Modèle de concours : CNC 2017 Mathématiques II (TSI) — Concours National Commun

Ce modèle est l'épreuve de Mathématiques II du Concours National Commun (CNC), session 2017, filière TSI (admission aux écoles d'ingénieurs). Durée 4 heures, 4 pages, tout matériel électronique interdit. Le sujet comprend deux problèmes indépendants : le problème 1 sur l'exponentielle et le logarithme de matrices (exemple diagonalisable, matrice nilpotente A_a, applications aux suites, rotations et systèmes différentiels) et le problème 2 sur les endomorphismes orthogonaux et la distance à un hyperplan dans un espace de polynômes. Voici une correction proposée ; les matrices sont écrites ligne par ligne : (a b / c d).

💡 Deux réflexes rapportent l'essentiel des points : pour une matrice diagonalisable, calculer sur D puis conjuguer par P (les sommes partielles se conjuguent et passent à la limite) ; pour une matrice nilpotente, la série s'arrête, il n'y a aucune convergence à étudier.

Problème 1 — Partie I : exemple, A = (4/3 −5/6 / 5/3 −7/6)

1. tr A = 4/3 − 7/6 = 1/6 et det A = −28/18 + 25/18 = −1/6, donc χ_A = X² − X/6 − 1/6. Or (X − 1/2)(X + 1/3) = X² − X/6 − 1/6 : χ_A = (X − 1/2)(X + 1/3).

2. Deux valeurs propres distinctes : A est diagonalisable. A − I/2 = (5/6 −5/6 / 5/3 −5/3) : vecteur propre (1, 1). A + I/3 = (5/3 −5/6 / 5/3 −5/6) : vecteur propre (1, 2).
D = diag(1/2, −1/3), P = (1 1 / 1 2), det P = 1, P⁻¹ = (2 −1 / −1 1), et A = PDP⁻¹.

3. a) Dⁿ = diag((1/2)ⁿ, (−1/3)ⁿ).
b) Σ_k≤n D^k/k! = diag(Σ (1/2)^k/k!, Σ (−1/3)^k/k!), coefficients qui convergent vers e^1/2 et e^−1/3 (série exponentielle) : exp(D) = diag(e^1/2, e^−1/3).
c) A^k = PD^kP⁻¹, donc Σ_k≤n A^k/k! = P(Σ_k≤n D^k/k!)P⁻¹. Le rappel (limite et conjugaison) montre que cette suite converge vers P exp(D) P⁻¹ : exp(A) existe et exp(A) = P exp(D) P⁻¹.
d) Pour p, q réels : P diag(p, q) P⁻¹ = (1 1 / 1 2)(2p −p / −q q) = (2p − q −p + q / 2p − 2q −p + 2q). Avec p = e^1/2, q = e^−1/3, on obtient exactement la matrice annoncée : exp(A) = (2e^1/2 − e^−1/3 −e^1/2 + e^−1/3 / 2e^1/2 − 2e^−1/3 −e^1/2 + 2e^−1/3).

4. a) −A = P(−D)P⁻¹ ; même calcul avec p = e^−1/2, q = e^1/3 : exp(−A) = (2e^−1/2 − e^1/3 −e^−1/2 + e^1/3 / 2e^−1/2 − 2e^1/3 −e^−1/2 + 2e^1/3).
b) exp(A)exp(−A) = P diag(e^1/2e^−1/2, e^−1/3e^1/3) P⁻¹ = PI₂P⁻¹ = I₂.

5. a) B − I₂ = P(exp(D) − I₂)P⁻¹ : Δ = diag(e^1/2 − 1, e^−1/3 − 1).
b) Δⁿ = diag((e^1/2 − 1)ⁿ, (e^−1/3 − 1)ⁿ).
c) ln(Δ + I₂) est la série Σ (−1)ⁿ⁻¹Δⁿ/n, diagonale de coefficients Σ (−1)ⁿ⁻¹xⁿ/n avec x = e^1/2 − 1 et x = e^−1/3 − 1. Or 0 < e^1/2 − 1 < 1 (car e < 4) et −1 < e^−1/3 − 1 < 0 : les deux séries convergent, vers ln(e^1/2) = 1/2 et ln(e^−1/3) = −1/3. Donc ln(Δ + I₂) = diag(1/2, −1/3) = D.
d) (B − I₂)ⁿ = PΔⁿP⁻¹ : les sommes partielles de ln(B) sont les conjuguées par P de celles de ln(Δ + I₂), donc convergent vers PDP⁻¹ : ln(B) existe et ln(exp(A)) = A.

Problème 1 — Partie II : étude de exp(A_a)

A_a a des a sur la sous-diagonale : f_a(e_i) = a e_i+1 pour i ≤ m − 1 et f_a(e_m) = 0.

1. a) A = A₁ = (0 0 0 / 1 0 0 / 0 1 0), A² = (0 0 0 / 0 0 0 / 1 0 0), A³ = 0, donc Aⁿ = 0 pour tout n ≥ 3.
b) La série est une somme finie : exp(A) = I₃ + A + A²/2 = (1 0 0 / 1 1 0 / 1/2 1 1).
c) i) C = A + A²/2. Comme A³ = A⁴ = 0 : C² = A², puis C³ = (A + A²/2)A² = 0 : Cⁿ = 0 pour n ≥ 3.
ii) La série de ln(exp(A)) est finie : ln(exp(A)) = C − C²/2 = A + A²/2 − A²/2 = A.

2. a) Récurrence sur k. Pour k = 1, c'est la définition de f_a. Supposons la propriété vraie au rang k ≤ m − 2. Si i ≤ m − k − 1 : f_a^k+1(e_i) = f_a(a^ke_i+k) = a^k+1e_i+k+1 car i + k ≤ m − 1. Si i = m − k : f_a^k+1(e_i) = f_a(a^ke_m) = 0. Si i ≥ m − k + 1 : f_a^k(e_i) = 0 donc f_a^k+1(e_i) = 0. C'est la propriété au rang k + 1.
b) Pour k = m − 1 : f_a^m−1(e₁) = a^m−1e_m et f_a^m−1(e_i) = 0 pour i ≥ 2. Donc f_a^m(e_i) = 0 pour tout i : f_a^m = 0, puis f_a^k = 0 pour k ≥ m.
c) A_a^k = 0 pour k ≥ m : exp(A_a) = Σ_k=0^m−1 A_a^k/k! existe. D'après a), A_a^k a des a^k en positions (i + k, i). Donc exp(A_a) est triangulaire inférieure, de coefficient a^h−i/(h−i)! en position (h, i) pour h ≥ i : lignes (1 0 … 0), (a 1 0 … 0), (a²/2! a 1 0 …), …, (a^m−1/(m−1)! … a²/2! a 1).

3. E_a(t) = Σ_k=0^m−1 t^kA_a^k/k!

D'après 2.a), g_a(e_i) = Σ_k=0^m−i (ta)^k/k! e_i+k = Σ_j=i^m (ta)^j−i/(j−i)! e_j, et de même pour h_a avec s.

a) i) E_a(s) et E_a(t) sont des polynômes en A_a, donc commutent : h_a ∘ g_a = g_a ∘ h_a. Alors (h_a ∘ g_a)(e_i) = g_a(h_a(e_i)) = Σ_j=i^m (sa)^j−i/(j−i)! g_a(e_j) = Σ_j=i^m (sa)^j−i/(j−i)! Σ_h=j^m (ta)^h−j/(h−j)! e_h.
ii) On intervertit les sommes : {i ≤ j ≤ m, j ≤ h ≤ m} = {i ≤ h ≤ m, i ≤ j ≤ h}, et (sa)^j−i(ta)^h−j = s^j−it^h−ja^h−i : (h_a ∘ g_a)(e_i) = Σ_h=i^m Σ_j=i^h s^j−i/(j−i)! · t^h−j/(h−j)! · a^h−ie_h.
iii) Avec p = j − i et N = h − i, la formule du binôme donne Σ_j=i^h s^j−it^h−j/((j−i)!(h−j)!) = (1/N!) Σ_p=0^N C(N, p) s^pt^N−p = (s+t)^N/N!. Donc (h_a ∘ g_a)(e_i) = Σ_h=i^m ((s+t)a)^h−i/(h−i)! e_h, qui est la i-ème colonne de E_a(s+t). La matrice de h_a ∘ g_a étant E_a(s)E_a(t) : E_a(s + t) = E_a(s)E_a(t).

b) E_a(0) = I_m, donc E_a(t)E_a(−t) = E_a(−t)E_a(t) = E_a(0) = I_m : E_a(t) est inversible, d'inverse E_a(−t).

c) Récurrence : E_a(0·t) = I_m = E_a(t)⁰, et E_a((n+1)t) = E_a(nt)E_a(t) = E_a(t)ⁿ⁺¹.

d) i) Si Σ_k=0^m−1 λ_kA_a^k = 0, on applique à e₁ : Σ λ_ka^ke_k+1 = 0 (2.a). La base canonique étant libre et a ≠ 0, tous les λ_k sont nuls : (I_m, A_a, …, A_a^m−1) est libre.
ii) Si E_a(s) = E_a(t), alors Σ (s^k − t^k)/k! A_a^k = 0, donc tous les coefficients sont nuls par i) ; celui de A_a (présent car m ≥ 2) donne s = t : t ↦ E_a(t) est injective.

e) exp(A_a) = E_a(1) (2.c). Par injectivité : E_a(t² − 3t + 3) = E_a(1) ⇔ t² − 3t + 2 = 0 ⇔ (t − 1)(t − 2) = 0 : t ∈ {1, 2}.

Problème 1 — Partie III : applications

1. a) F_n = (1 0 0 / n 1 0 / n²/2 n 1) convient.
b) Pour m = 3, E_a(t) = (1 0 0 / at 1 0 / (at)²/2 at 1), donc F_n = E₁(n) (a = 1). Par récurrence et 3.a.iii : X_n+1 = E₁(n)E₁(n−1)⋯E₁(0)X₀ = E₁(0 + 1 + ⋯ + n)X₀, soit a = 1 et t_n = n(n+1)/2.
c) X_n = E₁(T)X₀ avec T = n(n−1)/2 (valable aussi pour n = 0). Avec X₀ = (8, 2, 3) :
u_n = 8 ; v_n = 8T + 2, soit v_n = 4n(n−1) + 2 ; w_n = 4T² + 2T + 3, soit w_n = n²(n−1)² + n(n−1) + 3.
Contrôle : v_n+1 − v_n = 8n = nu_n ; w_n+1 − w_n = 4n³ + 2n = 4n² + n v_n.

2. a) Pour m = 2, E_a(t) = (1 0 / at 1), donc C_n = I₂ + (1 0 / a/n 1) − (1 a/n / 0 1) = (1 −a/n / a/n 1). On pose α_n = √(1 + a²/n²) et θ_n = arctan(a/n) ∈ ]−π/2, π/2[ : cos θ_n = 1/α_n et sin θ_n = (a/n)/α_n, d'où C_n = α_n(cos θ_n −sin θ_n / sin θ_n cos θ_n).
b) R(θ)ⁿ = R(nθ) (formules d'addition, par récurrence), donc C_nⁿ = α_nⁿR(nθ_n). α_nⁿ = exp((n/2)ln(1 + a²/n²)) avec (n/2)ln(1 + a²/n²) ~ a²/(2n) → 0, donc α_nⁿ → 1 ; nθ_n = n arctan(a/n) ~ n·a/n → a. Par continuité de cos et sin : lim C_nⁿ = (cos a −sin a / sin a cos a), la rotation d'angle a.

3. a) (S) s'écrit X' = AX avec A de la Partie I. P est constante, donc Y' = P⁻¹X'. X' = AX ⇔ P⁻¹X' = (P⁻¹AP)(P⁻¹X) ⇔ Y' = DY.
b) Y(0) = P⁻¹(1, −1) = (2 + 1, −1 − 1) = (3, −2). Y' = DY donne y₁ = 3e^t/2, y₂ = −2e^−t/3, et X = PY : x(t) = 3e^t/2 − 2e^−t/3, y(t) = 3e^t/2 − 4e^−t/3 (on vérifie x(0) = 1, y(0) = −1).
c) i) tA = P(tD)P⁻¹ ; le raisonnement de I.3.c s'applique à tA : exp(tA) = P exp(tD) P⁻¹ avec exp(tD) = diag(e^t/2, e^−t/3).
ii) Avec la formule de I.3.d (p = e^t/2, q = e^−t/3) : Z(t) = (2p − q −p + q / 2p − 2q −p + 2q)(1, −1) = (3p − 2q, 3p − 4q) : z₁(t) = 3e^t/2 − 2e^−t/3, z₂(t) = 3e^t/2 − 4e^−t/3.
iii) Z = X : t ↦ exp(tA)X(0) est la solution de X' = AX de condition initiale X(0) (unicité de Cauchy-Lipschitz pour un système linéaire).

Problème 2 — Partie I : endomorphismes orthogonaux

1. a) Si f(x) = 0, ‖x‖ = ‖f(x)‖ = 0, donc x = 0 : f injective, donc bijective (E de dimension finie). f⁻¹ est linéaire et ‖f⁻¹(y)‖ = ‖f(f⁻¹(y))‖ = ‖y‖ : f⁻¹ est orthogonal.
b) Si f(x) = λx avec x ≠ 0 : ‖x‖ = |λ|‖x‖, donc |λ| = 1, λ réel : Sp(f) ⊂ {−1, 1}.

2. a) ⇐ : avec y = x, ‖f(x)‖² = ‖x‖². ⇒ : identité de polarisation ⟨x, y⟩ = (‖x + y‖² − ‖x‖² − ‖y‖²)/2 ; par linéarité, ⟨f(x), f(y)⟩ = (‖f(x+y)‖² − ‖f(x)‖² − ‖f(y)‖²)/2 = ⟨x, y⟩.
b) ⇒ : si (e_i) est orthonormée, ⟨f(e_i), f(e_j)⟩ = ⟨e_i, e_j⟩ = δ_ij : n vecteurs orthonormés, donc libres, donc une base orthonormée. ⇐ : soit (e_i) une base orthonormée (il en existe), (f(e_i)) est orthonormée ; pour x = Σx_ie_i, ‖f(x)‖² = ‖Σx_if(e_i)‖² = Σx_i² = ‖x‖².

3. Soit M la matrice de f dans la base orthonormée B = (e_i) ; la colonne j de M est formée des coordonnées de f(e_j). Comme B est orthonormée, (^tMM)_ij = Σ_k M_kiM_kj = ⟨f(e_i), f(e_j)⟩. Donc ^tMM = I_n ⇔ (f(e_i)) orthonormée ⇔ f orthogonal (2.b ; le sens ⇐ de 2.b n'utilise qu'une base orthonormée).

4. a) Par 2.a : ⟨f(x), y⟩ = ⟨f(x), f(f⁻¹(y))⟩ = ⟨x, f⁻¹(y)⟩ et ⟨f⁻¹(x), y⟩ = ⟨f(f⁻¹(x)), f(y)⟩ = ⟨x, f(y)⟩. En sommant : ⟨(f + f⁻¹)(x), y⟩ = ⟨x, (f + f⁻¹)(y)⟩ : f + f⁻¹ est symétrique.
b) i) f(x) + f⁻¹(x) = λx. Alors f(f(x)) = f(λx − f⁻¹(x)) = λf(x) − x ∈ Vect(x, f(x)), et f(x) ∈ Vect(x, f(x)) : par linéarité, Vect(x, f(x)) est stable par f.
ii) f + f⁻¹ est symétrique, donc diagonalisable (théorème spectral) : un tel vecteur propre x existe. Vect(x, f(x)) est stable, de dimension 1 ou 2 (x ≠ 0) : f admet un sous-espace stable de dimension 1 ou 2.
c) i) f(F) ⊂ F et f injective, donc dim f(F) = dim F : f(F) = F.
ii) Soit y ∈ F^⊥ et x ∈ F. Par i), x = f(z) avec z ∈ F, et ⟨f(y), x⟩ = ⟨f(y), f(z)⟩ = ⟨y, z⟩ = 0. Donc f(y) ∈ F^⊥ : F^⊥ est stable par f.

Problème 2 — Partie II : distance à un sous-espace

1. Existence : t ↦ P(t)Q(t)e^−t est continue sur [0, +∞[ et t²P(t)Q(t)e^−t → 0, donc l'intégrande est O(1/t²) : intégrale convergente. Symétrie et bilinéarité : immédiates par linéarité de l'intégrale. Positivité : (P|P) = ∫ P²e^−tdt ≥ 0. Définie : si (P|P) = 0, la fonction continue positive P²e^−t est nulle sur [0, +∞[, donc P a une infinité de racines : P = 0. C'est un produit scalaire.

2. F = Ker φ avec φ : P ↦ P(0), forme linéaire non nulle (φ(1) = 1) : F est un hyperplan de E (dimension m − 1).

3. a) Par construction de Schmidt, Vect(P₀, …, P_j) = ℝ_j[X]. Pour k ≥ 1, P_k' ∈ ℝ_k−1[X] = Vect(P₀, …, P_k−1), orthogonal à P_k ; pour k = 0, P₀' = 0. Donc (P_k|P_k') = 0.
b) Intégration par parties avec (P_k²)' = 2P_kP_k' (le crochet converge car P_k²e^−t → 0) : 2(P_k|P_k') = [P_k²e^−t]₀^+∞ + ∫₀^+∞ P_k²e^−tdt = −P_k(0)² + ‖P_k‖_E². Avec a) : P_k(0)² = ‖P_k‖_E² = 1.
c) P_k − P_k(0)·1 s'annule en 0, donc appartient à F, orthogonal à S : (P_k|S) = P_k(0)(1|S).
d) (P₀, …, P_m−1) étant orthonormée : S = Σ (P_k|S)P_k = (1|S) Σ P_k(0)P_k. Si α = (1|S) était nul, on aurait S = 0, exclu pour un vecteur directeur : S = α Σ_k=0^m−1 P_k(0)P_k, α ≠ 0.

4. a) Écrivons x = x_F + x_⊥ (F ⊕ F^⊥ = E). ⟨φ(x), y⟩ = ⟨x_F, y_F + y_⊥⟩ = ⟨x_F, y_F⟩ = ⟨x, φ(y)⟩ : φ est symétrique.
b) ψ(x) = 2x_F − x = x_F − x_⊥ (symétrie orthogonale par rapport à F). Par Pythagore, ‖ψ(x)‖² = ‖x_F‖² + ‖x_⊥‖² = ‖x‖² : ψ est orthogonal.
c) F^⊥ = ℝS (droite, car F est un hyperplan). P − φ(P) est la projection orthogonale de P sur ℝS, soit ((P|S)/‖S‖_E²)S. D'où φ(P) = P − ((P|S)/‖S‖_E²) S.

5. d(h, F) = ‖h − φ(h)‖ = |(1|S)|/‖S‖_E. Par 3.d et 3.b : (1|S) = α et ‖S‖_E² = α² Σ P_k(0)² = mα². Donc d(h, F) = |α|/(|α|√m) = 1/√m.

6. d(h, F^⊥) = ‖h − (h − φ(h))‖ = ‖φ(h)‖, et par Pythagore ‖h‖² = ‖φ(h)‖² + d(h, F)², avec ‖h‖² = ∫₀^+∞ e^−tdt = 1. Donc d(h, F^⊥) = √(1 − 1/m) = √((m − 1)/m).