Modèle de concours : CNC 2008 Mathématiques II (TSI) — Concours National Commun
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En bref
Ce document est une ancienne épreuve écrite du concours de Concours d'accès aux écoles d'ingénieurs organisé par Concours National Commun (CNC) — CPGE (2008), publiée sur Wadifa Info en consultation et téléchargement PDF gratuits, avec une correction proposée.
- Organisme
- Concours National Commun (CNC) — CPGE
- Grade
- Concours d'accès aux écoles d'ingénieurs
- Spécialité
- Mathématiques II
- Année
- 2008
- Pages
- 5
- Langue des questions
- français
- Correction
- correction proposée disponible sur cette page
📝 Texte des questions (extrait automatiquement des pages scannées)
Ce texte est extrait automatiquement des images de l'épreuve et peut contenir des erreurs de lecture — les images ci-dessus font foi.
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ROYAUME DU MAROC
Ministère de l’Éducation Nationale, de l'Enseignement
Supérieur, de la Formation des Cadres
et de la Recherche Scientifique
Présidence du Concours National Commun 2008
École Nationale de l'Industrie Minérale
ENIM
Concours National Commun
d’Admission aux
Grandes Écoles d'Ingénieurs ou Assimilées
Session 2008
ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES 1
Durée 4 heures
Filière TSI
Cette épreuve comporte 4 pages au format A4, en plus de cette page de garde
L'usage de la calculatrice est interdit
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— صفحة 2 —
Concours National Commun - Session 2008 - 1
L’énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière TSI,
comporte 4 pages.
L'usage de la calculatrice est interdit .
Les candidats sont informés que la qualité de la rédaction et de la présentation, la clarté et la précision des
raisonnements constitueront des éléments importants pour l'appréciation des copies. Il convient en particulier
de rappeler avec précision les | références | des questions abordées.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est
amené à prendre.
Sur les classes de similitude de matrices carrées d’ordre 2
L'objectif de ce problème est d'étudier quelques propriétés topologiques des classes de simili-
tudes de matrices carrées à coefficients réels ou complexes en liaison avec la diagonalisabilité.
Notations et rappels
Dans ce problème, K désigne le corps des réels ou celui des complexes (K = R ou C) et M»(K)
l'algèbre des matrices carrées d'ordre 2 à coefficients dans K ; la matrice identité se notera I» et toute
matrice de la forme رول avec À € K, est dite une matrice scalaire.
GL»(K) désigne le groupe des matrices inversibles de M»(K).
Pour toute matrice A de M»(K), ‘A désigne la matrice transposée de A, tr (A) sa trace, det A son
déterminant et Spx (A) l'ensemble des valeurs propres de A appartenant à K.
On rappelle que deux matrices À et B de M»(K) sont dites semblables dans M»(K) s’il existe une
matrice Q € GLa(K) telle que A = QBQ”*, cela revient à dire que A et B sont les matrices d’un
même endomorphisme de K? dans deux bases en général différentes.
L'ensemble يك (A) : = {PAP}; P € GLs(K)} est appelé la classe de similitude de A dans M»(K).
1/2
I. Résultats préliminaires
1. Quelle est la classe de similitude d’une matrice scalaire de M2(K) ?
1 A 1 0
2. Pourtout\€ K,on pose BE, = 8 1 ) et FH, = 0 0
(a) Justifier que, pour tout À € K, EF, et F, sont inversibles et exprimer leur inverses.
(c) On suppose que la classe de similitude (A) de A € Ma(K) est réduite à un singleton.
Montrer que À est une matrice scalaire.
(b) Soit A = (: ) € M»(K) ; calculer les produits ExAE," et F,AF," où \ € K.
3. Soient (A;.)jen Une suite d'éléments de M2(K) et A € M4(K). On suppose que
Définition : On dit que la suite (A;)pen converge vers la matrice À si les suites (a;.)pen,
(Dr )ren, (Ch)ren et (di. )ren convergent respectivement vers a, b, c et d.
Épreuve de Mathématiques II 1/4 Tournez la page S.V.P.
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Concours National Commun - Session 2008 — TSI
(a) Justifier que si la suite (Az )ren converge vers la matrice À alors À est unique.
(b) Montrer que la suite (A)zen converge vers À si et seulement si la suite (|| Az — A||s)
converge vers 0.
(c) Montrer que si la suite (Az)zenw converge vers la matrice À alors les suites (tr (Az ))ren et
(detAz)ren convergent respectivement vers tr (A) et det. A.
4. Montrer que si À et B sont deux matrices semblables de M4(K), elles ont le même déterminant,
la même trace et le même polynôme caractéristique.
II. Condition pour qu’une classe de similitude de M»(K) soit fermée
Définition : Une partie de M»(K) est dite fermée si toute suite convergente d'éléments de Z
converge vers un élément de .ب
1. Soit A € Ma2(K).
(a) Si Spx(A) = رام مذ justifier que A est semblable dans M»(K) à la matrice fi 0 ;
(b) Si Spx(A) = {\}, montrer que 4 est diagonalisable dans M»(K) si et seulement si
(c) Si Spx(A) = {\} et À n’est pas une matrice scalaire, montrer que À est semblable dans
M2(K) à la matrice Ÿ 1 ;
2. Soit A € M2(K).
(a) Si A est une matrice scalaire, justifier que la classe de similitude ./x(A) est fermée.
0 1/\0 XA/\O0 1
Étudier la suite (Ar )ren et en déduire que la classe de similitude x (A) n’est pas fermée.
(c) Si Spx (A) = {\, u}, soit (PAP; *) pen Une suite d'éléments de ./x(A) qui converge vers
une matrice B € Mz(K). Soit a € {A, y}.
i. Étudier la suite (P,(A — al2)P5") pen
ii. Justifier alors que B est semblable à A et conclure que ./x(A) est fermée.
—k : 9k
(b) Si Spx(A) = {A} et A non diagonalisable, on pose A, = ( 1 f 1 fs 1 , kEeN.
et en déduire que det(B — als) = 0.
3. Montrer que si À € Ma(C) alors (A) est fermée si et seulement si A est diagonalisable dans
M3 (C) 5
4. Soit A € M»2(R) une matrice telle que Spr (A) = 0.
(a) Justifier que 4det A — (tr (A))? › 0. Dans la suite, on pose
4m 5(4 2 h) ران م )7-5 4ة»
(b) Montrer que A”? = —I».
(c) On note f l'endomorphisme de R? canoniquement associé à A’ et on considère un vecteur
non nul e de 182. Montrer que la famille (e, f(e)) est une base de R? et écrire la matrice A;
de f dans cette base.
(d) Exprimer A’ en fonction de A, et en déduire que les matrices À et A” sont semblables
dans M2(R).
Épreuve de Mathématiques II 2/4 ب
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Concours National Commun - Session 2008 - 1
(e) Soit (PRAP هم ( أ une suite d'éléments de /m(A) qui converge vers une matrice À
élément de Mz(R).
i. Montrer que tr (À) = tr (A) et det À = det A.
ii. Justifier alors que les matrices À et À sont semblables dans M»(R).
5. Montrer que si A € M»(R) alors /æ(A) est fermée (dans M»(R)) si et seulement si A est
diagonalisable dans M»(R) ou bien Spp (A) = 0.
111. Un autre aspect de l'étude des classes de similitude de M4(R)
A- Résultats utiles
1. 6 € M»(R) une matrice telle que Spp(G) # 0. Justifier que les racines du polynôme
caractéristique xc de 6 sont toutes réelles.
2. Soit A € Ma(R).
(a) Vérifier que || | ع = ytr (A‘A).
(b) Soit U € M2(R) une matrice orthogonale ; montrer que || وال = |U AU||s = |'U AU||s.
3. Justifier que l’ensemble {||PAP-*||s ; P € GL2(R)} possède une borne inférieure.
La suite de cette partie sera consacrée au calcul de cette borne inférieure et à la caractérisation
des matrices pour lesquelles elle est atteinte ; pour cela, on muni le R -espace vectoriel R? de son
produit scalaire canonique noté (.|.), la norme associée sera notée ||.||.
B- Étude du cas d’une matrice ayant des valeurs propres réelles
1. Un résultat de réduction : Soit G € M»(R) une matrice telle que Spp(G) # 0: on note g
l’endomorphisme de 182 canoniquement associé à G et on désigne par À et j les racines de xc
(éventuellement confondues) ; ce sont les valeurs propres de g. On choisi un vecteur propre
أن de رو associé à la valeur propre À, qu’on complète en une base (uv ,u5) de R? et on note
(u1,u2) la base orthonormée de l’espace euclidien (R*, (.|.)) obtenue en appliquant le procédé
de Schmidt à la famille (uw; , u5).
(a) Rappeler les expressions des vecteurs uw; et عن en fonction des vecteurs كن et us.
(b) On note U la matrice de passage de la base canonique (e;, es) de R? à la base (u1, u») ;
justifier que U'U = 1.
(c) On note T la matrice de و dans la base (u1, ua). Justifier que 17 est de la forme fi à ;
où a est un réel, et que G = UT'U. Que vaut |[G]|s ?
2. Calcul de la borne inférieure en question : On considère une matrice A € M»(R) telle que
Spr(A) # ,ل et on désigne par À et نر les valeurs propres de A (éventuellement confondues).
(a) Montrer que, pour toute matrice B € (A), || و||2 › y 0? + p?.
(b) Montrer qu'il existe œ € R tel que, pour tout réel non nul t, la matrice G
(c) Déduire de ce qui précède que inf j ااه = 442 + p?.
Be$æ(A
(d) Montrer que A est diagonalisable dans M»(R) si et seulement si la borne inférieure de
l’ensemble {||\PAP-*||s ; P € GLe(R)} est atteinte. (pour montrer que la condition est
suffisante, on pourra utiliser le résultat de la question 1. )
Épreuve de Mathématiques II 3/4 Tournez la page S.V.P.
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Concours National Commun - Session 2008 TSI
C. Cas où la matrice n’a aucune valeur propre réelle
On considère une matrice M € Mz(R) n'ayant aucune valeur propre réelle, ce qui signifie que
Spz (M) = 0. On a déjà vu que 4det M — (tr (M))? › 0, on pose alors 6 : = 4/4det M — (tr (M))? et
On rappelle que M”? = —I, et on note f l'endomorphisme de R? canoniquement associé à M’.
y 5
1. SiM = (: ل , justifier que la matrice M’ est de la forme M’ = 0: و , où a, 3 et y sont
des réels à préciser en fonction de a, b, c et رك puis vérifier que a? + By = —1.
2. Pour tout vecteur v = (x,y) de l’espace euclidien (R*, (.|.)), exprimer le produit scalaire
(v|f(v)) et montrer qu'il existe un vecteur non nul ع € 18 tel que la famille (e, f(e)) soit
orthogonale. Justifier que f(e) # 0.
3. Un tel vecteur e étant choisi, on pose u1 = Hi eetug = TOI -f(e) ; Vérifier que (u1, u2) est
une base orthonormée de l’espace euclidien (R?, (.|.)) et écrire la matrice M, de f dans cette
base.
4. On note U la matrice de passage de la base canonique (e;, €») de R? à la base (u1, us) ; justifier
que U est une matrice orthogonale et exprimer M’ en fonction de M, puis en déduire que
a. an) étontranéel› 0 à préciser
5. On sait, d’après les parties précédentes, que l’ensemble {||PMP*||s ; P € GL2(R)} possède
une borne inférieure et que les matrices M et M” sont semblables dans Mz(R).
(a) Justifier que inf ||Bl|s › ||M”||s = V2detM.
BEe%2(M)
(b) Montrer que ||M»||s › ||M”"||s et que, plus généralement, ||B||s › v2detM pour toute
matrice B € (M).
6. Conclure que la borne inférieure de l’ensemble {||PMP-*||s ; P € GL»(R)} est atteinte,
donner sa valeur et caractériser toutes les matrices de (M) en lesquelles cette borne est
atteinte.
D. Conclusion
Soit A € Ma(R) ; montrer que la borne inférieure de l’ensemble {||PAP-*||s ; P € GL2(R)} est
atteinte si et seulement si la classe de similitude .#r(.A) est fermée.
FIN DE L'ÉPREUVE
Épreuve de Mathématiques II 4/4 FIN
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✅ Correction proposée
Il s'agit d'une correction proposée, rédigée par l'équipe wadifa-info pour vous aider à comprendre la méthode — ce n'est pas un corrigé officiel de l'administration organisatrice.
Ce modèle est l'épreuve de Mathématiques II du Concours National Commun (CNC), filière TSI, session 2008 (présidence : ENIM). Durée : 4 heures, calculatrice interdite. Le problème, « Sur les classes de similitude de matrices carrées d'ordre 2 », montre qu'une classe de similitude 𝒮𝕂(A) est fermée exactement quand A est diagonalisable (ou sans valeur propre réelle dans le cas réel), puis que c'est aussi exactement quand la borne inférieure de ‖PAP−1‖S est atteinte. Correction proposée, question par question.
💡 Deux outils servent partout : pour une matrice d'ordre 2, χA(X) = X² − tr(A)X + det A (donc trace et déterminant déterminent le polynôme caractéristique) ; et ‖B‖S² − 2det B = (a−d)² + (b+c)² pour B = (a b ; c d) réelle.
I. Résultats préliminaires
1. P(λI2)P−1 = λI2 pour tout P : 𝒮𝕂(λI2) = {λI2}.
2. (a) det Eλ = det Fλ = 1, et Eλ−1 = E−λ, Fλ−1 = F−λ (EλE−λ = I2).
(b) Calcul direct :
- EλAEλ−1 = ( a + λc , b + λ(d − a) − λ²c ; c , d − λc ) ;
- FλAFλ−1 = ( a − λb , b ; c + λ(a − d) − λ²b , d + λb ).
(c) Ces deux matrices sont dans 𝒮𝕂(A) = {A}. Avec λ = 1 : a + c = a donne c = 0, puis b + (d − a) = b donne d = a ; a − b = a donne b = 0. Donc A = aI2 est scalaire.
3. (a) Chaque suite de coefficients a au plus une limite dans 𝕂, donc A est unique.
(b) Si les quatre suites convergent, |ak − a|² + … + |dk − d|² → 0 et ‖Ak − A‖S → 0 (continuité de √). Réciproquement |ak − a| ≤ ‖Ak − A‖S (idem pour b, c, d).
(c) tr Ak = ak + dk → a + d et det Ak = akdk − bkck → ad − bc (opérations sur les limites).
4. Si A = QBQ−1 : det A = det Q·det B·det Q−1 = det B ; tr A = tr((QB)Q−1) = tr(Q−1QB) = tr B ; A − λI2 = Q(B − λI2)Q−1, donc même polynôme caractéristique.
II. Condition pour qu'une classe de similitude soit fermée
1. (a) λ ≠ μ : des vecteurs propres v1, v2 associés sont libres, donc forment une base de 𝕂² ; dans cette base l'endomorphisme a pour matrice diag(λ, μ) : A est semblable à diag(λ, μ).
(b) Remarque : si Sp𝕂(A) = {λ}, l'autre racine μ = tr A − λ de χA est dans 𝕂, donc valeur propre, donc μ = λ : χA = (X − λ)². Si A est diagonalisable, A = Q diag(λ, λ) Q−1 = λI2 ; la réciproque est claire. A diagonalisable ⟺ A = λI2.
(c) N = A − λI2 ≠ 0 et, par Cayley–Hamilton, N² = (A − λI2)² = 0. On choisit e2 avec Ne2 ≠ 0 et on pose e1 = Ne2. Si αe1 + βe2 = 0, en appliquant N (Ne1 = N²e2 = 0) : βe1 = 0, donc β = 0 puis α = 0. Dans la base (e1, e2) : Ae1 = λe1, Ae2 = e1 + λe2, d'où A semblable à (λ 1 ; 0 λ).
2. (a) 𝒮𝕂(λI2) = {λI2} : toute suite d'éléments de cet ensemble est constante et converge vers λI2. Fermée.
(b) Avec Dk = diag(2−k, 1) et J = (λ 1 ; 0 λ) : (DkJDk−1)i,j = diJi,j/dj, donc Ak = (λ 2−k ; 0 λ) → λI2. Les Ak sont semblables à J, donc à A (II.1c) : Ak ∈ 𝒮𝕂(A). Mais λI2 n'est pas semblable à A (sa classe est {λI2} et A ≠ λI2). 𝒮𝕂(A) n'est pas fermée.
(c) i. Pk(A − αI2)Pk−1 = PkAPk−1 − αI2 → B − αI2. Son déterminant vaut det(A − αI2) = 0 pour tout k ; par continuité du déterminant (I.3c), det(B − αI2) = 0.
ii. λ et μ sont donc deux valeurs propres distinctes de B : B est semblable à diag(λ, μ) (II.1a), comme A, donc B ∈ 𝒮𝕂(A). 𝒮𝕂(A) est fermée.
3. Sur ℂ, χA est scindé : deux valeurs propres distinctes (A diagonalisable, classe fermée par 2c) ou une seule valeur propre λ ; dans ce cas, A diagonalisable ⟺ A = λI2 (classe fermée, 2a) et sinon la classe n'est pas fermée (2b). 𝒮ℂ(A) fermée ⟺ A diagonalisable.
4. (a) χA = X² − tr(A)X + det A n'a pas de racine réelle : son discriminant tr(A)² − 4det A est < 0, donc 4det A − tr(A)² > 0.
(b) Avec t = tr A et Cayley–Hamilton A² = tA − (det A)I2 : A'² = (4/δ²)(A² − tA + (t²/4)I2) = (4/δ²)(t²/4 − det A)I2 = ((t² − 4det A)/δ²)I2 = −I2.
(c) Si (e, f(e)) était liée, f(e) = λe avec λ réel et −e = f²(e) = λ²e, impossible. C'est une base ; f(e) = f(e) et f(f(e)) = −e : A1 = (0 −1 ; 1 0).
(d) Avec Q la matrice de colonnes e, f(e) : A' = QA1Q−1. Comme A = (t/2)I2 + (δ/2)A', A = Q[(t/2)I2 + (δ/2)A1]Q−1 = QA''Q−1 : A et A'' sont semblables.
(e) i. tr(PkAPk−1) = tr A et det(PkAPk−1) = det A pour tout k (I.4) ; par continuité (I.3c), tr à = tr A et det à = det A.
ii. à a le même polynôme caractéristique que A, donc pas de valeur propre réelle, et les mêmes tr et δ : la matrice Ã'' associée à à par (a) est égale à A''. Par (d), à ~ A'' ~ A. Donc à ∈ 𝒮ℝ(A) : la classe est fermée.
5. Pour A ∈ M2(ℝ) : si Spℝ(A) = ∅, la classe est fermée (4e) ; si A a deux valeurs propres réelles distinctes, elle est diagonalisable et sa classe est fermée (2c) ; si Spℝ(A) = {λ}, la classe est fermée ⟺ A = λI2 ⟺ A diagonalisable (2a, 2b, 1b). Donc 𝒮ℝ(A) fermée ⟺ A diagonalisable dans M2(ℝ) ou Spℝ(A) = ∅.
III. Un autre aspect de l'étude des classes de similitude de M2(ℝ)
A. Résultats utiles
1. χG est à coefficients réels, de degré 2, et a une racine réelle λ ; l'autre racine vaut tr G − λ, réelle aussi.
2. (a) A ᵗA a pour coefficients diagonaux a² + b² et c² + d² : tr(A ᵗA) = ‖A‖S².
(b) Avec ᵗUU = UᵗU = I2 : ‖UAᵗU‖S² = tr(UAᵗU·UᵗAᵗU) = tr(UAᵗAᵗU) = tr(AᵗA·ᵗUU) = tr(AᵗA) = ‖A‖S². Même calcul pour ᵗUAU (ᵗU est orthogonale).
3. C'est une partie non vide de ℝ, minorée par 0 : elle possède une borne inférieure.
B. Cas d'une matrice ayant des valeurs propres réelles
1. (a) u1 = u'1/‖u'1‖ et u2 = (u'2 − (u'2|u1)u1) / ‖u'2 − (u'2|u1)u1‖.
(b) Les colonnes de U sont les coordonnées de u1, u2 dans la base canonique, orthonormée : ᵗUU = ((ui|uj)) = I2, donc U est inversible d'inverse ᵗU et UᵗU = I2.
(c) u1 est colinéaire à u'1, donc g(u1) = λu1 : la première colonne de T est (λ, 0). T est triangulaire et χT = χG, donc son second coefficient diagonal est μ : T = (λ α ; 0 μ). Formule de changement de base : G = UTU−1 = UTᵗU, et par A.2(b) : ‖G‖S = ‖T‖S = √(λ² + μ² + α²).
2. (a) B ∈ 𝒮ℝ(A) a les mêmes valeurs propres réelles λ, μ (I.4) ; par 1(c) appliqué à B, ‖B‖S = √(λ² + μ² + αB²) ≥ √(λ² + μ²).
(b) Par 1(c), A = UTᵗU avec T = (λ α ; 0 μ). Pour t ≠ 0, Dt = diag(t, 1) donne DtTDt−1 = (λ tα ; 0 μ), semblable à T donc à A : cette matrice est dans 𝒮ℝ(A).
(c) Sa norme vaut √(λ² + μ² + t²α²) → √(λ² + μ²) quand t → 0 ; avec (a) : infB∈𝒮ℝ(A) ‖B‖S = √(λ² + μ²).
(d) Si A est diagonalisable, diag(λ, μ) ∈ 𝒮ℝ(A) a pour norme √(λ² + μ²) : la borne est atteinte. Réciproquement, si elle est atteinte en B ∈ 𝒮ℝ(A), 1(c) donne B = UTᵗU avec λ² + μ² + α² = λ² + μ², donc α = 0 : T est diagonale, B puis A sont diagonalisables. A diagonalisable ⟺ la borne inférieure est atteinte.
C. Cas où la matrice n'a aucune valeur propre réelle
1. Avec t = a + d : M − (t/2)I2 = ((a−d)/2 b ; c (d−a)/2), donc M' = (α β ; γ −α) avec α = (a − d)/δ, β = 2b/δ, γ = 2c/δ. Alors α² + βγ = [(a−d)² + 4bc]/δ² = [t² − 4(ad − bc)]/δ² = −δ²/δ² = −1.
2. f(v) = (αx + βy, γx − αy), donc (v|f(v)) = α(x² − y²) + (β + γ)xy. Si α = 0, e = (1, 0) convient. Sinon, x ↦ αx² + (β+γ)x − α a pour discriminant (β+γ)² + 4α² > 0 : elle a une racine réelle x0 et e = (x0, 1) ≠ 0 vérifie (e|f(e)) = 0. Enfin f² = −id, donc f est bijective et f(e) ≠ 0.
3. e et f(e) sont non nuls et orthogonaux : (u1, u2) est orthonormée, donc une base. Avec ℓ = ‖e‖/‖f(e)‖ > 0 : f(u1) = f(e)/‖e‖ = (1/ℓ)u2 et f(u2) = f²(e)/‖f(e)‖ = −e/‖f(e)‖ = −ℓu1, d'où M1 = (0 −ℓ ; 1/ℓ 0).
4. U a pour colonnes une base orthonormée : orthogonale (B.1b). M' = UM1ᵗU, puis M = (t/2)I2 + (δ/2)M' = U[(t/2)I2 + (δ/2)M1]ᵗU = UM2ᵗU avec M2 = ½(tr M −δℓ ; δ/ℓ tr M) et ℓ = ‖e‖/‖f(e)‖.
5. (a) M'' ∈ 𝒮ℝ(M) (II.4d), donc inf ≤ ‖M''‖S = ½√(2t² + 2δ²) = ½√(2(t² + 4det M − t²)) = √(2det M).
(b) ‖M2‖S² = ¼[2t² + δ²(ℓ² + 1/ℓ²)] ≥ ¼(2t² + 2δ²) = ‖M''‖S², car ℓ² + 1/ℓ² − 2 = (ℓ − 1/ℓ)² ≥ 0. Comme ‖M‖S = ‖M2‖S (A.2b), ‖M‖S ≥ √(2det M). Tout B ∈ 𝒮ℝ(M) est sans valeur propre réelle, avec les mêmes tr, det et δ ; le même raisonnement appliqué à B donne ‖B‖S ≥ √(2det M).
6. Par 5(a) et 5(b), la borne inférieure vaut √(2det M) et elle est atteinte en M''. Pour B = (a b ; c d) ∈ 𝒮ℝ(M), det B = det M et ‖B‖S² − 2det B = (a − d)² + (b + c)², donc l'égalité a lieu ⟺ d = a et c = −b. Avec 2a = tr M et a² + b² = det M, on obtient b = ±δ/2. Les matrices où la borne est atteinte sont exactement M'' = ½(tr M −δ ; δ tr M) et sa transposée ᵗM'' = ½(tr M δ ; −δ tr M), qui sont bien dans 𝒮ℝ(M) (mêmes tr et det, sans valeur propre réelle : II.4e-ii).
D. Conclusion
Si Spℝ(A) ≠ ∅ : borne atteinte ⟺ A diagonalisable (B.2d) ⟺ 𝒮ℝ(A) fermée (II.5). Si Spℝ(A) = ∅ : la borne est atteinte (C.6) et 𝒮ℝ(A) est fermée (II.4e). Dans tous les cas, la borne inférieure de {‖PAP−1‖S} est atteinte si et seulement si 𝒮ℝ(A) est fermée.
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