Modèle de concours : CNC 2015 Physique II (TSI) — Concours National Commun
En bref
Ce document est une ancienne épreuve écrite du concours de Concours d'accès aux écoles d'ingénieurs organisé par Concours National Commun (CNC) — CPGE (2015), publiée sur Wadifa Info en consultation et téléchargement PDF gratuits, avec une correction proposée.
- Organisme
- Concours National Commun (CNC) — CPGE
- Grade
- Concours d'accès aux écoles d'ingénieurs
- Spécialité
- Physique II
- Année
- 2015
- Pages
- 8
- Langue des questions
- français
- Correction
- correction proposée disponible sur cette page
📝 Texte des questions (extrait automatiquement des pages scannées)
Ce texte est extrait automatiquement des images de l'épreuve et peut contenir des erreurs de lecture — les images ci-dessus font foi.
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Concours National Commun - Session 2015 - Filière TSI
e On veillera à une présentation et une rédaction claires et soignées des
copies. Il convient en particulier de rappeler avec précision les des
questions abordées.
e Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant
clairement les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.
e Toutes les réponses devront être très soigneusement justifiées.
e Si un résultat donné par l'énoncé est non démontré, il peut néanmoins être
admis pour les questions suivantes. Ainsi, les diverses parties du problème
sont relativement indépendantes entre elles.
Etude d'un capteur capacitif
L'épreuve est constituée d'un problème composé de quatre parties
relativement indépendantes et peuvent être traitées dans l'ordre choisi par le
candidat. Après le calcul de la capacité d'un condensateur plan et l'étude du
condensateur dans différentes situations, on s'intéresse à montrer qu’on peut
utiliser un condensateur pour réaliser un capteur capacitif. On étudie ensuite
une chaine d'acquisition d'une grandeur physique, la hauteur du niveau d'un
liquide dans un réservoir.
Données :
ريو ل
367710
720٠ 3.10جاء : e Vitesse de la lumière dans le vide
e Permittivité du vide : & =
2-1
ا Hoëge =.
1. Champ électrostatique d'un système de deux plans conducteurs
1.1. On considère dans un premier temps un conducteur plan (P,) d'axe
(Oz), de surface S d'épaisseur négligeable placé dans l'air dont les
propriétés électriques et magnétiques sont celles du vide (figure 1). Le plan
(P) correspond au plan (Oxy) du système de coordonnées cartésiennes
(Ox ,Oy,0Oz ) auquel on associe la base orthonormée (ex,ey.e.).
La position d’un point M est
repérée par ses coordonnées
cartésiennes (x,y,z). Le conducteur
porte une charge répartie
uniformément par unité de surface
ده (6›0). Afin d'étudier 18
symétries et les invariances, on
suppose que le plan est illimité.
1.1.1. Montrer que le champ électrostatique E1(M ) créé par le plan (P) en
tout point M est de la forme E, (M)=E,(g Je : ;
Epreuve de Physique Il 1/8
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1.1.2. Ecrire l’équation locale de Maxwell-Gauss et montrer que E,(z) est
constant. En utilisant les conditions aux limites, achever la
détermination du champ électrostatique et donner l'expression de E,(z)
en tout point de l'espace. En déduire le potentiel électrostatique V,(z)
dont dérive le champ E1(M).
1.2. On superpose au premier plan (P) un deuxième plan conducteur
(P,) identique et parallèle au premier (figure 2). Le plan (P,) est situés en
Les deux conducteurs
métalliques ont la même surface S
supposée très grande devant le carré de
la distance d . Le conducteur (P,) porte
une charge répartie uniformément par
unité de surface o,=-c. L’ensemble
est situé dans l'air assimilé au vide.
1.2.1. Déterminer le champ électrostatique E(M) créé par le système des
deux conducteurs en tout point de l'espace. En déduire la distribution de
potentiel V (M ) dont dérive le champ E(M).
1.2.2. Tracer les allures des courbes donnant le champ E(M ) et le potentiel
V (M) en précisant les valeurs aux points remarquables. On prendra
2. Condensateur plan
Le système étudié dans la question précédente constitue un condensateur
plan formé des deux conducteurs (armatures) métalliques (P,) et (P,) en
équilibre électrostatique. Les deux armatures sont de forme rectangulaire
(longueur L et largeur !) et distantes de d (figure 2). L’armature
supérieure (P,) est portée au potentiel V, et l’'armature inférieure (P,) est
portée au potentiel V,. On pose U =V, —V, .
2.1. Rappeler la définition d’un conducteur en équilibre électrostatique et
celle d’un condensateur électrique.
2.2. Pour que le condensateur plan vérifie la définition de la question
précédente, on néglige les effets de bord. Préciser, qualitativement, les
conditions que doivent vérifier les armatures pour que l’approximation soit
valable.
2.3. On note Q, la charge de l'armature (P,), Q, celle de l'armature (P,).
Définir la charge Q de ce condensateur.
2.4. Après avoir défini la capacité C d’un condensateur et en utilisant
l’expression du champ électrostatique calculé dans la question 1.2.1,
65
montrer que la capacité du condensateur plan est donné par دن "a
2.5. On introduit une lame diélectrique d’épaisseur e' et de constante
diélectrique e=e&,e, entre les armatures du condensateur plan (figure 3), 6
Epreuve de Physique Il 2/8
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étant la permittivité relative e, du milieu. On note Eo le champ créé par le
condensateur entre ses armatures. Ce champ Fo polarise uniformément le
diélectrique. ;
2.5.1.Quel est l'intérêt pratique d'introduire un 3
matériau diélectrique entre les armatures (P,) {P.)
d’un condensateur ?
2.5.2. Décrire les phénomènes électriques qui se
produisent lorsqu'on introduit ce
figure 3
diélectrique.
2.5.3. Déterminer la capacité C en fonction de la capacité dans le vide بن
quand le diélectrique occupe seulement une partie du volume
d’épaisseur e' par rapport à l’_épaisseur totale d .
2.5.4. Déterminer la capacité C du condensateur en fonction de ,نا €, et e''
et vérifier le résultat en étudiant les cas limites : e'=0 ; e =1 ; e'=d.
3. Charge lente du condensateur plan
Les armatures du condensateur plan étudié précédemment sont supposées
circulaires de rayon a situées à la distance d l’une de l’autre. On s’intéresse à la
charge, supposée lente, du condensateur inséré dans le circuit de résistance R
(figure 4). Le milieu entre les armatures est assimilé au vide. Le condensateur
étant initialement déchargé (q(@ =0)=0), on le charge à l’aide d’un générateur
idéal de tension de f.é.m. constante.
3.1. Déterminer l’expression de ÿ
la charge aq) portée par
l’armature (P) en fonction du
U 900)
temps. (
3.2. Déterminer, pendant la 2 "
durée de la charge totale du
condensateur, l'énergie W,
fournie par le générateur, figure 4
l’énergie W, emmagasinée par
le condensateur et l’énergie W,
dissipée par effet Joule.
3.3. Rappeler les équations de Maxwell dans le vide sous forme locale en
présence de charge et de courant et donner leurs expressions intégrales
ainsi que leur signification physique.
3.4. On suppose que la charge q() varie suffisamment lentement pour
que l’expression du champ électrique calculée dans la question 1.2.1 reste
valable. On suppose cette condition vérifiée dans la suite. Exprimer en
fonction de م U,, d, T=RC et & le champ électrique Et). En déduire
l’expression de la densité de courant de déplacement Jh.
3.5. Ecrire la forme intégrale de l’équation de Maxwell-Ampère dans le cas
particulier de l’espace entre les armatures du condensateur.
Epreuve de Physique Il 3/8
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3.6. On repère un point M de l'espace inter-armature par ses
coordonnées cylindriques (r,0,2) et on note (es eo,e: ) la base
correspondante. Justifier rigoureusement que le champ magnétique entre
les armatures du condensateur peut s’écrire sous la
forme B(M ,1)=B(r,t)eo. Quelle est la forme des lignes de champ du champ
magnétique ?
3.7. Montrer que le champ magnétique entre les armatures s’écrit :
= Eux ;
B(M ,t)=B,(r)exp(-—)e o . Donner l'expression de 20)7(
3.8. Montrer que le vecteur de Poynting au point M peut s’écrire :
الو نار = ) 1 TIM
270
7 2
Cu 3 ) 1 )e, . Commenter la direction de ce vecteur
et donner sa signification physique.
3.9. En déduire la puissance rayonnée sortant de l’espace entre les
armatures délimité par la surface latérale du cylindre d’axe (Oz) et de
rayon a.
3.10. Déterminer alors l’énergie électromagnétique qui est entrée dans cet
espace pendant la charge du condensateur. Conclure.
4. Condensateur en régime sinusoïdal forcé
On relie maintenant le condensateur étudié dans la partie précédente à un
générateur idéal de tension de f.é.m. sinusoïdale U =U,cos(@t). On suppose que
la charge se répartit uniformément sur les armatures et que les variations
temporelles sont suffisamment lentes pour que le champ électrique entre les
armatures conserve la même expression qu'en régime stationnaire.
4.1. Exprimer le champ électrique E() en tout point entre les armatures
du condensateur.
4.2. Etablir l'expression du champ magnétique B(M,t) entre les du
condensateur.
4.3. Calculer la densité volumique w, d'énergie électrique et la densité
volumique w,, d'énergie magnétique.
4.4. Montrer que le rapport de la densité volumique moyenne d'énergie
magnétique sur la densité volumique moyenne d'énergie électrique s'écrit :
11 2ن r 2
À quelle condition sur le a peut-on négliger w,, devant w,. Que
11
représente physiquement cette condition ?
4.5. Si a=3cm, dans quelle domaine de fréquence la condition établie
dans la question précédente est-elle vérifiée ? Cette condition est-elle
vérifiée dans les montages usuels ?
4.6. Calculer le vecteur de Poynting pour r =a, puis le flux rentrant de ce
vecteur à l'intérieur du condensateur. Interpréter.
Epreuve de Physique Il 4/8
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5. Application : Capteur capacitif
On plonge le condensateur formé des deux armatures (P,) et (P,) dans une
cuve contenant un liquide (F) isolant de permittivité
électrique relative e, (figure 5). Les deux armatures sont ل
de forme rectangulaire (longueur 7 et largeur !) et
distantes de d . Le liquide est assimilé à un diélectrique air
homogène, linéaire et isotrope. Le niveau du liquide est
repéré par la hauteur h (O‹h‹L). L'air surmontant le L
liquide est de l'air que l'on assimile de point de vue F) 1h
électrique au vide.
figure 5
5.1. On peut alors considérer le condensateur ainsi obtenu comme
l'association de deux condensateurs € et 66 € et C, sont-ils associés en
série ou en parallèle ?
5.2. Déterminer l'expression de la capacité équivalente C, en fonction de
h, ما L, d, & et &. Montrer que C, s'écrit sous la forme : C, =a+fh.
Calculer les valeurs numériques des constantes ه et / sachant que C, est
exprimé en pF et h en m. On donne : L=1,00m, ! =4,31 cm, d =2,54 mm
et e (F)=80.
6. Mesure du niveau d’un liquide dans un réservoir
On souhaite mesurer la hauteur h d’un liquide contenu dans un réservoir
à l’aide du dispositif étudié ci-dessus. On insère alors le condensateur plan
plongé dans le réservoir contenant un liquide dans le circuit de la figure 6.
h capteur
capacitif
Li mf N
figure 6
6.1. Le signal v, est délivré par le multivibrateur astable de la figure 7 où
l'amplificateur opérationnel de tensions de saturation +V,, est considéré
idéal.
6.1.1. Montrer que les seules tensions possibles en sortie sont +, ou
ال 2. Quelles sont les tensions v, correspondantes à l'entrée non
inverseuse de l'AO ?
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6.1.2. Etudier le fonctionnement de ce circuit et montrer qu'il est le siège
d'oscillations dues à des charges et des décharges du condensateur.
On suppose qu’à la mise sous R"
tension à t=0, le
condensateur est chargé à
8 Fu et V = + *
figure 7
6.1.3. Sur un chronogramme, dessiner l'évolution des tensions v,, v_ etv
sur deux périodes complètes.
6.1.4. On suppose qu'un régime périodique s'est établi. Calculer les temps
de charge T. et de décharge T, du condensateur au cours d'une période.
En déduire l’expression de la période 7 des oscillations de la tension v,
en fonction de R', C', R, et R,.
6.2. Le signal v, est appliqué à l'entrée du montage de mise en forme
représenté dans la figure 8a. (D) est une diode zener dont la
caractéristique est représentée dans la figure 7b. On donne : U,=-—0,5 V et
VU, 5,117
figure 8a
figure 8b
6.2.1. Représenter l'allure de la tension v,, en fonction du temps.
6.2.2. Calculer la valeur minimale de R, limitant l'intensité du courant i, à
10mA lorsque v, prend sa valeur minimale. Cette valeur est-elle
toujours correcte lorsque v, prend sa valeur maximale ? Justifier votre
réponse.
Epreuve de Physique Il 6/8
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6.3. Le monostable, alimenté par une tension continue V, =5 V , est un
circuit électronique qui a un seul état stable (il correspond ici à l'état bas,
sortie à OV ) quand il est au repos. Il utilise le condensateur C,, une
résistance ajustable R, et deux portes logiques ET-NON. Il est déclenché à
chaque transition descendante du signal d'entrée 4 de période T =2ms
délivré par le circuit de mise en forme. Il passe alors à son état instable (ici
à l'état haut, +5 V ), il y reste une durée T; =R,C, (durée de l'état instable)
qui dépend de R, et C,, puis il revient à son état stable au bout de ce
temps. Cette durée ne peut être inférieure à T, =10 jus .
de la
de R, permettant un
6.3.1. Le réservoir est supposé vide. Calculer la valeur minimale C
/ min
capacité C,. Déterminer la valeur minimale R
x min
fonctionnement correct du monostable.
hmax d ê
de R, permettant
6.3.2. Le réservoir est supposé plein. Calculer la valeur maximale نل
la capacité C,. Déterminer la valeur maximale Rx
d’avoir T,‹T .
6.3.3. Représenter l’allure de la tension de sortie du monostable v,() pour
une hauteur h 250 cm . On prendra R =82,3kQ.
6.3.4. Déterminer l’expression de la valeur moyenne ا de la tension de
sortie v,,(t) en fonction de R, , Ch, @, T , Ve et h. Commenter. Quelle
est la plage de variation de ما Pour R_=82,3 kQ ?
6.4. Afin d'obtenir la composante continue de la tension v,(), on
applique cette tension au filtre de fonction de transfert H(jœ)= . On
1+7
7
réalise le filtre à l'aide d'une résistance R, =220 kQ et d'un condensateur de
capacité C مز
6.4.1. Préciser, en le justifiant, la nature du filtre. Déterminer la fréquence
de coupure théorique f. à —3 dB , et le comportement du circuit de part
et d’autre de sa fréquence de coupure.
6.4.2. Le développement en série de Fourier de la tension v,() est
٠ وم كل + sin(nat + 0 )) où n est un entier et ده = . Tracer le
spectre de la tension v,, ()
6.4.3. Donner l'expression de la tension v,() à la sortie du filtre. A quelle
condition sur f. peut-on écrire v, (t)=V,, +V, sin(@r +@,) ? Exprimer V,, et
6.4.4. La fréquence de coupure du filtre est f. =0,5 Hz . Justifier le choix de
Epreuve de Physique Il 7/8
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cette valeur et calculer la valeur de C, permettant d'obtenir cette
fréquence.
6.4.5. On néglige toute tension dont l'amplitude est inférieure à 3mV.
Vérifier que l'on peut écrire v, (6) =V, -
6.5. Pour acquérir et traiter le signal v, à l’aide d’un ordinateur il faut
convertir le signal analogique obtenu à la sortie du filtre en signal
numérique : on utilise alors un convertisseur analogique-numérique (CAN).
On peut décomposer la conversion en deux étapes : l’_échantillonnage et la
numérisation. Dans la pratique, ces deux étapes se font simultanément.
6.5.1. Justifier que la tension acquise v,() à la sortie du filtre est un signal
électrique analogique.
6.5.2. 18 tension analogique acquise y, est échantillonnée avec une période
d’échantillonnage T, pendant une durée d’acquisition Expliquer
brièvement le principe de l’échantillonnage d'un signal analogique et
donner le nombre d’échantillons prélevés par seconde. Proposer un
montage pratique simple réalisant l’_échantillonnage.
6.5.3. Un ordinateur ne peut traiter que des signaux numériques. Définir ce
qu’est un signal numérique et expliquer brièvement le principe de la
numérisation. Quels sont les avantages de la numérisation ?
; on dispose d’un CAN de 8 bits et de
calibre (plage de tension convertible en numérique) [Vin V mx |- ON appelle
6.5.4. Pour numériser la tension v
N le mot binaire fourni en sortie du CAN. On admettra que la tension à
l'entrée du CAN a pour expression v, =0,031+2,438.h , où v, est exprimée
=O0V et ١ .ىن 2.360 V .
min max
en volt et h en mètre. On donne : V
6.5.4.1. Combien de valeurs possibles peut prendre un échantillon numérisé
sur 8 bits 2
6.5.4.2. La résolution d'un CAN ou encore quantum est la plus petite
variation de tension analogique que le CAN sera capable de repérer. On
; Veux —V mi - ;
la définit par : q = TT , h, étant le nombre de bits. Quelle est la
résolution q du CAN utilisé ? En déduire la plus petite variation de
hauteur du liquide mesurable par celui-ci. Quelles sont les valeurs
minimale et maximale que pourra prendre N ?
6.5.4.3. On admet que l'incertitude globale Ah sur toute la chaîne de mesure
est équivalente à 2,5 fois la valeur de la résolution du CAN. Calculer
alors Ah.
6.5.4.4. Calculer la valeur du mot binaire N fourni en sortie du CAN et son
incertitude AN pour une hauteur de liquide mesurée h =50 em .
Epreuve de Physique Il 8/8
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✅ Correction proposée
Il s'agit d'une correction proposée, rédigée par l'équipe wadifa-info pour vous aider à comprendre la méthode — ce n'est pas un corrigé officiel de l'administration organisatrice.
Ce modèle est l'épreuve de Physique II du Concours National Commun (CNC), session 2015, filière TSI (classes préparatoires, accès aux écoles d'ingénieurs). Sujet unique en 8 pages : « Étude d'un capteur capacitif » : champ de deux plans chargés, condensateur plan (avec diélectrique), charge lente et bilan énergétique (Maxwell, Poynting), régime sinusoïdal (ARQS), capteur de niveau capacitif, puis chaîne d'acquisition complète (astable, mise en forme Zener, monostable, filtre, CAN). Voici une correction proposée avec la numérotation du sujet. Données : ε0 = 1/(36π·109) ≈ 8,84·10−12 F·m−1, c = 3·108 m·s−1.
💡 Conseil : la partie 6 (électronique) est longue mais très calculatoire et indépendante : elle rapporte beaucoup de points. Les valeurs α et β de 5.2 servent dans toute la partie 6.3 : vérifiez-les deux fois.
1. Champ électrostatique d'un système de deux plans conducteurs
1.1.1. Symétries : tout plan passant par M et perpendiculaire à (P1) (par exemple (M, ex, ez) et (M, ey, ez)) est plan de symétrie de la distribution ; E(M), vecteur polaire, appartient à ces deux plans, donc à leur intersection : E est porté par ez. Invariances : le plan illimité est invariant par toute translation selon Ox et Oy, donc E ne dépend que de z. Conclusion : E1(M) = E1(z) ez.
1.1.2. Maxwell-Gauss : div E = ρ/ε0. Hors du plan, ρ = 0, donc dE1/dz = 0 : E1 est constant dans chaque demi-espace. Le plan z = 0 est plan de symétrie : E1(−z) = −E1(z). Relation de passage : E1(0+) − E1(0−) = σ/ε0. D'où :
E1 = +σ/(2ε0) pour z > 0 ; E1 = −σ/(2ε0) pour z < 0.
Potentiel (E = −dV/dz ez) : V1(z) = −σ|z|/(2ε0) + V0 (continu en z = 0).
1.2.1. Le plan (P2) en z = d, de densité −σ, crée E2 = −σ/(2ε0) ez pour z > d et +σ/(2ε0) ez pour z < d. Par superposition :
| Région | E(M) | V(z) (avec V(0) = V1) |
|---|---|---|
| z < 0 | 0 | V1 |
| 0 < z < d | σ/ε0 ez | V1 − σz/ε0 |
| z > d | 0 | V1 − σd/ε0 = V2 |
1.2.2. Allures : E(z) est un créneau nul hors de [0, d], égal à σ/ε0 entre les plans (discontinuités de σ/ε0 en z = 0 et z = d). V(z) est constant (V1) pour z < 0, décroît linéairement de V1 à V1 − σd/ε0 entre 0 et d, puis reste constant ; V est continu partout.
2. Condensateur plan
2.1. Un conducteur est en équilibre électrostatique lorsque ses charges libres sont immobiles : le champ y est nul, le conducteur est équipotentiel et les charges sont réparties en surface. Un condensateur est formé de deux conducteurs (armatures) en influence totale, séparés par un isolant : les charges des armatures sont opposées.
2.2. Les dimensions des armatures doivent être grandes devant leur distance : L ≫ d et l ≫ d (armatures planes, parallèles, rapprochées). Les lignes de champ sont alors parallèles et le champ uniforme sauf sur les bords.
2.3. Influence totale : Q2 = −Q1. On définit la charge du condensateur par Q = Q1 = −Q2 (ici Q = σS).
2.4. Capacité : C = Q/U, avec U = V1 − V2. D'après 1.2.1, U = ∫0d E dz = σd/ε0, et Q = σS. D'où C0 = Q/U = ε0S/d.
2.5.1. Intérêts : augmenter la capacité (facteur εr) à encombrement égal, augmenter la tension de claquage (meilleure rigidité diélectrique que l'air), et maintenir mécaniquement l'écartement des armatures.
2.5.2. Le champ E0 polarise le diélectrique : apparition (ou orientation) de dipôles alignés sur E0. Il en résulte des charges de polarisation (liées) sur les faces de la lame, de signe opposé aux charges des armatures en regard. Elles créent un champ opposé à E0 : dans la lame le champ est réduit à E0/εr. À charge Q fixée, la tension U diminue, donc la capacité augmente.
2.5.3. Le système équivaut à deux condensateurs en série (même charge, tensions qui s'ajoutent) : une couche d'air d'épaisseur (d − e') où E = σ/ε0, et la lame d'épaisseur e' où E = σ/(ε0εr) :
Cair = ε0S/(d − e') et Clame = ε0εrS/e', avec 1/C = 1/Cair + 1/Clame.
(La position de la lame entre les armatures n'intervient pas.)
2.5.4. U = σ(d − e')/ε0 + σe'/(ε0εr) et Q = σS, donc :
C = ε0S / (d − e' + e'/εr) = C0 / [1 − (e'/d)(1 − 1/εr)].
- e' = 0 : C = C0 (pas de diélectrique) ✓ ;
- εr = 1 : C = C0 (la lame est « du vide ») ✓ ;
- e' = d : C = εrC0 (diélectrique remplissant tout l'espace) ✓.
3. Charge lente du condensateur plan
3.1. Loi des mailles : U0 = R dq/dt + q/C, avec q(0) = 0. Avec τ = RC : q(t) = C U0 (1 − e−t/τ), et i(t) = (U0/R) e−t/τ.
3.2. Charge totale (t de 0 à ∞) :
- fournie par le générateur : W1 = ∫U0 i dt = U0 q(∞) = C U0² ;
- emmagasinée : W2 = q(∞)²/(2C) = ½ C U0² ;
- dissipée par effet Joule : W3 = ∫R i² dt = (U0²/R)(τ/2) = ½ C U0² (= W1 − W2, indépendante de R).
3.3. Équations de Maxwell (vide avec charges ρ et courants j) :
| Forme locale | Forme intégrale | Signification |
|---|---|---|
| div E = ρ/ε0 | ∯ E·dS = Qint/ε0 | Théorème de Gauss : les charges sont sources de E |
| div B = 0 | ∯ B·dS = 0 | Flux de B conservatif : pas de « charge magnétique » |
| rot E = −∂B/∂t | ∮ E·dl = −dΦB/dt | Maxwell-Faraday : induction |
| rot B = μ0j + μ0ε0∂E/∂t | ∮ B·dl = μ0(Ienlacé + ID) | Maxwell-Ampère : courants de conduction et de déplacement sources de B |
avec ID = ∬ ε0 ∂E/∂t · dS.
3.4. E = σ/ε0 ez avec σ = q/(πa²) et C = ε0πa²/d :
E(t) = (U0/d)(1 − e−t/τ) ez.
Densité de courant de déplacement : jD = ε0 ∂E/∂t = (ε0U0/(d τ)) e−t/τ ez. (Vérification : jD·πa² = C U0/τ · e−t/τ = i(t) : le courant de déplacement « prolonge » le courant du circuit.)
3.5. Entre les armatures, pas de courant de conduction : ∮Γ B·dl = μ0ε0 d/dt ∬S(Γ) E·dS.
3.6. Les « sources » de B (courant de déplacement jD selon ez, réparti uniformément sur le disque) ont la symétrie cylindrique. Tout plan contenant M et l'axe Oz, (M, er, ez), est plan de symétrie des sources ; B, vecteur axial (pseudo-vecteur), est perpendiculaire à ce plan : B = B eθ. Invariance par rotation autour de Oz (B indépendant de θ) et, en négligeant les effets de bord, par translation selon z : B(M, t) = B(r, t) eθ. Les lignes de champ sont des cercles d'axe Oz, dans des plans z = cte.
3.7. Contour d'Ampère : cercle d'axe Oz de rayon r < a :
2πr B = μ0ε0 πr² dE/dt = μ0ε0 πr² (U0/(dτ)) e−t/τ, d'où
B(M, t) = B0(r) e−t/τ eθ avec B0(r) = μ0ε0U0r/(2dτ) = U0r/(2c²dτ).
3.8. Π = E ∧ B/μ0, avec ez ∧ eθ = −er :
Π = −(1/μ0)(U0/d)(1 − e−t/τ) · μ0ε0U0r/(2dτ) e−t/τ er = (ε0U0²r/(2τd²)) (e−t/τ − 1) e−t/τ er ✓.
Comme e−t/τ − 1 < 0, Π est dirigé vers −er : vers l'axe. Π représente la densité surfacique de puissance électromagnétique transportée (W·m−2) : l'énergie entre dans le condensateur par sa surface latérale.
3.9. Puissance sortant par la surface latérale (r = a, hauteur d, normale sortante er) :
Pray = Π(a) · 2πad = (πε0a²U0²/(τd)) (e−t/τ − 1) e−t/τ = (C U0²/τ)(e−t/τ − 1) e−t/τ < 0.
Elle est négative : de la puissance entre en réalité dans l'espace inter-armatures.
3.10. Énergie entrée : W = ∫0∞ (CU0²/τ)(1 − e−t/τ) e−t/τ dt = CU0²(1 − ½) = ½ C U0² = W2. Conclusion : l'énergie stockée dans le condensateur est exactement celle apportée par le champ électromagnétique à travers la surface latérale ; elle est localisée dans le champ E (densité ε0E²/2 × volume πa²d).
4. Condensateur en régime sinusoïdal forcé
4.1. E(t) = (U0/d) cos(ωt) ez.
4.2. Même calcul qu'en 3.7 : 2πrB = μ0ε0πr² dE/dt, d'où B(M, t) = −(ωrU0/(2c²d)) sin(ωt) eθ.
4.3. we = ε0E²/2 = (ε0U0²/(2d²)) cos²(ωt) ; wm = B²/(2μ0) = (ε0ω²r²U0²/(8c²d²)) sin²(ωt) (en utilisant 1/(μ0c⁴) = ε0/c²).
4.4. Moyennes (⟨cos²⟩ = ⟨sin²⟩ = ½) : ⟨we⟩ = ε0U0²/(4d²), ⟨wm⟩ = ε0ω²r²U0²/(16c²d²), d'où ⟨wm⟩/⟨we⟩ = ω²r²/(4c²) ✓. Le rapport est maximal en r = a : on néglige wm si ωa/(2c) ≪ 1, soit a ≪ 2c/ω = λ/π. Physiquement : les dimensions du condensateur sont petites devant la longueur d'onde, le temps de propagation a/c est négligeable devant la période : c'est l'approximation des régimes quasi stationnaires (ARQS).
4.5. f ≪ c/(πa) = 3·108/(π × 0,03) ≈ 3,2 GHz (par exemple rapport < 1 % pour f < 0,3 GHz). Les montages usuels (du hertz à quelques MHz) vérifient très largement cette condition.
4.6. En r = a : Π = E ∧ B/μ0 = (ε0aωU0²/(4d²)) sin(2ωt) er. Flux entrant par la surface latérale (normale −er) :
Pentrant = −Π(a)·2πad = −(πε0a²ωU0²/(2d)) sin(2ωt) = −(CωU0²/2) sin(2ωt).
Interprétation : c'est exactement d/dt(½CU²) avec U = U0cos ωt. La puissance entrante est alternativement positive et négative, de moyenne nulle : le condensateur stocke puis restitue l'énergie, sans dissipation.
5. Application : capteur capacitif
5.1. Les deux parties (air et liquide) sont entre les mêmes armatures, donc soumises à la même tension : C'0 et C1 sont en parallèle.
5.2. C'0 = ε0 l (L − h)/d (air) et C1 = ε0εr l h/d (liquide). Donc :
Ch = ε0 l L/d + ε0 l (εr − 1) h/d = α + βh, avec α = ε0lL/d et β = ε0l(εr − 1)/d.
A.N. : α = 8,84·10−12 × 0,0431 × 1,00/2,54·10−3 ≈ 150 pF ; β = 79 × 150 ≈ 1,19·104 pF·m−1. Soit Ch ≈ 150 + 11 850 h (pF, h en m). Le capteur est linéaire en h.
6. Mesure du niveau d'un liquide dans un réservoir
6.1.1. L'AO est rebouclé sur son entrée non inverseuse par R2 (réaction positive) : le régime linéaire est instable et l'AO fonctionne en saturation, va = +Vsat (si ε = v+ − v− > 0) ou −Vsat (si ε < 0). Diviseur de tension (courant d'entrée nul) : v+ = R1va/(R1 + R2) = ±R1Vsat/(R1 + R2).
6.1.2. Notons k = R1/(R1 + R2). À t = 0 : va = +Vsat, v+ = +kVsat, v− = −kVsat. C' se charge à travers R' vers +Vsat ; quand v− atteint +kVsat, ε change de signe : va bascule à −Vsat et v+ à −kVsat. C' se décharge alors vers −Vsat jusqu'à v− = −kVsat, nouveau basculement, etc. Le circuit oscille sans entrée : c'est un multivibrateur astable.
6.1.3. Chronogramme (deux périodes) : va créneau ±Vsat ; v+ créneau ±kVsat en phase avec va ; v− formé d'arcs d'exponentielles oscillant entre −kVsat et +kVsat (croissant quand va = +Vsat, décroissant sinon), les basculements se produisant quand v− rejoint v+.
6.1.4. Charge (τ' = R'C') : v−(t) = Vsat − (1 + k)Vsat e−t/τ'. Fin de charge pour v− = kVsat : e−Tc/τ' = (1 − k)/(1 + k), soit
Tc = R'C' ln[(1 + k)/(1 − k)] = R'C' ln(1 + 2R1/R2). Par symétrie Td = Tc, et T = 2R'C' ln(1 + 2R1/R2).
6.2.1. D'après la caractéristique (figure 8b) : quand va = +Vsat (> 5,1 V), la Zener conduit en régime Zener et vmf = UZ = 5,1 V ; quand va = −Vsat, elle conduit en direct et vmf = UD = −0,5 V. vmf est un créneau de même période T, entre +5,1 V et −0,5 V (compatible avec l'entrée logique du monostable).
6.2.2. Pour va = −Vsat : |iz| = (Vsat − 0,5)/Rp ≤ 10 mA, donc Rp,min = (Vsat − 0,5 V)/10 mA. L'énoncé ne donne pas Vsat ; pour une valeur usuelle Vsat ≈ 15 V : Rp,min ≈ 1,45 kΩ (pour Vsat = 14 V : 1,35 kΩ). Pour va = +Vsat : iz = (Vsat − 5,1)/Rp < (Vsat − 0,5)/Rp ≤ 10 mA : la valeur reste correcte (le courant est plus faible).
6.3.1. Réservoir vide (h = 0) : Ch,min = α ≈ 150 pF. Il faut Ti = RxCh ≥ T0 pour toute hauteur, le cas le plus défavorable étant h = 0 : Rx,min = T0/Ch,min = 10·10−6/150·10−12 ≈ 66,7 kΩ.
6.3.2. Réservoir plein (h = L) : Ch,max = α + βL = εrα ≈ 12,0 nF. Condition Ti < T : Rx,max = T/Ch,max = 2·10−3/12,0·10−9 ≈ 167 kΩ. (Rx = 82,3 kΩ est bien dans [66,7 ; 167] kΩ.)
6.3.3. h = 0,50 m : Ch = 150 + 11 853 × 0,5 ≈ 6 077 pF ; Ti = 82,3·103 × 6,077·10−9 ≈ 0,50 ms. vm(t) : impulsions rectangulaires de +5 V pendant 0,5 ms, déclenchées à chaque front descendant de vmf, puis 0 V pendant 1,5 ms ; période 2 ms (rapport cyclique 25 %).
6.3.4. Vm0 = VCCTi/T = (VCCRx/T)(α + βh), où α = C0 = ε0lL/d (capacité à vide). Vm0 est une fonction affine de h : la valeur moyenne code la hauteur. Plage pour Rx = 82,3 kΩ :
- h = 0 : Vm0 = 5 × 82,3·103 × 150·10−12/2·10−3 ≈ 0,031 V ;
- h = 1 m : Vm0 ≈ 2,47 V.
Soit Vm0 ≈ 0,031 + 2,44 h (V), conforme à l'expression donnée en 6.5.4.
6.4.1. |H| → 1 quand ω → 0 et |H| → 0 quand ω → ∞ : filtre passe-bas du premier ordre (cellule RfCf, ω0 = 1/(RfCf)). fc = ω0/(2π) = 1/(2πRfCf). Pour f ≪ fc : gain ≈ 1, déphasage ≈ 0 (signal transmis) ; pour f ≫ fc : |H| ≈ fc/f, pente −20 dB/décade, déphasage −90° (comportement intégrateur).
6.4.2. Spectre de raies : une composante continue Vm0 = VCCTi/T, puis des raies aux fréquences n/T = n × 500 Hz. Pour un créneau de rapport cyclique a = Ti/T : Vmn = (2VCC/(nπ)) |sin(nπa)|. Pour h = 50 cm (a = 0,25) : Vm0 = 1,25 V ; Vm1 ≈ 2,25 V (500 Hz) ; Vm2 ≈ 1,59 V (1 kHz) ; Vm3 ≈ 0,75 V ; Vm4 = 0 ; Vm5 ≈ 0,45 V…
6.4.3. Le filtre étant linéaire, chaque harmonique est traitée séparément :
vf(t) = Vm0 + Σn≥1 [Vmn/√(1 + (nf/fc)²)] sin(nωt + φmn − arctan(nf/fc)), avec f = 1/T.
Si fc ≪ f = 1/T, les harmoniques sont atténuées en fc/(nf) et, leurs amplitudes décroissant déjà en 1/n, seul le fondamental reste non négligeable : vf(t) ≈ Vf0 + Vf1 sin(ωt + φf1), avec Vf0 = Vm0 et Vf1 = Vm1/√(1 + (f/fc)²) ≈ Vm1 fc/f.
6.4.4. fc = 0,5 Hz ≪ f = 500 Hz : l'ondulation est divisée par 1000 tandis que la composante continue est transmise intégralement ; la valeur est choisie pour extraire la valeur moyenne. (Contrepartie : temps de réponse de quelques 1/(2πfc) ≈ 0,3 s, acceptable pour un niveau de liquide qui varie lentement.) Cf = 1/(2πRffc) = 1/(2π × 220·103 × 0,5) ≈ 1,45 µF.
6.4.5. |H(f)| ≈ 10−3 à 500 Hz. Pour h = 50 cm : Vf1 ≈ 2,25 V × 10−3 ≈ 2,3 mV < 3 mV, et les harmoniques suivantes sont encore plus faibles (Vf2 ≈ 0,8 mV, Vf3 ≈ 0,25 mV). Donc vf(t) ≈ Vf0. (Remarque : la borne supérieure Vm1 ≤ 2VCC/π ≈ 3,2 V donne au pire Vf1 ≈ 3,2 mV, du même ordre que le seuil, pour un réservoir presque plein.)
6.5.1. vf(t) est défini à tout instant (temps continu) et peut prendre toute valeur dans sa plage (amplitude continue) : c'est une tension image continue de la hauteur, donc un signal analogique.
6.5.2. Échantillonner, c'est prélever la valeur du signal à des instants régulièrement espacés tk = kTe (et la maintenir le temps de la conversion). Nombre d'échantillons par seconde : fe = 1/Te (soit Ta/Te échantillons sur la durée d'acquisition). Il faut respecter le critère de Shannon (fe > 2 fmax du signal). Montage simple : échantillonneur-bloqueur — un interrupteur commandé (transistor, interrupteur analogique) piloté par une horloge de période Te, un condensateur de maintien et un AO suiveur.
6.5.3. Un signal numérique est discret en temps et en amplitude : une suite de nombres codés en binaire. Numérisation (quantification + codage) : chaque échantillon est comparé à 2n niveaux et on lui associe le mot binaire de n bits du niveau correspondant. Avantages : insensibilité au bruit, stockage, copie et transmission sans dégradation, traitement par logiciel (calculs, filtrage numérique, affichage).
6.5.4.1. 28 = 256 valeurs (de 0 à 255).
6.5.4.2. q = (2,560 − 0)/(28 − 1) = 2,560/255 ≈ 10,0 mV. Avec vf = 0,031 + 2,438h, la plus petite variation de hauteur détectable : Δhmin = q/2,438 ≈ 4,1 mm. N peut a priori prendre les valeurs 0 à 255 (00000000 à 11111111). Pour le réservoir : h = 0 → vf = 0,031 V → N = 0,031/q ≈ 3 ; h = 1 m → vf = 2,469 V → N ≈ 246 (245 si le CAN tronque). Donc en pratique Nmin ≈ 3 et Nmax ≈ 246.
6.5.4.3. Δh = 2,5 × 4,12 mm ≈ 10 mm = 1 cm.
6.5.4.4. h = 0,50 m : vf = 0,031 + 2,438 × 0,5 = 1,250 V ; N = 1,250/0,010039 ≈ 124,5, soit N ≈ 125 (01111101 en binaire ; 124 = 01111100 si le CAN tronque). Incertitude : ΔN = Δh × 2,438/q = 2,5, soit ΔN ≈ ±3 (N = 125 ± 3).
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