Modèle de concours : CNC 2017 Physique I (TSI) — Concours National Commun
En bref
Ce document est une ancienne épreuve écrite du concours de Concours d'accès aux écoles d'ingénieurs organisé par Concours National Commun (CNC) — CPGE (2017), publiée sur Wadifa Info en consultation et téléchargement PDF gratuits, avec une correction proposée.
- Organisme
- Concours National Commun (CNC) — CPGE
- Grade
- Concours d'accès aux écoles d'ingénieurs
- Spécialité
- Physique I
- Année
- 2017
- Pages
- 8
- Langue des questions
- français
- Correction
- correction proposée disponible sur cette page
📝 Texte des questions (extrait automatiquement des pages scannées)
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— صفحة 1 — Concours National Commun - Session 2017 - Filière TSI * On veillera à une présentation et une rédaction claires et soignées des copies. Il convient en particulier de rappeler avec précision les |références des questions abordées. ٠ Si au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant clairement les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre. Toutes les réponses devront être très soigneusement justifiées. Siun résultat donné par l'énoncé est non démontré, il peut néanmoins être admis pour les questions suivantes. Ainsi, les diverses parties du problème sont relativement indépendantes entre elles. Étude d’un corps pur diphasé en équilibre Le but de ce problème est d’étudier quelques propriétés d’un corps pur diphasé. Le fluide étudié est l'hexafluorure de soufre (SF). Les différentes parties de ce problème sont largement indépendantes. Données numériques : * Volume massique de vapeur saturante de SF, à T, =25°C : v, =5,1Lkg"". * Volume massique du liquide saturant de SF, à T,=25°C : v, =1,25Lkg"". * Masse molaire de l’hexafluorure de soufre : M(SF,)=146g.mol"" . e Caractéristiques du point critique du SF, : T.=45,5°C et P.=37,6 bar . ٠ Constante des gaz parfaits : R=8,31J.mol" K"'. ٠ Constante de Boltzmann : وا -1,38.10 77.7 + Constante d’Avogadro : N, - 6602.107: ٠ lbar=10*Pa. e Coefficient de dilatation à pression constante : a = 2 | 2 : ٠ Coefficient de compressibilité isotherme : y, =- ) ا : e Relation de Clapeyron : /,=T(v,-v, ص : 1. Généralités sur l’équilibre liquide - vapeur d’un corps pur 1.1. Donner l’allure la plus générale du diagramme de phase P=P(T) d’un corps pur en faisant apparaître les trois états physiques du corps, les noms des Épreuve de Physique I 1/8 نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو wadifa-info.com — صفحة 2 — Concours National Commun - Session 2017 - Filière TSI différentes courbes et les points remarquables. 1.2. Que signifie le terme saturant ? Définir la pression de vapeur saturante. De quel paramètre cette grandeur dépend-t-elle ? Comment varie-t-elle en fonction de ce paramètre 7 1.3. En utilisant la relation de Clapeyron et en précisant les approximations faites, montrer que la pression de vapeur saturante s’exprime en fonction de la température par la relation : In(P(T))= A+ ; où A et B sont des constantes que lon exprimera en fonction des données. En déduire une méthode pour déterminer expérimentalement la chaleur latente de vaporisation. 1.4. Représenter les isothermes 1, T, , T. (température du point critique) et 7, (7, ‹T,‹T. ‹T,) d’un corps pur dans le diagramme de Clapeyron P (pression) et v (volume massique). Noter sur ce diagramme la courbe de saturation (on précisera les deux branches). Faire apparaître le point critique, la zone où la phase fluide hypercritique est présente, les zones de présence des phases liquide et gaz et de coexistence des deux phases. 1.5. L’isotherme T, a-t-elle une pente nulle 2 Si non, justifier pourquoi. 1.6. Justifier la forme des isothermes en phase liquide puis en phase gaz. Quelle est la distinction rigoureuse entre gaz et vapeur ? 2. Équation d’état d’un gaz parfait Dans le modèle du gaz parfait, une mole d’un tel gaz occupant un volume V sous la pression 7 et à la température T obéit à l’équation d’état donnée par : PV=RT. 2.1. Rappeler la définition d’un gaz parfait. 2.2. Déterminer les coefficients thermoélastiques مه Et Xrçp POUr UN gaz parfait. 2.3. En vous servant d’un schéma, décrire la détente de Joule et Gay Lussac pour un gaz quelconque. Quelle est la grandeur conservée dans cette détente ? Justifier. 2.4. On suppose que le gaz est parfait. Quelle autre grandeur est conservée dans la détente de Joule et Gay Lussac ? Qu’appelle-t-on première loi de Joule ? 2.5. L'énergie interne molaire d’un gaz de capacité calorifique molaire .ا à pour expression : U(T,V)= 67 - + Vo où a est une constante. Ce gaz suit-il la première loi de Joule ? Justifier la réponse. 2.6. Dans le cadre de la théorie cinétique des gaz, on montre que la pression dans un gaz parfait s’exprime par la relation P = : (7 “يروم où 177 représente le nombre de molécules de gaz par unité de volume, m la masse d’une molécule du gaz et u la vitesse quadratique moyenne des molécules. Retrouver l’équation d’état d’un gaz parfait à partir de cette relation. 3. Équation d’état d’un gaz non-idéal : modélisation d’un gaz réel 3.1. Les molécules d'un gaz réel ont un volume non négligeable et, d'autre part, elles interagissent entre elles. En effet, lorsque la densité moléculaire augmente Épreuve de Physique I 2/8 نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو wadifa-info.com — صفحة 3 — Concours National Commun - Session 2017 - Filière TSI et que la distance intermoléculaire diminue, il est impossible de négliger les interactions entre les molécules : le modèle du gaz parfait est inadapté. Pour expliquer les propriétés des fluides réels, il est donc essentiel de tenir compte des forces intermoléculaires : le physicien J. Van der Waals, prix Nobel de Physique en 1910, a établi en 1873 leur origine électromagnétique. Dans le cas d’un gaz suffisamment dilué, il est parfois fait usage en physique statistique d’une énergie potentielle intermoléculaire FE,(r) de type Lennard-Jones pour modéliser les interactions intermoléculaires : représente la distance entre deux molécules M, et M, supposées ponctuelles. E, et و sont deux constantes positives. 3.1.1. Tracer l’allure de E,(r) en fonction de la distance r. Donner les positions remarquables (minimum, valeurs nulles et limites). 3.1.2. Quelle est l'origine physique des deux termes de E,(r) ? 3.1.3. Quelle est la position d'équilibre r=r, ? Exprimer l'énergie potentielle E, correspondant à cette position. 3.1.4. Que se passe-t-il de part et d’autre de la position d’équilibre r=r, ? Et quel est le terme de E,(r) qui intervient ? 3.1.5. Donner l'expression de la force d’interaction F=Fe, ( واد vs i M,M, exercée par la molécule M, sur l’autre molécule M,. Préciser, en le justifiant, les domaines de distances où la force d’interaction F est attractive, répulsive ou nulle. 3.1.6. Représenter la courbe de la force correspondante F en fonction de r. À quelle distance la force attractive est-elle maximum 2 3.1.7. La portée de l'interaction est inférieure au nanomètre. Les constantes E, et n d’un gaz valent respectivement ورلا = 6,4.10"J et 1, =0,34nm . Jusqu’à quelle pression est-il légitime de considérer le comportement de ce gaz comme celui d’un gaz parfait à 293K ? 3.2. En prenant en compte les interactions intermoléculaires, Van der Waals a proposé l’équation d’état suivante pour une mole : (P+ FL -b)=RT, où a et b sont deux constantes dépendant du gaz considéré, et auxquelles on peut avoir accès expérimentalement. Cette équation décrit parfaitement les états gazeux et liquide de la matière. 3.2.1. Donner une interprétation microscopique des termes correctifs de l’équation d’état d’un gaz réel de Van der Waals par rapport au modèle du gaz parfait. 3.2.2. Justifier que l’on peut estimer la constante b en fonction du diamètre Épreuve de Physique I 3/8 نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو wadifa-info.com — صفحة 4 — Concours National Commun - Session 2017 - Filière TSI moléculaire d par : b=N,d°. 3.2.3. Quelles sont les unités de a et b dans le système international ? Quelle différence y a t-il entre a et b d’une part et R de l’autre ? 3.2.4. Les coefficients a et b sont-ils intensifs ou extensifs ? En utilisant les propriétés d'’intensivité ou d'’extensivité des grandeurs intervenant dans l'équation de Van der Waals, établir l’équation correspondante relative à م moles reliant le volume V, la pression 7 et la température T. 3.2.5. Montrer que le gaz de Van der Waals obéit au comportement limite commun à tous les gaz appelé gaz parfait. 3.2.6. Déterminer le coefficient de compressibilité isotherme x%,çyy EN fonction des variables indépendantes 1 et V. Retrouver l’expression .و dans le cas d’un gaz parfait. Comparer les compressibilités d’un gaz de Van der Waals et d’un gaz parfait. 3.2.7. Au point critique, l’isotherme critique de Van der Waals subit une Déterminer les expressions du volume molaire ,ا de la température T. et de la inflexion à tangente nulle, ce qui se traduit par : 5) =0 ai 7 | =0. pression 7 du point critique C en fonction de a, bet R. 3.2.8. Les caractéristiques du point critique dépendent-elles de la masse du fluide ? 3.2.9. Exprimer les constantes de Van der Waals a et b en fonction de 71 et P.. Calculer numériquement a et b pour l’hexafluorure de soufre. 3.2.10. En utilisant les résultats des questions précédentes, estimer numériquement le diamètre d,, d’une molécule d’hexafluorure de soufre. 3.2.11. L'énergie interne d’un gaz de Van der Waals de capacité calorifique molaire Cm @ pour expression : U(T,V)=nC,ynt وخ U,. Ce gaz suit-il la première loi de Joule ? Déduire l’énergie interne d’un gaz parfait. 3.2.12. On pose 0= = ,v= = et دج , . Montrer que l’équation d’état de Van der Waals « adimensionnée » liant 0, v et w est universelle, c’est à dire qu’elle ne fait plus intervenir aucune constante dépendant du gaz. 4. Application : étude expérimentale de l’équilibre SF, == SF On dispose d'une éprouvette graduée thermostatée en verre épais dans laquelle se trouve une masse m, d’hexafluorure de soufre SF, dont la température T est régulée au moyen d'une circulation d'eau (figure 1). Un volant permet de régler le volume V occupé par la quantité fixe de SF, emprisonnée. Épreuve de Physique I 4/8 نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو wadifa-info.com — صفحة 5 — Concours National Commun - Session 2017 - Filière TSI Dans l’état initial (point 7), le fluide SF, est gazeux et on l’assimile à un gaz parfait. Son volume est SF, gazeux V,=4,0mL, sa pression est P, =17bar et sa température est 7-2550. À cette température, la pression de vapeur saturante de SF est P,=26baret sa chaleur latente de SF. tiquide vaporisation est : /, =57,4kJ kg". 4.1. Calculer la masse m, de fluide contenu dans mercure liquide l’éprouvette. En déduire le volume massique initial v, du fluide. figure 1 : éprouvette 4.2. Compression isotherme du fluide À l’aide d’un piston, on comprime très lentement le gaz jusqu’à l’état final (point F). Le volume du gaz dans cet état est V,=0,28mL et sa pression est La température est maintenue constante égale à 7 =25°C grâce à la . 32,5007 - ما cuve thermostatée. 4.2.1. Calculer le volume massique final v, du fluide. 4.2.2. Compte tenu des valeurs numériques, décrire qualitativement l’évolution du fluide. 4.2.3. Calculer le volume V, à partir duquel le fluide commence à se liquéfier (point A). 4.2.4. Calculer le volume V, à partir duquel le fluide est totalement liquéfié (point B). 4.2.5. Comment va varier le volume du fluide si l’on continue à le comprimer ? Pourquoi ? 4.2.6. On s’intéresse au point M situé sur l’isotherme 7 =25°C entre les deux points À et B. Le volume correspondant à cet état est V, =0,6mL. Quel est l’état physique du fluide au point M ? Déterminer la proportion en masse de vapeur ou titre massique x, ? 4.2.7. Représenter la transformation isotherme du fluide étudié dans le diagramme de Clapeyron. Noter sur ce diagramme la courbe de saturation. On y ajoutera les notations et les légendes qui conviennent et on fera apparaître les points /, A, M, B et F. 4.2.8. Représenter la transformation du corps pur SF, de l’état 7 à l’état F dans le diagramme de phase de la question 1.1. On y placera dessus les points I, A, M, BetF. 4.2.9. Le tableau suivant donne le relevé expérimental de la pression de vapeur saturante en fonction de la température : كا ل ا كا اج ا عد EN ا ام ا ا En supposant la TEE latente de EEE ل de la Épreuve de Physique I 5/8 نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو wadifa-info.com — صفحة 6 — Concours National Commun - Session 2017 - Filière TSI température, déterminer sa valeur numérique. Commenter l’erreur relative commise. 4.3. Bilans énergétique et entropique On suppose la compression du fluide isotherme et réversible. D’autre part, on considère le fluide SF, comme un gaz parfait à l’état gazeux. 4.3.1. Calculer la chaleur Q, et le travail W reçus par le fluide (échangés avec le thermostat) pour passer du point / au point À. 4.3.2. Calculer la chaleur Q, et le travail W, reçus par le fluide (échangés avec le thermostat) pour passer du point A au point M 2 4.3.3. En déduire la variation d’énergie interne AU, du fluide lors de la transformation du point / au point M . m du fluide lors de la transformation du point / au point M . Préciser les entropies créée et échangée au cours de cette transformation. 4.3.4. Calculer la variation d’entropie AS 5. Étude interférométrique de l’hexafluorure de soufre gazeux On propose dans cette partie d’étudier, par interférométrie, le comportement de l’hexafluorure de soufre gazeux. On considère un interféromètre de Michelson idéal (figure 2) constitué par : - une lame semi-réfléchissante, non absorbante, appelée séparatrice (S,), d’épaisseur nulle, dont les facteurs de transmission et de réflexion valent 0,5 et n’introduisant aucun déphasage ; - deux miroirs plans, (M,) dit miroir fixe de centre O, et (M,) dit miroir mobile de centre O,. La lame (S,), est inclinée à 45° par rapport aux normales à (M,) et (M,). Les miroirs (M,) et (M,) sont perpendiculaires entre eux et respectivement orthogonaux aux axes OO, et OO, appelés bras de l’interféromètre. On pose OO, =d et OO,=d+e. On suppose que l’interféromètre de Michelson est plongé dans l’air d’indice de réfraction n,=1. L’interféromètre est éclairé par une source étendue S, monochromatique de longueur d’onde dans le vide À =546,Inm . On suppose en outre que les éclairements dus à chacune des deux ondes qui émergent de l'interféromètre sont égaux. On observe la figure d’interférence sur un écran parallèle au miroir fixe et placé dans le plan focal image d’une lentille convergente (L) de distance focale f'=50cm. 5.1. Justifier que la source est spatialement incohérente et temporellement cohérente. 5.2. Initialement, OO,=00,=d . Quel est l’aspect de l’écran d’observation ? Expliquer comment repérer expérimentalement la position correspondant à cette situation. 5.3. On déplace le miroir mobile (M,) parallèlement au bras OO, de e (e›0). On Épreuve de Physique I 6/8 نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو wadifa-info.com — صفحة 7 — Concours National Commun - Session 2017 - Filière TSI considère un rayon lumineux issu de la source S, arrivant sous une incidence d’angle / sur les miroirs. 5.3.1. Dessiner le schéma équivalent du montage en lame d’air à faces parallèles en faisant apparaître les deux miroirs, l’épaisseur de la lame d’air ainsi qu’un rayon incident avec un angle quelconque / et les deux rayons émergents (l) et (2) auxquels il donne naissance. Justifier que les franges d’interférences sont des anneaux. Où sont-elles situées ? Pourquoi utilise-t-on la lentille (L) ? 5.3.2. On se place au voisinage de l'incidence normale. Établir l’expression de l’ordre d’interférence p(M) en fonction de l’angle d’incidence / et des autres données. 5.3.3. On note /, l'intensité maximale au point M . Montrer que l’intensité lumineuse /(M) au foyer image F' de la lentille est donnée par: I(M) = =( + cos(2p,)) . Donner l’expression de p,, ordre d’interférence en F'. Représenter l’allure de l’intensité 7/(M) en fonction de l’épaisseur e. 5.4. L’interféromètre est toujours réglé en lame d’air à faces parallèles. On place dans le bras OO, une cellule cylindrique de longueur /, remplie d’air. L’axe de la cellule est parallèle au bras de l’interféromètre de Michelson. Le miroir mobile (M,) est fixé de façon à avoir une différence de marche nulle en F'. On néglige les réflexions sur les deux faces de la cellule. On vide la cellule de l’air qu’elle contenait. On la remplit ensuite de manière quasi-statique et isotherme par le gaz hexafluorure de soufre d'indice n,, à la température T=20°C. Un manomètre mesure la pression P du gaz. On place un détecteur de lumière quasi ponctuel au foyer image F' de la lentille convergente en sortie de l'interféromètre. La loi de Gladstone donne l'indice de réfraction n d’un gaz de masse volumique م par la relation : ——=C, où C est une constante. 5.4.1. Le détecteur de lumière mesure le défilement de N franges brillantes pour la pression 7 . Dans quel sens défilent-elles ? 5.4.2. Déterminer la variation Ap, de l’ordre p,. En-déduire le nombre de franges N qui ont défilé en fonction de n,, , À et |. 5.4.3. Montrer que N est donné par la relation : N = ap0-4- ; 5.4.4. On note p, la masse volumique du gaz et N, le nombre de franges brillantes qui ont défilé à la pression P,. On définit la grandeur y= 5 BL. 5.4.4.1. Exprimer y en fonction de P, N, P, et N,. 5.4.4.2. Que vaut y si l’on suppose que l’hexafluorure de soufre est un gaz parfait 2 5.4.4.3. La mesure expérimentale de N en fonction de P donne : y=a'-b'P, Épreuve de Physique I 7/8 نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو wadifa-info.com — صفحة 8 — Concours National Commun - Session 2017 - Filière TSI avec a'=1,01 et b'=1,40.107Pa" , la pression P étant exprimée en pascal. Préciser, en le justifiant, si l’hexafluorure de soufre est un gaz parfait. 5.4.4.4. Montrer que le coefficient de compressibilité isotherme x, d’un gaz s’écrit sous la forme : x, = UE . Montrer que x, peut aussi s’écrire en fonction de P, y et A ‘ 5.4.4.5. Montrer finalement que x, est donné par : %,=————— . Calculer la valeur numérique de x, pour P=8,15bar. Source x étendue (Sp)in figure 2 Épreuve de Physique I 8/8 نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو wadifa-info.com
✅ Correction proposée
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Ce modèle est l'épreuve de Physique I du Concours National Commun (CNC) 2017, filière TSI, concours d'admission dans les écoles d'ingénieurs marocaines (8 pages). Thème : étude d'un corps pur diphasé en équilibre, l'hexafluorure de soufre SF6 — équilibre liquide-vapeur, gaz parfait, gaz de Van der Waals, compression isotherme réelle, puis mesure de l'indice du gaz à l'interféromètre de Michelson. Voici une correction proposée, avec la numérotation de l'énoncé.
💡 Conseil : les parties 1, 2 et 3 sont du cours pur (diagrammes, définitions, Van der Waals) : soignez les schémas, ils valent beaucoup de points. Gardez au moins 1 h 30 pour les parties 4 et 5, qui sont calculatoires.
1. Généralités sur l'équilibre liquide-vapeur d'un corps pur
1.1. Diagramme (P, T) : trois domaines — solide (basses T, hautes P), liquide, gaz/vapeur (basses P, hautes T) — séparés par trois courbes : sublimation (solide-gaz), fusion (solide-liquide, presque verticale, de pente positive dans le cas général, négative pour l'eau) et vaporisation (liquide-gaz). Points remarquables : le point triple T (coexistence des trois phases) où se rejoignent les trois courbes, et le point critique C qui termine la courbe de vaporisation ; au-delà, domaine du fluide supercritique.
1.2. « Saturant » qualifie une phase en équilibre avec l'autre phase : vapeur saturante = vapeur en équilibre avec son liquide. La pression de vapeur saturante Ps est la pression de la vapeur en équilibre avec le liquide. Le système diphasé d'un corps pur est monovariant : Ps ne dépend que de T, et elle croît avec T (du point triple jusqu'au point critique).
1.3. Approximations : (i) vl ≪ vv ; (ii) vapeur assimilée à un gaz parfait : vv = RT/(MPs) ; (iii) lv indépendante de T. Clapeyron devient lv = T·(RT/(MPs))·dPs/dT, soit dPs/Ps = (Mlv/R)dT/T². En intégrant : ln Ps = A + B/T avec B = −Mlv/R et A = ln Ps(T0) + Mlv/(RT0) (T0 température de référence). Méthode : mesurer Ps à plusieurs températures, tracer ln Ps en fonction de 1/T : on obtient une droite de pente B, d'où lv = −RB/M.
1.4. Diagramme de Clapeyron (P, v) : la courbe de saturation a la forme d'une cloche de sommet C (point critique) ; sa branche gauche est la courbe d'ébullition (liquide saturant), sa branche droite la courbe de rosée (vapeur saturante). Isothermes T1 < T2 < TC : partie presque verticale à gauche (liquide), palier horizontal à Ps(T) sous la cloche (équilibre liquide-vapeur), branche d'allure hyperbolique à droite (vapeur) ; le palier de T2 est plus haut et plus court. Isotherme critique TC : point d'inflexion à tangente horizontale en C. Isotherme T3 > TC : monotone décroissante, sans palier. Zones : liquide à gauche de la cloche (sous TC), vapeur à droite, coexistence des deux phases sous la cloche, fluide hypercritique pour T > TC et P > PC.
1.5. Non. Au-dessus de TC, il n'y a plus de changement d'état, donc pas de palier ; de plus la stabilité mécanique impose χT > 0, soit (∂P/∂v)T < 0 : la pente est strictement négative en tout point.
1.6. Liquide : très peu compressible (χT très faible), une grande variation de P donne une très faible variation de v : isothermes presque verticales. Gaz : très compressible ; à faible densité Pv ≈ RT/M : isothermes proches d'hyperboles. Distinction : on appelle vapeur la phase gazeuse pour T < TC, qui peut être liquéfiée par compression isotherme ; un gaz (au sens strict, T > TC) ne peut pas être liquéfié par simple compression isotherme.
2. Équation d'état d'un gaz parfait
2.1. Gaz parfait : molécules ponctuelles sans interaction entre elles (hors chocs) ; c'est la limite de tout gaz réel à faible pression. Il vérifie PV = nRT.
2.2. V = RT/P : (∂V/∂T)P = R/P = V/T ⇒ αGP = 1/T ; (∂V/∂P)T = −RT/P² = −V/P ⇒ χT,GP = 1/P.
2.3. Schéma : deux compartiments rigides et calorifugés reliés par un robinet ; le gaz occupe le premier, le second est vide. On ouvre le robinet, le gaz se détend dans le vide. Parois rigides et détente dans le vide : W = 0 ; parois calorifugées : Q = 0. Donc ΔU = W + Q = 0 : l'énergie interne est conservée.
2.4. Pour un gaz parfait, U ne dépend que de T : U conservée ⇒ T conservée. La 1re loi de Joule : l'énergie interne d'un gaz parfait ne dépend que de sa température.
2.5. U(T, V) = CVmT − a/V + U0 dépend de V : ce gaz ne suit pas la 1re loi de Joule. Dans une détente de Joule-Gay-Lussac (U constante, V augmente), CVmΔT = a(1/Vf − 1/Vi) < 0 : le gaz se refroidit.
2.6. La température cinétique est définie par ½mu² = (3/2)kBT, donc P = (1/3)N*mu² = N*kBT. Pour n moles dans V : N* = nNA/V, d'où PV = nNAkBT = nRT avec R = NAkB (= 8,31 J.mol−1.K−1).
3. Équation d'état d'un gaz non idéal
3.1.1. Ep(r) → +∞ quand r → 0 ; Ep = 0 pour r = r0/21/6 ≈ 0,89 r0 ; minimum −Ep0 en r = r0 ; Ep → 0− quand r → ∞. Allure : puits de potentiel dissymétrique, très raide à gauche, remontant lentement vers 0 à droite.
3.1.2. Le terme en (r0/r)12 (positif) traduit la répulsion à courte portée (recouvrement des nuages électroniques, principe de Pauli). Le terme en −(r0/r)6 traduit l'attraction de Van der Waals (interactions entre dipôles permanents et induits, forces de London).
3.1.3. dEp/dr = (12Ep0/r)[−(r0/r)12 + (r0/r)6] = 0 ⇒ re = r0 et Epe = −Ep0. C'est un minimum : équilibre stable.
3.1.4. Pour r < re, le terme répulsif en r−12 domine : les molécules sont repoussées. Pour r > re, le terme attractif en r−6 domine : elles sont rappelées. Une molécule d'énergie mécanique négative oscille donc autour de re (état lié).
3.1.5. F = −(dEp/dr)er = (12Ep0/r0)[(r0/r)13 − (r0/r)7] er. F > 0 (répulsive) pour r < r0 ; F = 0 pour r = r0 (et F → 0 quand r → ∞) ; F < 0 (attractive) pour r > r0.
3.1.6. F(r) part de +∞, s'annule en r0, passe par un minimum négatif puis tend vers 0−. Attraction maximale pour dF/dr = 0 : 13(r0/r)13 = 7(r0/r)7 ⇒ r = r0(13/7)1/6 ≈ 1,11 r0 (≈ 0,38 nm pour r0 = 0,34 nm), où F ≈ −2,69 Ep0/r0 ≈ −5,1.10−11 N.
3.1.7. Réponse probable (critère d'ordre de grandeur) : à 293 K, kBT ≈ 4,0.10−21 J est du même ordre que Ep0 = 6,4.10−21 J : les interactions ne sont pas négligeables lors d'une rencontre, il faut donc que les molécules soient en moyenne plus éloignées que la portée (1 nm). Distance moyenne : d = (kBT/P)1/3 ≥ 1 nm ⇒ P ≤ kBT/(10−9)³ ≈ 4.106 Pa ≈ 40 bar. C'est une borne supérieure ; pour un comportement parfait à quelques % près il faut rester à quelques bars.
3.2.1. Le terme a/V² est la pression moléculaire (de cohésion) : les attractions entre molécules diminuent la pression exercée sur la paroi. Le terme b est le covolume : volume propre des molécules, inaccessible aux autres.
3.2.2. Le volume minimal d'une mole (molécules « au contact ») est de l'ordre de NA fois le volume d'un cube de côté d entourant chaque molécule : b ≈ NAd³ (estimation d'ordre de grandeur).
3.2.3. a/V² est une pression : a en Pa.m6.mol−2 ; b est un volume molaire : b en m³.mol−1. R est une constante universelle, la même pour tous les gaz, tandis que a et b sont propres à chaque gaz (déterminés expérimentalement).
3.2.4. a et b sont définis pour une mole : ce sont des constantes caractéristiques du gaz, indépendantes de la quantité de matière (grandeurs intensives au sens où elles ne dépendent pas de la taille du système). Pour n moles, on remplace le volume molaire par V/n (intensif) : (P + a n²/V²)(V/n − b) = RT, soit (P + n²a/V²)(V − nb) = nRT.
3.2.5. À faible densité (V → ∞, P → 0) : a/V² ≪ P et b ≪ V, d'où PV → RT : comportement de gaz parfait.
3.2.6. P = RT/(V−b) − a/V² ⇒ (∂P/∂V)T = −RT/(V−b)² + 2a/V³, d'où χT,GVW = 1/[V(RT/(V−b)² − 2a/V³)]. Pour a = b = 0 : χT = V/(RT) = 1/P (on retrouve χT,GP). Comparaison à T et V donnés : le covolume b rend le gaz moins compressible, l'attraction a le rend plus compressible ; l'effet dominant dépend de T et V (aux densités modérées et T pas trop élevée, c'est en général l'attraction).
3.2.7. (∂P/∂V)T = 0 : RT/(V−b)² = 2a/V³ ; (∂²P/∂V²)T = 0 : 2RT/(V−b)³ = 6a/V4. Le rapport donne (V−b)/2 = V/3, soit Vc = 3b ; puis Tc = 8a/(27Rb) et Pc = a/(27b²).
3.2.8. Non : Vc, Tc, Pc ne dépendent que de a, b et R, constantes molaires du gaz. Le point critique est une caractéristique du corps, indépendante de la masse de fluide (Vc est un volume molaire).
3.2.9. De Tc/Pc = 8b/R : b = RTc/(8Pc) ; puis a = 27R²Tc²/(64Pc). SF6 : Tc = 318,5 K, Pc = 37,6.105 Pa : b ≈ 8,8.10−5 m³.mol−1 et a ≈ 0,79 Pa.m6.mol−2.
3.2.10. d = (b/NA)1/3 = (8,8.10−5/6,02.1023)1/3 ≈ 5,3.10−10 m ≈ 0,53 nm (ordre de grandeur cohérent avec r0 = 0,34 nm).
3.2.11. U dépend de V (terme −n²a/V) : le gaz de Van der Waals ne suit pas la 1re loi de Joule. Pour un gaz parfait (a = 0) : U = nCVmT + U0, fonction de T seule.
3.2.12. On remplace P = ϖ a/(27b²), V = 3bν, T = 8aθ/(27Rb) : (a/(27b²))(ϖ + 3/ν²) × b(3ν − 1) = 8aθ/(27b), soit (ϖ + 3/ν²)(3ν − 1) = 8θ. Aucune constante propre au gaz n'apparaît : l'équation réduite est universelle (loi des états correspondants).
4. Application : étude expérimentale de l'équilibre SF6(l) ⇌ SF6(g)
4.1. État I (gaz parfait, T = 298 K) : n = PIVI/(RT) = 17.105 × 4,0.10−6/(8,31 × 298) ≈ 2,75.10−3 mol, d'où m0 = nM ≈ 0,401 g. vI = VI/m0 ≈ 9,98.10−3 m³.kg−1 ≈ 10,0 L.kg−1.
4.2.1. vF = VF/m0 = 0,28.10−6/4,01.10−4 ≈ 0,70 L.kg−1.
4.2.2. vI = 10 L/kg > vv = 5,1 L/kg et PI = 17 bar < Ps = 26 bar : état initial vapeur sèche. vF < vl et PF > Ps : état final liquide. Évolution : compression de la vapeur jusqu'à Ps (point A, rosée), puis liquéfaction progressive à pression constante Ps = 26 bar (palier), jusqu'à liquéfaction totale (point B, ébullition), enfin compression du liquide de 26 à 32,5 bar.
4.2.3. Le point A est sur la courbe de rosée : VA = m0vv = 4,01.10−4 × 5,1 L ≈ 2,04 mL. Remarque : la loi des gaz parfaits donnerait VA = PIVI/Ps ≈ 2,62 mL ; l'écart (≈ 28 %) montre que près de la saturation (et à 20 °C seulement du point critique) SF6 n'est plus un gaz parfait.
4.2.4. Le point B est sur la courbe d'ébullition : VB = m0vl ≈ 4,01.10−4 × 1,25 L ≈ 0,50 mL.
4.2.5. Au-delà de B, le volume ne diminue presque plus : le liquide est très peu compressible (isotherme presque verticale). Il faut une forte augmentation de pression pour une faible diminution de volume. (Les données de l'énoncé, VF = 0,28 mL < VB, conduisent à une compressibilité du liquide anormalement grande : elles sont à prendre comme des valeurs d'école.)
4.2.6. VB < VM = 0,6 mL < VA : le fluide est diphasé (liquide + vapeur en équilibre, à Ps = 26 bar). vM = 0,6.10−6/4,01.10−4 ≈ 1,50 L/kg. Théorème des moments : xM = (vM − vl)/(vv − vl) = (1,50 − 1,25)/(5,1 − 1,25) ≈ 0,064 (6,4 % de vapeur en masse).
4.2.7. Diagramme (P, v) : cloche de saturation (ébullition à gauche, rosée à droite). L'isotherme 25 °C : branche hyperbolique de I (v = 10 L/kg, 17 bar) à A (5,1 L/kg, 26 bar) sur la courbe de rosée ; palier horizontal à 26 bar de A à B (1,25 L/kg) sur la courbe d'ébullition, avec M (1,50 L/kg) sur le palier, près de B ; branche quasi verticale de B à F (0,70 L/kg, 32,5 bar).
4.2.8. Diagramme (P, T) : la transformation est le segment vertical T = 298 K. I (17 bar) est dans le domaine vapeur, sous la courbe de vaporisation. A, M et B sont confondus au point de la courbe de vaporisation (298 K, 26 bar) : le palier de liquéfaction se réduit à un point dans ce diagramme. F (32,5 bar) est au-dessus, dans le domaine liquide.
4.2.9. On trace ln Ps en fonction de 1/T (T en K). La régression linéaire sur les 10 points donne une très bonne droite (r² ≈ 0,999) de pente B ≈ −2,04.10³ K (et A ≈ 10,0 avec P en bar). D'où lv = −RB/M ≈ 8,31 × 2,04.10³/0,146 ≈ 1,16.105 J.kg−1 ≈ 116 kJ.kg−1. Erreur relative par rapport à 57,4 kJ/kg : environ +100 %. Commentaire : les approximations de 1.3 ne sont pas valables ici ; près du point critique (25 °C contre 45,5 °C), vl n'est pas négligeable devant vv (1,25 contre 5,1 L/kg), la vapeur n'est pas parfaite (RT/(MPs) ≈ 6,5 L/kg au lieu de 5,1), et lv varie fortement avec T (elle s'annule en C). Avec la relation de Clapeyron exacte, lv = T(vv − vl)dPs/dT ≈ 298 × 3,85.10−3 × 0,6.105 ≈ 69 kJ/kg, plus proche de la valeur donnée.
4.3. Bilans énergétique et entropique
4.3.1. I → A : compression isotherme réversible d'un gaz parfait. W1 = −∫PdV = nRT ln(PA/PI) = PIVI ln(26/17) = 6,8 × 0,425 ≈ +2,89 J. ΔUIA = 0 (gaz parfait, T constante), donc Q1 = −W1 ≈ −2,89 J.
4.3.2. A → M : liquéfaction d'une masse (1 − xM)m0 à T et Ps constantes. Q2 = −(1 − xM)m0lv = −0,936 × 4,01.10−4 × 57,4.10³ ≈ −21,5 J. W2 = −Ps(VM − VA) = −26.105 × (0,60 − 2,04).10−6 ≈ +3,76 J.
4.3.3. ΔUIM = W1 + Q1 + W2 + Q2 = 0 + (3,76 − 21,54) ≈ −17,8 J.
4.3.4. Transformation réversible et isotherme : ΔSIM = (Q1 + Q2)/T = (−2,89 − 21,54)/298 ≈ −8,2.10−2 J.K−1. Entropie échangée Séch = (Q1+Q2)/T = ΔSIM ; entropie créée Sc = 0 (réversible).
5. Étude interférométrique de SF6 gazeux
5.1. Source étendue : ses différents points émettent indépendamment, sans relation de phase entre eux (source spatialement incohérente). Source monochromatique (λ0 = 546,1 nm) : train d'onde de longueur théoriquement infinie, longueur de cohérence très grande (temporellement cohérente).
5.2. OO1 = OO2 : lame d'air d'épaisseur nulle, différence de marche nulle pour toute incidence : l'écran est uniformément éclairé (teinte plate, éclairement maximal) — c'est le contact optique. Repérage : en partant d'anneaux, on déplace M2 dans le sens où les anneaux « rentrent » vers le centre et s'élargissent, jusqu'à obtenir un champ uniforme ; en lumière blanche, le contact optique se repère par la teinte plate blanche.
5.3.1. Schéma : M1 et M'2 (image de M2 par la séparatrice) parallèles, distants de e. Un rayon incident sous l'angle i se réfléchit sur M1 et sur M'2 et donne deux rayons émergents (1) et (2) parallèles. Différence de marche δ = 2e cos i : elle ne dépend que de i, donc les franges d'égale inclinaison sont des anneaux centrés sur l'axe. Les rayons émergents étant parallèles, les franges sont localisées à l'infini ; la lentille (L) les ramène dans son plan focal image (anneau d'inclinaison i de rayon ≈ f' i).
5.3.2. p(M) = δ/λ0 = 2e cos i/λ0 ≈ (2e/λ0)(1 − i²/2) au voisinage de l'incidence normale.
5.3.3. Deux ondes d'égale intensité I1 : I = 2I1(1 + cos 2πp), maximale égale à I0 = 4I1, d'où I(M) = (I0/2)(1 + cos 2πp). En F' (i = 0) : p0 = 2e/λ0. I(e) est une sinusoïde entre 0 et I0, de période λ0/2 ≈ 273 nm en e, avec un maximum en e = 0.
5.4.1. En remplissant la cellule, l'indice et donc le chemin optique du bras 2 augmentent : l'ordre p0 en F' croît depuis 0. Les franges défilent dans le sens des ordres croissants : si la lame a une petite épaisseur, les anneaux naissent au centre et s'élargissent (ils « sortent » du centre) ; au contact optique, c'est tout le champ qui alterne entre brillant et sombre.
5.4.2. La cellule est traversée deux fois : la différence de marche augmente de 2(nSF6 − 1)l par rapport à la cellule vide. Δp0 = 2(nSF6 − 1)l/λ0 et le nombre de franges brillantes qui ont défilé est N = Δp0 = 2(nSF6 − 1)l/λ0.
5.4.3. Gladstone : n − 1 = Cρ ⇒ N = 2ρCl/λ0.
5.4.4.1. N est proportionnel à ρ : ρ0/ρ = N0/N, d'où y = (P/P0)(N0/N) = PN0/(P0N).
5.4.4.2. Gaz parfait à T constante : ρ = PM/(RT) est proportionnel à P, donc ρ0/ρ = P0/P et y = 1 quelle que soit P.
5.4.4.3. y = a' − b'P dépend de P (pour P = 8,15 bar, b'P ≈ 0,11, soit 11 % d'écart à 1) : SF6 n'est pas un gaz parfait dans ce domaine de pression. On note que y → a' ≈ 1 quand P → 0 : il tend vers le gaz parfait à basse pression.
5.4.4.4. Pour une masse m fixée, V = m/ρ ⇒ dV/V = −dρ/ρ, donc χT = −(1/V)(∂V/∂P)T = (1/ρ)(∂ρ/∂P)T. Avec ρ = ρ0P/(P0y) : ln ρ = ln P − ln y + cste, d'où χT = 1/P − (1/y)(∂y/∂P)T.
5.4.4.5. (∂y/∂P)T = −b' : χT = 1/P + b'/(a' − b'P) = (a' − b'P + b'P)/(P(a' − b'P)) = a'/(P(a' − b'P)). A.N. P = 8,15.105 Pa : a' − b'P = 1,01 − 0,114 = 0,896 ; χT ≈ 1,38.10−6 Pa−1, soit environ 13 % de plus que la valeur du gaz parfait 1/P = 1,23.10−6 Pa−1 (les attractions rendent le gaz plus compressible).
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