Modèle de concours : CNC 2003 Physique I (TSI) — Concours National Commun

Ce modèle est l'épreuve de Physique I du Concours National Commun (CNC) d'admission aux grandes écoles d'ingénieurs, filière TSI, session 2003. Durée : 4 heures, calculatrice interdite. Quatre parties indépendantes : un système mécanique roulant sur un plan incliné, un microphone électrostatique, un haut-parleur électrodynamique et la mesure d'une vitesse par effet Doppler. Voici une correction proposée, question par question.

💡 Conventions utilisées : base (u_X, u_Y, e_z) liée au plan incliné, u_X vers le bas de la pente, u_Y normale sortante, e_z sortant de la figure (sens trigonométrique). La barre a pour direction CM = 2R(sin θ u_X − cos θ u_Y) : θ = 0 quand la barre est selon la normale dirigée vers le plan, θ > 0 quand elle penche vers le bas de la pente.

1^ère partie — Étude d'un système mécanique

1.1. Positions d'équilibre

1.1.1. Roulement sans glissement : la vitesse du point de contact I est nulle. v_I = v_C + θ̇ e_z ∧ CI = Ẋ u_X + θ̇ e_z ∧ (−R u_Y) = (Ẋ + R θ̇) u_X = 0. D'où Ẋ = −R θ̇ et, avec X = 0 pour θ = θ₀ : X = R(θ₀ − θ). Quand C descend la pente, le cylindre tourne dans le sens horaire (θ diminue).

1.1.2. Forces subies par (S) (la barre est de masse négligeable) :

• Poids du cylindre m g, appliqué en C : travaille (C descend ou monte), dérive d'une énergie potentielle.
• Poids de la masse M = m, appliqué en M : travaille, dérive d'une énergie potentielle.
• Réaction du plan en I, composantes normale N et tangentielle T (frottement) : sa puissance est R·v_I = 0 car v_I = 0 (roulement sans glissement) ; elle ne travaille pas (et ne dérive pas d'un potentiel, mais cela n'a pas d'importance).

Conclusion : seules des forces conservatives travaillent, donc l'énergie mécanique de (S) se conserve. Le système, à un seul degré de liberté (θ), est conservatif.

1.1.3. Avec g = g sin α u_X − g cos α u_Y : E_p = −m g·OC − m g·OM + cte. Or g·OC = g X sin α + cte et g·OM = g X sin α + 2Rg(sin α sin θ + cos α cos θ) = g X sin α + 2Rg cos(θ − α). Donc E_p = −2mg X sin α − 2mgR cos(θ − α) + cte, et avec X = R(θ₀ − θ) :

E_p(θ) = 2mgR [θ sin α − cos(θ − α)] + cte, soit pour α = π/4 : E_p(θ) = √2 mgR (θ − cos θ − sin θ) + cte.

1.1.4. dE_p/dθ = 2mgR [sin α + sin(θ − α)] = √2 mgR (1 + sin θ − cos θ). dE_p/dθ = 0 ⇔ sin(θ − α) = −sin α ⇔ θ − α = −α ou θ − α = π + α [2π]. Pour θ ∈ ]−π, π] : θ_e1 = 0 et θ_e2 = π + 2α − 2π = −π/2. (Vérification : cos θ − sin θ = 1 ⇔ √2 cos(θ + π/4) = 1 ⇔ θ = 0 ou θ = −π/2.)

1.1.5. Dans les deux cas, le cylindre est immobile et les trois forces s'équilibrent : la réaction en I est verticale ascendante, de norme 2mg (N = 2mg cos α = √2 mg, T = 2mg sin α = √2 mg dirigée vers le haut de la pente).

• θ = 0 : la barre est portée par la normale au plan, M est sur la droite CI, à la distance R sous I (dans la rainure). Moments en I : mg en C donne −mgR sin α e_z, mg en M donne +mgR sin α e_z : la somme est nulle. Les deux poids sont symétriques par rapport à I.
• θ = −π/2 : la barre est parallèle au plan, dirigée vers le haut de la pente (M = C − 2R u_X). Moments en I : −mgR sin α (poids en C) + mgR(2 cos α − sin α) (poids en M) = 2mgR(cos α − sin α) = 0 pour α = π/4.

Sur la copie, dessiner pour chaque cas : le plan incliné, le cylindre, la barre, les deux poids verticaux mg (en C et en M) et la réaction en I (verticale, 2mg).

1.1.6. d²E_p/dθ² = 2mgR cos(θ − α).

• θ = 0 : 2mgR cos(π/4) = √2 mgR > 0 → minimum de E_p : équilibre stable.
• θ = −π/2 : 2mgR cos(−3π/4) = −√2 mgR < 0 → maximum de E_p : équilibre instable.

1.2. Nature du mouvement

1.2.1. Posons f(θ) = θ − cos θ − sin θ (E_p = √2 mgR f(θ)). Valeurs remarquables :

Allure : E_p croît de −π à −π/2 (maximum local), décroît jusqu'à 0 (minimum local, « cuvette »), puis croît jusqu'à π. Le terme linéaire θ sin α (énergie potentielle de translation) donne une tendance globale croissante avec θ : une « tôle ondulée » inclinée.

1.2.2. Lâché sans vitesse, (S) part dans le sens où E_p diminue. Le signe de dE_p/dθ est celui de 1 + sin θ − cos θ = 1 − √2 cos(θ + π/4), négatif seulement pour θ ∈ ]−π/2, 0[.

• θ₀ ∈ ]−π/2, 0[ : θ augmente, donc X = R(θ₀ − θ) diminue : C commence à monter la pente (la masse M bascule et entraîne le cylindre).
• θ₀ ∈ ]−π, −π/2[ ∪ ]0, π[ : θ diminue, X augmente : C commence à descendre la pente.
• θ₀ = 0 ou −π/2 : (S) reste immobile (équilibre ; théorique pour −π/2, instable).

1.2.3. Conservation de l'énergie : T = E_p(θ₀) − E_p(θ) ≥ 0, le mouvement a lieu là où E_p(θ) ≤ E_p(θ₀). Soit θ₂ ≈ 0,84 rad (≈ 48°) la valeur de ]0, π[ telle que E_p(θ₂) = E_p(−π/2).

• θ₀ ∈ ]−π/2, 0[ ∪ ]0, θ₂[ : E_p(θ₀) < E_p(−π/2), le système reste piégé dans la cuvette autour de θ = 0 : oscillations périodiques (non sinusoïdales en général) entre θ₀ et la valeur θ'₀ de l'autre côté de 0 telle que E_p(θ'₀) = E_p(θ₀). C fait des allers-retours sur la pente, d'amplitude R|θ₀ − θ'₀|.
• θ₀ ∈ ]θ₂, π[ : θ diminue, franchit la bosse en −π/2 avec une vitesse non nulle ; ensuite les bosses suivantes (en −π/2 − 2kπ) sont de plus en plus basses (E_p(θ − 2π) = E_p(θ) − 2√2 π mgR) : (S) dévale la pente indéfiniment en tournant, avec une vitesse modulée (accélérations et ralentissements à chaque tour) mais croissante en moyenne.
• θ₀ ∈ ]−π, −π/2[ : θ diminue d'emblée, même conclusion : (S) dévale la pente indéfiniment.
• θ₀ = θ₂ : cas limite, (S) tend asymptotiquement vers la position instable θ = −π/2.

1.3. Équation du mouvement

1.3.1. Cylindre (König) : T_cyl = ½ m Ẋ² + ½ J θ̇² = ½ mR²θ̇² + ¼ mR²θ̇² = ¾ mR²θ̇². Masse M : v_M = θ̇ e_z ∧ IM avec IM = R u_Y + 2R(sin θ u_X − cos θ u_Y), d'où v_M² = R²θ̇² [4 sin²θ + (1 − 2cos θ)²] = R²θ̇² (5 − 4 cos θ).

T = ¾ mR²θ̇² + ½ mR²(5 − 4 cos θ) θ̇² = (mR²/4)(13 − 8 cos θ) θ̇².

1.3.2. Intégrale première de l'énergie (T + E_p = E_p(θ₀)) :

(mR²/4)(13 − 8 cos θ) θ̇² + 2mgR [θ sin α − cos(θ − α)] = 2mgR [θ₀ sin α − cos(θ₀ − α)]

soit pour α = π/4 : (R/4)(13 − 8 cos θ) θ̇² + √2 g (θ − cos θ − sin θ) = √2 g (θ₀ − cos θ₀ − sin θ₀). En dérivant par rapport au temps et en simplifiant par θ̇ : (R/2)(13 − 8 cos θ) θ̈ + 2R sin θ θ̇² + 2g [sin α + sin(θ − α)] = 0.

1.3.3. Au voisinage de θ = 0 : 13 − 8 cos θ ≈ 5, le terme en θ̇² est d'ordre 2, et sin α + sin(θ − α) ≈ θ cos α. Il reste : (5R/2) θ̈ + 2g cos α θ = 0, soit θ̈ + ω₀² θ = 0 avec ω₀² = 4g cos α / (5R) = 2√2 g / (5R).

Période des petites oscillations : T₀ = 2π √(5R / (2√2 g)) ≈ 8,35 √(R/g).

2^ème partie — Étude d'un microphone électrostatique

2.1. C(t) = ε₀S/d = ε₀S/(d₀ − a sin ωt) = (ε₀S/d₀)·1/(1 − (a/d₀) sin ωt) ≈ (ε₀S/d₀)(1 + (a/d₀) sin ωt).

C₀ = ε₀S/d₀ : capacité du condensateur au repos (sans onde sonore). C₁ = ε₀S a/d₀². C₁/C₀ = a/d₀ ≪ 1 : la variation de capacité est une petite modulation autour de C₀, proportionnelle à l'amplitude du déplacement de la membrane (c'est elle qui porte l'information sonore).

2.2. Le courant d'entrée de l'amplificateur étant nul, aucun courant ne traverse C' : C et R sont en série avec E. Avec q la charge de C et i = dq/dt le courant traversant R (u = Ri) : E = q/C + u ⇒ q = C(t)(E − u), et u/R = dq/dt = (dC/dt)(E − u) − C du/dt. D'où :

R C(t) du/dt + [1 + R dC/dt] u = R E dC/dt.

2.3. dC/dt = C₁ω cos ωt. Le second membre est d'ordre C₁/C₀, donc u aussi ; le terme R(dC/dt)u est alors d'ordre (C₁/C₀)² et C(t) du/dt ≈ C₀ du/dt. Il reste RC₀ du/dt + u = REC₁ω cos ωt, soit :

du/dt + u/τ₀ = ωU₀ cos ωt avec τ₀ = RC₀ et U₀ = E C₁/C₀ = E a/d₀.

Condition sur R : le terme négligé R(dC/dt)u doit rester petit devant u, soit RC₁ω ≪ 1, c'est-à-dire R ≪ 1/(C₁ω) (= d₀²/(ε₀S a ω)).

2.4. En complexe (u = Re[U e^jωt], second membre ωU₀) : (jω + 1/τ₀) U = ωU₀ ⇒ U = ωτ₀U₀/(1 + jωτ₀).

U = ωτ₀U₀/√(1 + ω²τ₀²) = R C₁ E ω / √(1 + R²C₀²ω²) et φ = arctan(ωτ₀) = arctan(RC₀ω), φ ∈ [0, π/2[.

2.5. U ne dépend (presque) plus de ω si ωτ₀ ≫ 1 pour toute la bande audio, soit R ≫ 1/(C₀ω_min) (ω_min = 2π × 20 Hz environ). Alors U ≈ U₀, φ ≈ π/2 et :

u(t) ≈ U₀ sin ωt = (E a/d₀) sin ωt.

Interprétation : τ₀ est grand devant la période du son : le condensateur n'a pas le temps de se charger ou de se décharger, sa charge reste q ≈ C₀E. Alors u = E − q/C ≈ E − E d/d₀ = E a sin ωt / d₀ : la tension est l'image fidèle du déplacement de la membrane. Autres avantages : amplitude maximale (U → U₀, meilleure sensibilité), même gain et même déphasage pour toutes les fréquences (pas de distorsion d'un son complexe), réponse linéaire en a. Les deux conditions 1/(C₀ω) ≪ R ≪ 1/(C₁ω) sont compatibles puisque C₁ ≪ C₀.

2.6. C' est un condensateur de liaison : il bloque toute composante continue (tension de polarisation, décalages) et ne transmet à l'amplificateur que la composante variable (audio) ; il évite de perturber la polarisation de l'étage d'entrée. Avec la résistance d'entrée R_e de l'amplificateur, il forme un passe-haut à choisir tel que 1/(2πR_eC') ≪ 20 Hz. Montage réaliste : amplificateur non inverseur à amplificateur opérationnel (gain 1 + R₂/R₁, par exemple R₁ = 1 kΩ, R₂ = 47 kΩ), dont l'impédance d'entrée très élevée justifie l'hypothèse d'un courant d'entrée nul ; avec un AO de produit gain × bande de l'ordre du MHz, la bande passante reste supérieure à 20 kHz.

3^ème partie — Étude d'un haut-parleur électrodynamique

💡 Sur la figure 3, le courant positif « entre » dans le plan (⊕) en haut et en sort (⊙) en bas : il circule selon +u_θ (en haut u_r est vers le haut, u_x vers la droite, u_θ = u_r ∧ u_x vers l'arrière). Base directe : u_x ∧ u_θ = u_r, u_θ ∧ u_r = u_x, u_r ∧ u_x = u_θ.

3.1. Équation mécanique

3.1.1. df_L = i dl u_θ ∧ B₀ u_r = i B₀ dl u_x. Sur toute la bobine : f_L = i l B₀ u_x.

3.1.2. PFD sur l'ensemble mobile, projeté sur u_x : m dv/dt = −kx − rv + B₀l i, soit

m d²x/dt² + r dx/dt + kx = B₀ l i(t).

3.2. Équation électrique

3.2.1. Champ électromoteur de Lorentz : E_m = v ∧ B = v u_x ∧ B₀u_r = −v B₀ u_θ : pour v > 0, il est dirigé en sens inverse du sens positif du courant (sur la figure : vers l'avant ⊙ en haut, vers l'arrière ⊕ en bas). F.é.m. : e = ∫ E_m·dl u_θ = −B₀ l v (orientée dans le sens de i).

3.2.2. En convention récepteur (u = V_A − V_B, i entrant en A), la bobine équivaut à R, L en série avec le générateur e :

u = R i + L di/dt + B₀ l v.

3.3. Bilan énergétique

3.3.1. L'équation mécanique contient le courant i (force de Laplace) et l'équation électrique contient la vitesse v (f.é.m. induite) : les deux équations sont couplées par le même coefficient B₀l. Le dispositif convertit de l'énergie électrique en énergie mécanique (et inversement en fonctionnement microphone) : c'est un transducteur, dit électrodynamique car le couplage passe par les actions électromagnétiques sur un conducteur en mouvement. On vérifie que la puissance de Laplace et la puissance de la f.é.m. se compensent : f_L·v + e i = B₀l i v − B₀l v i = 0.

3.3.2. Équation électrique × i : u i = R i² + L i di/dt + B₀l v i. Équation mécanique × v : m v dv/dt + k x v + r v² = B₀l i v. En éliminant B₀l i v :

u i = d/dt [½ L i² + ½ m v² + ½ k x²] + R i² + r v²

• E_r = ½ L i² + ½ m v² + ½ k x² : énergie stockée (magnétique dans la bobine, cinétique de l'équipage mobile, élastique du rappel) ;
• 𝒫₁(i) = R i² : puissance dissipée par effet Joule ;
• 𝒫₂(v) = r v² : puissance cédée à l'air, c'est-à-dire la puissance sonore émise ;
• u i : puissance électrique reçue de la source.

3.3.3. En régime périodique, E_r reprend la même valeur après une période, donc ⟨dE_r/dt⟩ = 0 et ⟨u i⟩ = R⟨i²⟩ + r⟨v²⟩ : la puissance électrique moyenne fournie est intégralement convertie en chaleur (Joule) et en puissance acoustique ; l'énergie stockée ne fait qu'osciller. Rendement : η = r⟨v²⟩/⟨u i⟩ < 1.

3.4. Modèle électrique équivalent

3.4.1. En complexe : (jmω + r + k/(jω)) V = B₀l I ⇒ V = B₀l I / (r + jmω + k/(jω)). Puis U = (R + jLω) I + B₀l V = Z I avec :

Z_e = R + jLω et Z_am = B₀²l² / (r + jmω + k/(jω)), soit 1/Z_am = r/(B₀²l²) + jω m/(B₀²l²) + k/(jω B₀²l²).

3.4.2. 1/Z_am est une somme de trois admittances, donc trois dipôles en parallèle :

• conductance r/(B₀²l²) : résistance R_m = B₀²l²/r, image du frottement fluide (rayonnement acoustique) ;
• admittance jC_mω : condensateur C_m = m/(B₀²l²), image de l'inertie (masse) ;
• admittance 1/(jL_mω) : bobine L_m = B₀²l²/k, image du rappel élastique (raideur).

Ce modèle suppose r indépendant de ω (sinon R_m dépendrait de la fréquence).

3.4.3. B₀l = 0,2 × 20 = 4 T·m, B₀²l² = 16 (SI) :

• R_m = 16/6 ≈ 2,7 Ω ;
• C_m = 0,120/16 = 7,5 × 10⁻³ F = 7,5 mF ;
• L_m = 16/(4,3 × 10⁴) ≈ 3,7 × 10⁻⁴ H = 0,37 mH.

Schéma équivalent : entre A et B, R et L en série avec le bloc (R_m // L_m // C_m). Ce bloc résonne à f₀ = 1/(2π√(L_mC_m)) = (1/2π)√(k/m) ≈ 95 Hz, résonance mécanique de la membrane, où Z_am = R_m est maximale.

4^ème partie — Mesure d'une vitesse de translation par effet Doppler

4.1. Un signal émis à t = 0 à la distance D est reçu à D/c ; le suivant, émis à T_s alors que la source est à D + vT_s, est reçu à T_s + (D + vT_s)/c. D'où T_a = T_s(1 + v/c) et ν_a = ν_s/(1 + v/c) ≈ ν_s(1 − v/c) au premier ordre en v/c.

4.2. Le récepteur s'éloigne de l'émetteur fixe à la vitesse V. L'onde a une longueur d'onde λ = c/ν ; le récepteur rencontre les crêtes à la vitesse relative c − V, d'où ν_R = (c − V)/λ = ν(1 − V/c). (Même raisonnement qu'en 4.1 : seul le mouvement relatif compte au premier ordre.)

Δν = ν − ν_R = ν V/c > 0.

4.3.

4.3.1. u_M = K x₁x₂ est une tension, x₁ et x₂ aussi : K s'exprime en V⁻¹.

4.3.2. u_E = U₀ cos 2πνt et u_R = U_R cos(2π(ν − Δν)t + φ). Alors :

u_M(t) = K U₀U_R cos(2πνt) cos(2π(ν − Δν)t + φ) = (K U₀U_R/2) [cos(2πΔν t − φ) + cos(2π(2ν − Δν)t + φ)].

4.3.3. Le spectre d'amplitude contient deux raies de même amplitude K U₀U_R/2 : l'une à la fréquence Δν (quelques dizaines de Hz), l'autre à 2ν − Δν ≈ 80 kHz. Pas de composante continue. (Représenter un axe des fréquences avec ces deux bâtons.)

4.3.4. Il faut garder la raie basse fréquence et éliminer celle à ≈ 80 kHz : filtre passe-bas avec Δν ≪ ν_c ≪ 2ν − Δν ≈ 80 kHz (Δν doit rester dans la bande passante quelle que soit la vitesse à mesurer : pour V = 1 m/s, Δν ≈ 118 Hz).

4.3.5. u_F(t) = A (K U₀U_R/2) cos(2πΔν t − φ) : sinusoïde de fréquence Δν.

4.4.

4.4.1. Sur la figure 5, les maxima sont en t ≈ 10, 25, 40, 55, 70, 85, 100, 115 et 130 ms : 8 périodes en 120 ms, soit T = 15 ms et Δν = 1/T ≈ 67 Hz.

4.4.2. V = c Δν/ν = 340 × 66,7 / 40 000 ⇒ V ≈ 0,57 m/s.

4.5. Exemple simple : passe-bas RC du premier ordre, R = 10 kΩ, C = 10 nF, d'où ν_c = 1/(2πRC) ≈ 1,6 kHz : 67 Hz est transmis sans atténuation notable et la raie à 80 kHz est atténuée d'un facteur ≈ 50. Pour obtenir aussi l'amplification A : filtre actif inverseur à AO (R₁ = 1 kΩ en entrée, R₂ = 10 kΩ en parallèle avec C = 10 nF en contre-réaction), de gain |A| = R₂/R₁ = 10 dans la bande passante et ν_c = 1/(2πR₂C) ≈ 1,6 kHz. Un filtre du second ordre (deux cellules ou structure de Sallen-Key) améliore encore la réjection.

4.6. Le système automatique d'acquisition (carte d'acquisition + ordinateur, ou oscilloscope numérique) échantillonne la tension à intervalles réguliers (échantillonneur-bloqueur), la numérise par un convertisseur analogique-numérique, stocke les valeurs en mémoire, puis les affiche et permet de les traiter (mesure de période, FFT…). La fréquence d'échantillonnage doit respecter le critère de Shannon (f_e > 2 × fréquence maximale du signal) ; sur la figure 5 les points sont espacés d'environ 1 ms (f_e ≈ 1 kHz ≫ 2 × 67 Hz), ce qui montre bien la nécessité du filtrage préalable de la raie à 80 kHz.