Modèle de concours : CNC 2009 Physique I (PSI) — Concours National Commun

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Concours National Commun - Session 2009 - Filière PSI

L’énoncé de cette épreuve comporte 11 pages.

e On veillera à une présentation et une rédaction claires et soignées des
copies. Il convient en particulier de rappeler avec précision les références
des questions abordées.

e Si au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une
erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en
indiquant clairement les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.

L’épreuve se compose de deux problèmes indépendants.
Problème I - OPTIQUE

Données :

e Constante des gaz parfaits : R = 8,314 J.K-!.mol-!.

e Masse molaire de l’air : Ma = 29 g.mol-*.

e Fonction sinus cardinal : sinc(x)= sis ;

e Les grandeurs complexes sont notées aves des lettres soulignées et
exprimées avec j tel que j?=-1.

Ce problème propose l’étude de quelques propriétés d’un télescope monté en
Cassegrain. 11 se compose de trois parties largement indépendantes.

1ère partie
Etude et propriétés des télescopes

1.1. Questions de cours

1.1.1.Expliquer ce qu'est l’approximation de l’optique géométrique.
1.1.2.Qu'’appelle-t-on système optique centré ?

1.1.3.Rappeler brièvement les conditions de l’approximation de Gauss.

Quelles sont les propriétés d’un système optique centré utilisé dans ces

conditions ?

Dans la suite du problème, les systèmes optiques étudiés seront
considérés centrés et utilisés dans les conditions de Gauss.

1.2. Etude d’un miroir sphérique

On considère un miroir sphérique de rayon R, de centre C, de sommet S, et
de diamètre d’ouverture D (figure 1).

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Dans les conditions de Gauss, on rappelle que la relation de conjugaison
reliant la position d’un point objet A sur l’axe à celle de son image A' est
donnée par

vale
SA SA 6 2
On rappelle aussi le grandissement avec origine au sommet : y = ai

Figure 1

1.2.1.Définir et donner la position des foyers objet F et image F' de ce miroir
sphérique. Exprimer la distance focale du miroir f =SF en fonction de R.

1.2.2.On observe deux étoiles A et B à l’aide du miroir sphérique de la
figure 1. Les deux étoiles sont séparées d’un angle a petit ‏ه)‎ est compté positif) :
A se trouve sur l’axe optique et B est au-dessus de l’axe optique.

1.2.2.1. Construire soigneusement la position de leurs images respectives

1.2.2.2. Déterminer la position des deux images A' et B', la taille A'B' et la
nature de l’image.

1.2.2.3. Comment a-t-on intérêt à choisir le rayon R du miroir utilisé ?

1.2.2.4. Application numérique : on donne a = 2 secondes d'arc et
R = 28,76 m. Déterminer la taille de l'image.

1.2.3.On place dans le plan où se forment les deux images A' et B' une

caméra numérique CCD composée d’une matrice rectangulaire de détecteurs
élémentaires, appelés pixels, de forme carrée, de côté h = 9 um. Chacun de ces
pixels mesure l’intensité lumineuse qu’il reçoit et transmet l’information
correspondante séparément. Sa surface active est perpendiculaire à l’axe
optique.

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Quelle est la plus petite valeur min de l’angle ‏ه‎ séparant les deux étoiles A
et B que l’on peut espérer résoudre avec cette caméra ?

1.3. Etude du télescope Cassegrain

Pour l’observation d’objets célestes, on n'’utilise pas un simple miroir
sphérique mais une combinaison de plusieurs d’entre eux avec des formes
différentes.

Le Very Large Télecsope (VLT) au chili est composé de quatre télescopes
montés en Cassegrain. Ces télescopes pourront fonctionner indépendamment
ou en association, totalisant alors (lorsque leurs faisceaux sont combinés) un
télescope de puissance importante.

Afin de mener une étude quantitative et dans un souci de simplification, on
peut modéliser un télescope réel de type Cassegrain par deux miroirs
sphériques. Ainsi, dans les conditions de Gauss, le télescope réel est équivalent
au télescope composé de deux miroirs sphériques (figure 2).

Figure 2 : Télescope du VLT en configuration Cassegrain

e Le miroir primaire (M;) est concave, de sommet S;, de foyer F;, de
distance focale f, de rayon R, = 28,76 m et de diamètre extérieur D, = 8,20 m.
Il est percé d’un trou de diamètre D = 1 m en son centre.

e Le miroir secondaire (M2) est convexe, de sommet S», de foyer Fa, de
distance focale f,, de rayon R, = 4,56 m et de diamètre extérieur D» = 1,12 m.

La distance entre les sommets des miroirs vaut d = S,S, = 12,4 m.

A l’aide du télescope ci-dessus, on observe les deux étoiles A et B de la
question 1.2.2.

1.3.1.Soit A, l’image de A par (M1) et A, celle de A, par (Ma). Où se trouve
l’image A, ? Que représente A, pour le télescope ? Déterminer S,A, en fonction
de R,, R, et d. Faire le calcul numérique.

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1.3.2.Faire une construction soignée et détaillée des images B, et B, de l’étoile
B par les miroirs successifs (M;) et (M»). On précisera aussi les images A, et ‏.يش‎

2B,

1.3.3.On note y = 45 le grandissement transversal du miroir secondaire.
1771

Déterminer A,B, et A,B, en fonction de R,, y et a.

2

. Exprimer f en

1.3.4.On définit la focale équivalente du télescope par f = 4
7

fonction de y et K,.

1.3.5.Application numérique : on donne a = 2 secondes d'arc.
Calculer la position du foyer image global F' du télescope (on donnera S,F'), le

grandissement y, la focale équivalente f du télescope et la taille A,B, de
l’image finale.

Conclure sur l’avantage du télescope à deux miroirs par rapport à celui à un
seul miroir.

1.3.6.On place dans le plan de front de l’image finale A,B, la caméra CCD
définie dans la question 1.2.3.

Quel est la plus petite valeur ‏منسنه‎ de l’angle ‏ه‎ séparant les deux étoiles A et
B que l’on peut espérer résoudre avec cette caméra ? Comparer avec Omin
obtenu en 1.2.3. Conclure.

2ème partie
Diffraction par une fente

Dans cette partie, on prend en compte les effets de la diffraction sur les
performances du télescope. Afin de simplifier les calculs, le télescope utilisé
pour les observations astronomiques peut être modélisé par un objet diffractant
et la lentille convergente équivalente au télescope dont la distance focale f est
calculée dans la question 1.3.4. L'objet diffractant est une fente transparente
rectangulaire de centre O, de largeur a = D1 (diamètre du miroir primaire)
suivant OX, de grande dimension suivant l'axe perpendiculaire OY (figure 3).

On observe, à l’aide du télescope, une étoile B située dans la direction

représentée par l’angle œ (à est supposé petit). Cette étoile (supposée ponctuelle)
émet une onde monochromatique de longueur d’onde dans le vide À .

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‎Plan focal‏ لان

‎Figure 3

‎2.1. Présenter un montage (réalisable) permettant d’observer sur un écran la
figure de diffraction « à l’infini » donnée par une fente rectangulaire de côtés a et
b (b › a) sous incidence normale.

‎2.2. Rappeler le principe d'Huygens-Fresnel permettant de calculer
l’amplitude de l’onde diffractée par une fente.

‎2.3. Expliquer en quelques lignes en quoi consiste la diffraction à l’infini
(aussi appelée diffraction de Fraunhofer).

‎2.4. Que signifie "grande dimension" suivant OY ? Quelles sont les
conséquences de cette hypothèse ?

‎2.5. Dans le cadre de la diffraction à l’infini, l’amplitude complexe en un
point M de la vibration diffractée en un point P(X ) de la fente est donnée par :

‎A(M)= K{ exp ‏ع‎ 501 pas
K étant une constante et (M) la différence de marche, au point M(x) du plan

‎focal de la lentille (L), entre les deux vibrations diffractées respectivement aux
points P et O de la fente. On notera n l’indice du milieu traversé par la lumière.

‎2.5.1.Calculer la différence de marche 6(M) en fonction de X, x, n,aet f.
2.5.2.Calculer l’amplitude A(M) au point M .

‎2.6. On rappelle que l’intensité lumineuse est définie par /(M)=kA(M)A'(M),

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k étant une constante et A'(M) le complexe conjugué de l’amplitude A(M).

Montrer que /(M)=1(x)=1, È (PE (a+ 5) . Donner l’expression de ٠
0

2.7. Représenter la figure de diffraction observée sur l'écran (plan F’xy).
Préciser ses caractéristiques.

2.8. Tracer l’allure de la courbe représentative de l’intensité I(x).
Préciser ses caractéristiques. En quel point cette intensité est-elle maximale ?
Conclure.

3ème partie
Phénomènes limitant le pouvoir de résolution

On modélise toujours le télescope utilisé pour les observations
astronomiques par la lentille convergente équivalente au télescope dont la
distance focale f est calculée dans la question 1.3.4. Cette lentille forme une
pupille diffractante circulaire, de centre O, de diamètre a = D1 (diamètre du
miroir primaire).

La figure de diffraction dans le plan focal de la lentille peut être schématisée
par une tache centrale brillante de rayon R,= 1,22 404 entourée d’anneaux

n 1
alternativement sombres et brillants.

3.1. Justifier qualitativement l’aspect de la figure de diffraction.

3.2. On observe à nouveau les deux étoiles A et B de la question 1.2.2 par le
télescope. On rappelle que celles-ci sont vues avec un écart angulaire ‏ه‎ petit.

3.2.1.A quelle condition sur a, D1, À, et n, les deux taches de diffraction
seront-elles séparées sur l’écran ? On adoptera le critère de Rayleigh.

3.2.2.En déduire la résolution angulaire du télescope définie par la valeur
minimale d’min de «.

Rappel

Critère_de Rayleigh : deux taches de diffraction peuvent être séparées
si le maximum principal de l’une est confondu avec le premier minimum nul
de l’autre.

3.3. Citer quelques phénomènes limitatifs du pouvoir de résolution d’un
télescope terrestre.

3.4. Citer des méthodes permettant de s’affranchir des phénomènes limitatifs

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du pouvoir de résolution d’un télescope.
3.5. Pour quelles raisons construit-on tout de même de grands télescopes ?

Gème partie
Effet de la turbulence atmosphérique
sur la structure d’un front d’onde

L’atmosphère terrestre est constituée de couches d’air de différentes
températures qui se mélangent les unes aux autres causant de grands
mouvements (appelés «turbulences ») dans les masses d’air. Pour les
astronomes, ces turbulences sont néfastes car elles perturbent la trajectoire des
rayons lumineux. Ce faisant, elles sont responsables du scintillement des
étoiles dans le ciel et de la distorsion des images collectées par les télescopes.

Les turbulences de l’atmosphère créent des variations de la masse volumique
de l’air et par conséquent entraînent des fluctuations de son indice de

réfraction.

On admet que l’indice de réfraction de l’air est lié à sa masse volumique p
par la relation empirique (dite de Gladstone) :

n=1+Cp, C étant une constante.
4.1. Quelle est la dimension de la constante C.

4.2. En supposant que l’air se comporte comme un gaz parfait, exprimer
n en fonction de la température T et de la pression P.

4.3. Calculer numériquement la constante C, sachant qu’à T = 293 K et

P = 105 Pa, n = 1,00020.

4.4. On note T(z) et P(z) respectivement la température et la pression de
l'atmosphère à l’équilibre à l’altitude z. Les fluctuations de la température et de
la pression par rapport à l’équilibre se manifestent par des écarts ôT et ôP.

Exprimer la fluctuation ôn de l’indice n qui en résultent en fonction de
ôT et ôP.

On étudie maintenant l’effet des variations de l’indice de l’atmosphère sur la
structure du front d’onde émise par une étoile.

4.5. Définir ce qu’est une surface d’onde.

4.6. Enoncer le théorème de Malus.

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4.7. Dans l’atmosphère d’indice n, on considère une zone cylindrique de
diamètre ro et de hauteur e suivant Oz (figure 4). Cette zone est d’indice
n + ôn (on prendra ôn › 0). On considère une onde électromagnétique plane
incidente progressive dans la direction des z croissants et de longueur d’onde
dans le vide Xo.

Figure 4

4.7.1.Calculer la phase (x, z) de l’onde pour 2 › 0. On prendra comme
ne des phases le point O et on distinguera les deux cas |x| › ro/2 et

4.7.2.En déduire l’_équation de la surface d’onde dans le plan (xO7).

4.7.3.Reprendre le schéma de la figure 4 et tracer une surface d’onde
dans la zone z › 0, puis dans la zone z › ©

4.7.4.Conclure. Quelle méthode utilise-t-on en pratique pour corriger l’effet de
la turbulence atmosphérique ?

Problème II - Onduleur

Ce problème étudie un onduleur de tension autonome. Le montage est celui
représenté sur la figure 1.

K1, K», K3 et K4 sont des interrupteurs bidirectionnels supposés parfaits. Ils
fonctionnent simultanément deux à deux et sont commandés électriquement de
telle façon que :

e pendant une demi-période, pour nT ‹t‹(n+ 7 : K, et K3 fermés, Ka et K4
ouverts,
e pendant une demi-période, pour (n rar ‹t‹(n+D)T : K, et K3 ouverts, Ka

et K4 fermés.
n est un entier et T est la période du signal de commande des interrupteurs.

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Le générateur est une source de tension idéale de f.e.m Æ constante. L est une
inductance pure dite de lissage et R une résistance pure qui représente la
charge.

Figure 1

1. Quel est le rôle d’un onduleur ? Citer quelques applications de l’onduleur.

2. Tracer pour ! € [0, 27] , la courbe v(f) en indiquant les points remarquables.

3. Ecrire l'équation différentielle vérifiée par le courant i(t) qui circule dans
la charge.

4. On note ;(t) la solution de l’_équation différentielle établie dans la question

précédente pour O‹1‹ 7 et i,(t) celle pour 5 ‹I‹T.

4.1. Déterminer les expressions de i(r) et i,(t) en fonction de R, L et E. On
note ‏ين‎ et ‏ون‎ les deux constantes d'intégration que l'on ne cherchera pas à

déterminer dans cette question. On pose 7 = Fu
On se place en régime permanent et on cherche à déterminer les expressions
de ‏ين‎ et Ca. On pose a = see :

4.2. Etablir deux relations entre ‏دن‎ et ‏.ون‎ En déduire ‏دن‎ et Ca».

4.3. Achever la détermination des courants ‏0)ن‎ et i,(t). Tracer, pour t € [0, 27] ;

la courbe ‘(f) en indiquant les points remarquables.

5. On donne le développement en série de Fourier de la tension v(r) :

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2 4 ; 2
v(t) = SN ————sin ‏(7ه(1 + م2(‎ , OÙ p est un entier et ‏ده‎ = ;
70 (2p+1)7 T

5.1. Justifier, sans calcul, ce développement.

5.2. Décrire en quelques lignes une méthode expérimentale de détermination
de la valeur des coefficients de cette décomposition.

; 4E
5.3. Exprimer, pour une composante v,,,()=——— sin (@p + Dæ.t) de la
2 )20+7

tension v(t), le courant ‏)د‎ dans la charge en fonction de R, L, ‏,ره‎ E et de
l’entier p.

5.4. Montrer que le développement en série de Fourier du courant i(t) est

donné par : i(t)= 2; L,, Sin (@p +Dot+6,n ) . Déterminer I. €t @pu-

5.5. Déterminer le rapport f = 7 et le calculer si ‏جه‎ 1/1. Le courant i(t) est-il
1

sinusoïdal ?

6. Pour avoir un courant i(t) quasi-sinusoïdal, on modifie la commande des
interrupteurs pour modifier la tension v(r) et obtenir une tension v't)
représentée sur la figure 2 :

T Figure 2

6.1. On admet que la décomposition en série de Fourier de la tension v'(t) est
donnée par :

1 4E ww. 9 1 300. . 01 500... _0
v'(t) = › [cos( 5 sin( où 0 ‏م +[ ا 5 انا‎ 7 sin( 504 Ji

Comment faut-il choisir 6 pour que l'harmonique de rang 3 soit nul ? Dans

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ce cas, calculer pour la plus petite valeur positive de 0 et pour wo = 1/7, le

rapport f'= = , où b', est l'amplitude de l'harmonique de rang 5 et b' est
1

l'amplitude du fondamental du courant ‘(t). Conclure.

6.2. Donner dans ces conditions en fonction de FE et R, la puissance moyenne
P, reçue par la charge.

6.3. A.N. E = 200 V, f =— = 1 kHz, R = 0,02 Q, L = 0,07 mH. Calculer P,.

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