Modèle de concours : CNC 2020 Physique (TSI) — Concours National Commun

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المملكة المغربية
وزارة التربية الوطتية والتكوين اطهني
والتعليم العالي والبحث العلمي

4-01 1/1/ 2-4-1 1/11 ‏با‎ 0-5 ©
40013 04150[145-1- 520/15015444411
ASOOHUEA-I1›-HUMU-ASOXA3-C-OO-oI

Royaume du Maroc
Ministère de l'Éducation Nationale, de la Formation Professionnelle,
de l'Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique
Département de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique

2 ض

امكت محيد ‎ag‏ بالرباحط ال سربيب اتات
‎Université Mohammed V de Rabat‏ ك ‎I A‏ ك3 ‎E IN‏

CNC Z0OZ0

CONCOURS NATIONAL COMMUN

d’Admission dans les Établissements de Formation d’Iingénieurs
et Établissements Assimilés

Épreuve de Physique

Filières : TSI

Durée 4 heures

Cette épreuve comporte 6 pages au format A4, en plus de la page de garde
La calculatrice est autorisée

Page de garde

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Concours National Commun - Session 2020 - Filière TSI

e On veillera à une présentation et une rédaction claires et soignées des copies. Il convient en
particulier de rappeler avec précision les |numéros) des questions abordées.

* Toutes les réponses devront être très soigneusement justifiées.

* Si un résultat donné par l'énoncé est non démontré, il peut néanmoins être admis pour les
questions suivantes. Les différentes parties du problème sont relativement indépendantes entre elles.

e Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé ou un oubli, il
le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant clairement les raisons des initiatives qu'il est
amené à prendre.

Oscillations. Couplages

On parle d'oscillations de grandeurs physiques lorsque celles-ci varient périodiquement; elles
sont décrites par les mêmes équations quelle qu’en soit leur nature (mécanique, électrique, etc.). Dans
certaines situations les oscillations temporelles peuvent aussi se propager dans l’espace. Lorsque des
grandeurs physiques quelconques sont interdépendantes, on dit qu’elles sont couplées : c’est le cas
lorsqu’on a des liaisons entre oscillateurs (mécaniques, électriques, …), et on peut alors avoir des
transferts énergétiques.

Données
e Il peut être commode d'utiliser la notation complexe ; ainsi à une grandeur sinusoïdale fonction
du temps f(t) = Fy.cos(wt + p), on associe le complexe souligné f(t) = ‏لط م.م‎ où j? = —1, et

tel que f(t) représente sa partie réelle : f(t) = Re(f(t)); et on notera son conjugué par 1
e On notera par /)0( et f(t) les dérivées temporelles première et seconde d’une fonction /)1(

e Le champ de pesanteur ‏ع‎ est uniforme, vertical, descendant et de module ‏ع‎ = 9,871.52.

Exercice : oscillateurs élastiques libres non amortis (barème 4 points sur 20)

On étudie les mouvements par rapport au référentiel du laboratoire supposé galiléen R(OXYZ),
l'axe OZ est descendant. On néglige tout frottement.

20

Figure 1 — Oscillateur élastique (a). Étude d’un choc (b)

1. Oscillateur élastique

On considère la figure 1(a), et on étudie le mouvement d’un solide de masse M accroché à un ressort
vertical à spires non joinctives, sans masse, de longueur à vide ‏و1‎ et de raideur k. Le barycentre G est

repéré à partir de l’autre extrémité fixe O, du ressort, par 0 - 2.17. On 15086 :w = # :
1.1 Donner l'expression de la tension 7 (z) exercée par le ressort sur le solide.
Épreuve de Physique 1/6 Tournez la page S.V.P

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1.2 Appliquer le principe fondamental de la dynamique, et montrer que l'équation différen-
tielle du mouvement s'écrit : Z + Ë .)2 -0 18 ;=0

On pose : ze = lo + Us On admet qu’à ‏سا‎ initial l’abscisse est OG(t = 0) = 20 › 26018 vitesse
du mobile est 2) = 0) = ‏روه‎ avec 0 › ‏وه‎ ‹ & S.On étudie les oscillations du mobile.
1.3 Montrer que z(t) = ze + Zm.COS 7 + @), et déterminer les constantes ‏.و2‎ et tan(@).
1.4 Tracer l'allure du portrait de phase en précisant le sens; indiquer les coordonnées des
points : d’abscisse initiale zo, d’abscisses extrêmales et celui où la vitesse est maximale.
1.5 Chute libre, choc et oscillations

On considère maintenant la figure 1(b). Un solide de masse m’ tombe en chute verticale, sans vitesse

initiale depuis une hauteur 11, sur un autre solide de masse m = mr, ; ce dernier solide, suspendu à un

ressort de raideur k, était initialement immobile . Le choc a lieu à l'instant ‏ا‎ = 0, et ensuite les deux
solides sont accolés et forment un seul solide de masse M, lié au ressort, et la position initiale de son
barycentre est zy .

1.5.1 Déterminer l'expression de la vitesse 27 de la masse m' juste avant le choc (t = 07).
1.5.2 Déterminer l'expression de la vitesse ‏وه‎ de la masse M juste après le choc (t = 0”).
1.5.3 Déterminer l'équation horaire z(t) du solide de masse M après le choc.

2. Deux oscillateurs couplés par un ressort de raideur kç

Deux solides S, et ‏دك‎ de masses respectives 11, et 1712 sont accrochés en deux points fixes 01 et O7 par
deux ressorts, respectivement, de raideur 1: et k, et de longueur à vide ‏مرا‎ et ‏.و12‎ Les deux solides
sont reliés entre eux par un troisième ressort de raideur 12 et de longueur à vide ‏.م1‎ Les deux solides
peuvent glisser sans frottements lelong de l'axe X'X et les aus des solides G, et © sont

repérés à partir des a mn initiales G;e G; ‏ح‎ WU i=1,2:voir figure 2.
k C a k 2

Figure 2 — Deux oscillateurs couplés

2.1 En utilisant ‏وما رمد‎ et Ice les longueurs respectives à l'équilibre des ressorts ky, k2 et ke ; ainsi
que x, et x», exprimer les quatre tensions :
1 et Ti exercées respectivement par les ressorts k, et k sur Sy ; ainsi que T7, et Ta
exercées respectivement par les ressorts 12 et ke sur S».
2.2 Établir le système d'équations différentielles des mouvements de 5, et de 52

On considère le cas particulier 1711 = 112 = m et k, = k, = k; on pose ‏ونه‎ = È et w2 = K

2

2.3 Réécrire le système d'équations vérifiées par les élongations x1(t) et x2(t).

2.4 On introduit les changements de variables ‏عم‎ = x; + x, et B = x, — x».

Montrer que «(t) et B(t) sont sinusoïdales et exprimer leurs pulsations notées respective-
ment w, et wg en fonction de ‏وهم‎ et we.

Déterminer la forme générale des solutions x; (t) et x(t).

Épreuve de Physique 27/6 Tournez la 0266

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Problèmes : oscillations ; couplages (barème : 16 points sur 20)

l‘’problème : étude d’un oscillateur électronique

L1. Fonctions de transfert en régime sinusoïdal permanent de pulsation w
On se propose de déterminer les fonctions de transfert de deux filtres passifs représentés en

figures 3(a) et 3(b).
| i=0 2
Le v.(t) )0 7

2

7777 )8( 77740)

Figure 3 — filtres passifs (a) et (b)
1.1.1. On considère d’abord le montage de la figure 3(a) faisant intervenir les condensateurs de
capacités ÇCy et C2.
1.1.1.1. Déterminer la fonction de transfert complexe H, (jw) = 2
1.1.1.2. Donner le nom de ce montage et indiquer son intérêt. Quelle relation existe entre les
phases de v2(t) et v(t)?
1.1.2. On considère maintenant le montage de la figure 3(b), faisant intervenir en amont du mon-
tage précédent un résistor de résistance R et une bobine d’inductance L.
1.1.2.1. Déterminer l'expression de l'impédance complexe Z formée par la bobine d’inductance
L et les deux condensateurs de capacités ‏نأ‎ et ‏ا‎
‎1.1.2.2. Montrer que la fonction de transfert complexe H,(jw) = = , peut s’écrire sous la forme :
a+ job + jwd
Expliciter les coefficients a, b et d en fonction de R, L, C; et C2.

Déterminer les dimensions des coefficients a, b et d.

1.2. Étude d’un oscillateur à amplificateur linéaire intégré A.L.I (ou amplificateur opérationnel : AO)

On considère maintenant le montage de la figure 4. Dans ce montage, l’amplificateur linéaire intégré
est supposé parfait et en régime linéaire; R, et ‏وغل‎ sont les résistances de deux résistors.

Figure 4 — oscillateur à ALI
1.2.1. Quelles hypothèses fait intervenir la supposition que l’ALI est parfait et en régime linéaire ?

Épreuve de Physique 3/6 Tournez la page S.V.P

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1.2.2. Déterminer, en régime sinusoïdal permanent, la relation entre v, et v, faisant intervenir

On relie maintenant R, à la masse, ce qui revient à poser v, = 0.
On admet, sous certaines conditions, que ce montage est un oscillateur et que la tension vs (t) est une
fonction sinusoïdale du temps de pulsation ‏.ون‎
‎1.2.3. Exprimer la condition d’oscillation par une relation entre ‏رد ررك‎ Ç, et C3.
1.2.4. Déterminer la pulsation d’oscillation ‏وى‎ en fonction de L et 0, où C' est une capacité à
exprimer en fonction de C; et C».

L3. Étude d’un oscillateur à fréquence modulée

Pour réaliser un oscillateur à fréquence modulée, on branche une diode à capacité variable, appelée
aussi varicap, en parallèle avec la bobine d’inductance L.

Aucune connaissance sur la varicap n’est exigée, seulement qu'on l’assimile à un condensateur dont
la capacité C(s) est fonction d’une grandeur s susceptible de varier avec le temps. La capacité C(s)
varie avec s selon la loi : C(s) = A.s”, où À et n sont deux constantes positives.

Le montage de la figure 3(b) est alors modifié, et son nouveau schéma est représenté en figure 5(a)

Figure 5 — (a) : filtre passif à varicap ; (b) : oscillateur à fréquence modulée
1.3.1. Montrer que la fonction de transfert du filtre 5(a) peut s’écrire sous la forme :

‏(سامط‎ = 2 = — ; et expliciter les coefficients a’, b' et d' en fonction de
21 ar + 1 + jwd'
‏ا‎ jœb" J

On reprend le montage de la figure 4, après introduction du condensateur C(s), on obtient le montage
de la figure 5(b), dans lequel ve = 0.

1.3.2. On fixe s à la valeur constante Sy, pour laquelle C(s = So) = Co. Exprimer la pulsation wos
de l’oscillateur en fonction de L, ‏رن‎ Cz et ©

1.3.3. On impose maintenant s(t) = So + €.cos(at), où € et x sont deux constantes positives.
1.3.3.1. Sachant que € › So, établir l'expression approchée au premier ordre de C(t).

1.3.3.2. En déduire l'expression de la pulsation instantanée «ws(t) de l’oscillateur.

1.3.3.3. On convient de poser ws(t) = wos.(1 — cos (wt) à

Déduire les expressions de w et du taux de modulation 8 = ‏دي‎

Épreuve de Physique 4/6 Tournez la page S.V.P

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1.4. Étude d’un démodulateur de fréquence
On considère le montage de la figure 6, où les trois AO (1,2 et 3) sont supposés idéaux et en
régime linéaire. La tension ue(t) est de la forme ue(t) = Un.sin(wt) et la pulsation w est supposée
constante (sauf dans la question 1.4.5).
0

Figure 6 - montage démodulateur de fréquence
1.4.1. Déterminer les expressions des tensions ‏دا‎ (t) et u2(t).

1.4.2. La diode D est idéale, les éléments C4 et R4 sont tels que R4C4w › 1, on peut admettre que
l’ensemble joue le rôle de détecteur de crête ou d'amplitude; et R4 › 1

Donner les valeurs des tensions continues ‏ونا‎ et Us.

14.3. Exprimer la tension de sortie u, en fonction de Us et Us.
1.4.4. On pose ‏ل = و0‎ montrer que la tension u, s'écrit : u5 = Um(

R3C3” ١

wo 7

‎A‏ دلي
‎et on pose y = 2 = › ;‏ وه ›› سعط ‎Aw avec‏ + وه = ‎On considère w‏

‎Exprimer us en fonction de y, en faisant un développement limité à l’ordre 2.

‎1.4.5. On admet que les résultats précédents restent valables lorsque la pulsation w varie légère-
ment dans le temps autour de ‏روف‎ le montage étudié est un démodulateur de fréquence.
Quelle condition doit satisfaire y pour qu'il soit linéaire à 1% : us, = k.Af, où k est une
constante à exprimer en fonction de ‏سنا‎ et de la fréquence f ?

‎I[‘’’problème : suspension d’une voiture; couplages et oscillations

‎Dans le référentiel terrestre galiléen R(OXYZ), on étudie le mouvement du châssis d’une voiture,
assimilé à un solide (S) de masse M, de centre de masse 6 et de moment d'inertie I par rapport à
l'axe horizontal GX. Dans tout le problème, le mouvement de (S) s'effectue dans le plan YZ, et ce
solide admet le plan x = 0 comme plan de symétrie. Soit R'(GXY'Z") un référentiel lié au solide.

‎Le mouvement de ce solide est décrit par G(0,y(t),z(t)) et par l'angle 0 = ( GŸ, GŸ) . Le mou-
vement de la voiture s'effectue sur sol horizontal avec une vitesse horizontale v, = ÿ constante. A
l'arrêt G est situé sur l'axe OY donc z = 0. Voir figure 7.

‎La suspension de (S) est assimilée à deux ensembles de ressorts-amortisseurs visqueux de masse
négligeable et supposés verticaux. Les éléments avant et arrière de (S) sont affectés des indices 1

‎et 2 respectivement. La force 72 - À, appliquée en A;, par le ressort-amortisseur, est verticale
F;z = N; — ‏قرا‎ — h;.Z;, = 1,2 et ‏بع‎ est l'ordonnée de A; avec ‏وزة‎ = 0 à l'équilibre; les quantités
N;, k;, h; sont des constantes.

‎Épreuve de Physique 5/0 Tournez la page S.V.P

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On supposera toujours 2, z1, Z2, 0, Z, Z1, Za, 0, Z, 21, ‏ررق‎ 9 (élongations, vitesses et accélérations)

des infiniments petits de même ordre; sin6 = 6 et ‏بلا" يكت‎ 1. On donne : M = ‏و1037‎ 1, = GA, =

1,30m, lL = 426 = 1,70m et Az A; = 1; on pose À, = 74, et da = pr

Figure 7 — étude des mouvements du chassis : translation verticale et rotation
11.1. Préliminaires
11.1.1. Exprimer zy et zz en fonction de z et 6.
11.1.2. Exprimer z et 0 en fonction de 7, et 2.
11.1.3. Exprimer les réactions normales N, et N, à l'équilibre; puis calculer leur valeur.
11.2. A l’aide des théorèmes de la résultante cinétique et du moment cinétique, écrire les équations
différentielles du mouvement, projetées, dans les deux situations suivantes :
11.2.1. En utilisant les paramètres z, et 22 : équations notées, respectivement, (I) et (ID).
11.2.2. En utilisant les paramètres 2 et 0 : équations notées, respectivement, (III) et (IV).
IL3. On cherche des solutions de la forme z, = Z,.e** etz, = Z,.el** avec Z,, ‏رو‎ w des complexes.
11.3.1. Montrer que les équations (I) et (II) permettent d'obtenir le système :

Expliciter les grandeurs réelles a(w), b(w), c(w), d(w), a'(w), b'(w), c'(w) et d'(w).
IL.3.2. Écrire l'équation P(w) = 0 donnant les pulsations complexes ‏ره‎ sans développer le poly-
nome P(w).
11.3.3. Si on prend I = M.1,.l,, donner la nouvelle expression P.(w) de P(w), sans developper les
calculs.
ILA. On cherche des solutions de la forme z = Z.el®* et 0 = 60 «et avec Z, 60, w des complexes.
IL4.1. Écrire, sans les résoudre, les deux équations homogènes vérifiées par Z et 6.
11.4.2. Montrer que si on adopte les conditions ‏ول‎ = kyl, et h,1, = 1212 alors le couplage entre 2 et
8 disparait.
Dans la suite, on suppose les frottements visqueux négligeables 711 = ha = 0, et on étudie toujours
les variables 2 et 0, dans le cas général.
IL4.3. Écrire le polynôme donnant les pulsations propres apres solutions d’un régime sinusoï-

k ÉÎ as
dal, en fonction de w1 = 1/ be ,w = ‏أ‎ +577 2 Le ‏ب‎ 0"

11.4.4. Montrer que la condition ‏نمه‎ = 0 permet une solution ‏لهم‎ et aan alors le rapport #
en fonction des paramètres /, et /».

IL. 4.5. Donner la solution double ‏وه‎ en fonction de ‏رس‎ ou w».
IL4.6. On donne wo = 47 rad.s”*, calculer littéralement et numériquement I, k1, ka.

Épreuve de Physique 6/6 Fin de l'épreuve

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