Modèle de concours : CNC 2008 Physique II (PSI) — Concours National Commun

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ROYAUME DU MAROC

Ministère de l'Éducation Nationale, de l'Enseignement Supérieur,
de la Formation des Cadres et de la Recherche Scientifique

Présidence du Concours National Commun

École Nationale des Industries Minérales
ENIM

Concours National Commun d’admission

aux Grandes Ecoles d'Ingénieurs ou assimilées
Session 2008

ÉPREUVE DE PHYSIQUE II

Filière PSI

Durée 4 heures

Cette épreuve comporte 8 pages au format A4, en plus de cette page de garde
L'usage de la calculatrice est autorisé

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L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats du concours PSI,
comporte 8 pages.
L'usage de la calculatrice est autorisé .

On veillera à une présentation claire et soignée des copies. Il convient en particulier de rappeler avec
précision les | références | des questions abordées.

Le sujet comporte deux parties totalement indépendantes.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa
copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Dans les applications numériques, qui ne doivent pas être négligées, une attention particulière
sera prêtée au nombre de chiffres à utiliser pour afficher les résultats. Ce nombre, qui dépend en
général du niveau de précision recherché, ne doit en aucun cas dépasser le nombre de chiffres
significatifs permis par les données. La valeur numérique de toute grandeur physique doit être
accompagnée de son unité.

On donne pour toute l'épreuve :
- la permittivité du vide ‏و‎ = 8,854 x 107 12651;

— on note j le nombre complexe de module unité et d'argument 7/2.
1** partie
Conducteurs en équilibre électrostatique

Dans cette partie, on propose d'étudier certaines des propriétés électrostatiques des milieux
conducteurs.

Aucune connaissance préalable des propriétés de ces milieux n’est exigible pour traiter cette
partie de l'épreuve.

La principale caractéristique des milieux conducteurs est de contenir des charges électriques
capables de se mettre en mouvement d'ensemble sous l’action d’une force aussi faible soit elle.
Si bien que le champ électrostatique en tout point à l’intérieur d’un conducteur en équilibre
électrostatique est nul :

É(M=0

Par ailleurs, pour de tels milieux, les équations de MAXWELL s’écrivent comme dans le vide
chargé avec une densité volumique de charge p(M).

1.1. Relations générales

1.1.1. Théorème de Gauss

1.1.1.1. Écrire l'équation de MAXWELL-GAUSS. Que vaut la densité volumique de charges en
tout point d’un conducteur en équilibre électrostatique ?

1.1.1.2. En déduire que lorsqu'un conducteur en équilibre électrostatique est chargé, toute sa
charge est répartie de manière surfacique. On notera ‏ه‎ la densité surfacique des charges.

1.1.1.3. Montrer qu’un conducteur en équilibre électrostatique est un volume équipotentiel.
On notera (M) le potentiel électrostatique dont dérive le champ EF (M).

Épreuve de Physique II 1/8 Tournez la page S.V.P.

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1.1.2. Conducteur cylindrique chargé

On considère un conducteur cylindrique (C;) de section circulaire de rayon R,, d’axe Oz et de
hauteur h › R, de sorte que l’on puisse négliger tout effet de bord. Ce conducteur présente une
charge @ › 0, il est en équilibre électrostatique placé dans le vide et est suffisamment éloigné de
toute autre distribution de charges pour que l'on puisse négliger toute influence. On pourra utiliser
les coordonnées cylindriques habituelles (r, 0, z) et on notera (@,, €, €) la base locale de ces
coordonnées.

1.1.2.1. Déterminer l'expression de la densité surfacique des charges portée par C;.

1.1.2.2. Analyser les symétries et les invariances de la distribution de charges. En déduire
d’une part les composantes non nulles du champ électrique et d'autre part les coordonnées d'espace

dont dépend 7 :

1.1.2.3... Énoncer le théorème de GAUSS et en déduire l'expression du champ électrique en

E| en fonction de r.

tout point M de l’espace. Représenter graphiquement le module

1.1.2.4. Quelle est la valeur du champ électrique enr = R; ? Enr = RŸ ? Quel résultat
retrouve-t-on ainsi ?

1.1.2.5. Déterminer le potentiel électrostatique &(r) en tout point de l'espace. On ne cherchera
pas à déterminer la constante d'intégration.

1.1.3.  Quadrupôle cylindrique

On considère maintenant un ensemble de quatre conducteurs cylindriques identiques chargés
(C1), (Ca), (C3) et (C4) formant un quadrupôle électrique en équilibre électrostatique placé dans le
vide (figure 1). La charge totale du système est nulle. On note Q › 0 la valeur absolue de la charge
du conducteur (C1).

La figure 1 représente l'allure des lignes équipotentielles au voisinage du centre X du quadrupôle.

On donne la valeur du potentiel électrique & du système sur certaines équipotentielles :

‹ équipotentielle ‏بن : ع‎ = 0,90 kV;
› équipotentielle f : ÿ; = 0, 60 kV ;
‹ équipotentielle c : & = —0, 30 kV.

1.1.3.1. Déterminer en le justifiant la valeur du potentiel électrique & sur les équipotentielles

1.1.3.2. En analysant les symétries du problème, déterminer en le justifiant la valeur du
potentiel électrique & sur les équipotentielles e, b et a.

1.1.3.3. Comment les lignes de champ électrostatique se positionnent-elles par rapport aux
surfaces équipotentielles ? Justifier la réponse et montrer que le potentiel électrostatique décroît le
long d’une ligne de champ.

1.1.3.4. Recopier l'allure des équipotentielles sur la copie et représenter soigneusement la
ligne de champ électrique reliant dans le vide les points À et B. On n’omettra pas d'indiquer
l'orientation de cette ligne de champ sur le schéma.

1.1.3.5. Déterminer en le justifiant la valeur du champ électrique É au centre X du quadru-
pôle.

1.1.3.6. Représenter de même la ligne de champ électrique orientée reliant dans le vide les
points Y et X et celle reliant X et Z.

Épreuve de Physique II 2/8 Tournez la page S.V.P.

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Figure 1: Allure des équipotentielles du quadrupôle électrique en équilibre électrostatique.

1.1.3.7. Déterminer en le justifiant la charge Q; (avec à = 1,2,3 ou 4) de chacun des quatre
conducteurs en fonction de Q.

1.1.4.  Condensateur cylindrique — Généralités

Pour constituer un condensateur, on entoure le conducteur (C;) d’un autre conducteur (C») de
même hauteur h, de rayon intérieur ‏و74‎ et de même axe de révolution Oz (figure 2). Un générateur
de tension continue impose au conducteur (C;) un potentiel constant ‏نا‎ › 0. On note ‏د‎ la charge
totale de (C,) et ‏و‎ la charge totale de (Cs). Un milieu isolant assimilable au vide sépare (C;) de
(C»). La liaison du conducteur (C») à la terre lui impose un potentiel nul. (Ca) ne porte alors aucune
charge sur sa face externe.

1.1.4.1. En appliquant le théorème de GAUSS à une surface convenablement choisie, montrer
1.1.4.2. Déterminer l'expression du potentiel électrique & que créerait le conducteur cylin-

drique (C1) en tout point de l’espace s’il était seul. On exprimera &(r) en fonction de Q1, ‏رطع‎ h et

1.1.4.3... Compte tenu de la valeur du potentiel sur le conducteur (C»), déterminer l'expression
de &(r) en tout point de l'espace compris entre (C;) et (Ca) en fonction de r, U, R, et Ra. Représenter
graphiquement &(r) en fonction de r pour r € [0, RS**].

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Figure 2: Conducteurs cylindriques en équilibre électrostatique.

1.1.44. Montrer que la charge @,, dite aussi charge du condensateur, pour se mettre sous la
forme :

Qu = C (d1 — a)

Dans cette formule qui définit la capacité C du condensateur, ‏رن‎ représente le potentiel de (C;) et
da celui de (C»). En déduire l'expression de la capacité C du condensateur cylindrique représenté
figure 2, en fonction de R,, Ra, h et 0.

La densité volumique we d'énergie électrostatique dans le vide et dans les conducteurs est donnée
par we = ‏رن‎

1.1.4.5... Déterminer l'expression de we en tout point entre (C;) et (Ca). En déduire l'énergie
électrostatique W, du condensateur cylindrique définie comme étant l'énergie électrostatique em-
magasinée dans l’espace délimité par (C ) et (C»).

1.1.4.6. Montrer que We s'exprime simplement en fonction de C et U uniquement.
On suppose maintenant que Rs = R, + ôR, avec ôR, › ٠

1.1.4.7. Montrer alors que la capacité C du condensateur cylindrique s'écrit en bonne approx-
imation sous la forme :
‏ين‎ 25 0)

avec e et D des grandeurs positives que l’on exprimera en fonction de dR, et de h.

1.2. Condensateur cylindrique en ARQS — Applications

On se place désormais dans l'Approximation des Régimes Quasi-Stationnaires (ARQS) et l’on
admettra que les expressions précédemment établies pour la capacité C du condensateur cylin-
drique restent valables. Les signaux électriques r(t) utilisés dans cette partie sont tous harmoniques
de pulsation w et de notation complexe x(t) = X exp j(wt + ‏.(وم‎ On suppose que les différents mi-
lieux qui entourent les conducteurs ont les mêmes propriétés électriques que le vide, caractérisés
par une permittivité diélectrique eo.

Épreuve de Physique II 4/8 Tournez la page S.V.P.

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1.2.1. Généralités
1.2.1.1. Rappeler le cadre d'application de l'ARQS.
1.2.1.2. Écrire les quatre équations de MAXWELL dans le cadre de l'ARQS.

1.2.1.3. Montrer que l'expression de la capacité C en ARQS est la même qu’en régime
statique à condition que F › w À. Avec E et A respectivement l'amplitude du champ électrique
72 et l'amplitude du potentiel vecteur magnétique À. Montrer que cela revient à négliger tout
phénomène d’induction dans le condensateur.

On supposera désormais ce résultat applicable dans toute la suite du problème.

1.2.2. Capacité d’un câble coaxial

Un câble coaxial utilisé au laboratoire d'électronique est constitué d'un conducteur cylindrique
(C,) de rayon R, = 0,1 mm entouré d'une tresse métallique (C») de rayon interne Ra = 0,4 mm,
tous deux de longueur h = 1,0 m. Un milieu isolant assimilable au vide sépare (C, ) de (C»). La tresse
métallique est elle même protégée de l'extérieur par une gaine souple isolante en PVC par exemple.
Une coupe transversale de ce câble est représentée figure 2.

1.2.2.1. Déterminer numériquement la valeur de la capacité C d’un câble coaxial de longueur

Pour mesurer la capacité du câble coaxial de la question 1.2.2.1., on propose une simple
expérience de résonance d'intensité avec un circuit RLC série, le condensateur étant constitué
du câble coaxial à caractériser. On note u,(t) = U,coswt la tension d’excitation délivrée par le
générateur de tension qui excite le montage.

1.2.2.2.  Représenter le schéma de principe du circuit RLC série et les branchements permet-
tant de visualiser l'excitation u,(t) sur la voie X d’un oscilloscope et l'image du courant {(t) sur la
voie Y. On prendra garde aux éventuels problèmes de masse électrique.

1.2.2.3. Déterminer l'expression en régime harmonique, du déphasage ‏وب = عبت‎ — pi entre la
tension d’excitation et le courant ‏أ‎ )1( qui circule dans le circuit. Que vaut ce déphasage à la résonance
d'intensité ? En déduire l'expression de la fréquence de résonance 1/0

1.2.2.4. On se place en mode de visualisation XY sur l’oscilloscope. Quelle figure obtient-on
hors résonance ? Même question à la résonance ?

1.225. Analyser de manière qualitative l'influence de la valeur de la résistance R sur la
détermination de la résonance.

1.2.2.6. On donne R = 100 ® et L = 100 mH. Déterminer numériquement la valeur de y
pour le câble coaxial de la question 1.2.2.1.

2°m° partie

Oscillateur commandé en tension (OCT)

Les applications des condensateurs sont nombreuses en électronique. La réalisation d’un Oscil-
lateur Commandé en Tension (OCT) nécessite quasi-systématiquement l'utilisation d’un condensa-
teur. On indique qu’un OCT est un système fournissant un signal périodique dont la fréquence ‏ب‎
‎est commandée par une tension ve.

On considère le circuit représenté figure 3. Les amplificateurs opérationnels (AO) sont supposés
idéaux et sont polarisés de manière symétrique à ‏ماج‎ et — Vec à « avec ‏ح ىا‎ 15 V. On donne des
tensions de saturation des deux AO : V2, = +Vsat = +Vec et Via = ‏مما‎ = —Vee-

sa 017

Épreuve de Physique II 5/8 Tournez la page S.V.P.

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L'amplificateur opérationnel AO1 est supposé fonctionner en régime linéaire. On posera 7 =
Le transistor T fonctionne comme un interrupteur idéal commandé par le courant électrique in :

- lorsque in › 0, le transistor T fonctionne comme un interrupteur fermé idéal (R7 = 0) et relie
directement la résistance R/2 à la masse. Dans ces conditions le potentiel du point B vaut en
bonne approximation V5 = U, = 0,6 V;

- lorsque in = 0, le transistor 1 fonctionne comme un interrupteur ouvert idéal (R7 = oo) et
ir = 0.

- lorsque ‏و‎ › 0, le transistor T est détruit !
La diode de signal D est supposée idéale :
- lorsque up › 0, la diode D est bloquée et in = 0;

- lorsque ip › 0, la diode D est passante et up = 0.

La tension de commande ‏ون‎ est supposée constante.

7052

Figure 3: Oscillateur commandé en tension OCT.

2.1. Fonctionnement de l’amplificateur opérationnel 1

2.1.1. Établir l'équation différentielle satisfaite par les tensions ‏ون‎ et vs] lorsque ‏و‎ › 0. Sim-
plifier éventuellement cette équation en rappelant que vw. est constante. Quelle est alors l'opération
mathématique effectuée par la portion £1 — S1 du circuit ? En déduire, à une constante ‏د‎ près,
l'expression de vs1(t) en fonction de ‏,ا‎ de 7 et de ve. Représenter graphiquement l'allure de vs1 (t).

2.1.2. Mêmes questions lorsque ‏و‎ = 0. Quelle est alors l'opération mathématique effectuée
par la portion F1 — S1 du circuit ? En déduire, à une constante ‏و‎ près, l'expression de vs1(t) en
fonction de t, de 7 et de ve. Représenter graphiquement l'allure de ‏دو‎ (t).

2.2. Fonctionnement de l’amplificateur opérationnel 2
2.2.1. L'amplificateur opérationnel AO2 fonctionne-t-il de manière linéaire ou saturée ? Justi-

fier simplement la réponse.

Épreuve de Physique II 6/8 Tournez la page S.V.P.

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2.2.2. Quelles valeurs la tension vs2 peut-elle prendre ?

2.2.3. Déterminer et représenter graphiquement la caractéristique de transfert ‏دون‎ = vs2(vs1)
de la portion S1 — S2 du montage. On pourra négliger l'effet de la résistance R3 sur le fonction-
nement de l'amplificateur opérationnel AO2. Comment appelle-t-on un tel circuit ?

224. À quelle condition sur vs1(t) la sortie S2 passe-t-elle de sa valeur maximale à sa valeur
minimale ? De même à quelle condition sur v51(t) la sortie S2 passe-t-elle de sa valeur minimale à
sa valeur maximale ?

2.3. Rôle de la diode D

2.3.1.  Représenter la caractéristique statique ip = ip(up) de la diode D.

2.3.2. Quel est l’état de la diode D lorsque la tension ‏وو‎ atteint sa valeur maximale ? Que
vaut alors le courant ip ? Donner dans ces conditions l'expression de ‏و‎ en fonction de ‏ول ىا‎ et
U, ? Comment se comporte alors le transistor T? D’après les données de l'énoncé, montrer que
l'expression de ‏و‎ peut être simplifiée. Quelle est alors l'expression de vs (t) ?

2.3.3. De même lorsque la tension vs» atteint sa valeur minimale, que vaut la tension un ? Quel
est alors l'état de la diode D? Que vaut le courant ‏ع‎ ? Donner dans ces conditions l'expression
de ip en fonction de V et de R3 ? Comment se comporte alors le transistor T ? Quelle est alors
l'expression de vs1 (t) ?

2.4. Signaux délivrés par l'OCT

On suppose qu'à l'instant initial + = 0, la sortie 52 est à son niveau maximal et vs = 0.

2.4.1. Quel est alors l'état de fonctionnement du transistor 1 ? En déduire l'expression complète
de vs1(t). Montrer qu'il existe un instant ‏ل‎ › 0 pour lequel la sortie 52 bascule vers son niveau
minimal.

2.4.2. Lorsque 52 est à son niveau minimal, quel est alors l’état de fonctionnement du transistor
T ? En déduire l'expression complète de ‏رون‎ (t). Montrer qu'il existe un instant ta › t, pour lequel la
sortie S2 bascule à nouveau vers son niveau maximal.

2.4.3.  Déduire des questions précédentes que les signaux ‏رون‎ et vga sont périodiques de période
1. Représenter graphiquement et en concordance des temps l'allure des signaux ‏رون‎ et ‏وو‎ pour

2.44. Déduire des questions précédentes l'expression de la période 1 des signaux ‏رون‎ et vs2
en fonction de 7, ‏ررغ‎ Ra, Ve et ve. En déduire l'expression de la fréquence v de 1001 et montrer
qu'elle est commandée par la tension ve.

24.5. Application numérique : On donne R, = ‏د‎ R = 10 ‏رايا‎ C = 500 pF et ve = 0,1 V.
Déterminer numériquement la valeur de la fréquence v délivrée par l'OCT.

2.5. Application

On remplace le générateur continu de commande par un générateur basse fréquence délivrant
un signal composite :

ve(t) = ve + Vecos Qt

de fréquence N = 2/27.

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2.5.1. À quelle condition sur N, l'expression de la fréquence établie à la question 2.4.4. reste-t-
elle valable ?

2.5.2. Donner dans ce cas la nouvelle expression de la fréquence des signaux ‏رون‎ et vs2.
2.5.3. Représenter qualitativement l'évolution de vs2(t) sur une durée suffisante.

2.5.4. Citer une application pratique de sur montage.

FIN DE L'ÉPREUVE

Épreuve de Physique II 8/8 FIN

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