Modèle de concours : CNC 2004 Physique I (TSI) — Concours National Commun

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ROYAUME DU MAROC

Ministère de l'Éducation Nationale Ministère de l'Enseignement
et de la Jeunesse Supérieur, de la Formation des Cadres
et de la Recherche Scientifique

Concours National Commun
d’Admission aux

Grandes Écoles d'Ingénieurs
Session 2004

ÉPREUVE DE PHYSIQUE I

Durée 4 heures

Filière TSI

Cette épreuve comporte 8 pages au format A4, en plus de cette page de garde
L'usage de la calculatrice est autorisé

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Concours National Commun - Session 2004 - Filière TSI

L’énoncé de cette épreuve comporte 8 pages.
L'usage de la calculatrice est 211101156

On veillera à une présentation claire et soignée des copies. Il convient en particulier de rappeler avec

précision les | références | des questions abordées.

Microscopie

La microscopie est la technique permettant de rendre visible des détails fins d’un objet.
L'épreuve propose d’en aborder quelques aspects. Elle est constituée de 3 parties largement
indépendantes. La première partie étudie quelques propriétés de l'œil humain. Cette étude est
nécessaire pour la compréhension du fonctionnement du microscope étudié dans la partie 2. La
dernière partie aborde un aspect de la microscopie électronique.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa
copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Dans les applications numériques, qui ne doivent pas être négligées, une attention particulière
sera prêtée au nombre de chiffres à utiliser pour afficher les résultats. Ce nombre, qui dépend en
général du niveau de précision recherché, ne doit en aucun cas dépasser le nombre de chiffres
significatifs permis par les données. La valeur numérique de toute grandeur physique doit être
accompagné de son unité dans le système international des unités (SI).

Données utiles
٠ Masse de l’électron : me = 9,1 x 1075! kg
e Charge élémentaire : ‏م‎ = 1,6 x 107 1900
٠. Constante de PLANCK : h = 6,62 x 10-34 58

+ Divergence en coordonnées cylindriques d’un champ vectoriel À = a(r,z) Ur, +az(r, 7) ‏نول‎

rl O(rar) | Aa;
0 = r ôr + 0z

Rotationnel en coordonnées cylindriques d’un champ vectoriel @ = a,(r, 2) Ÿn+az(r, 2) À. :

da,  Oa,
=. Fu z
Ÿ xa= (SE v. ) de

Épreuve de Physique I 1/8 Tournez la page S.V.P.

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1** partie

L’œil est l'organe pair de la vue. Le globe oculaire, approximativement sphérique, est constitué
principalement des éléments suivants :

- l'iris est une membrane circulaire, contractile, occupant le centre antérieur de l'œil et percée
en son milieu d’un orifice, la pupille, dont le diamètre @ peut varier entre 2 mm et 8 mm ; 15
joue le rôle d’un diaphragme permettant de régler la quantité de lumière qui pénètre dans
l’œil ;

- le cristallin, en forme de lentille biconvexe, est le principal élément réfringent de l'œil ; il est
placé dans le globe oculaire en arrière de la pupille ;

- la rétine est une membrane du fond de l'œil, formée de cellules nerveuses en rapport avec les
fibres du nerf optique, et sensible à la lumière ; elle joue le rôle d'un transducteur qui participe
à la transformation du flux lumineux en influx nerveux.

L'ensemble du globe oculaire est protégé par une paroi appelée la sclérotique et qui, en avant de
l’œil, prend une forme bombée et devient transparente formant la cornée.

L’œil ne voit clairement un objet que si son image par ses différents milieux réfringents se forme
sur la rétine. Pour cela, les muscles de l'œil peuvent agir sur le cristallin pour modifier sa courbure :
c’est le phénomène d’accommodation.

Pour l'étude optique simplifiée proposée dans ce problème, l'œil sera schématisé par une
seule lentille convergente (£) de distance focale image f; variable, placée devant un écran (Æ) qui
schématise la rétine à une distance d = OF appelée profondeur de l'œil. Un diaphragme (D),
d'ouverture circulaire de diamètre @ variable entre 2 mm et 8 mm, est placé contre la lentille (figure
1). Le tout est plongé dans l'air d'indice de réfraction 1.

Figure 1: Modèle simplifié de l'œil.

La puissance P de l'œil est définie par :

P s'exprime en dioptrie (6) lorsque f; est exprimée en mètre (1 ÿ = 1 m7"). L'accommodation traduit
la capacité de l'œil à faire varier sa puissance 2

7 0)

1.1. Champ latéral et champ en profondeur

1.1.1. Le champ latéral couvert par l'œil représente l'ensemble des points de l'espace qui
peuvent être vus nettement par l'œil. Il est défini par un cône de sommet 0 et d'angle œ compris
entre 40°et 50°. Cependant, l’acuité visuelle n’est pas la même pour toutes les directions de ce
champ. Elle est maximale au centre sur un cône d'angle au sommet ar = 5°. En déduire l’ordre
de grandeur du diamètre 4 de la zone de perception des détails située au centre de la rétine pour
un œil de profondeur d = 17 mm.

Épreuve de Physique I 2/8 ‏ب‎

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1.1.2. Comment doit varier la puissance P en fonction de la distance ‏م‎ = —OA, d’un objet
AoBo placé devant l’œil sur l'axe optique principal pour que ‏مطامط‎ soit vu nettement ? Représenter
graphiquement P(p).

1.13. En réalité la puissance P de l'œil est limitée par une puissance maximum ‏.مض‎ Le
punctum proximum (P,) est le conjugué de la rétine au maximum de la puissance P Pour un œil
normal P, se trouve à une distance JOP,| = 25 cm. En déduire la valeur de la puissance maximum
Pmax Pour un œil normal de profondeur d = 17 mm.

1.1.4. Le punctum remotum (P,) est le conjugué de la rétine au minimum de la puissance P Pour
un œil normal P, est rejeté à l'infini. En déduire la valeur de la puissance minimum Pnin pour un
œil normal de profondeur d = 17 mm.

1.15. Déduire de ce qui précède l'amplitude maximale d’accommodation À = Pnax — Pmin et
calculer sa valeur numérique.
1.2. Défauts de l’œil et correction

1.2.1. Myopie

Pour les mêmes valeurs numériques des puissances ‏مضلا‎ Et Pnin, UN œil myope possède une
profondeur d,, = 17,5 mm.

1.2.1.1. Où se trouve l'image d’un objet très loin par un tel œil lorsqu'il n'accommode pas ?
L’œil myope est-il capable de former l'image de cet objet sur la rétine ?

1.2.1.2. Déterminer les positions du punctum remotum et du punctum proximum pour cet œil.

1.2.1.3. Quel type de lentille mince faut-il accoler à la cornée pour corriger une telle anoma-
lie ? Calculer sa distance focale image fn. Commenter.

1.2.2.  Hypermétropie

Un œil hypermétrope a une profondeur d, = 16,5 mm et possède les mêmes valeurs des
puissances ‘Pnax Et ‘Pnin que l'œil normal.

1.2.2.1. Où se trouve l'image d'un objet très loin par un tel œil lorsqu'il n'accommode pas ?
L’œil hypermétrope est-il capable de former l’image de cet objet sur la rétine ? Si oui, quelle est la
puissance @, nécessaire ?

1.2.2.2... Déterminer les positions du punctum remotum et du punctum proximum pour cet œil.

1.2.23. Quel type de lentille mince faut-il accoler à la cornée pour corriger une telle anoma-
lie ? Calculer sa distance focale image fn. Commenter.

1.2.3.  Presbytie

Avec l’âge, le cristallin perd de son élasticité. Ceci qui se traduit par une diminution de
l'amplitude maximale d’accommodation : l’œil devient presbyte. On convient de considérer qu’un
œil devient presbyte lorsque sa puissance maximale diminue de plus de 1, 14 0. À quelle distance
minimale doit-on placer un document devant un tel œil, initialement normal, pour pouvoir le lire ?

1.3. Limite de résolution angulaire de l’œil

Le pouvoir de résolution est la capacité de l’œil à distinguer deux points très rapprochés. Cette
capacité est limitée par la structure granulaire de la rétine formée de cellules de diamètre moyen
‏و‎ = 5,1 jum au contact les unes avec les autres.

Épreuve de Physique I 3/8 Tournez la page S.V.P.

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1.3.1. On admet que pour que la séparation de deux points puisse se faire distinctement, il
faut que leurs images se forment sur deux cellules de la rétine séparées par une troisième. En
déduire l'expression littérale puis la valeur numérique de la limite de résolution angulaire œ d’un
œil normal de profondeur d = 17 mm.

132. À quelle distance de l’œil doit-on placer un objet pour pouvoir apprécier ses détails les
plus fins ? Justifier la réponse.

2°m° partie

Microscope composé

Le microscope est un instrument optique qui permet d'observer les détails d'objets micro-
scopiques ayant un diamètre apparent trop petit pour être distingués à l'œil nu.

Un microscope composé est un système optique centré constitué principalement d’un objectif et
d’un oculaire d’axe optique principal commun.

L'objectif est constitué d’un ensemble assez complexe de lentilles. Il est caractérisé (figure 2) par
ses plans principaux objet II,, et image IL;, et par ses foyers objet F,, et image F,, . Les distances
focales objet fo, et image fi, sont telles que fo, = Ho, Fo, et fi = H;, Fi, « L'objectif donne d'un objet
AoBo perpendiculaire à l'axe optique une image réelle A,B;. La figure 2 explique le principe de
formation de l'image A, By par l'objectif. Pour les applications numériques, on prendra f;, = 4 mm.

obj ec dif

Figure 2: Formation de l'image intermédiaire par l'objectif du microscope.

L'objectif est stigmatique pour un point objet A, quelconque situé sur l'axe et il en donne une
image A, située sur l'axe. Il est aussi aplanétique pour un petit objet A,B, perpendiculaire à l’axe
optique principal et ce même si l'angle ‏نه‎ que font les rayons lumineux avec l'axe optique principal
peut atteindre une valeur œ,, de l’ordre de 70°. Un rayon lumineux issu de A, et faisant un angle ‏مه‎
‎quelconque avec l'axe ressort de l'objectif en passant par A, et en faisant un angle ‏رمه‎ avec l'axe. On
admettra que, contrairement à ‏رمه‎ l'angle ‏ره‎ reste toujours petit. La condition d’aplanétisme pour
l’objectif se traduit par la relation :

N AoBosina, = ‏رق رط‎ sina, = A,B1 ai (2)

D'autre part, l'objectif considéré est dit « à immersion » car l’objet est immergé dans un liquide
d'indice N qui vient au contact de l'objectif. L'objectif est caractérisé par son ouverture numérique :
Q, = Nsinam- On admet enfin que f, = —N fi, - Pour les applications numériques on prendra
N = 1,515 et am = T0°.

L'oculaire, quant à lui, sera représenté par une lentille mince convergente unique de centre O»,
de foyer objet F,, et de foyer image F;,. Sa distance focale image est f;, = OsF;, = 20 mm.

Le foyer image F;, de l'objectif et le foyer objet F,, de l'oculaire sont séparés d’une distance
À = F;, Fop appelée intervalle optique. Pour les applications numériques, on prendra À = 200 mm.

Épreuve de Physique I 4/8 ‏ب‎

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2.1. Mise au point
2.1.1. Qu'appelle-t-on conditions de GAUSS ?

2.1.2. L'objectif du microscope considéré fonctionne-t-il dans les conditions de GAUSS ? Pour-
quoi ?

2.13. En utilisant la figure 2 pour exprimer de deux manières différentes le grandissement
transversal Gy, de l'objectif défini par :

A 1 B 1

montrer que les positions de l’objet A, et de son image A, par l'objectif sont reliées par la relation
de conjugaison de NEWTON :

Fa ‏مط‎ Fi A1 = fa fi 1 (4)

2.1.4. L'œil de l'observateur est supposé normal. Où l’image intermédiaire A, B; donnée par
l'objectif doit-elle se situer pour que l'observateur puisse voir l'image définitive sans accommoda-
tion ?

Dans toute la suite de cette partie, on supposera que cette condition est réalisée lors de l'utilisation normale
du microscope.

2.15. Compléter alors le schéma de la figure 2, après l'avoir reporté sur la copie de composi-
tion, en traçant le cheminement à travers l'ensemble du microscope (objectif et oculaire) du faisceau
lumineux issu du point ‏و3‎ représenté figure 2.

2.1.6. En déduire la position de l’objet A,B, caractérisée par la distance algébrique F9, Ao que
l’on exprimera en fonction de À, N et fi, -

2.1.7. Déterminer, dans les mêmes conditions, le grandissement transversal G,, de l'objectif.

2.1.8. Application numérique : calculer F5, ‏مخ‎ et Gr, -

2.2. Cercle oculaire

2.2.1. En utilisant le schéma de la figure 2, tracer le cheminement à travers le microscope des
rayons lumineux extrêmes du faisceau conique de sommet A, et de demi-angle au sommet ‏بيه‎

2.22. En déduire que tous les rayons lumineux issus de A, situés à l'intérieur d’un cône de
sommet À, et de demi-angle au sommet a, traversent le plan focal image de l'objectif à l’intérieur
d’un cercle de rayon R que l’on exprimera en fonction de f;, et Q,.-

2.2.3. En supposant que l’oculaire n’obture aucune partie de la lumière sortant de l'objectif,
déterminer le rayon p du faisceau cylindrique sortant du microscope et formé par les rayons
lumineux issus de A, ; on exprimera ‏م‎ en fonction de f;,, fi», Qn et A.

2.24. En fait, tout se passe comme si les rayons sortant de l'objectif étaient diaphragmés par
une ouverture circulaire de rayon R, centrée en F;, et située dans le plan focal image de l'objectif.

2.241. En déduire que tous les rayons issus d’un objet étendu perpendiculaire à l'axe et
sortant de l'instrument sont ainsi astreints à traverser un disque appelé disque oculaire, de centre C,
dont on calculera la position et le rayon pe. Où doit-on placer l'œil pour recevoir le maximum de
lumière ? On supposera par la suite que cette condition est réalisée.

2.2.4.2. Application numérique : calculer ‏يم‎ et F;, C. Commenter.

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2.3. Grossissement

On définit le grossissement 6 du microscope comme étant le rapport entre l'angle 0" sous lequel
on voit un objet donné A,B, à travers le microscope et l'angle 0 sous lequel on voit le même objet
à l'œil nu lorsque A,B, est placé à la distance minimale de vision distincte à. Pour les applications
numériques on prendra à = 250 mm.

2.3.1. Exprimer G en fonction de f;, , fi,, À et 0 et calculer sa valeur numérique.
2.3.2.  Exprimer le rayon pe du cercle oculaire en fonction de G, Q, et à.

2.3.3. Pour quelle valeur Ge du grossissement G, le rayon pe du cercle oculaire devient-il égal
au rayon py de la pupille de l'œil ? Exprimer 6 en fonction de ‏ة ما‎ et ‏وم‎ et calculer numériquement
Ge- On prendra po = 2,5 mm.

2.3.4. Comment peut-on définir un rayon utile p, de la pupille pour recevoir un maximum de
lumière ? Déterminer l'expression de p, et représenter ses variations en fonction de G en supposant
po constant.

2.4.  Œil et pouvoir de résolution du microscope

La résolution du microscope est sa capacité de permettre à un œil de distinguer les détails les
plus fins d’un objet.

Du fait de la structure granulaire de la rétine, l'œil n’est capable de distinguer deux points que
si leur écart angulaire dépasse une valeur minimale az appelée pouvoir séparateur de l'œil. Pour
les applications numériques on prendra a, = 3 x 10-4 .

2.4.1. Tracer le cheminement à travers le microscope des faisceaux lumineux issus de deux
points À, et By disposés symétriquement par rapport à l'axe optique principal dans le plan conjugué
par l'objectif du plan focal objet de l’oculaire.

2.42. En déduire la distance minimale 5, que doit séparer les deux points A, et B, dans le plan
objet du microscope pour que l'œil puisse les distinguer en l'absence de la diffraction. On exprimera
S, en fonction de 6, ‏يه‎ et 0.

2.43. Comparer ‏وي‎ à la dimension S2 du détail le plus fin visible à l'œil nu et conclure quant
au rôle du microscope.
3ème

partie

Microscope électronique

3.1. Principe

Le microscope électronique exploite une propriété quantique d’un faisceau d’électrons. En effet,

à un électron d'’impulsion ‏م‎ = mev, où me et v sont respectivement la masse et la vitesse de
l’électron, est associée une onde de longueur d’onde Àe donnée par la relation de DE BROGLIE :

où h est la constante de PLANCK.
Les électrons sont produits par effet thermoélectronique dans un canon à électrons placé dans le
vide. Ils sont ensuite accélérés sous une différence de potentiel V. = 10 kV.

3.1.1. Exprimer la vitesse ‏ون‎ des électrons accélérés en fonction de leur masse m, de leur charge
e et de V.. Pour cela on négligera la vitesse initiale d'émission des électrons.

Épreuve de Physique I 6/8 ‏يجت‎

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3.1.2. En déduire leur longueur d'onde Xe.
3.1.3. Application numérique : calculer ‏ون‎ et Ac.

3.14. Rappeler les limites en longueur d'onde du spectre de la lumière visible et comparer
la longueur d’onde À de l'onde associée à l’électron à celle À de la lumière visible. Commenter
ce résultat, sachant qu’à cause du phénomène de diffraction, le pouvoir de résolution est d'autant
meilleur que la longueur d’onde est petite.

3.2. Lentille électrostatique

Dans le microscope électronique, comme dans le microscope optique, la formation d’une image
agrandie de l’objet à observer nécessite l’utilisation de dispositifs capables de dévier la direction
de propagation de l'onde. Le but de cette section est d'étudier le principe de fonctionnement
d’une lentille électrostatique qui peut être utilisée pour dévier la trajectoire des électrons dans un
microscope électronique.

3.2.1. Champ électrostatique dans la lentille

Dans la région (R) de l’espace appelée « lentille électrostatique » règne un champ électrostatique
non uniforme É. La région (R) est vide de charge électrique et telle que : x? + y? › R° et
—L › 2 › +4. Le champ électrostatique É est produit par un dispositif invariant par rotation d’un
angle 0 quelconque autour de l'axe Oz et qui admet le plan 2 = 0 comme plan de symétrie.

Le champ électrostatique est nul en dehors de la région (R).

3.2.1.1. Montrer, en évoquant des arguments clairs, que le champ électrostatique É s'écrit en
coordonnées cylindriques (r, 0, ) d’axe Oz sous la forme :

où F et G sont deux fonctions quelconques des coordonnées r et z uniquement que l’on ne
demande pas d'’expliciter pour le moment. (W,, do, À ;) est la base orthonormée locale du système
de coordonnées cylindriques.

3.2.1.2. Que vaut G(r, z) dans le plan z = 0 ? Justifier.

3.2.1.3.  Rappeler les équations locales vérifiées par le champ électrostatique É dans la région

3.2.1.4. En déduire que les composantes F et G du champ électrostatique vérifient les
équations aux dérivées partielles suivantes :

Oz Or (9)
0(rF)  0(rG) 8

Or 0z

3.2.1.5. Le dispositif qui crée le champ électrostatique É dans la région (R) impose F'(r, z) =
Br avec 8 = 2Uy/R?, ‏و‎ étant une constante. En déduire que G(r, #) = ‏م‎ z et donner l'expression
de 6" en fonction de 8.

3.2.1.6. Montrer que le champ électrostatique 2 dérive d’un potentiel électrostatique que
l’on exprimera en fonction de Up, r et z.

3.2.1.7. Quelle est la nature de la surface équipotentielle passant par l’origine ? Justifier la
réponse et représenter graphiquement cette surface. Que représente Up ?

Épreuve de Physique I 7/8 Tournez la page S.V.P.

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3.2.2. Mouvement de l’électron dans la lentille

À l'instant choisi comme origine, un électron pénètre dans la région (R) au point Ip de coor-
données r = ra › R, 2 = —l avec une vitesse Va = vo ‏و0 وا‎ › 0. Dans toute la suite, on négligera
l’action de la pesanteur sur le mouvement de l’électron.

3.2.2.1. En exploitant la projection du théorème du moment cinétique sur l'axe Oz, montrer
que, dans la région (R), le mouvement de l’électron se fait dans un plan méridien 0 = constante.

3.2.2.2. Établir les équations différentielles vérifiés séparément par r et z. À quelle condition

sur Uv, le mouvement de l’électron est-il confiné au voisinage de l'axe Oz. En supposant que cette

condition est satisfaite dans toute la suite, montrer que les équations différentielles précédentes
peuvent s’écrire :

‎et donner l'expression de w en fonction de e, me, Up et R.

‎3.2.2.3. Résoudre l'équation différentielle en ‏ع‎ et déterminer l'expression de z(t) vérifiant les
conditions initiales.

‎3.2.2.4. Dans toute la suite, on suppose satisfaite la condition w / › ‏.وه‎ Montrer alors, que la
vitesse # de l’électron reste pratiquement égale à vo et en déduire la durée t, nécessaire à l’électron
pour traverser la zone (R).

‎3.2.2.5. Résoudre de même l'équation différentielle en 7 et montrer que la trajectoire électron-
ique reste au voisinage de l'axe Oz. Quelle est l'hypothèse correspondante en optique ?

‎3.2.2.6. Déterminer les composantes du vecteur vitesse de l’électron au point / de sa sortie
de la région (R).

‎3.2.2.7. Montrer que le mouvement de l’électron est rectiligne uniforme en dehors de la
région (R).

‎3.2.2.8. Déterminer la coordonnée ‏مو‎ du point d’intersection de la trajectoire électronique
avec l'axe Oz. La position de F' dépend-elle de Ip ? Justifier le nom de foyer donné à F'. Cette
lentille électrostatique est-elle convergente ou divergente ? Comment peut-on agir sur la distance
focale de la lentille.

‎3.2.2.9. Application numérique : calculer ‏ضرع‎ pour £ = 1,0 x 10-*metw 8/00 = 10-72.

‎FIN DE L'ÉPREUVE

‎Épreuve de Physique I 8/8 FIN

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