Modèle de concours : CNC 2006 Mathématiques II (TSI) — Concours National Commun
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En bref
Ce document est une ancienne épreuve écrite du concours de Concours d'accès aux écoles d'ingénieurs organisé par Concours National Commun (CNC) — CPGE (2006), publiée sur Wadifa Info en consultation et téléchargement PDF gratuits, avec une correction proposée.
- Organisme
- Concours National Commun (CNC) — CPGE
- Grade
- Concours d'accès aux écoles d'ingénieurs
- Spécialité
- Mathématiques II
- Année
- 2006
- Pages
- 4
- Langue des questions
- français
- Correction
- correction proposée disponible sur cette page
📝 Texte des questions (extrait automatiquement des pages scannées)
Ce texte est extrait automatiquement des images de l'épreuve et peut contenir des erreurs de lecture — les images ci-dessus font foi.
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ROYAUME DU MAROC
Ministère de l’Éducation Nationale, de l'Enseignement
Supérieur, de la Formation des Cadres
et de la Recherche Scientifique
Présidence du Concours National Commun 2006
École Mohammadia d'Ingénieurs
Concours National Commun
d’Admission aux
Grandes Écoles d’Ingénieurs ou Assimilées
Session 2006
ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES II
Durée 4 heures
Filière TSI
Cette épreuve comporte 3 pages au format A4, en plus de cette page de garde
L'usage de la calculatrice est interdit
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Concours National Commun - Session 2006 - 1
L’énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats du concours TSI,
comporte 3 pages.
L'usage de la calculatrice est interdit .
Les candidats sont informés que la précision des raisonnements ainsi que le soin apporté à la rédaction et
à la présentation des copies seront des éléments pris en compte dans la notation. Il convient en particulier de
rappeler avec précision les | références | des questions abordées
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il
le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est
amené à prendre.
EXERCICE
Soit A une matrice réelle d'ordre 3 telle que A # 0 et A3 + A = 0. On note F le R -espace vectoriel
RS, B = (e,, ea, es) la base canonique de E et u l’endomorphisme de F dont la matrice relativement
à la base B est A.
1. Vérifier que u* + u = 0 et que u n’est pas l’endomorphisme nul.
2. (a) On suppose que u est injectif ; montrer que u? = —idz et trouver une contradiction.
(b) Justifier alors que dim Keru € {1,2}.
3. Montrer que F est somme directe des sous-espaces vectoriels Ker u et Ker (u* + id). Quelles
sont alors les valeurs possibles de la dimension du sous-espace vectoriel Ker (u? + 37
4. On pose F = Ker (u* + id).
(a) Vérifier que F est stable par u. On note v l'endomorphisme induit par u sur F.
(b) Vérifier que v? = —idp.
(c) Préciser le déterminant de vw? en fonction de la dimension de F et en déduire que
dim F = 2.
(d) Montrer que l’'endomorphisme v n’a aucune valeur propre.
5. On considère un vecteur م non nul de Ker u, un vecteur es non nul de F et on pose e3 = u(e;).
(a) Montrer que la famille (e5, e3) d'éléments de F est libre.
(b) Montrer que la famille B’ = (e;, ,يي e3) est une base de E et écrire la matrice B de u dans
cette base.
(c) Que peut-on alors dire des matrices À et B ?
PROBLÈME
Définitions et notations
Dans tout le problème, & désigne un espace vectoriel euclidien de dimension n = 2 muni d’un
produit scalaire noté (.|.) ; 12 norme euclidienne sur Æ associée à ce produit scalaire est notée ||.||.
On rappelle qu’un endomorphisme f de F est dit symétrique si
Un endomorphisme symétrique de F est dit positif si, pour tout r € 1, (f(x)|x) › 0.
Épreuve de Mathématiques II 1/3 Tournez la page S.V.P.
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Concours National Commun - Session 2006 — TSI
On note L(F) l'algèbre des endomorphismes de EF, S(F) le sous-espace vectoriel de L(F) formé
des endomorphismes symétriques et O(F) le groupe orthogonal de F.
Si م € N°, on note M,,7(R) l'espace vectoriel des matrices à coefficients réels, à n lignes et p
colonnes ; si p = n, M,n,p(R) est noté simplement M, (R), c’est l'algèbre des matrices carrées d'ordre
mn à coefficients réels. La matrice identité de M, (R) se notera 1.
Pour toute matrice A de M,,p(R), ‘A désigne la matrice transposée de A et rg(A) son rang. Si
p = n, Sp(A) représente l'ensemble des valeurs propres réelles de A, Tr (A) sa trace et P4 son
polynôme caractéristique ; il est défini par
VAER, Pa(X) = det(A — À IL).
Première partie
Soit u un vecteur unitaire de F ; on note م l'endomorphisme de F défini par
1. (a) Justifier que po p = p.
(b) Déterminer Ker p et Im p et les exprimer moyennant le vecteur u. En déduire la nature de
l’endomorphisme p .
(c) Établir que م est un endomorphisme symétrique et positif.
(d) Justifier que p est diagonalisable et déterminer ses valeurs propres ainsi que les sous-
espaces propres associés.
2. Soit Bz = (e1,es,.. , en) Une base orthonormale de F. On suppose que l'expression du vecteur
n 111
u dans cette base s'écrit u = =, u;e; et on note U =
pet Un
(a) Calculer les coefficients de la matrice U ‘U.
(b) Exprimer la matrice de م dans la base Bz en fonction de U.
3. Pour ه € R, on pose fa = idg + ap.
(a) Quelle condition doit vérifier œ pour que fa soit un automorphisme de EF ?
(b) On note G = {fa, ه ER et a # —1}. Montrer que G est un groupe pour la composition
des applications.
(c) Déterminer les éléments de G N O(F) en précisant la nature de chacun d’entre eux.
4. On suppose ici que a est non nul.
(a) Justifier que fa est diagonalisable et préciser ses valeurs propres ainsi que les sous-
espaces propres associés.
(b) Déterminer le polynôme caractéristique P,, de fa-
5. Soient a et b deux réels non nuls, et g l'endomorphisme de F dont la matrice relativement à la
base Br est مله + bJ,, où ول la matrice de M, (R) dont tous les coefficients sont égaux à 1.
(a) Déterminer toutes les matrices colonnes V € M,,1(R) telles que ول = nV 7
(b) Exprimer l'endomorphisme و en fonction de fu puis déterminer les valeurs propres ainsi
que le polynôme caractéristique et les sous-espaces propres de la matrice al, + bJ,.
Épreuve de Mathématiques II 273 ب
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Concours National Commun - Session 2006 - 1
Deuxième partie
Dans cette partie, F désigne un espace euclidien de dimension m z 2 muni d’un produit scalaire
noté ›, › et Br = (e;,e,., €,) Une base orthonormale de 7.
1. Soit h un endomorphisme symétrique de F.
(a) Justifier qu'il existe une base orthonormale de F formée de vecteurs propres de h.
(b) Montrer que h est positif si et seulement si toutes ses valeurs propres sont positives.
2. Soit f une application linéaire de F vers F. On note f l'application de E vers F définie par
(a) Montrer que f est linéaire et que c’est l’unique application linéaire de E vers F vérifiant
Montrer que f o f est un endomorphisme symétrique et positif de F
Vérifier que Ker f = (Im f)* et que Ker (f 0 f) = Ker f.
En déduire que rg (fo f)=rg(f) › min(n,m).
On note À la matrice de 7 relativement aux bases Br et Br.
i. Exprimer, en fonction de A, la matrice À de 7 relativement aux bases Bz et Br
ii. Exprimer, en fonction de A, la matrice de f 1ه relativement à la bases Br de F.
3. f désigne toujours une application linéaire de F vers 10. Pour tout k € {1,...,m}, on pose
F(e,) = ux et on note يرم l'endomorphisme de E défini par
(a) Exprimer f o f comme combinaison linéaire de p1,… , Pm-
(b) Montrer que l’endomorphisme f o f est symétrique et positif.
(c) Soit À un réel non nul. Montrer que À est valeur propre de f o f si et seulement si À est
valeur propre de fo f ; dans ce cas, montrer que l’ordre de multiplicité de la valeur propre
À est le même pour ces deux endomorphismes.
(d) Exprimer la matrice G de f © f dans la base Br à l’aide des vecteurs يد puis l'écrire en
fonction de la matrice À de f relativement aux bases Br et Bz.
(e) Montrer que rg (G) = rg (f) et que 0 est valeur propre de fo f si et seulement si la famille
(u1,.. , Um) est liée.
4. Avec les notations de la question 3. précédente, on pose À = (a; ;) € Mn,m(R) avec a;,; = 1 si
i › j et 0 sinon ; on note B = ‘AA et on suppose de plus que m ‹ n.
(a) Donner une expression du terme général b;; de la matrice B.
(b) Déterminer une famille (w1,. , um) d'éléments de E telle que B = ©.
(c) Est-ce que 0 est valeur propre de 7
FIN DE L'ÉPREUVE
Épreuve de Mathématiques II 3/3 FIN
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✅ Correction proposée
Il s'agit d'une correction proposée, rédigée par l'équipe wadifa-info pour vous aider à comprendre la méthode — ce n'est pas un corrigé officiel de l'administration organisatrice.
Ce modèle est l'épreuve de Mathématiques II du Concours National Commun (CNC), filière TSI, session 2006 (admission aux grandes écoles d'ingénieurs). Durée : 4 heures, calculatrice interdite. Un exercice sur les matrices réelles d'ordre 3 vérifiant A³ + A = 0, puis un problème d'algèbre euclidienne : projecteur orthogonal sur une droite, endomorphismes id + αp, matrices aIn + bJn, adjoint f̃ d'une application linéaire, matrice de Gram ᵗAA. Correction proposée, question par question.
Exercice
1. La matrice de u³ + u dans ℬ est A³ + A = 0, donc u³ + u = 0 ; et u ≠ 0 car sa matrice A est non nulle.
2. (a) u injectif en dimension finie est bijectif ; u∘(u² + idE) = 0, en composant par u−1 : u² = −idE. Alors det(u)² = det(u²) = det(−idE) = (−1)³ = −1 < 0 : contradiction (un carré de réel est positif).
(b) u n'est pas injectif : dim Ker u ≥ 1 ; u ≠ 0 : dim Ker u ≤ 2. Donc dim Ker u ∈ {1, 2}.
3. Pour x ∈ E : x = (u² + id)(x) − u²(x). Le premier terme est dans Ker u car u(u² + id)(x) = 0 ; le second est dans Ker(u² + id) car (u² + id)(u²(x)) = u∘(u³ + u)(x) = 0. Si x ∈ Ker u ∩ Ker(u² + id), alors x = −u²(x) = 0. Donc E = Ker u ⊕ Ker(u² + idE) (c'est le lemme des noyaux pour X(X² + 1)). Par suite dim Ker(u² + id) = 3 − dim Ker u ∈ {1, 2}.
4. (a) Si x ∈ F : (u² + id)(u(x)) = u((u² + id)(x)) = 0, donc u(x) ∈ F : F est stable par u.
(b) Pour x ∈ F, v²(x) = u²(x) = −x : v² = −idF.
(c) det(v²) = det(−idF) = (−1)dim F. Or det(v²) = det(v)² ≥ 0, donc dim F est pair ; comme dim F ∈ {1, 2}, dim F = 2 (et donc dim Ker u = 1).
(d) Si v(x) = λx avec x ≠ 0, alors −x = v²(x) = λ²x, soit λ² = −1 : impossible pour λ réel. v n'a aucune valeur propre.
5. (a) e'3 = u(e'2) ∈ F (stabilité). Si (e'2, e'3) était liée, comme e'2 ≠ 0 on aurait v(e'2) = λe'2 : exclu par 4(d). La famille est libre.
(b) (e'2, e'3) est une base de F (dim F = 2), e'1 une base de Ker u (dim 1), et E = Ker u ⊕ F : ℬ' est une base de E. u(e'1) = 0, u(e'2) = e'3, u(e'3) = u²(e'2) = −e'2 :
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | −1 |
| 0 | 1 | 0 |
(c) A et B représentent u dans deux bases : A et B sont semblables. Toute matrice réelle non nulle d'ordre 3 telle que A³ + A = 0 est semblable à B.
Problème — Première partie
1. (a) p(p(x)) = (u|x)·p(u) = (u|x)(u|u)u = (u|x)u = p(x), car ‖u‖ = 1 : p∘p = p.
(b) Ker p = {x : (u|x) = 0} = u⊥ (hyperplan) ; Im p ⊂ ℝu et p(u) = u, donc Im p = ℝu. p est le projecteur orthogonal sur la droite ℝu (projecteur d'image ℝu et de noyau u⊥ = (ℝu)⊥).
(c) (p(x)|y) = (u|x)(u|y) est symétrique en x et y : p est symétrique ; (p(x)|x) = (u|x)² ≥ 0 : p est positif.
(d) E = Im p ⊕ Ker p avec p = id sur Im p et p = 0 sur Ker p : dans une base adaptée, la matrice est diag(1, 0, …, 0), p est diagonalisable. Valeurs propres : 1, sous-espace propre ℝu ; 0, sous-espace propre u⊥ (dimension n−1 ≥ 1).
2. (a) (U ᵗU)i,j = uiuj. (b) La base étant orthonormée, p(ej) = (u|ej)u = uju, dont la i-ème coordonnée est uiuj : MatℬE(p) = U ᵗU.
3. (a) Dans une base adaptée à ℝu ⊕ u⊥, fα a pour matrice diag(1+α, 1, …, 1) : det fα = 1 + α. fα est un automorphisme ⟺ α ≠ −1.
(b) G ⊂ GL(E). Comme p² = p : fα∘fβ = id + (α + β + αβ)p = fα+β+αβ, avec 1 + (α + β + αβ) = (1+α)(1+β) ≠ 0 : G est stable. idE = f0 ∈ G. Inverse : fβ avec (1+α)(1+β) = 1, soit β = −α/(1+α) ≠ −1. G est un sous-groupe de GL(E), donc un groupe (commutatif).
(c) Si fα ∈ O(E), ‖fα(u)‖ = |1+α| = 1, donc α = 0 ou α = −2. Réciproquement f0 = id et f−2 = id − 2p, de matrice diag(−1, 1, …, 1) dans une base orthonormée adaptée, sont orthogonaux. G ∩ O(E) = {idE, idE − 2p} : l'identité et la réflexion (symétrie orthogonale) par rapport à l'hyperplan u⊥.
4. (a) fα est symétrique (somme de symétriques), donc diagonalisable ; plus directement, dans une base adaptée sa matrice est diag(1+α, 1, …, 1). Valeurs propres : 1 + α, sous-espace propre ℝu ; 1, sous-espace propre u⊥ (distinctes car α ≠ 0).
(b) Pfα(λ) = (1 + α − λ)(1 − λ)n−1.
(c) x = x1 + x2, x1 ∈ ℝu, x2 ∈ u⊥ : ‖fα(x)‖² = (1+α)²‖x1‖² + ‖x2‖² ≤ max((1+α)², 1)‖x‖², avec égalité pour x = u ou x unitaire dans u⊥. ‖fα‖ = max(|1+α|, 1).
5. (a) n vivj = 1 pour tous i, j : vi² = 1/n et vivj > 0 (même signe). V = ±(1/√n)(1, …, 1)T.
(b) Avec V = (1/√n)(1, …, 1)T, le vecteur w = (1/√n)(e1 + … + en) est unitaire et Jn = n V ᵗV = n·Mat(pw). Donc aIn + bJn = a(In + (nb/a) V ᵗV) : g = a·fnb/a (construit avec u = w). D'après 4 (nb/a ≠ 0) :
- valeur propre a + nb, sous-espace propre ℝ(1, 1, …, 1) ;
- valeur propre a, sous-espace propre l'hyperplan x1 + … + xn = 0 ;
- polynôme caractéristique (a + nb − λ)(a − λ)n−1.
Deuxième partie
1. (a) C'est le théorème spectral : tout endomorphisme symétrique d'un espace euclidien se diagonalise dans une base orthonormée.
(b) Si h(x) = λx, x ≠ 0, et h positif : λ‖x‖² = ⟨h(x), x⟩ ≥ 0, donc λ ≥ 0. Réciproquement, dans une base orthonormée de vecteurs propres (εi), x = Σ xiεi donne ⟨h(x), x⟩ = Σ λixi² ≥ 0. h positif ⟺ toutes ses valeurs propres sont ≥ 0.
2. (a) Chaque coefficient (f(e'k)|x) est linéaire en x, donc f̃ est linéaire. Pour y = Σ yke'k ∈ F : ⟨f̃(x), y⟩ = Σ (f(e'k)|x) yk = (x | f(Σ yke'k)) = (x|f(y)). Unicité : si g vérifie aussi la relation, ⟨f̃(x) − g(x), y⟩ = 0 pour tout y ; avec y = f̃(x) − g(x), on obtient f̃(x) = g(x).
(b) ⟨f̃∘f(y), y'⟩ = (f(y)|f(y')) est symétrique en y, y' : f̃∘f est symétrique ; ⟨f̃∘f(y), y⟩ = ‖f(y)‖² ≥ 0 : positif.
(c) x ∈ Ker f̃ ⟺ ⟨f̃(x), y⟩ = 0 ∀y ⟺ (x|f(y)) = 0 ∀y ⟺ x ∈ (Im f)⊥. Ker f ⊂ Ker(f̃∘f) ; si f̃(f(y)) = 0, alors ‖f(y)‖² = ⟨f̃f(y), y⟩ = 0, donc y ∈ Ker f. Ker f̃ = (Im f)⊥ et Ker(f̃∘f) = Ker f.
(d) Théorème du rang sur F : rg(f̃∘f) = m − dim Ker(f̃∘f) = m − dim Ker f = rg f ; et rg f ≤ dim F = m, rg f ≤ dim E = n.
(e) i. Le coefficient (k, i) de à est ⟨f̃(ei), e'k⟩ = (ei|f(e'k)) = ai,k : à = ᵗA. ii. La matrice de f̃∘f est ᵗA A.
3. (a) f∘f̃(x) = Σ (uk|x) f(e'k) = Σ (uk|x)uk : f∘f̃ = p1 + … + pm.
(b) Chaque pk est symétrique ((pk(x)|y) = (uk|x)(uk|y)) et positif ((pk(x)|x) = (uk|x)² ≥ 0) ; une somme d'endomorphismes symétriques positifs l'est aussi.
(c) Si f̃f(y) = λy, y ≠ 0, λ ≠ 0 : f(y) ≠ 0 (sinon λy = 0) et ff̃(f(y)) = f(λy) = λf(y) : λ est valeur propre de f∘f̃. De même dans l'autre sens avec f̃. Pour les multiplicités : y ↦ f(y) envoie Eλ(f̃f) dans Eλ(ff̃) et est injective (f(y) = 0 ⇒ λy = 0 ⇒ y = 0) ; x ↦ f̃(x) envoie Eλ(ff̃) dans Eλ(f̃f), injective aussi. Les deux sous-espaces propres ont même dimension ; les deux endomorphismes étant symétriques, donc diagonalisables, cette dimension est la multiplicité : même ordre de multiplicité.
(d) Gi,j = ⟨f̃f(e'j), e'i⟩ = (f(e'j)|f(e'i)) = (ui|uj) (matrice de Gram) et G = ᵗA A.
(e) rg G = rg(f̃∘f) = rg f (2d). 0 est valeur propre de f̃∘f ⟺ Ker(f̃∘f) = Ker f ≠ {0} ⟺ il existe (yk) non tous nuls avec f(Σ yke'k) = Σ ykuk = 0 ⟺ (u1, …, um) est liée.
4. (a) bi,j = Σk=1n ak,iak,j = nombre de k tels que k ≤ i et k ≤ j : bi,j = min(i, j).
(b) Avec f de matrice A : uj = f(e'j) = Σi ai,jei = e1 + e2 + … + ej (j = 1, …, m ; possible car m ≤ n). Alors (ui|uj) = min(i, j) = bi,j, et G = B.
(c) u1 = e1 et uk − uk−1 = ek : la famille (u1, …, um) est libre, donc d'après 3(e) 0 n'est pas valeur propre de B.
Questions fréquentes sur ce sujet
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