Modèle de concours : CNC 2012 Physique I (TSI) — Concours National Commun
En bref
Ce document est une ancienne épreuve écrite du concours de Concours d'accès aux écoles d'ingénieurs organisé par Concours National Commun (CNC) — CPGE (2012), publiée sur Wadifa Info en consultation et téléchargement PDF gratuits, avec une correction proposée.
- Organisme
- Concours National Commun (CNC) — CPGE
- Grade
- Concours d'accès aux écoles d'ingénieurs
- Spécialité
- Physique I
- Année
- 2012
- Pages
- 9
- Langue des questions
- français
- Correction
- correction proposée disponible sur cette page
📝 Texte des questions (extrait automatiquement des pages scannées)
Ce texte est extrait automatiquement des images de l'épreuve et peut contenir des erreurs de lecture — les images ci-dessus font foi.
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ROYAUME DU MAROC
Ministère de l'Enseignement Supérieur, de la Formation des Cadres
et de la Recherche Scientifique
Présidence du Concours National Commun
Ecole Nationale Supérieure de l'Informatique et d'Analyse des Systèmes
ENSIAS
Concours National Commun d’admission
aux Grandes Écoles d'Ingénieurs
Session 2012
ÉPREUVE DE PHYSIQUE I
Filière TSI
Durée 4 heures
Cette épreuve comporte 8 pages au format A4, en plus de cette page de garde
L'usage de la calculatrice est interdit
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Concours National Commun - Session 2012 - Filière TSI
L’énoncé de cette épreuve comporte 8 pages.
L'usage de la calculatrice est interdit.
On veillera à une présentation claire et soignée des copies. Il convient en particulier de rappeler avec
précision les | références | des questions abordées.
Étude de quelques circuits de l'électronique analogique
Le problème est constitué de trois parties. Dans la première partie, on rappelle quelques
notions de base sur les circuits électriques et sur l’utilisation des appareils usuelles du laboratoire
d'électronique. La deuxième partie étudie un montage à base d’amplificateur opérationnel et met en
évidence quelques unes de ses propriétés. La troisième partie traite la mise en œuvre d’un montage
oscillateur.
Les deux premières parties sont totalement indépendantes. Les résultats de ces deux parties sont
utilisés dans la troisième partie.
Le problème comporte de nombreuses questions qualitatives pour lesquelles le candidat
s’efforcera de répondre avec concision et précision.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa
copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
1°'° partie
Étude de filtres passifs
1.1. Modélisation linéaire d’un circuit
Le circuit RC de la figure 1 est alimenté par un dipôle actif linéaire modélisé par le générateur
de THÉVENIN, de résistance interne R, et de force électromotrice e(t).
1.1.1. Représenter le schéma du circuit en utilisant la modélisation de NORTON du dipôle actif.
Préciser les grandeurs caractéristiques du modèle.
1.1.2. La tension e(t › 0) est égale à une valeur constante notée F. Déterminer, à l'instant
t = 07, le courant qui traverse le circuit ainsi que les tensions ur et uc aux bornes de la résistance
R et du condensateur C respectivement.
1.13. At = 0, on éteint le générateur, qui devient équivalent à sa seule résistance interne.
Établir l'équation différentielle régissant l’évolution ultérieure de (t) et faire apparaître la constante
de temps 7 du circuit.
1.1.4. Déterminer l'expression de l'intensité de courant أ à l'instant ا = 0*.
1.1.5. Déterminer l'expression de ÿ(t › 0) puis donner l'allure de la représentation graphique
1.2. Utilisation de générateur et d’oscilloscope
On s'intéresse à quelques caractéristiques de ces deux appareils essentiels pour l'étude des
circuits électriques.
Épreuve de Physique I 1/8 Tournez la page S.V.P.
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Figure 1: Circuit RC alimenté par un générateur Figure 2: Circuit RC en présence d’oscilloscope.
de THEVENIN.
1.2.1. On dispose d’un voltmètre de très grande résistance interne (considérée infinie), d'un
générateur de tension (GBF) et de boîtes de résistances réglables. La force électromotrice Æ du
générateur étant fixée en continu.
Décrire un protocole expérimental permettant de mesurer F et la résistance interne R, du GBF.
1.2.2. On alimente par ce générateur le circuit RC de la figure 1, en régime sinusoïdal de
pulsation w réglable. Quelle sera, en module, l'impédance de charge minimale du générateur ?
Sachant que sa résistance interne est R, = 500, à quelle condition pourra-t-on considérer le
générateur comme idéal ?
On suppose cette condition remplie dans la suite.
1.2.3. Déterminer la fonction de transfert complexe en tension H si la grandeur de sortie est
la tension s(t) aux bornes du condensateur. Quelle est la nature du filtre ainsi réalisé ? Définir la
pulsation de coupure à —3 dB de ce filtre et donner son expression we en fonction des paramètres
du montage.
1.2.4. Dans quel domaine de fréquence ce filtre se comporte comme un intégrateur de la tension
d'entrée ?
1.2.5. Pour visualiser la tension s(t), on utilise un oscilloscope dont les caractéristiques d'entrée
indiquées sur l'appareil sont : (1MQ , 25pF). Dans la suite, on désigne par Ro et Cp la résistance et
la capacité correspondantes. Cet appareil, branché sur le filtre précédent, correspond ainsi au circuit
de la figure 2.
1.2.5.1. Déterminer le gain en tension à basse fréquence du circuit, noté Ho.
1.2.5.2. Exprimer l’admittance complexe Y de la branche délimitée en pointillés sur la figure
2. En déduire la nouvelle fonction de transfert H'.
1.2.5.3... À quelle(s) condition(s) l’utilisation de l’oscilloscope n’a pratiquement pas d'influence
sur les caractéristiques du filtre ainsi étudié ? Justifier.
1.3. Étude d’un filtre du second ordre : filtre de Wien
On considère le filtre de WIEN (W) représenté sur la figure 3 et on suppose qu'aucun courant ne
sorte de ce filtre (i9 = 0).
1.3.1. Déterminer la fonction de transfert du filtre :
Je | Je
Préciser les paramètres caractéristiques du filtre (amplification maximale, facteur de qualité,
pulsation particulière).
Épreuve de Physique I 2/8 ب
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Figure 3: Filtre de Wien
1.3.2. Tracer le diagramme de BODE (gain et phase) associé à H. On fera apparaître sur chacun
des graphes le tracé asymptotique et le tracé réel. Quelle est la nature de ce filtre ?
1.3.3. Montrer que les tensions d'entrée رن et de sortie ون sont liées par l'équation différentielle :
d? 02 dvs 2 dv 1
1 حون ح و خكخون, خب
CORRE D يل TU عل
Exprimer le coefficient وه en fonction de R et C et déterminer la valeur numérique du paramètre a,
valeur que l’on utilisera ultérieurement.
2ème partie
Étude d’un montage à base d’amplificateur opérationnel
Dans cette partie, on étudie le modèle de l’amplificateur opérationnel (AO) idéal et quelques
limitations à ce modèle. On considère le montage de la figure 4 avec : R; = 1 kQ et R9 = 10 kQ.
2.1. Modèle d’amplificateur opérationnel idéal
Dans cette section, l'AO du montage représenté sur la figure 4 est supposé idéal.
2.1.1. Pour un amplificateur opérationnel idéal, tracer la caractéristique de transfert statique,
c’est-à-dire les variations de us en fonction de .ت On notera Usa: et متاح les tensions de saturation.
2.1.2. Cette caractéristique fait apparaître deux domaines. Nommer et définir ces domaines.
2.13. Quelle est la résistance d'entrée du montage de la figure 4 formé par عا et les
résistances R, et Ra ?
2.1.4. En supposant que l'AO fonctionne dans sa zone linéaire, montrer que l’on a us(t) =
Aue(t). Donner l'expression de A en fonction de R, et Ra.
2.1.5. Dans quel domaine de tensions ue peut-elle varier sans provoquer la saturation de l’'AO ?
2.1.6. Tracer la courbe représentant us en fonction de ون pour ue variant de —U{ at À Usat-
2.2. Limites au fonctionnement de l’AO idéal
2.2.1. Comment mesurer expérimentalement les tensions de saturation Usa: et —U{at ?
2.2.2. Le constructeur indique que le courant maximal de sortie (courant de saturation) de l'AO
est de is, max = 20 mA.
On applique à l'entrée du montage ue(t) = Up cos(wt) avec Up = 1,0 V. Comment choisir la
valeur d’une résistance R, placée en sortie du montage pour garder un fonctionnement linéaire ?
Épreuve de Physique I 3/8 Tournez la page S.V.P.
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Figure 4: Montage amplificateur. Figure 5: Modèle d’AO en petits signaux en
négligeant les dérives.
Si | › ره 0 est appelé vitesse de balayage limite de
2.2.3. Le système ne reste linéaire que si
l’'AO. Le constructeur indique pour l’AO précédent : à = 1,0 V/jis.
On applique à l'entrée la même tension qu’au 2.2.2. et on fait augmenter w. Jusqu'à quelle valeur
رهم de w, us(t) reste-t elle théoriquement sinusoïdale ? Décrire la déformation de us;(t) et dessiner
l’allure du graphe us;(t), pour des valeurs w › رن
On peut se servir de l'apparition de cette déformation pour estimer o, proposer une autre
méthode pour la mesure expérimentale .د عل
2.3. Influence de quelques défauts de l’amplificateur opérationnel réel
On considère un modèle d’AO réel en fonctionnement linéaire où l’on néglige la tension de
décalage et les courants de polarisation (figure 5).
2.3.1. Donner les ordres de grandeur de ra, و7 et 1 des amplificateurs opérationnels couram-
ment utilisés au laboratoire.
2.3.2. On prend r4 infinie et م (gain différentiel) fini. Représenter le schéma équivalent du
montage de la figure 4 avec ce modèle de 1 .نعط Définir puis déterminer l'expression de la résistance
de sortie du montage en fonction de rs, R,, Ra et y.
2.3.3. On considère maintenant fini et fonction de la fréquence f de la tension appliquée à
l’entrée, à l'exclusion de tout autre défaut, notamment on prend r4« infinie et 7, = 0. On adopte
comme modèle pour le gain complexe :
1+7
avec j? = —1.
2.3.3.1. Quel est le nom habituellement donné à ce modèle ?
2.3.3.2. Etablir la nouvelle fonction de transfert du montage de la figure 4 et l'écrire :
Donner les expressions de Hp en fonction de ju et A (voir question 2.1.4.) et de fy en fonction de fe,
À et Lo.
Épreuve de Physique I 4/8 —+
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2.3.3.3. On prend jo = 1,0.10° et f. = 10 Hz.
Donner les expressions approchées de Ho et de fo. Tracer, sur le même graphe, l'allure des
diagrammes de BODE asymptotiques en amplitude pour j et H. Interpréter les limitations en
fréquence observées expérimentalement avec le montage de la figure 4.
3ème partie
Étude d’un montage oscillateur
L'amplificateur opérationnel AO utilisé dans cette partie est supposé idéal. Les tensions de
saturations en sortie de l'AO sont notées ىون €t —Usat. ON suppose que, dans tous les montages
proposés, la saturation en courant n’est jamais atteinte.
On prendra pour les valeurs numériques : Usa, = 14V,C = 100nF, R = 1k0.
3.1. Étude du démarrage des oscillations
On relie le montage amplificateur de la figure 4 et le filtre de la figure 3 suivant le schéma de la
figure 6.
Figure 6: Montage oscillateur
3.1.1. Justifier l’utilisation de l'équation différentielle (1) et déduire l'équation différentielle
liant ue à Us-
3.1.2. Montrer que la tension us est régie par l'équation différentielle suivante :
d?us dus ;
7 + 2mwo TE + wêus = 0 (2)
Préciser la condition de validité de cette équation. Donner l'expression du coefficient m en
fonction de À (voir question 2.1.4.)
3.1.3. Montrer que ce montage peut générer des oscillations en l'absence de générateur de
fonction (GBF) pour une valeur de À › .ما Donner la valeur limite Ao.
3.1.4 Montrer que pour À = رمك La tension us est sinusoïdale. Donner l'expression générale
de us(t) et préciser l'expression de sa fréquence f en fonction des paramètres du montage.
3.1.5. Comment doit-on régler pratiquement la valeur de À par rapport à م pour qu'il y ait
démarrage des oscillations dans le circuit ? Justifier.
3.1.6. Est-il possible avec le montage proposé de régler l'amplitude des oscillations ? Pourquoi ?
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Figure 7: Montage oscillateur avec contrôle automatique du gain.
En fait, le montage étudié précédemment ne donne pas un signal sinusoïdal. En pratique, on ne
sait pas réaliser exactement la condition A = مك de manière reproductible. L'oscillation stable du
circuit évolue entre un signal sinusoïdal légèrement écrêté et un signal rectangulaire.
Pour avoir un signal sinusoïdal stable, on peut procéder à un contrôle automatique du gain de
l’amplificateur.
3.2. Montage avec contrôle automatique de gain
Une méthode de contrôle automatique du gain de l'amplificateur consiste à ajouter en série avec
la résistance R, un transistor à effet de champ, noté TEC par la suite.
Un TEC est un dispositif électronique à trois bornes respectivement appelées source ري drain D
et grille G. On admettra que le courant و entrant en G est toujours nul (voir figure 7).
Le TEC se comporte entre les bornes S et D comme une résistance Rps variable contrôlée par la
tension continue Vas :
14465
Ry et Vp sont des constantes positives caractéristiques du TEC. Vas est obtenue par la détection
de crête du signal us(t).
Pour un fonctionnement normal du TEC, les tensions وما = Vp — Vs et Vas = Va — Vs doivent
vérifier respectivement : —Vp ‹ Vps ‹ Vpet —Vp › Vas › 0.
Avec un choix convenable des différents composants, l'AO fonctionne toujours en régime
linéaire et, en régime établi, les tensions ue et us sont pratiquement sinusoïdales. Dans toute la
suite, on se place en régime établi et on suppose les tensions ون et u, parfaitement sinusoïdales de
même pulsation N et d'amplitudes respectives U, et U,. On pose :
us = Us, cos(Qt)
3.2.1. Étude du détecteur de crête
On considère le détecteur de crête de la figure 8. La diode D est supposée idéale, sans tension
de seuil, le courant de sortie / est nul. On suppose en outre que la résistance R4 et la capacité Ca
vérifient R4C4Q › 1.
Dans ce paragraphe, on va étudier le fonctionnement du détecteur de crête et déterminer les
variations de la tension va avec le temps.
Épreuve de Physique I 6/8 —
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Figure 8: Détecteur de crête.
Dans un premier temps, la diode est supposée passante : elle se comporte comme un conducteur
de résistance négligeable. L'intensité ;(t) du courant qui la traverse est de la forme i(t) = In cos(Qt+
3.2.1.1. Donner la relation entre les tensions us(t) et valt).
3.2.1.2. La tension de sortie s'écrit, en notation complexe, vy(t) = —Zi(t). Déterminer
l'impédance complexe Z.
3.2.1.3. Expliciter, en fonction des données de l'énoncé les expressions de l'intensité maxi-
male /,, et du déphasage ®. Simplifier ces expressions en tenant compte de la condition RaCaQ › 1.
3214 À partir de t = 0, l'intensité #(t) évolue et s’annule une première fois à l'instant to › 0.
Exprimer, le temps to. Déterminer us (to) et va(to)-
3.2.1.5... Justifier qu’à une date immédiatement postérieure à to, la diode devient bloquée.
On suppose maintenant que la diode est bloquée : elle se comporte comme un interrupteur
ouvert. L'intensité ÿ(t) du courant est nulle, et la tension u aux bornes de la diode est négative.
3.2.1.6. Déterminer l'équation différentielle satisfaite par la tension vy(t).
3.2.1.7. Établir l'expression de la tension va(#).
3.2.1.8... Quelle inégalité doit-il y avoir entre les tensions vy(t) et us(t) pour que la diode reste
effectivement bloquée ?
3.2.1.9. Tracer, sur le même graphe, l'allure des courbes représentatives des tensions va(t) et
Préciser, sur ce graphe, les intervalles de temps pour lesquels la diode est passante, et ceux pour
lesquels la diode est bloquée.
3.2.2. Étude de la tension ثيه
On désigne par وآ la valeur moyenne et par AV; l'amplitude de l’oscillation de la tension va(t)
sur une période.
3.2.2.1. Montrer que AV; est sensiblement proportionnelle à la période T = 27/0. Donner
l'expression de AV; en fonction de رونا Ra, Ca et Q.
3.2.2.2. Justifier que Vu = —U, et que AVy › ||
Dans toute la suite on assimilera la tension va(t) à sa valeur moyenne .نا On alimente la grille
du TEC par la sortie du détecteur de crête. On a alors, sauf dans la dernière question :
Épreuve de Physique I 7/8 Tournez la page S.V.P.
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3.2.3. En utilisant les résultats de la section 3.1., justifier qu’une oscillation sinusoïdale ne peut
exister dans le circuit que pour la pulsation = wo avec l’'amplification À = A0.
On supposera par la suite que us(t) est sinusoïdale de pulsation 2 = wo et on va étudier
l'influence de son amplitude ون sur l'amplification A.
3.2.4. Contrôle automatique du gain
Supposons qu’une augmentation accidentelle de U, se produise dans le circuit oscillateur.
3.2.4.1. Quel est l'effet de cette augmentation sur l'amplitude Ue du signal ue(t) ? Justifier.
3.2.4.2. Exprimer l’amplification A en fonction de Rps, R; et Ra.
3.2.4.3... Montrer que l'augmentation de ون provoque une diminution de 4. Conclure.
3.2.5. Application numérique
On donne R, = 400Q ; Ra = 2kQ ; Ro = 2000 et Vp =3V.
3.2.5.1. Déterminer la valeur numérique de l'amplitude ون qui correspond aux oscillations
sinusoïdales stables dans le circuit.
3.2.5.2. Ce montage permet d'avoir un signal sinusoïdal stable, mais ne permet pas la
modification de son amplitude. Pour obtenir des oscillations d'amplitude U, ajustable, on remplace
la résistance R4 du détecteur de crête par un potentiomètre de même valeur et on alimente la grille
du TEC par une fraction de la tension نون Vas = k va-
Pour quelle valeur de k a-t-on U, = 10V ?
FIN DE L'ÉPREUVE
Épreuve de Physique I 8/8 FIN
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✅ Correction proposée
Il s'agit d'une correction proposée, rédigée par l'équipe wadifa-info pour vous aider à comprendre la méthode — ce n'est pas un corrigé officiel de l'administration organisatrice.
Ce modèle est l'épreuve de Physique I de la filière TSI du Concours National Commun (CNC) 2012 d'admission aux grandes écoles d'ingénieurs (présidence : ENSIAS). Durée : 4 heures, calculatrice interdite, 8 pages d'énoncé. Thème unique : étude de quelques circuits de l'électronique analogique — filtres passifs et appareils de mesure, amplificateur non inverseur à AO et ses limites, puis oscillateur à pont de Wien avec contrôle automatique de gain par TEC. Voici une correction proposée, dans l'ordre et avec la numérotation de l'énoncé.
💡 Sans calculatrice, les applications numériques sont choisies « rondes » : A = 11, f0 ≈ 91 kHz, f = 1/(2πRC) ≈ 1,6 kHz, Us = 2 V, k = 0,2. Si votre résultat n'est pas simple, revérifiez le calcul.
1re partie — Étude de filtres passifs
1.1. Modélisation linéaire d'un circuit
1.1.1. Modèle de Norton : source idéale de courant η(t) = e(t)/Rg en parallèle avec la résistance Rg, le tout branché sur R en série avec C. Grandeurs caractéristiques : courant de court-circuit η = e/Rg et résistance interne Rg.
1.1.2. Pour t < 0, régime continu établi : le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert. i(0−) = 0, uR(0−) = 0, uC(0−) = E.
1.1.3. Pour t > 0, maille : (Rg + R) i + uC = 0 avec i = C duC/dt. En dérivant : di/dt + i/τ = 0, avec τ = (R + Rg) C.
1.1.4. La tension aux bornes du condensateur est continue : uC(0+) = E, donc i(0+) = −E/(R + Rg) (le courant, lui, est discontinu).
1.1.5. i(t) = −E/(R + Rg) · e−t/τ. Allure : nul pour t < 0, saut à −E/(R + Rg) en t = 0, puis retour exponentiel vers 0 (tangente à l'origine coupant l'axe en t = τ ; 99 % du retour atteint à 5τ). Le condensateur se décharge dans R + Rg.
1.2. Utilisation de générateur et d'oscilloscope
1.2.1. (1) Voltmètre seul aux bornes du GBF (courant nul) : il mesure directement E. (2) On branche une boîte de résistances Ru et on mesure U = E Ru/(Ru + Rg) ; on règle Ru jusqu'à lire U = E/2 : alors Rg = Ru (méthode de la demi-tension). On peut aussi calculer Rg = Ru(E/U − 1) pour une valeur quelconque.
1.2.2. Z = R + 1/(jCω), |Z| = √(R2 + 1/(C2ω2)) ≥ R : l'impédance de charge minimale est R (atteinte à haute fréquence). Le générateur est idéal (tension à ses bornes ≈ e) si R ≫ Rg = 50 Ω (par exemple R ≥ 5 kΩ pour une erreur ≤ 1 %).
1.2.3. Diviseur de tension : H = 1/(1 + jRCω) : filtre passe-bas du premier ordre. La pulsation de coupure à −3 dB est celle pour laquelle |H| = Hmax/√2 (gain inférieur de 3 dB au gain maximal) : ωc = 1/(RC).
1.2.4. Pour ω ≫ ωc : H ≈ 1/(jRCω), soit s(t) = (1/RC)∫e dt : comportement intégrateur (pente −20 dB/décade, phase −90°).
1.2.5.1. À basse fréquence C et C0 sont des circuits ouverts : diviseur R / R0, H0 = R0/(R + R0).
1.2.5.2. Y = 1/R0 + jω(C + C0) ; H' = (1/Y)/(R + 1/Y) = 1/(1 + RY) :
H' = H0 / (1 + jω R R0(C + C0)/(R + R0)) : passe-bas de pulsation de coupure ω'c = (R + R0)/(R R0(C + C0)).
1.2.5.3. On retrouve H si R ≪ R0 = 1 MΩ (H0 ≈ 1) et C ≫ C0 = 25 pF (ω'c ≈ 1/RC). Les câbles coaxiaux ajoutent aussi une capacité (≈ 100 pF/m) qu'il faut inclure dans C0.
1.3. Filtre de Wien
1.3.1. Avec i2 = 0 : Zs = R + 1/(jCω) (série), Yp = 1/R + jCω (parallèle), H = 1/(1 + ZsYp).
ZsYp = 2 + j(RCω − 1/(RCω)), donc
H = 1 / [3 + j(ω/ω0 − ω0/ω)] = (1/3) / [1 + j(1/3)(x − 1/x)], x = ω/ω0.
Paramètres : Hmax = 1/3, Q = 1/3, pulsation centrale ω0 = 1/(RC) (H réel et maximal).
1.3.2. GdB = −20 log 3 − 10 log[1 + (x − 1/x)2/9] ; φ = −arctan[(x − 1/x)/3].
- Asymptotes de gain : x ≪ 1, H ≈ jx, droite +20 dB/déc (G = 20 log x) ; x ≫ 1, H ≈ 1/(jx), droite −20 dB/déc ; elles se coupent en x = 1 à 0 dB.
- Courbe réelle : maximum −9,5 dB en x = 1, soit 9,5 dB sous le point de rencontre des asymptotes (Q faible, courbe très « arrondie ») ; coupures à −12,5 dB pour x = (√13 ∓ 3)/2 ≈ 0,30 et 3,30 (bande passante Δω = 3ω0).
- Phase : asymptotes +90° (x ≪ 1) et −90° (x ≫ 1) ; courbe réelle décroissante passant par 0 en x = 1, ±45° aux coupures.
C'est un filtre passe-bande (du second ordre, peu sélectif).
1.3.3. De [3 + jRCω + 1/(jRCω)]v2 = v1, on multiplie par jωω0 (ω0 = 1/RC) : [(jω)2 + 3ω0(jω) + ω02]v2 = ω0(jω)v1, et jω ↔ d/dt donne l'équation (1) avec ω0 = 1/(RC) et a = 3.
2e partie — Montage à amplificateur opérationnel
2.1. Modèle d'AO idéal
2.1.1. Caractéristique us(ε) : segment vertical en ε = 0 entre −U'sat et Usat (gain infini) ; us = Usat pour ε > 0 et us = −U'sat pour ε < 0.
2.1.2. Régime linéaire : ε = 0 et −U'sat < us < Usat (nécessite une rétroaction sur l'entrée −). Régime saturé : us = ±Usat, ε quelconque dont le signe fixe la saturation.
2.1.3. Le courant d'entrée de l'AO idéal est nul (i+ = 0) : la résistance d'entrée du montage est infinie.
2.1.4. ε = 0 ⇒ u− = ue ; diviseur (i− = 0) : u− = R1us/(R1 + R2). D'où us = A ue avec A = 1 + R2/R1 = 11.
2.1.5. −U'sat/A < ue < Usat/A.
2.1.6. Droite de pente A = 11 passant par l'origine entre −U'sat/A et Usat/A, puis paliers horizontaux us = Usat (ue > Usat/A) et us = −U'sat (ue < −U'sat/A).
2.2. Limites au fonctionnement de l'AO idéal
2.2.1. On applique en entrée une tension (continue ou sinusoïdale basse fréquence) d'amplitude nettement supérieure à Usat/A, sortie à vide (pas de limitation en courant), et on mesure les deux paliers d'écrêtage à l'oscilloscope (couplage DC) ou au voltmètre en continu.
2.2.2. Amplitude de sortie : A U0 = 11 V. Le courant de sortie alimente Ru et la branche R1 + R2 : is,max = 11/Ru + 11/11·103 < 20 mA ⇒ 11/Ru < 19 mA ⇒ Ru > 579 Ω ≈ 0,58 kΩ (en négligeant la branche de rétroaction : Ru > 550 Ω). Il faut aussi Usat > 11 V.
2.2.3. |dus/dt|max = A U0 ω < σ ⇒ ω1 = σ/(A U0) = 106/11 ≈ 9,1·104 rad·s−1 (f1 ≈ 14,5 kHz).
Pour ω > ω1, la sortie ne peut plus suivre : les portions les plus raides deviennent des segments de pente ±σ, le signal tend vers un
triangle (pentes ±σ) d'amplitude plus faible, de l'ordre de πσ/(2ω), et déphasé.
Autre méthode de mesure : appliquer un signal créneau d'amplitude suffisante et mesurer à l'oscilloscope la pente des rampes de sortie : σ = ΔU/Δt.
2.3. Défauts de l'AO réel
2.3.1. Ordres de grandeur (AO usuels type 741 / TL081) : rd ≈ 106 Ω (entrée bipolaire) à 1012 Ω (entrée JFET) ; rs ≈ 10 à 100 Ω ; μ ≈ 105 à 106.
2.3.2. Schéma : générateur de Thévenin με, rs en sortie ; ε = ue − R1us/(R1 + R2) (rd infinie).
La résistance de sortie est celle du dipôle de Thévenin vu de la sortie, ue = 0 (us = us0 − Rsis).
On impose u en sortie et on calcule le courant entrant i : ε = −u/A, i = (u − με)/rs + u/(R1 + R2), d'où
1/Rs = (1 + μR1/(R1 + R2))/rs + 1/(R1 + R2), soit Rs ≈ rs(R1 + R2)/(μR1) = rsA/μ
(quelques mΩ : rs = 75 Ω, μ = 105 donnent ≈ 8 mΩ).
2.3.3.1. Modèle de l'AO du premier ordre (passe-bas du premier ordre, à pôle dominant) ; il traduit un produit gain × bande constant.
2.3.3.2. us = μ ε, ε = ue − us/A ⇒ us(1 + μ/A) = μue ⇒ H = μ/(1 + μ/A) = Aμ0/(A + μ0 + jAf/fc).
H0 = Aμ0/(A + μ0) ; f0 = fc(A + μ0)/A = fc(1 + μ0/A).
2.3.3.3. μ0 ≫ A : H0 ≈ A = 11 (20,8 dB) et f0 ≈ μ0fc/A = 106/11 ≈ 91 kHz.
Bode asymptotique : μ : palier 100 dB jusqu'à 10 Hz, puis −20 dB/déc, coupant 0 dB à 1 MHz ; H : palier 20,8 dB jusqu'à 91 kHz, puis
confondu avec l'asymptote de μ. Interprétation : le produit gain × bande passante = μ0fc = 1 MHz est conservé ;
la rétroaction échange du gain contre de la bande passante : plus A est grand, plus la bande du montage est étroite. Au-delà de ~91 kHz, l'amplification chute.
3e partie — Montage oscillateur
3.1. Démarrage des oscillations
3.1.1. Le filtre de Wien est branché entre la sortie us (v1 = us) et l'entrée + (v2 = ue) qui n'absorbe aucun
courant : i2 = 0, l'équation (1) s'applique :
d2ue/dt2 + 3ω0 due/dt + ω02ue = ω0 dus/dt.
3.1.2. En régime linéaire ue = us/A : d2us/dt2 + (3 − A)ω0 dus/dt + ω02us = 0, soit l'équation (2) avec m = (3 − A)/2. Validité : AO en régime linéaire (non saturé, ni en tension ni en vitesse de balayage).
3.1.3. Si m > 0 (A < 3), toute perturbation est amortie : us → 0. Si m < 0 (A > 3), les solutions croissent exponentiellement : le moindre bruit électronique est amplifié et les oscillations naissent sans GBF. Seuil : A ≥ A0 = 3, soit R2 ≥ 2R1.
3.1.4. A = A0 ⇒ m = 0 : d2us/dt2 + ω02us = 0 ⇒ us(t) = Um cos(ω0t + φ) (Um, φ fixés par les conditions initiales), f = 1/(2πRC) = 1/(2π × 103 × 10−7) ≈ 1,6 kHz.
3.1.5. On règle A légèrement supérieur à 3 : m légèrement négatif, les oscillations démarrent d'elles-mêmes et croissent lentement jusqu'à ce que la saturation les limite ; « légèrement » pour que l'écrêtage, donc la distorsion, reste faible. Avec A < 3, elles ne démarrent pas ; avec A = 3 exactement, rien ne les amorce de façon fiable.
3.1.6. Non : pour A > 3 l'amplitude est fixée par la non-linéarité (saturation à ±Usat = ±14 V), pas par un élément réglable ; pour A = 3 exactement elle dépendrait des conditions initiales. Aucun paramètre du montage ne permet de choisir l'amplitude.
3.2. Montage avec contrôle automatique de gain
3.2.1.1. Diode passante sans résistance ni seuil : vd(t) = us(t).
3.2.1.2. Loi des nœuds au nœud supérieur (I = 0, i sort du nœud vers la diode) : i + vd/Rd + Cddvd/dt = 0 ⇒ vd = −Z i avec Z = Rd/(1 + jRdCdΩ) (Rd parallèle Cd).
3.2.1.3. i = −Us(1 + jRdCdΩ)ejΩt/Rd ⇒
Im = (Us/Rd)√(1 + (RdCdΩ)2),
Φ = π + arctan(RdCdΩ) (soit −π/2 − arctan(1/(RdCdΩ)) modulo 2π).
Avec RdCdΩ ≫ 1 : Im ≈ UsCdΩ, Φ ≈ −π/2, soit i ≈ UsCdΩ sin(Ωt) (courant de charge du condensateur).
3.2.1.4. Avec l'expression simplifiée, i ≈ UsCdΩ sin Ωt est positif (sens passant) puis s'annule pour Ωt0 = π :
t0 = π/Ω = T/2 (expression exacte : t0 = [π + arctan(1/(RdCdΩ))]/Ω, à peine plus tard).
us(t0) = vd(t0) = −Us : la diode cesse de conduire au minimum de us.
3.2.1.5. Juste après t0, l'expression de i (diode supposée passante) deviendrait négative, ce qu'une diode idéale interdit (courant seulement dans le sens passant). L'hypothèse « passante » n'est plus tenable : la diode se bloque (us remonte alors que le condensateur reste chargé à −Us).
3.2.1.6. i = 0 : vd/Rd + Cddvd/dt = 0, soit dvd/dt + vd/(RdCd) = 0.
3.2.1.7. Avec vd(t0) = −Us : vd(t) = −Us exp[−(t − t0)/(RdCd)] (décharge lente de Cd dans Rd).
3.2.1.8. Tension aux bornes de la diode dans le sens passant (anode côté vd, cathode côté us) : u = vd − us < 0, soit vd(t) < us(t).
3.2.1.9. Graphe : us sinusoïde d'amplitude Us ; vd reste au voisinage de −Us : après chaque minimum de us elle remonte très lentement (exponentielle de constante RdCd ≫ T, presque une droite), jusqu'à ce que la sinusoïde descendante la rejoigne peu avant le minimum suivant. Diode passante : sur ce court intervalle, de la rencontre au minimum (vd = us). Diode bloquée : du minimum jusqu'à la rencontre suivante, c'est-à-dire presque toute la période.
3.2.2.1. Pendant le blocage (durée ≈ T car RdCd ≫ T), vd ≈ −Us(1 − (t − t0)/RdCd) : la variation sur une période est ΔVd ≈ UsT/(RdCd) = 2πUs/(RdCdΩ), proportionnelle à T (variation crête à crête ; l'amplitude au sens « demi-variation » en est la moitié).
3.2.2.2. ΔVd/Us = 2π/(RdCdΩ) ≪ 1 : vd oscille entre −Us et −Us + ΔVd, donc Vd ≈ −Us et ΔVd ≪ |Vd| : c'est un détecteur de crête (négative).
3.2.3. Avec l'AO linéaire, us obéit à l'équation (2). Une solution sinusoïdale permanente exige m = 0 (sinon l'amplitude croît ou décroît exponentiellement), donc A = A0 = 3, et alors la pulsation est Ω = ω0. (Équivalent : condition de Barkhausen A·H(jΩ) = 1, H réel seulement en ω0 où il vaut 1/3.)
3.2.4.1. ue est la sortie du filtre de Wien à Ω = ω0 : Ue = |H(ω0)|Us = Us/3 ; Ue augmente proportionnellement à Us.
3.2.4.2. Le TEC est en série avec R1 : A = 1 + R2/(R1 + RDS).
3.2.4.3. VGS ≈ −Us ⇒ RDS = R0/(1 − Us/VP) croît avec Us (0 ≤ Us < VP), donc A diminue. Conclusion : rétroaction stabilisante sur l'amplitude. Si Us augmente, A passe sous 3 (m > 0) et les oscillations s'amortissent ; si Us diminue, A dépasse 3 (m < 0) et elles croissent. L'amplitude se stabilise à la valeur qui donne A = 3, sans saturation : sinusoïde propre.
3.2.5.1. A = 3 ⇒ R1 + RDS = R2/2 = 1000 Ω ⇒ RDS = 600 Ω.
600 = 200/(1 − Us/3) ⇒ 1 − Us/3 = 1/3 ⇒ Us = 2 V.
Vérification : VGS = −2 V ∈ [−3 V ; 0] ; amplitude de VDS = (Us/3) × 600/1000 = 0,4 V ∈ [−3 V ; 3 V] : TEC en fonctionnement normal.
3.2.5.2. Il faut toujours RDS = 600 Ω, soit VGS = −2 V. Avec VGS = k vd = −kUs : kUs = 2 V ⇒ pour Us = 10 V, k = 0,2 (et Us = 10 V < Usat = 14 V : pas de saturation).
Questions fréquentes sur ce sujet
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