Modèle de concours : CNC 2019 Mathématiques II (TSI) — Concours National Commun
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En bref
Ce document est une ancienne épreuve écrite du concours de Concours d'accès aux écoles d'ingénieurs organisé par Concours National Commun (CNC) — CPGE (2019), publiée sur Wadifa Info en consultation et téléchargement PDF gratuits, avec une correction proposée.
- Organisme
- Concours National Commun (CNC) — CPGE
- Grade
- Concours d'accès aux écoles d'ingénieurs
- Spécialité
- Mathématiques II
- Année
- 2019
- Pages
- 4
- Langue des questions
- français
- Correction
- correction proposée disponible sur cette page
📝 Texte des questions (extrait automatiquement des pages scannées)
Ce texte est extrait automatiquement des images de l'épreuve et peut contenir des erreurs de lecture — les images ci-dessus font foi.
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Royaume du Maroc
Ministère de l'Éducation Nationale, de la Formation professionnelle,
de l'Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique
Secrétariat d’État chargé de 1’ Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique
INPTR
ane لاسلانة due Péri Léa
Présidence du Concours National Commun 2019
Institut National des Postes et Télécommunications INPT
CONCOURS NATIONAL COMMUN
d’Admission dans les Établissements de Formation d’ Ingénieurs et
Établissements Assimilés
Session 2019
Épreuve de Mathématiques II
Filières : TSI
Durée 4 heures
Cette épreuve comporte 3 pages au format A4, en plus de cette page de garde
L’usage de la calculatrice est interdit.
Page de garde
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Concours National Commun - Session 2019 - 1
L’énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière TSI,
comporte 3 pages. :
L’usage de tout matériel électronique, y compris la calculatrice, est interdit
Les candidats sont informés que la qualité de la rédaction et de la présentation, la clarté et la précision
des raisonnements constitueront des éléments importants pour l’appréciation des copies. Il convient en
particulier de rappeler avec précision les des questions abordées.
Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale
sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.
PROBLÈME
Notations, définitions et rappels
Soit K = R ou ع Si E est un K—espace vectoriel de dimension finie, L(F) désigne le K—espace
vectoriel des endomorphismes de F. Si u, v € L(E), wo v se note uv et l’identité est notée idz. Pour
u € L(E), les endomorphismes itérés u? de u sont définis par les relations u9 = idp et uP = uuP”! pour
tout م € N*. On note Tr (u) la trace de u, det(u) son déterminant et x4 son polynôme caractéristique ;
on rappelle que, pour tout À € K, xu(\) = det (À idg — u).
Myn(K) désigne le K—espace vectoriel des matrices carrées d’ordre n € N° à coefficients dans K ; on
note I, la matrice identité de Mn(K). Si A € Mn (K), on note Tr (A) sa trace, det(A) son déterminant
et Xa son polynôme caractéristique ; on rappelle que, pour tout À € K, xa(A) = det(\ In — A).
On rappelle que deux matrices semblables de M, (K) ont même déterminant et même trace.
(Définition : Une matrice de Mn(K) est dite scalaire si elle est de la forme À In avec معد
L'objectif du problème est de montrer la propriété 2 suivantes pour n € {2, 3} :
P : Dans Mn (C), toute matrice À qui n’est pas scalaire est semblable à une matrice de Mn (C) dont la
diagonale est (0, Tr(A)) (resp. (0,0, Tr (A))) sin =2 (resp. n = 3).
1ère Partie
Etude de quelques exemples
(Notée sur 04 points sur 20)
1.1. Un premier exemple
1 1
1 |) € Ma(R) et on note u l’endomorphisme de R? canoniquement
On considère la matrice A = (
associé à la matrice À.
1.1.1. Calculer les valeurs propres de u et justifier que A est diagonalisable dans M2(R).
1.1.2. On note À; et À» les valeurs propres de u avec À; › À. Déterminer, pour chaque : € {1,2},
le vecteur e; de R? dont la première composante vaut 1 et vérifiant u(e;) = دعي
1.1.3. Justifier que (e1,€2) est une base de 18 et écrire la matrice D de u relativement à cette base.
كلا 1.1.4. Exprimer la matrice À en fonction de D et conclure que À vérifie la propriété .ل
1.2. Un deuxième exemple
3 1 —1
Soit B=|1 1 1 | € M3(R); on note v l’endomorphisme de 183 canoniquement associé à B.
20 2
7 1.2.1. Calculer le polynôme caractéristique ور de la matrice B et en déduire que 2 possède une
seule valeur propre À à préciser.
1.2.2. Déterminer Ker (v — À idgs), le sous-espace propre de v associé à son unique valeur propre À.
1.2.3. La matrice B est-elle diagonalisable dans M3(R) ? Est-elle trigonalisable dans M3(R) ?
Épreuve de Mathématiques II 1 /3 Tournez la page S.V.P.
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Concours National Commun - Session 2019 — TSI
(Gi) Calculer les vecteurs w(e1) et v*(e1) puis montrer que la famille @ = (e1, v(e1),v2(e; )) est une
‘base de l’espace vectoriel RS.
(ii) Exprimer le vecteur v®(e;) dans la base © et écrire la matrice B’ de v dans cette base.
(iii) Exprimer la matrice B en fonction de 2/ et conclure que B vérifie la propriété 9.
2ème Partie
Une caractérisation des homothéties
Application à l’étude de la propriété 2 en dimension 2
2.1. Une caractérisation des homothéties
Soit F un K—espace vectoriel, de dimension finie n › 1, et soit 1 € L(E) un endomorphisme tel que,
pour tout 2 € F, la famille (x, f(x)) est liée.
2.1.1. Montrer que, pour tout 2 € 22 {0z}, il existe un unique À, € K tel que f(æ) = A2 2.
2.1.2. Soit (x,y) € (EF \ {05})*; démontrer que si la famille (x, y) est liée alors \, = ريا
2.1.3. Soit (x,y) € (E\ {05})*; démontrer que si la famille (x, y) est libre alors \, = يا
2.1.4. En déduire que f est une homothétie.
2.2. Application à l’étude la propriété 2 dans le cas n = 2
On considère une matrice A € M2(C) qui n’est pas scalaire et on cherche à montrer que À vérifie la
propriété 2. Pour cela, on note u l’endomorphisme de © canoniquement associé à la matrice A.
2.2.1. Justifier qu’il existe un vecteur e € © tel que la famille 2 = (e, u(e)) soit une base de .ع
2.2.2. Montrer que la matrice de u dans la base @ est égale à 0 ‹a) 8
1 Tr(u)
0 —det(A)
2.2.3. Montrer que la matrice A est semblable dans M2(C) à la matrice ( ) et conclure.
1 Tr(A)
gème Partie
Démonstration de la propriété 2 dans le cas n = 3
Dans cette partie, on considère une matrice A € M3(C) qui n'est pas scalaire et on cherche à montrer
que À vérifie la propriété 9.
On considère le C—espace vectoriel F = C3 et on note u l’endomorphisme de E canoniquement associé
à A; soient برا A2, A3 les valeurs propres de la matrice A, comptées avec leur ordre de multiplicité. On
pose enfin 02(A) = يفرط + يفرط + 2
3.1. Quelques résultats utiles
3.1.1. Exprimer det(A) et Tr (A) en fonction des valeurs propres À], ول et À de la matrice A.
3.1.2. Préciser les coefficients du polynôme x4 en fonction de Tr (A), det(A) et 02(4).
3.2. Cas où les 3 valeurs propres de À sont deux à deux distinctes
On suppose ici que les valeurs propres À, يل et يل de la matrice A sont deux à deux distinctes et on
note €, 62 et ez des vecteurs non nuls de Æ tels que u(e;) = ريعي pour tout à € {1, 2,3}. On pose enfin
est-il diagonalisable ? نه ê2, 2 est une base de F. L’endomorphisme 6 حك Montrer que .3.2.1 هس
3.2.2. Exprimer les vecteurs u(e) et 4° (e) dans la base & puis montrer que la famille @ = (e, u(e), u2(e))
est aussi une base de F.
3
3.2.3. Vérifier que, pour tout k € {1,2,3}, u*(e) = وود + Mes + ويد = S Xe; puis montrer que
3.2.4. Écrire la matrice A' de نه dans la base @ et justifier que les matrices À et A’ sont semblables,
dans M3(C), puis conclure que À vérifie la propriété P.
Épreuve de Mathématiques 1 2 /3 جب
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Concours National Commun - Session 2019 - 1
3.3. Cas où A possède une valeur propre double et une valeur propre simple
On note À la valeur propre double de À et ثر sa valeur propre simple ; en particulier, À # y.
3.3.1. Préciser la dimension du sous-espace vectoriel Ker (u— uidz). Quelles sont les valeurs possibles
de la dimension du sous-espace vectoriel Ker (u — À id) ?
3.3.2. Montrer que Ker (u-p idg)NKer (u-\idg)? = {07} et en déduire que dim Ker (u — À ide)? ‹ 2.
3.3.3. On admet que l’endomorphisme (u — pidg)(u — À idg)* est nul. Justifier que l’endomorphisme
(u — \idg)?*(u — pidg) est aussi nul et en déduire que Im (u — pidg) C Ker (u — \idg)?.
3.3.4. Déduire de ce qui précède que dim (Ker (u — À idp)?) = 2.
3.3.5. Cas où l’endomorphisme u est diagonalisable
(i) Justifier que, dans ce cas, dim (Ker (u — A idg)) = 2.
On choisit e, € Ker (u — id) \ {07}, une base (e2, e3) de Ker (u — À idg) et on pose e = e1 + e2.
(ii) Vérifier que (e, u(e)) est libre et montrer que la famille = (e, u(e), e3) est une base de F-.
0 0 A
(iv) Si y = 0, vérifier que |1 À 0 -1 0 0j=|-1 0 O —\ 0 —AÀ | et conclure
001 A 0 A \ 0 A A À 2
que la matrice À vérifie la propriété 9.
(v) Si u # 0, montrer en utilisant le cas n = 2 qu’il existe une matrice inversible Q € Ma(C) et
(w',w') € C? tels que Q ( م4 4 QU = ( 0 y ) puis justifier, moyennant des produits
0 —-Au O
(iii) Montrer la matrice A’ de u dans la base لك vaut |1 A+p 1
ع 0ن 0١ A و
matriciels par blocs, que la diagonale de la matrice 1 A+yu 0 1 est égale
8 07/45 à ال/د 9
à (0, 0,24 + 6) . Conclure que la matrice À vérifie la propriété 7.
3.3.6. Cas où l’endomorphisme u n’est pas diagonalisable
(i) Justifier que, dans ce cas, Ker (u — \idg) Ç Ker (u — À ide)”.
On choisit e, € Ker (u—pidg)\{0z}, يه € Ker (U— À idg)?\Ker (u— \id) et on pose e = e, + e2.
(ii) Justifier que (e2, u(e2)) est libre et montrer que la famille # = (er, e2, w(e2)) est une base de F.
(iii) En exprimant ses éléments dans la base @, montrer que la famille @ = (e,u(e), u*(e)) est une
base de F.
(iv) Exprimer la matrice A” de u dans la base € en fonction de À et بتر puis conclure que la matrice
A vérifie la propriété 27.
3.4. Cas où À possède une valeur propre triple
On note À l’unique valeur propre de A; donc Xa = Xu = (X — A).
3.4.1. Justifier que u n’et pas diagonalisable et montrer que Ker (u — Aidg) Ç Ker (u — À idp)?.
3.4.2. On considère e € Ker (u— \idp)?\ Ker (u — \ id). Justifier que (e, u(e)) est une famille libre.
3.4.3. Soit es € E tel que (e,u(e),e3) soit une base de F. En écrivant la matrice de u dans cette
0 كد c
base, montrer que À est semblable dans M3(C) à une matrice du type ( 22 1 , avec (c, d) € C?.
0 0 À
3.4.4. Si À # 0, montrer en utilisant le cas n = 2 qu’il existe une matrice inversible P € Mz(C) et
(v,w) € © tels que P fa ل PU = ( 0 puis justifier, moyennant des produits matriciels par
0 À w 32
و مض لكوت
blocs, que la diagonale de la matrice 1 22 d _1 | est égale à (0,0,3A).
0 P 0 0 à 0 P
3.4.5. Envisager le cas restant et conclure que À vérifie, dans les deux cas, la propriété 7.
FIN DE L’ÉPREUVE
Épreuve de Mathématiques II 3/3 FIN
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✅ Correction proposée
Il s'agit d'une correction proposée, rédigée par l'équipe wadifa-info pour vous aider à comprendre la méthode — ce n'est pas un corrigé officiel de l'administration organisatrice.
Ce modèle est l'épreuve de Mathématiques II du Concours National Commun (CNC), session 2019, filières TSI (admission dans les établissements de formation d'ingénieurs). Durée 4 heures, 3 pages plus la page de garde, tout matériel électronique interdit. Le problème démontre la propriété 𝒫 : dans Mn(ℂ), n ∈ {2, 3}, toute matrice non scalaire est semblable à une matrice de diagonale (0, Tr A) (resp. (0, 0, Tr A)). La 1ère partie (exemples) est notée sur 4 points sur 20. Voici une correction proposée ; les matrices sont écrites ligne par ligne : (a b c / d e f / g h i).
💡 L'idée de tout le sujet : trouver un vecteur e tel que (e, u(e), u2(e)) (ou (e, u(e)) en dimension 2) soit une base. Dans une telle base, la matrice de u a des zéros aux premières places de la diagonale (matrice « compagnon »), et la dernière place vaut forcément Tr A puisque la trace est invariante.
1ère Partie : exemples
1.1. A = (1 1 / 1 1)
1.1.1. χA(X) = (X − 1)2 − 1 = X(X − 2) : valeurs propres 0 et 2. Deux valeurs propres distinctes en dimension 2 : A est diagonalisable dans M2(ℝ).
1.1.2. λ1 = 0 : x + y = 0, e1 = (1, −1). λ2 = 2 : −x + y = 0, e2 = (1, 1).
1.1.3. det(e1, e2) = 1·1 − 1·(−1) = 2 ≠ 0 : (e1, e2) est une base de ℝ2 et D = diag(0, 2).
1.1.4. Avec P = (1 1 / −1 1) (colonnes e1, e2) : A = PDP−1, P−1 = (1/2)(1 −1 / 1 1). A n'est pas scalaire et est semblable à D, de diagonale (0, 2) = (0, Tr A) : A vérifie 𝒫.
1.2. B = (3 1 −1 / 1 1 1 / 2 0 2)
1.2.1. Développement de det(XI3 − B) selon la 3ème ligne (−2, 0, X − 2) :
χB(X) = −2·det(−1 1 / X−1 −1) + (X − 2)·det(X−3 −1 / −1 X−1) = −2(2 − X) + (X − 2)(X2 − 4X + 2) = (X − 2)(X2 − 4X + 4),
d'où χB = (X − 2)3 : seule valeur propre λ = 2.
1.2.2. B − 2I3 = (1 1 −1 / 1 −1 1 / 2 0 0) : x = 0, puis y = z. Ker(v − 2id) = Vect((0, 1, 1)), de dimension 1.
1.2.3. Diagonalisable avec la seule valeur propre 2 imposerait B = 2I3 (dimension du sous-espace propre égale à 3) : B n'est pas diagonalisable. χB est scindé sur ℝ : B est trigonalisable dans M3(ℝ).
1.2.4. (i) v(e1) = (3, 1, 2) (1ère colonne de B) et v2(e1) = B(3, 1, 2) = (8, 6, 10).
det(e1, v(e1), v2(e1)) = det(1 3 8 / 0 1 6 / 0 2 10) = 10 − 12 = −2 ≠ 0 : 𝒞 est une base de ℝ3.
(ii) v3(e1) = B(8, 6, 10) = (20, 24, 36). On cherche α, β, γ avec αe1 + βv(e1) + γv2(e1) = (20, 24, 36) :
β + 6γ = 24 et 2β + 10γ = 36 donnent γ = 6, β = −12, puis α = 20 − 3β − 8γ = 8.
v3(e1) = 8e1 − 12v(e1) + 6v2(e1) (cohérent avec (X − 2)3 = X3 − 6X2 + 12X − 8).
B' = (0 0 8 / 1 0 −12 / 0 1 6).
(iii) Avec C = (1 3 8 / 0 1 6 / 0 2 10) (colonnes de 𝒞) : B = CB'C−1. B n'est pas scalaire et la diagonale de B' est (0, 0, 6) = (0, 0, Tr B) (Tr B = 3 + 1 + 2 = 6) : B vérifie 𝒫.
2ème Partie : caractérisation des homothéties, cas n = 2
2.1.
2.1.1. Pour x ≠ 0, (x, f(x)) liée : αx + βf(x) = 0 avec (α, β) ≠ (0, 0). Si β = 0, αx = 0 avec α ≠ 0 donne x = 0, exclu. Donc f(x) = λxx avec λx = −α/β ; unicité : λx = μx et x ≠ 0 donnent λ = μ.
2.1.2. (x, y) liée avec x, y non nuls : y = αx avec α ≠ 0. Alors f(y) = αf(x) = αλxx = λxy, et f(y) = λyy ; comme y ≠ 0, λx = λy.
2.1.3. (x, y) libre : x + y ≠ 0 et f(x + y) = λx+yx + λx+yy = λxx + λyy. Par liberté, λx = λx+y = λy.
2.1.4. x ↦ λx est constant sur E \ {0E}, de valeur λ. Donc f(x) = λx pour x ≠ 0, et aussi pour x = 0 : f = λ idE.
2.2.
2.2.1. A non scalaire ⇔ u n'est pas une homothétie. Par contraposée de 2.1, il existe e avec (e, u(e)) libre ; deux vecteurs libres en dimension 2 forment une base : ℬ = (e, u(e)).
2.2.2. u(e) a pour coordonnées (0, 1). Écrivons u2(e) = αe + βu(e) : la matrice de u dans ℬ est M = (0 α / 1 β). M et A sont semblables (deux matrices du même endomorphisme), donc Tr M = β = Tr(u) et det M = −α = det(u). D'où Matℬ(u) = (0 −det(u) / 1 Tr(u)).
2.2.3. A est la matrice de u dans la base canonique et Tr u = Tr A, det u = det A : en notant P la matrice de passage, A = P(0 −det A / 1 Tr A)P−1. Cette matrice a pour diagonale (0, Tr A) : toute matrice non scalaire de M2(ℂ) vérifie 𝒫.
3ème Partie : cas n = 3
3.1.
3.1.1. Dans ℂ, A est trigonalisable : A = PTP−1 avec T triangulaire de diagonale (λ1, λ2, λ3). Le déterminant et la trace sont invariants par similitude : det(A) = λ1λ2λ3 et Tr(A) = λ1 + λ2 + λ3.
3.1.2. χA = (X − λ1)(X − λ2)(X − λ3), donc en développant : χA = X3 − Tr(A)X2 + σ2(A)X − det(A).
3.2. Trois valeurs propres distinctes
3.2.1. Des vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes forment une famille libre ; 3 vecteurs libres en dimension 3 : ℬ est une base. C'est une base de vecteurs propres : u est diagonalisable.
3.2.2. u(e) = λ1e1 + λ2e2 + λ3e3, u2(e) = λ12e1 + λ22e2 + λ32e3. Le déterminant de (e, u(e), u2(e)) dans ℬ est un déterminant de Vandermonde : det(1 λ1 λ12 / 1 λ2 λ22 / 1 λ3 λ32) = (λ2 − λ1)(λ3 − λ1)(λ3 − λ2) ≠ 0. Donc 𝒞 = (e, u(e), u2(e)) est une base.
3.2.3. Par récurrence, uk(ei) = λikei, donc par linéarité uk(e) = Σ λikei. Alors u3(e) − Tr(A)u2(e) + σ2u(e) − det(A)e = Σi χA(λi)ei = 0E (3.1.2 et χA(λi) = 0).
3.2.4. u(e) = 0·e + 1·u(e) + 0·u2(e), u(u(e)) = u2(e), et u(u2(e)) = det(A)e − σ2u(e) + Tr(A)u2(e) : A' = (0 0 det A / 1 0 −σ2(A) / 0 1 Tr A). A et A' représentent u dans deux bases : elles sont semblables. La diagonale de A' est (0, 0, Tr A) : A vérifie 𝒫.
3.3. Une valeur propre double λ et une simple μ
3.3.1. 1 ≤ dim Ker(u − μid) ≤ multiplicité de μ = 1 : dim Ker(u − μid) = 1. De même 1 ≤ dim Ker(u − λid) ≤ 2 : dim Ker(u − λid) ∈ {1, 2}.
3.3.2. Si u(x) = μx et (u − λid)2(x) = 0, alors (μ − λ)2x = 0 avec μ ≠ λ, donc x = 0. La somme Ker(u − μid) ⊕ Ker(u − λid)2 est directe et contenue dans E : 1 + dim Ker(u − λid)2 ≤ 3, donc dim Ker(u − λid)2 ≤ 2.
3.3.3. Deux polynômes en u commutent : (u − λid)2(u − μid) = (u − μid)(u − λid)2 = 0. Pour y = (u − μid)(x), on a donc (u − λid)2(y) = 0 : Im(u − μid) ⊂ Ker(u − λid)2.
3.3.4. Théorème du rang : dim Im(u − μid) = 3 − 1 = 2. Donc 2 ≤ dim Ker(u − λid)2 ≤ 2 : dim Ker(u − λid)2 = 2.
3.3.5. u diagonalisable
(i) dim Ker(u − λid) + dim Ker(u − μid) = 3 et dim Ker(u − μid) = 1, donc dim Ker(u − λid) = 2.
(ii) (e1, e2, e3) est une base de E (E = Ker(u − μid) ⊕ Ker(u − λid)). u(e) = μe1 + λe2. Coordonnées dans cette base : e = (1, 1, 0), u(e) = (μ, λ, 0), e3 = (0, 0, 1). det(1 μ 0 / 1 λ 0 / 0 0 1) = λ − μ ≠ 0 : (e, u(e)) est libre et ℬ = (e, u(e), e3) est une base de E.
(iii) u2(e) = μ2e1 + λ2e2 = αe + βu(e) avec α + βμ = μ2 et α + βλ = λ2 : β = λ + μ, α = −λμ. Et u(e3) = λe3. D'où A' = (0 −λμ 0 / 1 λ+μ 0 / 0 0 λ).
(iv) μ = 0 : A' = (0 0 0 / 1 λ 0 / 0 0 λ). Avec R = (λ λ λ / −1 0 0 / λ 0 λ) et N = (0 −λ −λ / −λ 0 −λ / λ λ 2λ), on calcule A'R = (0 0 0 / 0 λ λ / λ2 0 λ2) et RN = (0 0 0 / 0 λ λ / λ2 0 λ2) : A'R = RN. det R (développement selon la 1ère ligne) = λ·0 − λ·det(−1 0 / λ λ) + λ·0 = −λ·(−λ) = λ2 ≠ 0 (λ ≠ μ = 0). Donc N = R−1A'R est semblable à A' donc à A ; sa diagonale est (0, 0, 2λ) = (0, 0, Tr A) (Tr A = 2λ + μ = 2λ) : A vérifie 𝒫.
(v) μ ≠ 0 : M2 = (λ+μ 0 / 0 λ) n'est pas scalaire (λ + μ ≠ λ). Par le cas n = 2 (2.2.3), il existe Q inversible avec
Q M2 Q−1 = (0 v' / w' 2λ+μ) (diagonale (0, Tr M2)).
Écrivons par blocs A' = (0 L / C M2) avec L = (−λμ 0) et C = t(1 0). Alors
(1 0 / 0 Q) A' (1 0 / 0 Q−1) = (0 LQ−1 / QC QM2Q−1), dont la diagonale est (0, 0, 2λ + μ) = (0, 0, Tr A).
La matrice diag(1, Q) est inversible d'inverse diag(1, Q−1) : cette matrice est semblable à A' donc à A, et A vérifie 𝒫.
3.3.6. u non diagonalisable
(i) Si dim Ker(u − λid) valait 2, les dimensions des sous-espaces propres sommeraient à 2 + 1 = 3 et u serait diagonalisable. Donc dim Ker(u − λid) = 1 (3.3.1). Comme Ker(u − λid) ⊂ Ker(u − λid)2, de dimension 2 : Ker(u − λid) ⊊ Ker(u − λid)2.
(ii) Si (e2, u(e2)) était liée, e2 ≠ 0 serait vecteur propre : u(e2) = ce2, et (u − λid)2(e2) = (c − λ)2e2 = 0 donnerait c = λ, donc e2 ∈ Ker(u − λid) : exclu. Elle est donc libre. u(e2) ∈ Ker(u − λid)2 (u commute avec (u − λid)2), donc (e2, u(e2)) est une base de Ker(u − λid)2 (dimension 2). Avec 3.3.2 et 3.3.4, E = Ker(u − μid) ⊕ Ker(u − λid)2 (1 + 2 = 3) : ℬ = (e1, e2, u(e2)) est une base de E.
(iii) (u − λid)2(e2) = 0 donne u2(e2) = 2λu(e2) − λ2e2. Dans ℬ :
e = (1, 1, 0), u(e) = μe1 + u(e2) = (μ, 0, 1), u2(e) = μ2e1 + u2(e2) = (μ2, −λ2, 2λ).
det(1 μ μ2 / 1 0 −λ2 / 0 1 2λ) = 1·(0 + λ2) − μ·(2λ) + μ2·1 = (λ − μ)2 ≠ 0 : 𝒞 = (e, u(e), u2(e)) est une base.
(iv) D'après 3.3.3, (u − μid)(u − λid)2 = 0, et (X − μ)(X − λ)2 = X3 − (2λ + μ)X2 + (λ2 + 2λμ)X − λ2μ. Donc u3(e) = λ2μ e − (λ2 + 2λμ)u(e) + (2λ + μ)u2(e) et A'' = (0 0 λ2μ / 1 0 −λ2−2λμ / 0 1 2λ+μ). Sa diagonale est (0, 0, 2λ + μ) = (0, 0, Tr A) et elle est semblable à A : A vérifie 𝒫.
3.4. Une valeur propre triple λ
3.4.1. Si u était diagonalisable, A serait semblable à λI3, donc égale à λI3, scalaire : exclu. u n'est pas diagonalisable.
Posons N = u − λid. A est trigonalisable avec λ sur la diagonale, donc N est représenté par une matrice triangulaire stricte et N3 = 0.
Si l'on avait Ker N2 = Ker N, alors pour N3x = 0 : N2(Nx) = 0 ⇒ Nx ∈ Ker N2 = Ker N ⇒ N2x = 0 ⇒ x ∈ Ker N. Donc E = Ker N3 = Ker N, u = λid, exclu.
Ainsi Ker(u − λid) ⊊ Ker(u − λid)2.
3.4.2. e ≠ 0 (e ∉ Ker(u − λid)). Si (e, u(e)) était liée, u(e) = ce et c serait valeur propre, donc c = λ et e ∈ Ker(u − λid) : exclu. (e, u(e)) est libre.
3.4.3. Dans la base (e, u(e), e3) : u(e) = (0, 1, 0) ; (u − λid)2(e) = 0 donne u2(e) = −λ2e + 2λu(e), soit (−λ2, 2λ, 0) ; u(e3) = (c, d, k). La trace donne 2λ + k = Tr A = 3λ, donc k = λ. A est semblable à (0 −λ2 c / 1 2λ d / 0 0 λ).
3.4.4. λ ≠ 0 : M2 = (2λ d / 0 λ) n'est pas scalaire (2λ ≠ λ). Par le cas n = 2, il existe P inversible avec P M2 P−1 = (0 v / w 3λ) (Tr M2 = 3λ). Par blocs, avec L = (−λ2 c) et C = t(1 0) : (1 0 / 0 P)(0 L / C M2)(1 0 / 0 P−1) = (0 LP−1 / PC PM2P−1), de diagonale (0, 0, 3λ) = (0, 0, Tr A).
3.4.5. Cas restant λ = 0 : A est semblable à (0 0 c / 1 0 d / 0 0 0), de diagonale (0, 0, 0) = (0, 0, Tr A) car Tr A = 3λ = 0.
Dans les deux cas A vérifie 𝒫.
Conclusion : les cas 3.2 (valeurs propres distinctes), 3.3 (double + simple) et 3.4 (triple) épuisent toutes les matrices non scalaires de M3(ℂ) ; avec la 2ème partie, la propriété 𝒫 est démontrée pour n = 2 et n = 3.
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