Modèle de concours : CNC 2009 Mathématiques II (TSI) — Concours National Commun

Ce modèle est l'épreuve de Mathématiques II du Concours National Commun (CNC), session 2009, filière TSI (accès aux écoles d'ingénieurs après les classes préparatoires). Énoncé de 3 pages, calculatrice interdite. Le problème porte sur l'application d'évaluation f_m : P ↦ (P(x₀), …, P(x_n)), l'interpolation de Lagrange puis l'approximation polynomiale au sens des moindres carrés. Voici une correction proposée, question par question.

💡 Le fil rouge : un polynôme de degré ≤ n qui s'annule en n+1 points distincts est nul. Presque toutes les questions d'injectivité (Parties 1 et 2) reposent sur ce seul résultat : citez la question 1 à chaque fois.

1ère Partie : Étude de l'application f_m

1.

R ∈ P_n admet les n+1 racines distinctes x₀, …, x_n. Un polynôme non nul de degré d ≤ n a au plus d ≤ n racines ; R a donc plus de racines que son degré ne le permet : R = 0.

2.

Pour P, Q ∈ P_m et λ ∈ ℝ : (λP+Q)(x_i) = λP(x_i) + Q(x_i) pour tout i, donc f_m(λP+Q) = λf_m(P) + f_m(Q) : f_m est linéaire (de P_m dans ℝⁿ⁺¹).

3. Cas m ≥ n+1

(a) ⊇ : si Q ∈ P_m−n−1, deg(Qπ) ≤ (m−n−1)+(n+1) = m, donc Qπ ∈ P_m, et (Qπ)(x_i) = Q(x_i)·0 = 0 : Qπ ∈ Ker f_m.
⊆ : soit P ∈ Ker f_m. Division euclidienne par π (de degré n+1) : P = Qπ + R avec deg R ≤ n. Comme deg P ≤ m, deg Q = deg P − (n+1) ≤ m−n−1 (ou Q = 0). Alors R(x_i) = P(x_i) − Q(x_i)π(x_i) = 0 pour tout i, et R ∈ P_n, donc R = 0 par la question 1 : P = Qπ.
Conclusion : Ker f_m = {Qπ ; Q ∈ P_m−n−1}.

(b) Intersection : si P ∈ Ker f_m ∩ P_n, alors P ∈ P_n s'annule en tous les x_i, donc P = 0 (question 1).
Somme : tout P ∈ P_m s'écrit P = Qπ + R (division euclidienne) avec Qπ ∈ Ker f_m (vu en (a)) et R ∈ P_n.
Donc P_m = Ker f_m ⊕ P_n.

(c) dim Ker f_m = dim P_m − dim P_n = (m+1) − (n+1) = m − n.
L'application Q ↦ Qπ est linéaire et injective (π ≠ 0, ℝ[X] intègre) de P_m−n−1 sur Ker f_m ; elle envoie la base (1, X, …, X^m−n−1) sur une base : (π, Xπ, X²π, …, X^m−n−1π) est une base de Ker f_m (m−n vecteurs, cohérent avec la dimension).

(d) Théorème du rang : rg f_m = dim P_m − dim Ker f_m = (m+1) − (m−n) = n+1 = dim ℝⁿ⁺¹. Donc Im f_m = ℝⁿ⁺¹ : f_m est surjective.

4. Cas m ≤ n

(a) Si f_m(P) = 0, P ∈ P_m ⊂ P_n s'annule en x₀, …, x_n, donc P = 0 (question 1) : Ker f_m = {0}, f_m est injective.

(b) Ker f_m = {0} et, par le théorème du rang, rg f_m = dim P_m = m+1.

(c) f_m est surjective ⇔ rg f_m = n+1 ⇔ m+1 = n+1 ⇔ m = n. (Avec la question 3 : f_m est surjective si et seulement si m ≥ n.)

5. Polynômes de Lagrange

(a) L_i est le produit de n facteurs de degré 1 (j ≠ i, j ∈ {0,…,n}) divisé par la constante non nulle ∏_j≠i(x_i−x_j) (les x_j sont distincts) : deg L_i = n.
Si k ≠ i, le facteur (X − x_k) figure dans le produit, donc L_i(x_k) = 0. Si k = i, chaque facteur vaut (x_i−x_j)/(x_i−x_j) = 1, donc L_i(x_i) = 1. D'où L_i(x_k) = δ_i,k.

(b) f_n(L_i) = (δ_i,0, …, δ_i,n) = e_i, i-ième vecteur de la base canonique (indices de 0 à n). La famille (f_n(L₀), …, f_n(L_n)) est donc la base canonique de ℝⁿ⁺¹.

(c) Si Σ a_iL_i = 0, en appliquant f_n (linéaire) : Σ a_ie_i = 0, donc tous les a_i sont nuls : la famille est libre. Elle compte n+1 = dim P_n vecteurs : (L₀, …, L_n) est une base de P_n.

(d) i. D'après 4.(a) et 4.(c) avec m = n, f_n est injective et surjective, donc bijective de P_n sur ℝⁿ⁺¹ : il existe un unique P_y ∈ P_n tel que f_n(P_y) = y.
ii. Q = Σ_i y_iL_i ∈ P_n et f_n(Q) = Σ y_ie_i = y ; par unicité, P_y = y₀L₀ + y₁L₁ + … + y_nL_n.

2ème Partie : Approximation polynomiale au sens des moindres carrés

A. Cas m ≥ n+1

1. On prend Q₀ = P_y = Σ y_iL_i : deg Q₀ ≤ n ≤ m donc Q₀ ∈ P_m, et Q₀(x_i) = y_i pour tout i. Donc Φ_m(Q₀) = Σ (y_i − y_i)² = 0.

2. Φ_m(P) est une somme de carrés, donc Φ_m(P) ≥ 0 = Φ_m(Q₀) : λ_m = 0.
Φ_m(P) = 0 ⇔ P(x_i) = y_i pour tout i ⇔ f_m(P) = f_m(Q₀) ⇔ P − Q₀ ∈ Ker f_m. Le minimum est atteint exactement sur Q₀ + Ker f_m = {Q₀ + Qπ ; Q ∈ P_m−n−1} (un sous-espace affine de dimension m−n).

B. Cas m ≤ n

1. (^t(M+N))_ij = (M+N)_ji = M_ji + N_ji = (^tM)_ij + (^tN)_ij, donc ^t(M+N) = ^tM + ^tN.
Pour M' ∈ M_p,q, N' ∈ M_q,r (i ≤ r, j ≤ p) : (^t(M'N'))_ij = (M'N')_ji = Σ_k=1^q M'_jkN'_ki = Σ_k (^tN')_ik(^tM')_kj = (^tN' ^tM')_ij. Donc ^t(M'N') = ^tN' ^tM'.

2. (a) La ligne i de A est (1, x_i, …, x_i^m), donc (Av)_i = Σ_k=0^m v_kx_i^k = P_v(x_i) : Av = ^t(P_v(x₀), P_v(x₁), …, P_v(x_n)) (c'est f_m(P_v) écrit en colonne).
(b) Si Av = 0, P_v ∈ P_m ⊂ P_n (car m ≤ n) s'annule en n+1 points distincts, donc P_v = 0 (question 1 de la 1ère partie) : tous ses coefficients v_k sont nuls, v = 0.

3. ^tuu = Σ_i=0ⁿ u_i² (matrice 1×1 identifiée à un réel). Somme de carrés : ^tuu ≥ 0, et ^tuu = 0 ⇔ chaque u_i² = 0 ⇔ u = 0.

4. (a) ^tuu = ^t(Av)(Av) = ^tv ^tA A v = ^tv (^tAAv) = ^tv·0 = 0 (question 1). Par la question 3, u = Av = 0, puis par 2.(b), v = 0.
(b) ^tAA ∈ M_m+1(ℝ) est carrée et, d'après (a), Ker(^tAA) = {0}. Donc rg(^tAA) = m+1 et ^tAA est inversible.
(c) En numérotant lignes et colonnes de 0 à m : (^tAA)_jk = Σ_i=0ⁿ A_ijA_ik = Σ_i=0ⁿ x_i^j+k, 0 ≤ j, k ≤ m. Notant s_p = Σ_i x_i^p, c'est la matrice de Hankel (s_j+k), avec s₀ = n+1 en haut à gauche.

5. M = ^tAA est inversible (4.(b)), donc MZ = c ⇔ Z = M⁻¹c : solution unique w = M⁻¹c = (^tAA)^{−1 t}Ab.

6. (a) Par la question 1, ^t(b−Av) = ^tb − ^tv ^tA. En développant : g(v) = ^tbb − ^tbAv − ^tv ^tAb + ^tv ^tAAv.
Pour v = w, ^tAAw = ^tAb, donc ^tw ^tAAw = ^tw ^tAb et les deux derniers termes se compensent : g(w) = ^tbb − ^tbAw.

(b) g(v) − g(w) = −^tbAv − ^tv ^tAb + ^tv ^tAAv + ^tbAw.
Or ^tAb = ^tAAw, et ^tbA = ^t(^tAb) = ^t(^tAAw) = ^tw ^tAA (car ^tAA est symétrique). En posant S = ^tAA :
g(v) − g(w) = −^twSv − ^tvSw + ^tvSv + ^twSw = ^t(w−v) S (w−v), d'où g(v) − g(w) = ^t(w−v) ^tAA (w−v).

(c) Avec u = A(w−v) : ^t(w−v) ^tAA(w−v) = ^tuu ≥ 0 (question 3), donc g(v) ≥ g(w). Égalité ⇔ ^tuu = 0 ⇔ A(w−v) = 0 (question 3) ⇔ w − v = 0 (question 2.(b)) ⇔ v = w.

7. Aw ∈ F. Pour tout Av ∈ F : <Av, b − Aw> = ^tv ^tA(b − Aw) = ^tv(^tAb − ^tAAw) = 0. Donc b − Aw ∈ F^⊥ : Aw est la projection orthogonale de b sur F.
g(w) = ^t(b−Aw)(b−Aw) = ‖b − Aw‖² : c'est le carré de la distance de b au sous-espace F, d(b, F)².

8. V_P est le vecteur des coefficients de P, donc P_VP = P et, par 2.(a), AV_P = ^t(P(x₀), …, P(x_n)). Les composantes de b − AV_P sont y_i − P(x_i), i = 0, …, n. Par la question 3 : g(V_P) = Σ_i (y_i − P(x_i))² = Φ_m(P).

9. (a) Pour P ∈ P_m : Φ_m(P) = g(V_P) ≥ g(w) = g(V_Pw) = Φ_m(P_w) (6.(c) et 8, car V_Pw = w). Égalité ⇔ V_P = w ⇔ P = P_w (un polynôme est déterminé par ses coefficients).
(b) λ_m = Φ_m(P_w) = g(w) = ^tbb − ^tbAw = Σ y_i² − Σ y_iP_w(x_i) = d(b, F)².

10. Application (n = 3, m = 2)

Points : (−1, 1), (0, 2), (1, 1), (2, 0).

(a) A = [[1, −1, 1], [1, 0, 0], [1, 1, 1], [1, 2, 4]] (lignes (1, x_i, x_i²)).
Sommes : s₀ = 4, s₁ = −1+0+1+2 = 2, s₂ = 1+0+1+4 = 6, s₃ = −1+0+1+8 = 8, s₄ = 1+0+1+16 = 18. D'après 4.(c) :

(b) ^tAb = (Σy_i, Σx_iy_i, Σx_i²y_i) = (1+2+1+0, −1+0+1+0, 1+0+1+0) = (4, 0, 2).

(c) Système en Z = (a, b, c) (après division des équations par 2) :

• L₁ : 2a + b + 3c = 2
• L₂ : a + 3b + 4c = 0
• L₃ : 3a + 4b + 9c = 1

Pivot a dans L₂ : L₁ − 2L₂ : −5b − 5c = 2 ; L₃ − 3L₂ : −5b − 3c = 1. Différence : 2c = −1, donc c = −1/2 ; puis b = −2/5 − c = −2/5 + 1/2 = 1/10 ; enfin a = −3b − 4c = −3/10 + 2 = 17/10.
Vérification dans L₁ : 34/10 + 1/10 − 15/10 = 2. Solution : w = (17/10, 1/10, −1/2).

(d) P₀(t) = 17/10 + t/10 − t²/2.
Valeurs aux points : P₀(−1) = 1,1 ; P₀(0) = 1,7 ; P₀(1) = 1,3 ; P₀(2) = −0,1. Résidus y_i − P₀(x_i) : −0,1 ; 0,3 ; −0,3 ; 0,1.
λ₂ = 0,01 + 0,09 + 0,09 + 0,01 = 0,2 = 1/5 (même résultat par ^tbb − ^tbAw = 6 − (1,1 + 3,4 + 1,3 + 0) = 6 − 5,8).
Graphe : parabole tournée vers le bas, sommet en t = 1/10, P₀(1/10) = 341/200 ≈ 1,705 ; racines (1 ± √341)/10 ≈ −1,75 et 1,95. Les quatre points (−1, 1), (0, 2), (1, 1), (2, 0) sont proches de la courbe (écarts verticaux 0,1 ou 0,3), de part et d'autre de celle-ci.