Modèle de concours : CNC 2014 Physique II (PSI) — Concours National Commun
En bref
Ce document est une ancienne épreuve écrite du concours de Concours d'accès aux écoles d'ingénieurs organisé par Concours National Commun (CNC) — CPGE (2014), publiée sur Wadifa Info en consultation et téléchargement PDF gratuits, avec une correction proposée.
- Organisme
- Concours National Commun (CNC) — CPGE
- Grade
- Concours d'accès aux écoles d'ingénieurs
- Spécialité
- Physique II
- Année
- 2014
- Pages
- 8
- Langue des questions
- français
- Correction
- correction proposée disponible sur cette page
📝 Texte des questions (extrait automatiquement des pages scannées)
Ce texte est extrait automatiquement des images de l'épreuve et peut contenir des erreurs de lecture — les images ci-dessus font foi.
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Concours National Commun - Session 2014 - Filière PSI
e On veillera à une présentation et une rédaction claires et soignées des copies. Il
convient en particulier de rappeler avec précision les des questions
abordées.
e Si au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant
clairement les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.
e Toutes les réponses devront être très soigneusement justifiées.
e Si un résultat donné par l'énoncé est non démontré, il peut néanmoins être
admis pour les questions suivantes. Ainsi, les diverses parties du problème
sont relativement indépendantes entre elles.
Ligne téléphonique
Données :
e Perméabilité magnétique du vide : y, =4x.107 SI.
e Vitesse de la lumière dans le vide : c, =3.10* ms”.
e 25 1
Hoëoéo 2-1٠
La transmission à distance de l’information a
toujours été une préoccupation humaine
importante. Dans les télécommunications, on
distingue actuellement trois grandes familles de
supports de transmission de l'information
numérique :
- les liaisons filaires (ou lignes de
transmission).
- les liaisons hertziennes. ligne bifilaire
- les liaisons optiques.
On se propose d'étudier la propagation d'une onde électromagnétique dans
une ligne bifilaire.
Cette ligne est constituée de deux fils conducteurs cylindriques pleins (F) et
(F,) rectilignes à l'axe (Oz), de rayon a, de conductivité électrique o,, de très
grande longueur et parcourus par des courants électriques continus égaux et de
sens opposés. Les deux fils sont séparés par un isolant de constante diélectrique
e, et de conductivité électrique o, à une distance d l'un de l'autre.
Les différentes parties sont largement indépendantes.
1. Capacité linéique d’une ligne bifilaire
On suppose dans un premier temps que les deux fils د et (F,) sont séparés
par le vide de permittivité diélectrique ٠
Epreuve de Physique ١١ 1/8
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On considèe un tronçon de
longueur 7 de la ligne étudiée.
Lorsqu'on applique une différence de
potentiel U =U,-U, entre les
conducteurs, les tronçons (l) et (2)
reçoivent une charge = électrique
uniformément répartie valant
respectivement +0 et —O (figure 1).
Le vecteur champ électrostatique E au
point M sur l’axe (Ox) suit alors,
entre les conducteurs (a‹x ‹d-a),
Q 1 1
une loi d’évolution fonction de x s’écrivant : E = —(—+
1.1. Calculer la différence de potentiel U en fonction de Q, des paramètres
géométriques de la ligne et de مو
.2. En déduire la capacité électrique linéique 1 de cette ligne bifilaire.
.3. Comment est modifiée la capacité linéique 1 si l'on tient compte de la
présence de l'isolant entre les deux fils 2 L'isolant est caractérisé par sa
constante diélectrique ٠
1
1
2. Inductance linéique d’une ligne bifilaire
La ligne bifilaire, toujours supposée
infinie et constituée des deux
conducteurs parfaits cylindriques
pleins (FH) et (F,), est maintenant
figure 2
alimentée par une source de courant /
et fermée par un court-circuit à son
extrémité finale (figure 2).
Le module du vecteur champ magnétique B créé par cette ligne bifilaire en un
point M situé entre les deux conducteurs est donné par l'expression
watt,
2x x d-x
2.1. Exprimer le flux élémentaire d& du champ magnétique à travers la surface de
longueur 7 et de largeur dx située entre les deux conducteurs.
2.2. Déterminer le flux total ® du champ magnétique sur la totalité de la surface
de longueur h entre les deux conducteurs.
2.3. En déduire l’inductance linéique A de cette ligne bifilaire.
3. Propagation dans une ligne bifilaire parfaite
Pour modéliser une ligne bifilaire, on considère qu’elle est formée d’une infinité
de tronçons de longueur infinitésimale en cascade (figure 3). Ces tronçons seront
caractérisés par les paramètres suivants :
- r : résistance linéique série ;
Epreuve de Physique ١١ 2/8
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- A : inductance linéique série ;
- 1 : capacité linéique parallèle ;
- g : conductance linéique parallèle.
On désigne par v(z,t) et i(z,t) respectivement la tension entre les fils et
l'intensité du courant qui les traverse à l'abscisse z et à l'instant .
Dans la suite, on suppose d ››a et on prend les expressions suivantes pour
les deux paramètres A et de la ligne bifilaire : A = 1n 5) et r = كك ;
7 a 2
Hey Ln ( en
3.1. Citer un inconvénient principal des liaisons filaires par rapport aux liaisons
hertziennes.
3.2. Justifier le modèle de la ligne bifilaire comportant quatre paramètres r, g, À
et F en expliquant la cause de la présence de chacun de ces quatre éléments.
3.3. Expliquer pourquoi il est possible de travailler sur un tronçon d'épaisseur dz
dans le cadre de l'approximation des régimes quasi-stationnaires alors que le
phénomène étudié est un phénomène de propagation.
i(z,t) RE Adz it 4e)
0 2 z +dz z
figure 3
3.4. Etablir deux équations aux dérivées partielles couplées reliant l'intensité
i(z,t) et la tension v(z,t). On considère que les variations en fonction du
temps de v(z,t) et de v(z +dz,t) sont les mêmes sur la longueur dz . En
déduire l'équation différentielle aux dérivées partielles, dite des télégraphistes,
vérifiées par v(z,t).
Un générateur relié à l'entrée de la ligne, délivre une tension sinusoïdale de
pulsation .هه On cherche une solution de l'équation des télégraphistes en notation
complexe de la forme v(z,t)=V (z)exp(jat)=V, exp(j (at —kz)), avec j ?=-1, V, etk
des constantes a priori complexes.
3.5. Montrer que la relation de dispersion est de la forme k° = 2 2ji—0
ec 0 0
Exprimer les constantes على et © en fonction des données.
3.6. On suppose que l'onde est progressive et on pose k =k,— jk, où k, et k, sont
des réels positifs. Etablir l'équation différentielle vérifiée par V (z). En déduire
l'expression générale de la solution de l'équation des télégraphistes.
Caractériser alors l'onde décrite par la fonction v(z,t). Le milieu de
propagation est-il dispersif ?
3.7. On suppose que l'onde électrique décrite par la fonction v(z,t) est progressive
dans le sens des z croissants et on considère une portion de la ligne de
Epreuve de Physique ١١ 3/8
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longueur / . On note V, son amplitude à l'entrée de la ligne et V, celle au bout
de la distance / . Etablir la relation V, =V,exp-k,/). En déduire l'atténuation
A, en dB après un parcours d'une distance / dans la ligne, en fonction de k,
3.8. On suppose maintenant que les pertes sont faibles le long de la ligne et
indépendantes de la pulsation .و On suppose aussi que cette pulsation est
telle que Aw››r et l'@››g . Simplifier, dans ces conditions, l'expression de
k(œ) et en déduire les expressions de k,(w) et k,(œ).
3.9. Déterminer, dans les conditions de la question précédente, la vitesse de phase
v, de l'onde électrique dans la ligne bifilaire. Commenter.
3.10. Montrer que si les quatre paramètres linéiques de la ligne vérifient la
condition gA=rl, alors on pourra éviter la déformation du signal électrique
lors de la propagation le long de la ligne. Que vaut la vitesse v, dans ces
conditions ? Justifier que la propagation est toujours accompagnée d'une
atténuation ?
3.11. La condition de la question précédente est-elle satisfaite pour une ligne
téléphonique caractérisée par les paramètres linéiques suivantes
A=5yHm', 1- 2,22 استم , r=45m@m" et ع =20nS.m" ? Calculer, pour cette
ligne et pour une fréquence f, =1 kHz, la valeur de k, et la distance /, au bout
de laquelle l'amplitude de la tension est divisée par 2. Analyser les résultats
numériques obtenus.
On constate expérimentalement que le coefficient d'atténuation exprimé dans
la question 3.7 diminue lorsque le rayon du fil conducteur (cuivre) utilisé
augmente. En effet, en régime sinusoïdal, la densité volumique du courant
électrique n'est pas uniforme, en raison de l'effet de peau. On admet qu'en
première approximation, le courant circule dans une épaisseur ››» à la
périphérie du fil. Compte tenu des questions précédentes, on suppose que le
101 ا ا
rue ; حم : exprimé en dB /m , peut s'écrire ,ريه coefficient d'atténuation
0
2
3.12. Calculer numériquement l'épaisseur de peau د | à la fréquence
لم 9
f =1,1 MHz pour le cuivre de conductivité o, =5,6.10" SJ . Commenter.
3.13. Evaluer la section S du fil effectivement parcourue par un courant en
fonction du rayon a et de l'épaisseur de peau 6. En déduire que la résistance
linéique effective de la ligne bifilaire (aller et retour) peut s'écrire حم 2 fut :
2 \ 7
Vérifier alors la constatation expérimentale.
On considère dans la suite que la ligne bifilaire est sans perte : r =0 et g =0.
3.14. Monter que les grandeurs v(z,t) et i(z,t) sont solutions d'une équation de
propagation de D'Alembert unidimensionnelle. Quelle est la vitesse de
propagation du signal électrique dans la ligne bifilaire ? Commenter le résultat
obtenu.
Epreuve de Physique ١١ 4/8
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On s'intéresse à la propagation d'une tension électrique v(z,{) s'écrivant en
notation complexe sous la forme : v(z,t)=[V, exp(—jkz )+V, exp(+jkz )]exp(jæt) où V,
et V, sont deux constantes réelles.
3.15. Justifier l'écriture de la tension v(z,{). Donner l'expression de + et celle de la
vitesse de propagation de l'onde électrique. Commenter l'expression de la
vitesse.
3.16. Déterminer l'expression complexe du courant électrique i(z,!).
3.17. Dans le cas d'une onde plane progressive sinusoïdale se propageant selon u:,
i(zt)
caractéristiques de la ligne. A quoi est homogène cette constante 2 Que vaut le
montrer que le rapport est une constante notée Z. liée aux
même rapport pour une onde progressive se propageant selon ب ? Calculer
la valeur numérique de 7
3.18. Calculer la puissance électrique P(z,t) transportée par l'onde en fonction de
V,, V,, Z., k et .ف Que peut-on dire sur le sens de propagation du flux
d'énergie ? Donner l'expression de la valeur moyenne temporelle ‹P(z,t)› de
la puissance P(z,t).
3.19. Calculer l'énergie w ,(z,t) stockée dans la ligne bifilaire par unité de longueur.
m(z.t) vérifient la relation 5 سا 5 M
2 1
Quelle est la signification physique de cette relation ?
La ligne est semi-infinie et s’étend de z ص à z =0 où elle est refermée sur
une résistance R'. Elle est alimentée par un générateur qui délivre une tension
sinusoïdale de pulsation ©.
3.21. Etablir, dans le cas général, l'expression de l'impédance complexe
Z(x)= 17 en tout point de la ligne. On fera apparaître la quantité Z..
L(Z,1
3.20. Montrer que P(z,t) et w 0.
2
3.22. Exprimer le rapport 7 en fonction de R' ا
3.23. Décrire le comportement de l'onde électrique le long de la ligne bifilaire dans
chacun des trois cas suivants : R'=Z,, R'=0 et R'—+o. Déterminer dans
chaque cas la tension v(z,{) et le courant i(z,t) en tout point de la ligne.
Commenter chaque solution. Dans quel cas il y a adaptation d'impédance ?
3.24. On se place dans ce dernier cas et on considère la portion de circuit dz.
Quelle est l’énergie emmagasinée par cette portion de circuit ? Définir alors la
densité linéique d’énergie emmagasinée e(z,t). Montrer que cette énergie se
propage à une vitesse v, selon u: à exprimer.
3.25. La ligne se ferme sur une résistance R'=1,5kM®. Calculer numériquement
l'inductance linéique A et la capacité linéique 1 afin d'empêcher la réflexion
du signal électrique en z =0.
3.26. La ligne est maintenant supposée infinie. On relie les deux fils de la ligne en
z =0 par une résistance R'=Z, . Exprimer l'impédance de la ligne en z =0 vue
depuis la région z ‹0. En déduire le module du coefficient de réflexion en
courant ou en tension de l'onde en z =0.
Epreuve de Physique ١١ 5/8
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4. Téléphoner en naviguant
Les lignes téléphoniques assurent la transmission de signaux analogiques de
la téléphonie, et contribuent aussi à la transmission de signaux numériques,
pour l'internet, la télévision et la téléphonie numérique.
Avec la technologie ADSL (Asymmetric Digital Subscriber Line), une ligne
téléphonique classique analogique (cuivre) est divisée en 3 bandes de fréquence
comme suit :
e 0 à 4kHz : fréquence voix,
e 4 à 200 kHz : fréquence du trafic montant,
e 200 kHz à 2,2 MHz : fréquence du trafic descendant.
Afin de séparer les signaux vocaux (conversation téléphonique) et les signaux
informatiques (internet), il est nécessaire d'utiliser un filtre ADSL. On peut ainsi
téléphoner tout en restant connecté à Internet.
Le schéma synoptique du montage est le suivant (figure 4) :
Ligne téléphonique :
prise murale figues 4
Filtre
Signaux Î téléphonique Î Signaux
internet téléphoniques
4.1. Quels inconvénients rencontre-t-on lors de l'utilisation du téléphone sur une
ligne d'ADSL ?
4.2. Représenter l’allure du spectre en amplitude d’un signal ADSL.
4.3. Que peut-on penser du choix de l’intervalle de la voix sachant que les
fréquences audibles par l'oreille humain s’étend de 20 Hz à 20 kHz?
4.4. Préciser, sans calcul, le type de filtre à utiliser pour récupérer seulement les
signaux téléphoniques (vocaux). Même question pour les signaux
informatiques. Donner, sans démonstration, un ordre de grandeur de la
fréquence de coupure f, nécessaire pour récupérer seulement les signaux
téléphoniques.
On étudie la réponse du filtre téléphonique à un signal sinusoïdal. Un GBF
délivre un signal sinusoïdal d'amplitude E =15 V constante et de fréquence /
réglable. On modélise le poste téléphonique par une charge résistive de résistance
R, - 600 M. Un oscilloscope permet d'observer en voie CH1 la tension délivrée par
le générateur et en voie 0112 la tension aux bornes de la charge R, .
L 6 L 4 L 2 R 2
entrée ez — —» sortie s;
entrée ligne sortie terminal
entrée ©: — —» sortie s;
ADSL figure 5
Epreuve de Physique ١١ 6/8
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Le schéma du filtre téléphonique est donné par la figure 5.
Les données relatives à ce filtre sont : L; (i =1..6) est une bobine d'inductance
L; et de résistance r,, R, et R, sont deux résistances et C est un condensateur.
On donne : L=L,=l10mH et n=rn=210 ; L=L-=33uH et n=rn=0 ;
.مآ =L, - 220 كلم et 7 =7,=20Q ; R,=R,=220 et C=22nF.
4.5. En utilisant les lois d’association des composants, établir le schéma du circuit
équivalent du quadripôle représentant le filtre téléphonique.
4.6. En dessinant un schéma équivalent aux basses fréquences, puis un autre aux
hautes fréquences, déterminer sans calcul le type de ce filtre.
4.7. Proposer un câblage pour caractériser le filtre téléphonique à l’aide d’un
oscilloscope et d’un GBF.
4.8. L'’oscilloscope et le GBF utilisés ont chacun sa masse électrique. Cela est-il
génant dans le montage que l'on souhaite étudier ? Si oui comment remédier à
ce problème.
4.9. Proposer une méthode permettant rapidement de déterminer la fréquence de
coupure du filtre à l'aide de l'oscilloscope.
4.10. La sortie ADSL est-elle filtrée ? Donner une explication de ce choix.
Le diagramme de Bode théorique du filtre téléphonique est donné par la
figure 7.
2
5 10 100 1000 10000 100000 1000000
0
4.11. Indiquer, en le justifiant, la nature et l'ordre du filtre.
4.12. Déterminer graphiquement et en justifiant la démarche suivie, la fréquence de
coupure f, du filtre téléphonique à —3 dB.
4.13. En fonction des résultats obtenus, conclure quant à la fonction du filtre
téléphonique et vérifier votre affirmation faite dans la question 4.4.
Le filtre téléphonique est composé de résistances, d'un condensateur, et de
bobines. On désire modéliser ce filtre par un circuit RLC série.
4.14. Donner le schéma du montage permettant de modéliser le filtre téléphonique
par un circuit RLC série. Aux bornes de quel composant faut-il brancher la
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sortie vers le téléphone que l'on modélise par la charge 2 ? On fera une étude
asymptotique simple du circuit afin de répondre clairement à la question.
4.15. Montrer que la fonction de transfert du filtre s'écrit sous la forme
0
V 0
composants 7 , L et C du circuit RLC . Calculer numériquement H,, @ et
Q . On donne : R=1k0, L=10mH et C=22nF.
4.16. Faire une étude asymptotique et vérifier la cohérence avec l'étude
asymptotique de la question précédente.
4.17. Déterminer les droites asymptotiques dans le diagramme de Bode en gain et
en phase.
4.18. Tracer minutieusement le diagramme de Bode asymptotique en gain
correspondant au filtre étudié puis esquisser l’allure de la courbe réelle de
gain en la justifiant.
4.19. Déterminer la bande passante de ce filtre téléphonique à —3 dB. Le montage
étudié répond-il au cahier des charges ?
4.20. Expliquer pourquoi on n'a pas choisi une valeur de la résistance R plus
faible.
4.21. Quel est l'avantage du montage RLC par rapport à un montage RC
classique ?
. Exprimer H,, Q et ره en fonction des valeurs des
Epreuve de Physique ١١ 8/8
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✅ Correction proposée
Il s'agit d'une correction proposée, rédigée par l'équipe wadifa-info pour vous aider à comprendre la méthode — ce n'est pas un corrigé officiel de l'administration organisatrice.
Ce modèle est l'épreuve de Physique II du Concours National Commun (CNC) 2014, filière PSI (accès aux écoles d'ingénieurs), consacrée à la ligne téléphonique : capacité et inductance linéiques d'une ligne bifilaire, propagation (équation des télégraphistes, atténuation, effet de peau, impédance caractéristique, réflexions), puis filtre ADSL (« téléphoner en naviguant »). Voici une correction proposée avec la numérotation de l'énoncé.
💡 Le fil conducteur de l'épreuve : tout repose sur les deux équations couplées de la question 3.4. Une fois écrites proprement (loi des mailles + loi des nœuds sur le tronçon dz), presque toute la partie 3 en découle par calcul.
1. Capacité linéique d'une ligne bifilaire
1.1. U = U1 − U2 = ∫ad−a E dx = (Q/2πε0h)[ln x − ln(d − x)]ad−a, soit U = (Q/πε0h) ln((d − a)/a).
1.2. Γ = Q/(hU) : Γ = πε0 / ln((d − a)/a) ≈ πε0/ln(d/a) pour d ≫ a.
1.3. Dans l'isolant, ε0 est remplacé par ε0εr : Γ = πε0εr/ln((d − a)/a), la capacité est multipliée par εr.
2. Inductance linéique d'une ligne bifilaire
2.1. B est orthogonal au plan des deux fils : dΦ = B h dx = (μ0Ih/2π)(1/x + 1/(d − x)) dx.
2.2. Les conducteurs étant parfaits, le champ est nul à l'intérieur ; on intègre de a à d − a : Φ = (μ0Ih/π) ln((d − a)/a).
2.3. Λ = Φ/(Ih) : Λ = (μ0/π) ln((d − a)/a) ≈ (μ0/π) ln(d/a). On remarque ΛΓ = μ0ε0 = 1/c0² dans le vide.
3. Propagation dans une ligne bifilaire
3.1. Une liaison filaire impose une infrastructure physique (pose et entretien coûteux des câbles, pas de mobilité) et subit une atténuation qui croît avec la distance et la fréquence (amplificateurs/répéteurs nécessaires).
3.2. r : résistance des conducteurs (conductivité σc finie, pertes Joule) ; Λ : le courant crée un champ magnétique dont le flux à travers la ligne donne une auto-inductance ; Γ : les deux fils en regard, portant des charges opposées, forment un condensateur ; g : l'isolant n'est pas parfait (σd ≠ 0), un courant de fuite passe d'un fil à l'autre.
3.3. L'ARQS est valable sur une longueur très petite devant la longueur d'onde λ = c/f : le temps de propagation sur cette longueur est négligeable devant la période. C'est le cas du tronçon dz infinitésimal, même si sur toute la ligne (longueur ≫ λ) il y a propagation.
3.4. Loi des mailles : v(z,t) − v(z+dz,t) = r dz i + Λ dz ∂i/∂t ⇒ ∂v/∂z = −r i − Λ ∂i/∂t. Loi des nœuds : i(z,t) − i(z+dz,t) = g dz v + Γ dz ∂v/∂t ⇒ ∂i/∂z = −g v − Γ ∂v/∂t. En dérivant la première par rapport à z et en y reportant la seconde : ∂²v/∂z² = ΛΓ ∂²v/∂t² + (rΓ + gΛ) ∂v/∂t + rg v (équation des télégraphistes).
3.5. Avec v = Vmej(ωt − kz) : −k² = −ΛΓω² + jω(rΓ + gΛ) + rg, soit k² = ΛΓω² − jω(rΓ + gΛ) − rg. Par identification avec k² = ω²/c² − 2j(K/c)ω − Ω²/c² : c = 1/√(ΛΓ) ; K = c(rΓ + gΛ)/2 = (1/2)(r√(Γ/Λ) + g√(Λ/Γ)) ; Ω = √(rg/(ΛΓ)).
3.6. V(z) vérifie d²V/dz² + k² V = 0, d'où V(z) = V+e−jkz + V−e+jkz et, avec k = k1 − jk2 : v(z,t) = V+e−k2zej(ωt − k1z) + V−ek2zej(ωt + k1z). C'est la superposition de deux ondes progressives sinusoïdales amorties, l'une vers les z croissants, l'autre vers les z décroissants, chacune s'atténuant dans son sens de propagation. En général k1 n'est pas proportionnel à ω : la vitesse de phase dépend de ω, le milieu est dispersif.
3.7. Pour l'onde vers les z croissants, l'amplitude vaut V0e−k2z : en z = l, Vl = V0exp(−k2l). Aatt = 20 log(V0/Vl) = 20 k2l log e ≈ 8,69 k2l (en dB).
3.8. k² = (ω²/c²)[1 − j(r/Λ + g/Γ)/ω − rg/(ΛΓω²)]. Avec Λω ≫ r et Γω ≫ g, le dernier terme est du second ordre : k ≈ (ω/c)[1 − j(r/Λ + g/Γ)/(2ω)]. D'où k1 = ω/c = ω√(ΛΓ) et k2 = (1/2)(r√(Γ/Λ) + g√(Λ/Γ)) = K, indépendant de ω.
3.9. vφ = ω/k1 = 1/√(ΛΓ), indépendante de ω : à cet ordre, la ligne n'est pas dispersive. Avec les expressions de Λ et Γ, vφ = 1/√(μ0ε0) = c0 (c0/√εr avec l'isolant) : le signal se propage à la vitesse de la lumière dans le diélectrique.
3.10. Si gΛ = rΓ, on pose r/Λ = g/Γ = 1/τ. Alors (r + jΛω)(g + jΓω) = ΛΓ(1/τ + jω)², donc exactement k = √(ΛΓ)(ω − j/τ) : k1 = ω/c et k2 = r√(Γ/Λ) = √(rg), tous deux indépendants de ω (condition de Heaviside). Toutes les composantes de Fourier du signal se propagent à la même vitesse vφ = 1/√(ΛΓ) avec la même atténuation : le signal est atténué mais non déformé. Comme r > 0 (et g > 0) pour tout conducteur réel, k2 = √(rg) > 0 : il y a toujours atténuation.
3.11. gΛ = 20·10−9 × 5·10−6 = 1,0·10−13 et rΓ = 45·10−3 × 2,22·10−12 ≈ 1,0·10−13 : la condition est satisfaite. Donc k2 = √(rg) = √(0,045 × 2·10−8) = 3,0·10−5 m−1 (valeur exacte grâce à la condition de Heaviside, même si à 1 kHz on n'a pas Λω ≫ r : Λω ≈ 0,031 Ω·m−1). l0 = ln√2/k2 ≈ 1,16·104 m ≈ 11,6 km. Analyse : l'atténuation est d'environ 0,26 dB/km ; la tension est divisée par √2 (puissance divisée par 2) au bout d'une dizaine de km ; les signaux ne sont pas déformés, mais il faut amplifier sur les longues distances. On vérifie aussi c = 1/√(ΛΓ) ≈ 3,0·108 m·s−1.
3.12. (Dans la formule de δ, il faut lire σc, conductivité du cuivre.) ω = 2π × 1,1·106 = 6,91·106 rad·s−1 : δ = √(2/(4π·10−7 × 5,6·107 × 6,91·106)) ≈ 6,4·10−5 m = 64 µm. C'est petit devant le rayon d'un fil téléphonique (quelques dixièmes de mm) : aux fréquences ADSL, le courant ne circule que dans une mince couche à la surface du fil, ce qui augmente sa résistance.
3.13. Section utile : S = π[a² − (a − δ)²] ≈ 2πaδ (δ ≪ a). Résistance linéique aller-retour : r = 2/(σcS) = 1/(πσcaδ), et avec δ = 1/√(πμ0σcf) : r = (1/a)√(μ0f/(πσc)). L'énoncé annonce un facteur 2/a, ce qui correspond à une section effective πaδ ; dans les deux cas r ∝ √f / a. Alors Aatt = 10 r log e/(Λc) ∝ 1/[a ln(d/a)], et d[a ln(d/a)]/da = ln(d/a) − 1 > 0 pour d > e·a (toujours vrai ici) : l'atténuation diminue quand le rayon a augmente, conformément à l'expérience.
3.14. Avec r = g = 0 : ∂v/∂z = −Λ ∂i/∂t et ∂i/∂z = −Γ ∂v/∂t. En dérivant et en combinant : ∂²v/∂z² = ΛΓ ∂²v/∂t² et ∂²i/∂z² = ΛΓ ∂²i/∂t² (d'Alembert). Vitesse : c = 1/√(ΛΓ) = 1/√(μ0ε0) = c0 = 3·108 m·s−1 (c0/√εr avec un isolant) : elle ne dépend pas de la géométrie de la ligne, seulement du milieu entre les fils ; le signal est guidé par la ligne mais se propage comme une onde électromagnétique.
3.15. L'équation de d'Alembert étant linéaire, la solution sinusoïdale générale est la superposition d'une onde progressive vers +uz (V1, onde incidente) et d'une onde vers −uz (V2, onde réfléchie). En reportant : k = ω/c = ω√(ΛΓ), vitesse c = 1/√(ΛΓ), indépendante de ω : propagation sans dispersion (ligne sans perte).
3.16. ∂v/∂z = −Λ ∂i/∂t donne −jk(V1e−jkz − V2ejkz)ejωt = −jΛω i, d'où i(z,t) = (1/Zc)[V1e−jkz − V2e+jkz]ejωt, avec Zc = Λω/k = Λc.
3.17. Pour l'onde vers +uz (V2 = 0) : v/i = Zc = Λc = √(Λ/Γ), constante réelle, homogène à une résistance (Ω). Pour une onde vers −uz : v/i = −Zc. Avec les expressions de Λ et Γ : Zc = (μ0c0/π) ln(d/a) ≈ 120 ln(d/a) Ω ; pour la ligne de la question 3.11 (Λ = 5 µH·m−1, Γ = 2,22 pF·m−1) : Zc = √(5·10−6/2,22·10−12) ≈ 1,5 kΩ.
3.18. En grandeurs réelles : v = V1cos(ωt − kz) + V2cos(ωt + kz) et i = [V1cos(ωt − kz) − V2cos(ωt + kz)]/Zc, d'où P(z,t) = v i = [V1² cos²(ωt − kz) − V2² cos²(ωt + kz)]/Zc. Le premier terme (positif) est transporté vers les z croissants par l'onde incidente, le second (négatif) vers les z décroissants par l'onde réfléchie. ⟨P⟩ = (V1² − V2²)/(2Zc).
3.19. wem = (1/2)Γv² + (1/2)Λi². Avec Λ/Zc² = Γ, les termes croisés se compensent : wem(z,t) = Γ[V1² cos²(ωt − kz) + V2² cos²(ωt + kz)].
3.20. Avec φ = ωt − kz : ∂(cos²φ)/∂z = k sin 2φ et ∂(cos²φ)/∂t = −ω sin 2φ ; comme k/Zc = ω/(cZc) = ωΓ (car cZc = 1/Γ), les termes en V1 de ∂P/∂z et de ∂wem/∂t sont opposés ; de même pour les termes en V2 (ψ = ωt + kz). D'où ∂P/∂z + ∂wem/∂t = 0 : c'est la conservation locale de l'énergie (bilan unidimensionnel, sans perte) : la variation de l'énergie stockée dans dz est égale à la puissance qui y entre moins celle qui en sort.
3.21. Z(z) = v/i = Zc (V1e−jkz + V2ejkz)/(V1e−jkz − V2ejkz) (la variable notée x dans l'énoncé est l'abscisse z).
3.22. En z = 0, Z(0) = R' : R' = Zc(V1 + V2)/(V1 − V2), d'où V2/V1 = (R' − Zc)/(R' + Zc).
3.23.
- R' = Zc : V2 = 0, aucune réflexion. v = V1cos(ωt − kz), i = (V1/Zc)cos(ωt − kz) : onde progressive pure, toute la puissance est absorbée par R'. C'est l'adaptation d'impédance.
- R' = 0 (court-circuit) : V2 = −V1. v = 2V1 sin(kz) sin(ωt), i = (2V1/Zc) cos(kz) cos(ωt) : ondes stationnaires, nœud de tension et ventre de courant en z = 0 (nœuds de tension tous les λ/2), réflexion totale, ⟨P⟩ = 0.
- R' → ∞ (circuit ouvert) : V2 = V1. v = 2V1 cos(kz) cos(ωt), i = (2V1/Zc) sin(kz) sin(ωt) : ondes stationnaires, ventre de tension et nœud de courant en z = 0, réflexion totale, ⟨P⟩ = 0.
3.24. Énergie de la portion dz : dE = [(1/2)Γ dz v² + (1/2)Λ dz i²], d'où la densité linéique e(z,t) = (1/2)Γv² + (1/2)Λi² = ΓV1² cos²(ωt − kz) (adaptation, i = v/Zc). Elle ne dépend que de t − z/c : elle se propage selon uz à ve = c = 1/√(ΛΓ). Autre façon : ve = ⟨P⟩/⟨e⟩ = (V1²/2Zc)/(ΓV1²/2) = 1/(ΓZc) = c.
3.25. Pas de réflexion ⇔ Zc = √(Λ/Γ) = R' = 1,5 kΩ ; de plus ΛΓ = 1/c0². D'où Λ = R'/c0 = 5,0 µH·m−1 et Γ = 1/(R'c0) ≈ 2,22 pF·m−1 (les valeurs de la question 3.11).
3.26. Vue depuis z < 0, la ligne en z = 0 est R' = Zc en parallèle avec la partie z > 0 de la ligne infinie, dont l'impédance d'entrée est Zc (pas d'onde réfléchie) : Z(0) = Zc/2. Coefficient de réflexion en tension : (Z(0) − Zc)/(Z(0) + Zc) = −1/3 (en courant : +1/3). Module : 1/3.
4. Téléphoner en naviguant
4.1. Sans filtre, les signaux ADSL (hautes fréquences) parasitent la conversation (souffle, grésillements) et le téléphone perturbe l'ADSL : son impédance varie quand on décroche, raccroche ou quand il sonne, ce qui provoque des pertes de synchronisation et des déconnexions.
4.2. Allure du spectre en amplitude (axe des fréquences en échelle logarithmique) : une bande « voix » de 0 à 4 kHz (en pratique ≈ 300 Hz–3,4 kHz), puis une bande du trafic montant (jusqu'à 200 kHz) et une bande plus large du trafic descendant (200 kHz–2,2 MHz), formées de nombreuses porteuses juxtaposées ; l'amplitude reçue décroît avec la fréquence à cause de l'atténuation de la ligne (effet de peau).
4.3. La bande 0–4 kHz ne couvre qu'une petite partie du domaine audible (20 Hz–20 kHz), mais elle contient l'essentiel de l'énergie et de l'intelligibilité de la voix. La qualité n'est pas « haute fidélité », mais ce choix économise la bande passante et libère les fréquences plus hautes pour les données.
4.4. Signaux vocaux : filtre passe-bas. Signaux informatiques : filtre passe-haut. Fréquence de coupure du filtre téléphonique : de l'ordre de quelques kHz, fc ≈ 4 kHz (entre la bande voix et les premières fréquences ADSL).
4.5. Le même courant traverse les bobines des deux fils : elles sont en série. Circuit équivalent : une branche série Léq = 2(L1 + L3 + L5) ≈ 20,5 mH et réq = r1 + … + r6 = 46 Ω, puis le condensateur C = 22 nF en parallèle (dérivation entre les deux fils), puis une résistance série R1 + R2 = 44 Ω avant la sortie s1-s2 chargée par Rc.
4.6. Basses fréquences : bobines = fils, condensateur = interrupteur ouvert ; s = Rce/(Rc + 46 + 44) ≈ 0,87 e (≈ −1,2 dB) : le signal passe. Hautes fréquences : bobines = interrupteurs ouverts, condensateur = fil ; s → 0. C'est un filtre passe-bas.
4.7. GBF branché entre les entrées e2 et e1 ; charge Rc = 600 Ω entre s2 et s1 ; voie CH1 sur la tension du GBF (entrée), voie CH2 sur la tension aux bornes de Rc (sortie). On relève l'amplitude de sortie et le déphasage pour différentes fréquences.
4.8. Oui : les masses du GBF et de l'oscilloscope sont reliées entre elles (par la terre). Si la masse du GBF est en e1 et la masse de l'oscilloscope en s1, le fil de masse court-circuite la branche L5, L3, L1, R1, et l'on ne mesure plus le filtre réel. Remèdes : utiliser le schéma équivalent de 4.5 (toutes les impédances série placées sur le même fil, l'autre fil servant de masse commune), ou mesurer la sortie en mode différentiel (deux voies et soustraction, sonde différentielle), ou isoler le GBF par un transformateur d'isolement.
4.9. On mesure l'amplitude de sortie S0 à basse fréquence (plateau), puis on augmente f jusqu'à ce que l'amplitude de sortie vaille S0/√2 ≈ 0,71 S0 : cette fréquence est fc à −3 dB. Pour un passe-bas d'ordre 2, on peut aussi repérer rapidement (mode XY ou décalage temporel) la fréquence où le déphasage vaut −90°, voisine de la fréquence propre.
4.10. Non, la sortie ADSL (s3, s4) n'est pas filtrée : elle est reliée directement à la ligne. Le modem ADSL possède son propre filtrage (il n'exploite que ses bandes hautes et élimine la bande vocale) ; ajouter un filtre ici serait inutile et atténuerait le signal de données.
4.11. Gain constant à basse fréquence, chute à haute fréquence : passe-bas. En haute fréquence, G passe d'environ −45 dB à 100 kHz à environ −85 dB à 1 MHz : pente −40 dB/décade, donc filtre du second ordre.
4.12. Le plateau basse fréquence vaut G0 ≈ −1,2 dB (pertes résistives, voir 4.6). La coupure à −3 dB correspond à G = G0 − 3 ≈ −4,2 dB : on lit fc ≈ 7 kHz (lecture graphique, entre 6 et 8 kHz).
4.13. Le filtre téléphonique est un passe-bas qui transmet pratiquement sans atténuation la bande vocale (0–4 kHz) et atténue fortement les signaux ADSL (≈ −20 dB vers 25 kHz, ≈ −57 dB à 200 kHz, davantage au-delà). Cela confirme la réponse de 4.4 (passe-bas, coupure de quelques kHz).
4.14. Circuit R, L, C en série alimenté par e ; la sortie vers le téléphone se prend aux bornes du condensateur. Étude asymptotique : en basse fréquence C est un circuit ouvert, le courant est nul, s = e ; en haute fréquence C est un court-circuit, s → 0 : passe-bas. (Aux bornes de R on aurait un passe-bande, aux bornes de L un passe-haut.)
4.15. Diviseur de tension : H = (1/jCω)/(R + jLω + 1/jCω) = 1/(1 − LCω² + jRCω). Par identification avec la forme de l'énoncé : H0 = 1, ω0 = 1/√(LC), Q = RCω0 = R√(C/L) (le « Q » de l'énoncé est l'inverse du facteur de qualité usuel). A.N. : ω0 = 1/√(10−2 × 22·10−9) ≈ 6,74·104 rad·s−1 (f0 ≈ 10,7 kHz) ; Q = 103 × √(22·10−9/10−2) ≈ 1,48.
4.16. ω ≪ ω0 : H → H0 = 1. ω ≫ ω0 : H ≈ −(ω0/ω)² → 0. C'est bien le comportement passe-bas trouvé en 4.14.
4.17. Avec x = ω/ω0 : gain G = −10 log[(1 − x²)² + Q²x²]. Asymptotes : G = 0 pour x ≪ 1 ; G = −40 log x pour x ≫ 1 (pente −40 dB/décade), qui se coupent en x = 1. Phase : φ → 0 pour x ≪ 1, φ → −π pour x ≫ 1, et φ = −π/2 en x = 1.
4.18. Diagramme asymptotique : horizontale à 0 dB jusqu'à f0 ≈ 10,7 kHz, puis droite de pente −40 dB/décade (−40 dB à 107 kHz, −80 dB à 1,07 MHz). Courbe réelle : en x = 1, G = −20 log Q ≈ −3,4 dB, sous le point anguleux. Le facteur de qualité usuel vaut 1/Q ≈ 0,67 < 1/√2 : il n'y a pas de résonance, la courbe reste sous les asymptotes et les rejoint loin de f0.
4.19. |H|² = 1/2 ⇔ x4 + (Q² − 2)x² − 1 = 0 ⇒ x² = [(2 − Q²) + √((Q² − 2)² + 4)]/2 ≈ 0,905, x ≈ 0,951 : bande passante [0 ; ≈ 10,2 kHz]. La bande vocale passe sans atténuation (−0,2 dB à 4 kHz) et les fréquences ADSL sont rejetées (−15 dB à 25 kHz, −51 dB à 200 kHz). Le cahier des charges est respecté pour la voix ; la coupure, un peu au-dessus de 4 kHz, laisse cependant passer le bas de la bande montante entre 4 et 10 kHz avec peu d'atténuation (le modèle reste approché).
4.20. Si R diminue, le « Q » de l'énoncé diminue, c'est-à-dire que le facteur de qualité usuel augmente : une résonance apparaît près de f0 (surtension, gain supérieur à 1, sons déformés et parasites amplifiés autour de 10 kHz) dès que R < √(2L/C) ≈ 950 Ω. R = 1 kΩ donne la réponse la plus plate sans surtension.
4.21. Le circuit RLC est d'ordre 2 : au-delà de la coupure, son gain décroît de −40 dB/décade contre −20 dB/décade pour un RC (ordre 1). La transition est plus raide et les signaux ADSL sont beaucoup mieux rejetés, sans atténuer davantage la bande vocale.
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