécanique correspondante €,,,0- En déduire l’éner- gie cinétique initiale et la température correspondante Ty. 1.2.4. Discussion graphique : tracer le graphe ey(r), et les deux états d'énergie méca- nique : €,0 €t زيمت (état initial). Faire une discussion générale qualitative selon l'énergie mécanique €. Epreuve de Physique I 2/9 Tournez la page SVP نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو wadifa-info.com — صفحة 4 — Concours Commun Marocain-Session 2016- PSI 12.5. Comment expliquer la possibilité de fusion nucléaire dans le cas d'énergie méca- nique €, = Emji ? 1.2.6. L'hydrogène !H constitue 10% de la masse du soleil. La réaction de fusion nu- cléaire de quatre noyaux d'hydrogène ! H dégage une énergie de 25MeV. Sachant que la puissance totale rayonnée par le soleil est P, = 4.10°°W, déterminer la du- rée (en années) pendant laquelle le soleil rayonnerait de l'énergie. L3. Influence du rayonnement solaire sur la température du sol terrestre. La température en un point du globe terrestre croît avec la puissance moyenne reçue par unité de surface du sol. Cette température change dans l’espace et dans le temps à cause des deux mouvements de la terre : rotation autour d'elle même en رح = 24h et révolution autour du soleil avec la période T, = lan. 1.3.1. Variation de la température avec le lieu sur la Terre. Dans cette partie, la terre est assimilée à une sphère de centre O', de rayon R;. Un point M sur la surface du globe terrestre est repéré par la donnée de sa latitude À, avec À = (O'E,O'M) où E représente le point d’intersection du cercle passant par N et M avec le plan équatorial : voir figure 1. 1.3.1.1. Justifier qu’on puisse considérer les rayons solaires, arrivant sur la terre, comme parallèles entre eux. Cette supposition sera maintenue dans la suite. Figure 1 1.3.1.2. A un instant donné, on considère trois faisceaux identiques, parallèles au plan équatorial et qui arrivent aux points E, M et N du sol. Comparer, en le justifiant, les températures Tr, Tm et Ty aux trois points précédents. 1.3.2. Influence du mouvement orbital de la Terre sur la température du globe. Epreuve de Physique I 3/9 Tournez la page SVP نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو wadifa-info.com — صفحة 5 — Concours Commun Marocain-Session 2016- PSI La terre, de masse M,, est soumise à la force gravitationnelle exercée par le soleil de masse M,. Le mouvement du barycentre 07 de la terre, supposée ponctuelle, est décrit dans le référentiel de Copernic R(OXYZ) supposé galiléen, O étant le centre du soleil. 1.3.2.1. Donner l'expression de la force gravitationnelle du soleil sur la terre. 1.3.2.2. Montrer que le mouvement de la Terre est plan. On pourra donc le repérer dans le plan polaire XOY par ses coordonnées polaires 5 = OO' et 6. La tra- jectoire de la Terre est donnée par la relation entre r et 6 : r(0) = TRI où ro est une constante et e = 0, 017 est l’excentricité. 1.3.2.3. Donner les expressions des distances minimale يو et maximale عو en fonction de ro et e. 1.3.2.4. En déduire la variation relative de la distance soleil-terre : Ar max — 7 min min Selon un modèle simplifié, on suppose que la température d’une planète (ponctuelle) dépend de sa distance r au soleil selon la relation : T = 7 : 1.3.2.5. Déterminer l'expression de la variation relative de la température : AT "م Tmax — Trin Trin 0 Tnin ١ 1.3.2.6. Dans votre région, on suppose que ,نم1 = 273K. Quelle est la température maximale Tax prévue par ce modèle ? Commenter. 1.3.3. Influence de l’inclinaison de l'axe de rotation de la terre sur la température L'axe SN de rotation de la terre autour d'elle-même est incliné d’un angle م = 23,5° par rapport à l'axe 0/7 parallèle à l'axe OZ : voir figures 2 et 3. On considère un point M du globe terrestre repéré par sa latitude À, et pour les applications numériques on prendra A = 309. Epreuve de Physique I 4/9 Tournez la page SVP نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو wadifa-info.com — صفحة 6 — Concours Commun Marocain-Session 2016- PSI Les températures changent lors du mouvement de la terre autour du soleil, donc en fonc- tion des saisons. Pour l'hémisphère nord, l'hiver commence lorsque la distance terre-soleil est minimale et la terre est en 01 et le printemps commence après une rotation A0 = 5. 1.3.3.1. Représenter la trajectoire du centre de la terre et placer les débuts des quatre saisons pour l'hémisphère nord. 13.32. Exprimer le moment cinétique de la terre 7 o et en déduire la loi des aires. 1.3.3.3. Compte tenu de la faible excentricité de la terre : e; = 0,017, et à l’aide d’une approximation appropriée, exprimer la durée, en ans, de l'hiver. 1.3.3.4. Exprimer l'écart relatif maximal entre les flux surfaciques (maximal et mini- x Pmax — Pmin Pmin Le schéma de la figure 3 ci-dessous représente deux situations de la terre à deux dates notées ا (à droite) et ty (à gauche) et pour lesquelles un point donné M de la terre, se retrouve respectivement aux positions M(t;) = My et M(t) = M9. mal) au sol : ep (À) . Faire l'application numérique. 1 ١ 1 ١ 1 ١ 1 1 وس ل لس ل Figure 3 1.3.3.5. A la date را sur la figure 3, les rayons solaires sont orthogonaux pour le point © du globe terrestre. Quelle est la latitude de ce point et quelle est la saison en ce point ? 1.3.3.6. Exprimer en fonction de م la durée minimale درج entre les instants ft; ا 1.3.3.7. Soit Te la durée qui sépare le lever et le coucher du soleil pendant une jour- née, en un point donné du sol. Cette durée est-elle constante sur toute l’année en un point donné de la Terre ? Justifier. 1.3.3.8. Recopier le tableau ci-dessous sur votre copie et remplir ses cases par les réponses correctes. Dans la dernière ligne on comparera la durée du jour (apparition théorique du soleil) T;. à la durée moyenne du jour prise égale à TGm = 12h. Epreuve de Physique I 5/9 Tournez la page SVP نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو wadifa-info.com — صفحة 7 — Concours Commun Marocain-Session 2016- PSI Position considérée | M, | M» | M; | S1 Saison en ce point ١ | Comparaison de قن Tim | | 1.3.3.9. À l'instant + = 5 + = , précisez la saison qui règne à l'équateur. 11 2°"° partie : Chaleur issue de l’intérieur de la terre 11.1. Contribution des roches radioactives On se propose d'évaluer la puissance calorifique volumique م dégagée dans les roches par radioactivité. La croute terrestre est constituée principalement de granite de masse volumique pc = 2,8.10*kg.m”°. Les principaux éléments radioactifs à prendre en compte sont l'uranium, le thorium et le potassium de masses molaires respectives en g.mol”* : 238, 232 et 40. On donne dans le tableau ci-dessous la période de désintégration T, le pourcentage massique xx de l'élément X, uniformément réparti dans la croute, et l'énergie € dégagée par la désintégration d’un noyau de l'élément. Le nombre de désintégrations par unité de temps d’une population n de noyaux radioactifs de période T est donné par la relation : dn(t) 0,69 | Élément X الل Th OR | Tx(milliards années) › = 4,5 | n = 13,9 13 = 1,3 | exenJ/noyau | و | -7,7.10= و =4,6.10-" | es = 14.10 5 11.1.1. Exprimer (littéralement) les nombres de noyaux par unité de masse de granite : Nx, pour les trois éléments. 11.1.2. Exprimer la puissance thermique dégagée par unité de masse de granite. 11.1.3. Calculer la puissance volumique م dégagée par radioactivité. 11.2. Conduction de la chaleur vers le sol La croute continentale terrestre, de symétrie sphérique, a une épaisseur h = 35km et une conductivité thermique À = 23147.11 1.16 1. On suppose que les roches créent la puissance volumique p. 11.2.1. Donner la loi de Fourier pour la conduction thermique. 11.2.2. On choisit un axe OZ d’origine au sol et dirigé vers l’intérieur de la terre. En considérant une tranche comprise entre z et z + dz, établir le bilan local de la chaleur en régime permanent. 11.2.3. Déterminer l'expression de la température T(z) connaissant les températures 1 et T, respectivement au sol et à la profondeur h. 11.2.4. Déterminer l'expression de la puissance surfacique totale issue de l'intérieur de la terre, q;. Epreuve de Physique I 6/9 Tournez la page SVP نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو wadifa-info.com — صفحة 8 — Concours Commun Marocain-Session 2016- PSI 11.2.5. Donner en pourcentage, la contribution de la radioactivité à la puissance sur- facique totale issue de l’intérieure de la terre. À quelle source attribue -t-on la puissance surfacique restante ? IL3. Sur le sol terrestre, la puissance surfacique dûe au rayonnement cosmique égale à Comparer les trois contributions : رزو Pc et وو du rayonnement solaire, et commenter. 111 3 ème partie : L'atmosphère et les océans 111.1. Quelques ordres de grandeur 111.1.1. Rappeler la relation fondamentale de la statique des fluides. 111.1.2. Au niveau du sol la pression et la température moyennes sont respectivement Pa = 1bar = 1,03.10°Pa et و1 = 300K. En supposant que la masse volumique de l'atmosphère م est constante, donnez des ordres de grandeurs de la hauteur Hp; et de sa masse M,; de l'atmosphère. IIL1.3. Les océans recouvrent 70% de la surface du globe terrestre et ont une profondeur moyenne de 3800 m et une masse volumique de وم = 1030kg.m-*. Donnez une estimation de la masse des océans Mpe- 111.1.4. Compte tenu de la comparaison entre la masse des océans et celle de l’atmo- sphère, estimer lequel des deux est le plus sensible aux perturbations climatiques dues à l’activité humaine. 111.2. Mouvements atmosphériques et mouvements océaniques On rappelle que la Terre tourne avec le vecteur 10 - 77 sn. autour de son axe sud- nord noté SN, par rapport au référentiel géocentrique et on a : Q = 7,27.10 5700.5 1 Dans la suite, on s'intéresse aux mouvements par rapport au référentiel terrestre de fluides comme les vents et les océans. On notera le volume par T et la masse volu- mique par p. 111.2.1. Qu’appelle-t-on particule mésoscopique en mécanique des fluides ? 111.2.2. Dans le cadre général de la description eulérienne, et en notant 7 (x y,z,t) le champ de vitesses dans un fluide, établir l'expression de la dérivée particulaire 07 ; ; rien : TT Donner l'expression de l'accélération convective. 111.2.3. Les mouvements sont étudiés dans le référentiel R lié à la terre durant plusieurs heures, ce référentiel peut-il être considéré comme galiléen ? Justifier. dP (M) 11.2.4. Déterminer la force volumique de pesanteur 7 = dr(M) 111.2.5. Donner l'expression de la force volumique de pression 7 . On pourra raisonner sur un volume élémentaire 4+ = dx.dydz. Epreuve de Physique I 7/9 Tournez la page SVP نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو wadifa-info.com — صفحة 9 — Concours Commun Marocain-Session 2016- PSI IIL.2.6. La rotation de la terre fait intervenir l'accélération de Coriolis : Ti =2 0 AU. Donner l'expression de la force volumique de Coriolis. 111.2.7. Doit-on ajouter la force volumique d'inertie d'entrainement ? Expliquer. IIL.2.8. Écrire alors l'équation d’Euler, principe fondamental appliqué à la particule. 111.2.9. Les mouvements envisagés mettent en jeu des étendues spatiales de dimension L = 1000km et des vitesses de l’ordre v = 1m.s”!. Effectuer une comparaison d'ordres de grandeurs entre l'accélération convective et celle de Coriolis. Com- menter. Pour étudier un courant marin, on pose à la surface de l'océan une bouée de petites di- mensions devant celle de l'océan et qui dérive avec le courant marin que l’on veut étudier. A l'aide de satellites on suit la position de cette bouée par rapport au référentiel Terrestre R(OXYZ). 111.2.10. Le mouvement de l’eau océanique s'effectue dans le plan horizontal XOY, et on suppose que la pression ne dépend que de 2. Projeter l'équation d’Euler sur la base re 70 1177: 111.2.11. Déterminer les composantes horizontales de la vitesse vx (t) et vy(t), sachant que II[.2.12. En déduire les équations paramétriques x(t) et y(t) donnant la position de la bouée en fonction du temps. On prendra pour origine des coordonnées la posi- tion du détecteur à l'instant initial. Dessiner l'allure de la trajectoire de la bouée. 111.3. Atmosphère humide Dans cette partie on tient compte de la présence, dans l'atmosphère, d’eau sous forme de gaz (parfait) éventuellement saturant. À une altitude z, repérée à partir du sol, on notera respectivement T(z) et P(z) : la température et la pression ; au niveau du sol z = 0, on prendra : Py = 1bar = 1, 03.10°Pa et T = Ty = 300K. 111.3.1. Donner la relation fondamentale de la statique des fluides dans le référentiel terrestre supposé galiléen. IIL.3.2. Pour les faibles altitudes, on peut prendre le modèle d’atmosphère isotherme à T = Ty =cte. 2 Montrer que la pression est donnée par la relation : P(z) = 70.6 17 0017 - Ma : A l’aide d’un développement à l’ordre 1, donner l'expression de la pression en fonction de l'altitude. 111.3.3. On considère une mole d’eau sous forme de vapeur sèche à la pression Peo et de volume vep. À température constante T = Ty , lorsque la pression augmente on obtient l’eau liquide. Tracer dans le diagramme de Clapeyron (P,v) les variations de la pression en fonction du volume : isotherme d’Andrews. On précisera les différents états phy- siques observés. Qu'appelle-t-on pression de vapeur saturante P;(T) ? On notera P,,0 sa valeur pour T = Ty. Epreuve de Physique I 8/9 Tournez la page SVP نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو wadifa-info.com — صفحة 10 — Concours Commun Marocain-Session 2016- PSI IIL.3.4. Les volumes molaires gazeux et liquides sont notés respectivement : v, et ٠ Lors de l'équilibre liquide-gaz la chaleur latente de vaporisation est donnée par 21 En supposant la chaleur latente Ly indépendante de la température, montrer que la pression de vapeur saturante varie avec la température selon la loi : Ln = k.| — — — ١ ,où k est une constante à déterminer. ( Ps0(To) 10 T la relation de Clapeyron : Ly = (vg — 71). Pe(T) où P,(T) représente la pression partielle de l’eau présente dans l'air. Au niveau du sol h(Tp) = 0,8. On modélise les mouvements naturels de l'atmosphère en considérant une co- lonne d'air humide subissant une ascension verticale lente dans l'atmosphère en équilibre par ailleurs. An niveau du sol la colonne d’air humide est à la pression IIL.3.5. On appelle degré hygrométrique h de l'air humide la quantité : h(T) = Py et à la température Ty. Le coefficient y = = est constant. On prend les hypothèses suivantes : — La quantité d’eau contenue dans l'air est très faible. — Les transformations de l'air ascendant sont isentropiques. - Les altitudes atteintes restent faibles devant H. 111.3.5.1. Donner l'expression littérale de la température T de l'air ascendant en fonc- tion de l'altitude z. 1IL.3.5.2. Tant qu’il n’y a pas condensation, la pression partielle de l’eau dans la co- lonne ascendante est notée P.(T). Donner l'expression de P,(T) et den ( en fonction de z. Ps(T) Pso(To) 111.3.5.4. Déterminer à quelle altitude Zcond Se produit la condensation. Quel phéno- mène météorologique apparait alors ? 111.3.5.3. Donner l'expression de Ln ( ) en fonction de z. Epreuve de Physique I 9/9 Fin نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو wadifa-info.com
✅ Correction proposée
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Ce modèle est l'épreuve de Physique I du Concours National Commun (CNC), filière PSI, session 2016, organisé par la Présidence du CNC (École Nationale Supérieure des Mines de Rabat). Durée : 4 heures, calculatrice autorisée, 9 pages. Thème : bilans énergétiques et climat (rayonnement solaire, fusion, saisons, chaleur interne de la Terre, atmosphère et océans). Voici une correction proposée, question par question, avec les applications numériques faites à partir des données de l'énoncé.
💡 Méthode : les trois parties sont indépendantes. Les questions de cours (Poynting, Fourier, statique des fluides, Euler, Clapeyron) rapportent vite : traitez-les en premier, puis revenez aux applications numériques. Données utiles : 1/(4πε0) = 9.109 SI ; R = k.NA ≈ 8,31 J.mol-1.K-1 ; 1 an ≈ 3,16.107 s.
Partie I — Énergie transmise par rayonnement du Soleil vers la Terre
I.1. Propagation du rayonnement solaire
I.1.1. uem(M,t) = ε0E²/2 + B²/(2μ0) ; vecteur de Poynting π(M,t) = E ∧ B / μ0.
I.1.2. Puissance rayonnée à travers S (orientée vers l'extérieur) : P = ∯S π·dS.
I.1.3. Uem = ∭V uem dτ.
I.1.4. La variation d'énergie dans V est due au flux sortant et à la puissance cédée aux charges : dUem/dt = − ∯S π·dS − ∭V j·E dτ, soit localement ∂uem/∂t + div π = − j·E.
I.1.5. En régime permanent ∂uem/∂t = 0 : ∯ π·dS = − ∭ j·E dτ. Dans le vide (j = 0) : div π = 0, le flux de π à travers toute surface fermée est nul : la puissance qui entre est égale à celle qui sort (conservation de la puissance).
I.1.6. Ps = φ × surface du Soleil = 4πRs² σ Ts4.
I.1.7. Le milieu traversé (vide interplanétaire) est homogène et isotrope, et les dimensions en jeu sont immenses devant la longueur d'onde (pas de diffraction notable) : l'approximation de l'optique géométrique s'applique, la lumière se propage en ligne droite.
I.1.8. Émission isotrope, régime permanent, vide sans absorption : la puissance Ps traverse intégralement la sphère de rayon D centrée sur le Soleil, et π y est uniforme : Ps = 4πD²φs, d'où φs = Ps/(4πD²).
I.1.9. 4πRs²σTs4 = 4πD²φs ⇒ Ts = (φsD²/(σRs²))1/4
(φs = 1,36 kW.m-2, « par m² » est sous-entendu dans l'énoncé).
A.N. : D/Rs = 214,3 ; Ts = (1360 × 4,59.104 / 5,67.10-8)1/4 ≈ 5,8.103 K (≈ 5760 K).
Contrôle : Ps = 4πD²φs ≈ 3,8.1026 W, cohérent avec la valeur 4.1026 W donnée en I.2.6.
I.2. Production de l'énergie du Soleil
I.2.1. Système isolé ⇒ le centre de masse G a un mouvement rectiligne uniforme : ℜ*(GXYZ) est galiléen. Avec r = M1M2, on a GM1 = −(m2/(m1+m2))r et GM2 = (m1/(m1+m2))r. Le PFD appliqué à M2 donne m2 d²GM2/dt² = F1→2, soit μ d²r/dt² = F1→2 avec μ = m1m2/(m1+m2) = mp/2. On étudie donc le mobile fictif M (masse μ) tel que GM = r, soumis à la force F1→2.
I.2.2. Force coulombienne répulsive, énergie potentielle nulle à l'infini : εp(r) = e²/(4πε0r). εm = ½μv² + e²/(4πε0r) = constante (force conservative, système isolé). Initialement (r → ∞, protons se dirigeant l'un vers l'autre, G fixe) l'énergie cinétique dans ℜ* est la somme des deux énergies cinétiques : εm,i = 2εc,i = 3kT = 3 × 1,38.10-23 × 1,5.107 ≈ 6,2.10-16 J (≈ 3,9 keV).
I.2.3. À la distance minimale d'approche la vitesse relative est nulle : εm,0 = εp(r0) = e²/(4πε0r0) = 9.109 × (1,6.10-19)² / 10-15 ≈ 2,3.10-13 J (≈ 1,44 MeV). L'énergie cinétique initiale totale vaut εm,0 (εp = 0 à l'infini), soit εm,0/2 ≈ 1,15.10-13 J par proton. Température correspondante : 2 × (3/2)kT0 = εm,0 ⇒ T0 = εm,0/(3k) ≈ 5,6.109 K, soit environ 370 fois la température réelle du cœur solaire.
I.2.4. εp(r) est une branche d'hyperbole décroissante (→ +∞ quand r → 0, → 0 quand r → ∞). On trace deux horizontales : εm,0 ≈ 2,3.10-13 J et εm,i ≈ 6,2.10-16 J, bien plus basse (rapport ≈ 370). Discussion : εm > 0 toujours ⇒ état de diffusion (non lié) ; le mobile s'approche jusqu'à rmin tel que εp(rmin) = εm, puis repart à l'infini. Si εm ≥ εm,0 : rmin ≤ r0, la fusion est possible classiquement. Si εm = εm,i : rmin = e²/(4πε0εm,i) ≈ 3,7.10-13 m ≫ r0 : la barrière coulombienne interdit classiquement la fusion.
I.2.5. Deux raisons : (1) l'effet tunnel (mécanique quantique) : les protons ont une probabilité non nulle de traverser la barrière coulombienne sans avoir l'énergie εm,0 ; (2) 3kT/2 n'est qu'une énergie moyenne : la queue de la distribution de Maxwell-Boltzmann contient des protons beaucoup plus énergétiques. Le nombre énorme de protons rend ces événements rares suffisants.
I.2.6. Masse d'hydrogène : 0,1 × 2.1030 = 2.1029 kg ; nombre de noyaux NH = 2.1029/1,67.10-27 ≈ 1,2.1056. Nombre de réactions NH/4 ≈ 3,0.1055, chacune libérant 25 MeV = 4,0.10-12 J ⇒ E ≈ 1,2.1044 J. Durée : Δt = E/Ps = 1,2.1044/4.1026 ≈ 3,0.1017 s ≈ 9,5.109 ans (une dizaine de milliards d'années).
I.3. Influence du rayonnement solaire sur la température du sol
I.3.1.1. D/Rt ≈ 2,3.104 : les rayons issus d'un même point du Soleil et atteignant la Terre forment un angle au plus 2Rt/D ≈ 8,5.10-5 rad ; le Soleil lui-même est vu sous 2Rs/D ≈ 9.10-3 rad (≈ 0,5°). Les rayons sont donc pratiquement parallèles.
I.3.1.2. Un faisceau de section droite Σ, de puissance φΣ, éclaire au sol une surface Σ/cos θ, θ étant l'angle entre les rayons et la normale locale. La puissance surfacique reçue est donc φ cos θ. En E : θ = 0 (φE = φ) ; en M : θ = λ (φM = φ cos λ) ; en N : θ = 90° (incidence rasante, φN = 0). D'où TE > TM > TN.
I.3.2.1. F = − G MsMt/r² ur, avec ur = OO'/OO'.
I.3.2.2. Force centrale : le moment en O est nul, donc σO = OO' ∧ Mtv est constant. OO' et v restent perpendiculaires à ce vecteur fixe : le mouvement est plan (plan passant par O, orthogonal à σO).
I.3.2.3. r est minimal pour cos θ = 1 et maximal pour cos θ = −1 : rmin = r0/(1+e) ; rmax = r0/(1−e).
I.3.2.4. εr = rmax/rmin − 1 = (1+e)/(1−e) − 1 = 2e/(1−e) = 0,034/0,983 ≈ 3,5 %.
I.3.2.5. T est maximale pour rmin, minimale pour rmax : εT = Tmax/Tmin − 1 = √(rmax/rmin) − 1 = √((1+e)/(1−e)) − 1 ≈ e ≈ 1,7 %.
I.3.2.6. Tmax = 273 × 1,0171 ≈ 277,7 K (écart ≈ 4,7 K). Commentaire : la variation de distance Terre-Soleil ne produit qu'un écart de quelques kelvins, très inférieur aux écarts saisonniers observés ; de plus la Terre est au plus près du Soleil en hiver boréal. Ce n'est donc pas l'excentricité qui explique les saisons, mais l'inclinaison de l'axe de rotation (partie I.3.3).
I.3.3.1. La trajectoire est une ellipse de faible excentricité dont le Soleil O occupe un foyer. En partant du périhélie O'1 (θ = 0, distance minimale) : début de l'hiver en θ = 0, du printemps en θ = π/2, de l'été en θ = π (aphélie, distance maximale), de l'automne en θ = 3π/2, le parcours se faisant dans le sens de θ croissant.
I.3.3.2. En polaires : σO = rur ∧ Mt(ṙur + rθ̇uθ) = Mtr²θ̇ uz = constante. L'aire balayée par le rayon vecteur pendant dt est dA = ½r²dθ, d'où dA/dt = ½r²θ̇ = σO/(2Mt) = constante : loi des aires (2e loi de Kepler).
I.3.3.3. La vitesse aréolaire étant constante, la durée de l'hiver est τa × (aire balayée de θ = 0 à π/2)/(aire totale). Au premier ordre en e : r ≈ r0(1 − e cos θ), r² ≈ r0²(1 − 2e cos θ). Aire de l'hiver : ½∫0π/2 r²dθ ≈ ½r0²(π/2 − 2e) ; aire totale ≈ πr0² (même ordre). D'où τhiver ≈ τa(1/4 − e/π) = 0,2446 an ≈ 89,3 jours (au lieu de 91,3 jours pour un quart d'année) : l'hiver boréal est la saison la plus courte car la Terre y va le plus vite.
I.3.3.4. Réponse probable (l'énoncé ne précise pas l'origine de l'écart ; dans cette partie il s'agit de l'inclinaison de l'axe).
À midi, au point de latitude λ, les rayons font avec la verticale l'angle |λ − δ|, δ étant la déclinaison du Soleil, qui varie entre −α et +α.
Flux maximal au solstice d'été : φmax = φs cos(λ − α) ; minimal au solstice d'hiver : φmin = φs cos(λ + α).
εφ(λ) = cos(λ − α)/cos(λ + α) − 1. A.N. (λ = 30°, α = 23,5°) : cos 6,5° / cos 53,5° = 0,9936/0,5948 ≈ 1,67 ⇒ εφ ≈ 0,67 (67 %).
Si l'on combine avec la variation de distance (été boréal à l'aphélie), on multiplie par ((1−e)/(1+e))² ≈ 0,934 : εφ ≈ 0,56.
Dans les deux cas l'effet d'inclinaison (≈ 67 %) écrase l'effet d'excentricité (≈ 7 % sur le flux).
I.3.3.5. À t1, le rayon solaire passant par le centre O'1 arrive normalement en C1 ; l'axe S1N1 étant incliné de α en s'éloignant du Soleil, C1 se trouve sous l'équateur à la latitude −23,5° (tropique du Capricorne). Le Soleil y est au zénith à midi : c'est le début de l'été austral (solstice de décembre) ; simultanément c'est l'hiver dans l'hémisphère nord.
I.3.3.6. t1 (périhélie, θ = 0) et t2 (position diamétralement opposée, θ = π, aphélie) : le grand axe partage l'ellipse en deux aires égales, donc d'après la loi des aires τ12 = τa/2 (six mois).
I.3.3.7. Non. Le point décrit en 24 h son parallèle ; la fraction de ce parallèle située dans l'hémisphère éclairé dépend de la déclinaison du Soleil, qui varie au cours de l'année à cause de l'inclinaison α de l'axe. On a cos H0 = −tan λ tan δ et τlc = (24 h/π) H0. À λ = 30° : τlc ≈ 13,9 h au solstice d'été et ≈ 10,1 h au solstice d'hiver. Seule exception : à l'équateur (λ = 0), τlc = 12 h toute l'année ; aux équinoxes (δ = 0), τlc = 12 h partout.
I.3.3.8. À t1 l'hémisphère nord est penché à l'opposé du Soleil (hiver boréal) ; à t2 il est penché vers lui (été boréal).
| Position | M1 | M2 | M'1 | S1 |
|---|---|---|---|---|
| Saison | hiver | été | hiver | été (austral) |
| τlc / τjm | τlc < 12 h | τlc > 12 h | τlc < 12 h | τlc = 24 h > 12 h (jour polaire) |
M1 et M'1 sont le même point (latitude 30° N) à deux instants de la même journée : même saison, même durée du jour. Le pôle Sud S1 reste entièrement dans la zone éclairée pendant la rotation diurne.
I.3.3.9. Réponse probable. Un quart de période après le solstice d'hiver, la Terre est à l'équinoxe : δ ≈ 0, les rayons sont perpendiculaires au sol à midi à l'équateur et le jour dure 12 h partout. C'est le printemps (équinoxe de mars) pour l'hémisphère nord ; d'après I.3.3.3 l'équinoxe a lieu environ 2 jours avant t1 + τa/4, le printemps vient donc de commencer. À l'équateur, c'est l'une des deux périodes de l'année où le Soleil passe au zénith : l'insolation y est maximale.
Partie II — Chaleur issue de l'intérieur de la Terre
II.1. Contribution des roches radioactives
II.1.1. Dans 1 kg de granite, la masse de l'élément X est xX/100 (xX en %), d'où NX = (xX/100) NA/MX (MX en kg.mol-1). A.N. : NU ≈ 1,19.1019 kg-1 ; NTh ≈ 5,19.1019 kg-1 ; NK ≈ 5,12.1021 kg-1.
II.1.2. Chaque désintégration libère εX ; le nombre de désintégrations par seconde est 0,69 NX/τX. Puissance par unité de masse : Pm = ΣX 0,69 NXεX/τX (τX en secondes).
II.1.3. Avec 1 milliard d'années = 3,16.1016 s : U : 4,4.10-10 W.kg-1 ; Th : 3,8.10-10 W.kg-1 ; K : 1,2.10-10 W.kg-1 ; total Pm ≈ 9,4.10-10 W.kg-1. p = ρGPm ≈ 2,6.10-6 W.m-3.
II.2. Conduction de la chaleur vers le sol
II.2.1. Loi de Fourier : jth = − λ grad T.
II.2.2. h ≪ Rt : on traite la croûte localement comme une couche plane, T = T(z). Bilan pour une tranche d'aire S entre z et z+dz en régime permanent : j(z)S − j(z+dz)S + pS dz = 0 ⇒ dj/dz = p ⇒ λ d²T/dz² + p = 0.
II.2.3. T(z) = −pz²/(2λ) + Az + B ; T(0) = T1, T(h) = T2 ⇒ T(z) = T1 + (T2 − T1) z/h + p z(h − z)/(2λ).
II.2.4. L'axe Oz étant dirigé vers l'intérieur, le flux qui sort vers le haut au sol est φi = −jz(0) = λ (dT/dz)(0) : φi = λ(T2 − T1)/h + ph/2. On peut l'écrire φi = φ(h) + ph, où φ(h) = λ(T2 − T1)/h − ph/2 est le flux venant de sous la croûte : en régime permanent toute la puissance produite dans la croûte (ph par m²) sort par le sol.
II.2.5. Réponse probable (T1 et T2 ne sont pas donnés numériquement). Contribution de la radioactivité : ph/φi, avec ph = 2,6.10-6 × 3,5.104 ≈ 0,09 W.m-2. Cette valeur est du même ordre que le flux géothermique moyen mesuré (quelques 10-2 W.m-2, de l'ordre de 0,06 à 0,09 W.m-2) : la radioactivité de la croûte en est la contribution principale. Le modèle la surestime (le granite riche en U, Th, K n'occupe pas toute l'épaisseur de 35 km). Le reste est attribué à la chaleur interne primitive (chaleur d'accrétion et de différenciation du noyau, cristallisation de la graine) et à la radioactivité du manteau, transportées par convection dans le manteau puis par conduction à travers la croûte.
II.3. φs ≈ 1,4.103 W.m-2 (≈ 340 W.m-2 en moyenne sur toute la surface terrestre, car la section πRt² intercepte le flux réparti sur 4πRt²) ; φi ≈ 10-1 W.m-2 ; φc = 10-8 W.m-2. Donc φs ≫ φi ≫ φc (rapports ≈ 104 et 107) : le climat est piloté presque exclusivement par le rayonnement solaire ; la chaleur interne ne joue que sur la géologie (volcanisme, tectonique) et le rayonnement cosmique est négligeable.
Partie III — L'atmosphère et les océans
III.1. Ordres de grandeur
III.1.1. grad P = ρg, soit dP/dz = −ρg avec Oz vertical ascendant.
III.1.2. ρ constant ⇒ P = P0 − ρgz, nulle en z = Hat = P0/(ρg). Gaz parfait (air, Ma = 29 g.mol-1) : ρ = P0Ma/(RT0) ≈ 1,2 kg.m-3, d'où Hat = RT0/(Mag) ≈ 8,6 km. La pression au sol est le poids de la colonne d'air par unité de surface : Mat = 4πRt²P0/g = 5,15.1014 × 1,03.105/10 ≈ 5,3.1018 kg.
III.1.3. Moc = 0,7 × 4πRt² × 3800 × 1030 ≈ 1,4.1021 kg.
III.1.4. Moc/Mat ≈ 270 (et la capacité thermique massique de l'eau est environ 4 fois celle de l'air, soit un facteur ≈ 103 sur les capacités thermiques). Pour une même énergie reçue, l'atmosphère varie beaucoup plus vite en température : l'atmosphère est la plus sensible aux perturbations d'origine humaine ; les océans, par leur grande inertie thermique, amortissent et retardent les effets.
III.2. Mouvements atmosphériques et océaniques
III.2.1. Particule mésoscopique : volume de fluide petit devant l'échelle de variation des grandeurs macroscopiques (on peut y considérer v, P, ρ, T uniformes), mais grand devant les distances intermoléculaires et le libre parcours moyen (il contient un très grand nombre de molécules, ce qui permet une description continue).
III.2.2. En suivant la particule : dv = (∂v/∂t)dt + (∂v/∂x)dx + (∂v/∂y)dy + (∂v/∂z)dz avec dx = vxdt, etc. : Dv/Dt = ∂v/∂t + (v·grad)v. Accélération convective : (v·grad)v = grad(v²/2) + (rot v) ∧ v.
III.2.3. Non. ℜ tourne à Ω par rapport au référentiel géocentrique ; 1/Ω ≈ 1,4.104 s ≈ 3,8 h. Sur plusieurs heures la rotation n'est plus négligeable : les forces d'inertie (Coriolis notamment) doivent être prises en compte.
III.2.4. Le poids d'un volume dτ, défini dans ℜ, regroupe l'attraction gravitationnelle et la force d'inertie d'entraînement (axifuge) : dP = ρ dτ g, d'où p = ρg.
III.2.5. Sur dτ = dx dy dz, selon x : P(x)dy dz − P(x+dx)dy dz = −(∂P/∂x)dτ ; de même selon y et z. D'où fp = − grad P.
III.2.6. Force d'inertie de Coriolis volumique : fic = −ρaic = −2ρ Ω ∧ v.
III.2.7. Non : la force d'inertie d'entraînement (ℜ en rotation uniforme autour d'un axe fixe du référentiel géocentrique) est déjà incluse dans le poids ρg. (Les termes de marée dus au caractère non galiléen du référentiel géocentrique sont négligés.)
III.2.8. ρ Dv/Dt = ρg − grad P − 2ρ Ω ∧ v.
III.2.9. |(v·grad)v| ~ v²/L = 1/106 = 10-6 m.s-2 ; |2Ω∧v| ~ 2Ωv ≈ 1,5.10-4 m.s-2. Rapport (nombre de Rossby) v/(2ΩL) ≈ 7.10-3 ≪ 1 : l'accélération convective est négligeable, la force de Coriolis gouverne ces grands mouvements (vents, courants).
III.2.10. Base locale : X vers l'Est, Y vers le Nord, Z vertical ascendant, latitude λ : Ω = Ω cos λ uY + Ω sin λ uZ.
Avec v = vXuX + vYuY, P = P(z) et l'accélération convective négligée (III.2.9) :
X : dvX/dt = 2Ω sin λ · vY
Y : dvY/dt = −2Ω sin λ · vX
Z : 0 = −ρg − dP/dz + 2ρΩ cos λ · vX ≈ −ρg − dP/dz (2Ωv ≪ g : statique ordinaire).
III.2.11. On pose f = 2Ω sin λ et w = vX + i vY : dw/dt = −i f w ⇒ w = v0e−ift, soit vX = v0 cos(ft), vY = −v0 sin(ft).
III.2.12. Par intégration avec x(0) = y(0) = 0 : x(t) = (v0/f) sin(ft), y(t) = (v0/f)(cos(ft) − 1). Trajectoire : cercle de centre (0, −v0/f) et de rayon v0/f, parcouru dans le sens horaire dans l'hémisphère nord (déviation vers la droite), de période 2π/f (oscillations d'inertie). Exemple à λ = 30° : f = Ω ≈ 7,3.10-5 s-1, rayon ≈ 14 km pour v0 = 1 m.s-1, période ≈ 24 h.
III.3. Atmosphère humide
III.3.1. dP/dz = −ρg = −PMag/(RT) (air gaz parfait).
III.3.2. T = T0 : dP/P = −Mag dz/(RT0) ⇒ P(z) = P0e−z/H, H = RT0/(Mag) ≈ 8,6 km. À l'ordre 1 (z ≪ H) : P(z) ≈ P0(1 − z/H).
III.3.3. Isotherme d'Andrews à T0 (de droite à gauche, volume décroissant) : branche de vapeur sèche (P croît quand v diminue, allure d'hyperbole) jusqu'au point de rosée ; palier horizontal P = Ps,0 où coexistent liquide et vapeur (la fraction de liquide augmente) ; au point d'ébullition, il ne reste que du liquide, et la courbe devient presque verticale (liquide peu compressible). La pression de vapeur saturante Ps(T) est la pression d'équilibre liquide-vapeur du corps pur à la température T ; elle ne dépend que de T (ordre de grandeur pour l'eau à 300 K : environ 3,5 kPa).
III.3.4. vg ≫ vl et vg = RT/Ps (vapeur gaz parfait) : Lv = (RT²/Ps)dPs/dT ⇒ dPs/Ps = (Lv/R)dT/T². En intégrant de T0 à T : ln(Ps(T)/Ps,0) = (Lv/R)(1/T0 − 1/T), donc k = Lv/R (Lv molaire). Pour l'eau, Lv ≈ 44 kJ.mol-1 vers 300 K, soit k ≈ 5,3.103 K (valeur non donnée par l'énoncé, utilisée seulement pour l'A.N. finale).
III.3.5.1. L'air ascendant est à chaque altitude à la pression de l'atmosphère environnante P(z) = P0e−z/H. Isentropique (Laplace) : TγP1−γ = cte ⇒ T = T0(P/P0)(γ−1)/γ = T0 e−(γ−1)z/(γH) ≈ T0(1 − (γ−1)z/(γH)). Gradient : (γ−1)Mag/(γR) ≈ 10 K.km-1 (γ = 1,4).
III.3.5.2. Sans condensation, la fraction molaire de l'eau dans la colonne reste constante : Pe/P = Pe(T0)/P0, avec Pe(T0) = h(T0)Ps,0. D'où Pe = h0Ps,0 e−z/H et ln(Pe/Ps,0) = ln h0 − z/H = ln 0,8 − z/H.
III.3.5.3. Avec 1/T ≈ (1/T0)(1 + (γ−1)z/(γH)) : ln(Ps(T)/Ps,0) ≈ − k(γ−1)z/(γHT0).
III.3.5.4. Condensation quand Pe = Ps(T) : ln h0 − z/H = − k(γ−1)z/(γHT0) ⇒ zcond = H ln(1/h0) / (k(γ−1)/(γT0) − 1). A.N. indicative (k ≈ 5,3.103 K) : k(γ−1)/(γT0) ≈ 5,05 ; zcond ≈ 8,6.103 × 0,223/4,05 ≈ 0,47 km. À cette altitude la vapeur se condense en fines gouttelettes : il se forme des nuages (base des cumulus), pouvant conduire à des précipitations.
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