Modèle de concours : CNC 2005 Mathématiques II (TSI) — Concours National Commun
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En bref
Ce document est une ancienne épreuve écrite du concours de Concours d'accès aux écoles d'ingénieurs organisé par Concours National Commun (CNC) — CPGE (2005), publiée sur Wadifa Info en consultation et téléchargement PDF gratuits, avec une correction proposée.
- Organisme
- Concours National Commun (CNC) — CPGE
- Grade
- Concours d'accès aux écoles d'ingénieurs
- Spécialité
- Mathématiques II
- Année
- 2005
- Pages
- 4
- Langue des questions
- français
- Correction
- correction proposée disponible sur cette page
📝 Texte des questions (extrait automatiquement des pages scannées)
Ce texte est extrait automatiquement des images de l'épreuve et peut contenir des erreurs de lecture — les images ci-dessus font foi.
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ROYAUME DU MAROC
Ministère de l’Éducation Nationale, de l'Enseignement
Supérieur, de la Formation des Cadres
et de la Recherche Scientifique
Présidence du Concours National Commun 2005
École Hassania des Travaux Publics
EHTP
Concours National Commun
d’Admission aux
Grandes Écoles d’Ingénieurs ou Assimilées
Session 2005
ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES II
Durée 4 heures
Filière TSI
Cette épreuve comporte 3 pages au format A4, en plus de cette page de garde
L'usage de la calculatrice est interdit
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Concours National Commun - Session 2005 - 1
L’énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière TSI,
comporte 3 pages.
L'usage de la calculatrice est interdit .
Les candidats sont informés que la précision des raisonnements ainsi que le soin apporté à la rédaction et
à la présentation des copies seront des éléments pris en compte dans la notation. Il convient en particulier de
rappeler avec précision les | références | des questions abordées.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il
le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est
amené à prendre.
EXERCICE 1
2
1
Soit A = ; on note u l’endomorphisme de R* canoniquement associé à la matrice A.
نم نر تح
1
2
0
1. Calculer les valeurs propres de u et justifier que À est diagonalisable dans M3(R).
2. On note À, À» et يل les valeurs propres de u avec À; › À» › يل Déterminer, pour chaque
i € {1,2,3}, le vecteur e; de R* dont la deuxième composante vaut 1 et vérifiant u(e;) = دعي
3. Justifier que (e1, ري €3) est une base de RS et écrire la matrice À de u relativement à cette base,
puis trouver une relation entre À et A.
4. Si B € M3(R) est une matrice vérifiant B? = A, on note v l’'endomorphisme de R° qui lui est
canoniquement associé.
4-1. Vérifier que v? =uet que uv = vu.
4-2. Pour chaque : € {1, 2,3}, calculer uv(e;) et en déduire que v(e;) est colinéaire à لع
4-3. Conclure que la matrice V de v relativement à la base (e1, بو e3) est diagonale de la forme
V = diag(a1, (مه موه et en déduire les valeurs possibles de ay, وه et a3.
5. Trouver alors toutes les solutions, dans M3(R), de l'équation X? = A. Combien y'en a-t-il ?
EXERCICE 2
Dans cet exercice, F désigne un espace vectoriel réel de dimension finie n = 2. Si u et v sont des
éléments de L(F), l'endomorphisme composé u © v sera noté simplement uv et l'identité se notera
Ip. Pour u € L(E), on pose u° = Ir et si k 6 N*, u* = uut—*.
On considère un endomorphisme nilpotent u de E, c’est à dire un endomorphisme tel qu'il existe
r € N* avec كله = 0; on pose alors م = min{k € N* ; ut = 0}.
1. 1-1. Justifier qu'il existe و € E tel que u°*(x0) # 0.
1-2. Montrer que la famille (x0, u(xo), , 4°7*(xg)) est libre.
1-3. En déduire que p › n et que u” = 0.
2. On suppose qu'il existe v € L(F) tel que 0° = u.
2-1. Calculer v?P et y2P-!, puis en déduire que p ‹ = :
2-2. Donner alors un exemple de matrice M € M»(R) telle que l'équation X? = M n'ait pas
de solution dans Mz3(R).
Épreuve de Mathématiques II 1/3 Tournez la page S.V.P.
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Concours National Commun - Session 2005 — TSI
3. Dans cette question, on suppose que p = n ; on a donc كن 1 # 0 et u” = 0. On considère un
endomorphisme g de Etelque g°=Ip+u.
3-1. Soit تلع ره tel que u"-‘(x1) # 0. Justifier que (x1,u(x1),., u"=!(x,)) est une base de F
et qu’il existe (ap, , an—1)ER” tel que g(x1) = aox1 + œuu(x1) +٠١ + .لصن مه
3-2. Vérifier que gu = ug et montrer que و = œolz + œuu +00١ + مه ur,
3-3. Justifier que la famille (Ir,u,.… ,u”*) est libre puis, en calculant ُو de deux façons,
montrer que aë = 1, 2aga, = let ›, موعيره # Opour2‹q‹n—1 (sin z3).
k=0
3-4. Montrer alors que وه € {—1, 1} et que, pour tout k € {1,...,n — 1}, ax peut être exprimé
de manière unique en fonction de .مه
3-5. Conclure qu’il y'a exactement deux endomorphismes de F dont le carré est égal à I + u.
4. Application : Déterminer toutes les matrices X € M4(R) telles que X? =
PROBLÈME
Dans ce problème, R[X] désigne l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels et, pour
tout n € N, R,[X] est le sous-espace de R[X] formé des polynômes de degré ‹ n.
On considère l'application D: R[X] — R[X], برط P(X +1) - P(X).
Première partie
1. Vérifier que D est un endomorphisme de R[X].
2. (a) Montrer que si P € Ker D alors, pour tout entier n › 0, P(n) = P(0).
(b) Montrer alors que Ker D = Ro[X].
3. (a) Si P n’est pas un polynôme constant, préciser le degré de D(P) en fonction de celui de
P, ainsi que le coefficient dominant de D(P) en fonction de celui de P.
(b) En déduire que D(R,[X]) ,اها متك si n › 1, et que le sous-espace vectoriel R,[X] est
stable par D.
4. Soit n un entier › 1 ; on note D, l'endomorphisme induit par D sur R,[X]. Déterminer Ker D,
et montrer que In (D, ) = R,—1[X].
5. Montrer que l'endomorphisme D est surjectif.
6. (a) On considère 7 = {P €e R[X]; P(0) = 0}. Vérifier que F est un sous-espace vectoriel de
R[X] et que R[X] = 1 © Ker D.
(b) Conclure que, pour tout polynôme Q € R[X], il existe un unique polynôme P € R[X] tel
que P(0) = 0 et que D(P) = Q ; préciser le degré de P en fonction de celui de Q.
Deuxième partie
1. Montrer qu'il existe une unique suite (P,.)nen d’éléments de R[X] vérifiant لل = 1 et pour tout
Épreuve de Mathématiques II 273 ب
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Concours National Commun - Session 2005 - 1
2. Expliciter P, et P».
3. Montrer que, pour tout entiern = 1, P, =
4. Montrer que, pour tout entier n › 1, la famille (Po, , P,) est une base de R,[X].
5. Si P € R,[X], montrer que l’on obtient les coordonnées de P dans la base (Po, , P,) par une
succession de divisions euclidiennes.
6. Expliciter alors les monômes X? et X3 comme combinaisons linéaires de Po, P1, Pa, Ps.
7. Application
Pour tout couple (n, p) d'entiers naturels non nuls, on pose
Fan = 175497 42004 p” ;
(a) Montrer que, pour tout entier n › 1, il existe un polynôme A, € R,+1[X] tel que
(b) En revenant à la définition de D, montrer que روي = An(p +1).
(c) Si X" = نل an Pa, justifier que A, =) بيه
(d) Déterminer les valeurs de A» et As.
(e) Donner alors, sous forme factorisée, les valeurs de ردي et وى
FIN DE L'ÉPREUVE
Épreuve de Mathématiques II 3/3 FIN
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✅ Correction proposée
Il s'agit d'une correction proposée, rédigée par l'équipe wadifa-info pour vous aider à comprendre la méthode — ce n'est pas un corrigé officiel de l'administration organisatrice.
Ce modèle est l'épreuve de Mathématiques II du Concours National Commun (CNC), filière TSI, session 2005 (admission aux grandes écoles d'ingénieurs). Durée : 4 heures, calculatrice interdite. Il comprend deux exercices sur les racines carrées de matrices (X² = A diagonalisable, puis X² = I + u avec u nilpotent) et un problème sur l'opérateur de différence D(P) = P(X+1) − P(X), les polynômes binomiaux et le calcul de 1n + 2n + … + pn. Correction proposée, question par question.
Exercice 1 — A = (2 1 1 ; 1 2 1 ; 0 0 2)
1. En développant selon la dernière ligne : χ(λ) = det(A − λI) = (2−λ)[(2−λ)² − 1] = (2−λ)(1−λ)(3−λ). Valeurs propres : 1, 2, 3, distinctes en dimension 3, donc A est diagonalisable dans M3(ℝ).
2. λ1 = 1, λ2 = 2, λ3 = 3.
- A − I = (1 1 1 ; 1 1 1 ; 0 0 1) : z = 0, x + y = 0 → e1 = (−1, 1, 0).
- A − 2I = (0 1 1 ; 1 0 1 ; 0 0 0) : y + z = 0, x + z = 0 → e2 = (1, 1, −1).
- A − 3I = (−1 1 1 ; 1 −1 1 ; 0 0 −1) : z = 0, x = y → e3 = (1, 1, 0).
3. Des vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes forment une famille libre ; trois vecteurs en dimension 3 : (e1, e2, e3) est une base. Δ = diag(1, 2, 3) et A = PΔP−1 avec P = (−1 1 1 ; 1 1 1 ; 0 −1 0) (colonnes e1, e2, e3), P−1 = (−1/2 1/2 0 ; 0 0 −1 ; 1/2 1/2 1).
4-1. v² a pour matrice B² = A, donc v² = u ; et uv = v²v = v³ = vv² = vu.
4-2. u(v(ei)) = v(u(ei)) = λiv(ei) : v(ei) ∈ Ker(u − λiid). Ce sous-espace propre est une droite (trois valeurs propres distinctes en dimension 3) engendrée par ei, donc v(ei) = αiei.
4-3. Donc V = diag(α1, α2, α3), et V² = Δ (matrice de v² = u) : αi² = λi, soit α1 = ±1, α2 = ±√2, α3 = ±√3.
5. Les solutions sont nécessairement X = P diag(a, b, c) P−1 avec a = ±1, b = ±√2, c = ±√3 ; réciproquement, ces matrices vérifient X² = PΔP−1 = A. Elles sont deux à deux distinctes : 8 solutions. Le calcul donne :
| (a+c)/2 | (c−a)/2 | c−b |
| (c−a)/2 | (a+c)/2 | c−b |
| 0 | 0 | b |
(contrôle : le coefficient (1,1) de X² vaut (a² + c²)/2 = 2, le coefficient (1,3) vaut c² − b² = 1.)
Exercice 2 — racines carrées et nilpotence
1-1. Par minimalité de p, up−1 ≠ 0 (si p = 1, u0 = IE ≠ 0) : il existe x0 avec up−1(x0) ≠ 0.
1-2. Supposons Σk=0p−1 ckuk(x0) = 0 avec des ck non tous nuls, et soit j le plus petit indice tel que cj ≠ 0. En appliquant up−1−j, tous les termes k > j deviennent uk+p−1−j(x0) = 0 (exposant ≥ p) : il reste cjup−1(x0) = 0, d'où cj = 0, contradiction. La famille est libre.
1-3. Une famille libre de p vecteurs en dimension n impose p ≤ n, puis un = un−pup = 0.
2-1. v2p = up = 0 et v2(p−1) = up−1 ≠ 0. Donc v est nilpotent d'indice q ≥ 2p − 1 ; par 1-3 appliqué à v, q ≤ n, d'où 2p − 1 ≤ n, soit p ≤ (n+1)/2.
2-2. Pour n = 2, un nilpotent u ≠ 0 a p = 2 > 3/2 : il n'a pas de racine carrée. Exemple : M = (0 1 ; 0 0) ; X² = M n'a aucune solution dans M2(ℝ).
3-1. Par 1-2 avec p = n, (x1, u(x1), …, un−1(x1)) est libre de cardinal n = dim E : c'est une base, et g(x1) se décompose dans cette base.
3-2. u = g² − IE, donc gu = g³ − g = ug. Soit h = α0IE + α1u + … + αn−1un−1 : h commute avec u et h(x1) = g(x1). Alors g(uk(x1)) = uk(g(x1)) = uk(h(x1)) = h(uk(x1)) : g et h coïncident sur une base, donc g = h.
3-3. Si Σ ckuk = 0, en l'appliquant à x1 on obtient Σ ckuk(x1) = 0, donc tous les ck sont nuls : (IE, u, …, un−1) est libre. D'une part g² = IE + u ; d'autre part, comme uq = 0 pour q ≥ n, g² = Σq=0n−1 (Σk=0q αkαq−k) uq. En identifiant les coordonnées : α0² = 1, 2α0α1 = 1, Σk=0q αkαq−k = 0 pour 2 ≤ q ≤ n−1.
3-4. α0² = 1 donne α0 ∈ {−1, 1} ; α1 = 1/(2α0) = α0/2 ; et pour q ≥ 2, en isolant les termes k = 0 et k = q : αq = −(α0/2) Σk=1q−1 αkαq−k. Par récurrence forte, chaque αq est déterminé de façon unique par α0.
3-5. Il y a donc au plus deux solutions, g+ (α0 = 1) et g− (α0 = −1) ; si (αk) convient, (−αk) aussi, donc g− = −g+. Réciproquement, les αk définis par ces relations donnent g = Σ αkuk avec g² = Σq(Σ αkαq−k)uq = IE + u. g+ ≠ g− (α0 ≠ 0 et famille libre) : exactement deux endomorphismes. Pour α0 = 1 : α1 = 1/2, α2 = −1/8, α3 = 1/16 (ce sont les coefficients du développement de √(1+x)).
4. La matrice donnée s'écrit I4 + N avec N = (0 1 0 0 ; 0 0 1 0 ; 0 0 0 1 ; 0 0 0 0), N³ ≠ 0, N⁴ = 0 : p = n = 4. Il y a exactement deux solutions, X = ±(I4 + N/2 − N²/8 + N³/16) :
| 1 | 1/2 | −1/8 | 1/16 |
| 0 | 1 | 1/2 | −1/8 |
| 0 | 0 | 1 | 1/2 |
| 0 | 0 | 0 | 1 |
et son opposée. (Contrôle du coefficient (1,4) de X² : 1/16 − 1/16 − 1/16 + 1/16 = 0.)
Problème — l'opérateur D(P) = P(X+1) − P(X)
Première partie
1. D(λP + Q) = λP(X+1) + Q(X+1) − λP(X) − Q(X) = λD(P) + D(Q) : D est un endomorphisme de ℝ[X].
2. (a) Si D(P) = 0, P(x+1) = P(x) pour tout x ; par récurrence P(n) = P(0) pour tout n ∈ ℕ. (b) P − P(0) a alors une infinité de racines, donc est nul : P est constant. Réciproquement les constantes sont dans Ker D : Ker D = ℝ0[X].
3. (a) Si P = Σk=0d akXk, d ≥ 1, alors D(P) = Σ ak[(X+1)k − Xk] et (X+1)k − Xk = kXk−1 + (degré ≤ k−2). Donc deg D(P) = d − 1 et son coefficient dominant est d·ad.
(b) Si deg P ≤ n (n ≥ 1), D(P) est de degré ≤ n−1 (ou nul si P est constant) : D(ℝn[X]) ⊂ ℝn−1[X] ⊂ ℝn[X], donc ℝn[X] est stable.
4. Ker Dn = Ker D ∩ ℝn[X] = ℝ0[X]. Théorème du rang : rg Dn = (n+1) − 1 = n = dim ℝn−1[X], et Im Dn ⊂ ℝn−1[X] : Im Dn = ℝn−1[X].
5. Tout Q ∈ ℝ[X] appartient à un ℝn−1[X] (n ≥ 1) = Im Dn ⊂ Im D : D est surjectif.
6. (a) F est le noyau de la forme linéaire P ↦ P(0) : sous-espace vectoriel. F ∩ Ker D : une constante nulle en 0 est nulle. Et P = (P − P(0)) + P(0) : ℝ[X] = F ⊕ Ker D.
(b) Existence : D(P1) = Q pour un P1 (question 5) ; P = P1 − P1(0) vérifie D(P) = Q et P(0) = 0. Unicité : si P, P' conviennent, P − P' ∈ Ker D ∩ F = {0}. Degré : si Q ≠ 0, deg P = deg Q + 1 (question 3a) ; si Q = 0, P = 0.
Deuxième partie
1. P0 = 1 et, pour n ≥ 1, Pn est l'unique polynôme tel que Pn(0) = 0 et D(Pn) = Pn−1 (question 6b) : par récurrence, la suite existe et est unique.
2. D(X) = 1 et X s'annule en 0 : P1 = X. D(X(X−1)/2) = [(X+1)X − X(X−1)]/2 = X : P2 = X(X−1)/2.
3. Soit Hn = X(X−1)…(X−n+1)/n! (n ≥ 1). Hn(0) = 0 et
D(Hn) = [(X+1)X…(X−n+2) − X(X−1)…(X−n+1)]/n! = X(X−1)…(X−n+2)·[(X+1) − (X−n+1)]/n! = Hn−1.
(pour n = 1 : D(X) = 1 = P0). Par unicité et récurrence, Pn = X(X−1)…(X−n+1)/n!.
4. deg Pk = k : famille de degrés échelonnés, libre, de n+1 éléments dans ℝn[X] : base.
5. Si P = Σ ckPk = c0 + X·Σk≥1 ck(X−1)…(X−k+1)/k!, l'unicité de la division euclidienne par X donne reste r0 = c0 et quotient Q1 = Σk≥1 ck(X−1)…(X−k+1)/k!. On divise Q1 par X−1 (reste r1 = c1), le quotient par X−2 (reste r2 = c2/2!), etc. Ainsi P = r0 + r1X + r2X(X−1) + … et ck = k!·rk, où rk est le reste de la k-ième division (par X − k). Remarque : on a aussi ck = (DkP)(0).
6. X² = X·X + 0 ; X = (X−1)·1 + 1 ; reste 1 : r = (0, 1, 1), donc X² = P1 + 2P2. X³ = X·X² + 0 ; X² = (X−1)(X+1) + 1 ; X+1 = (X−2)·1 + 3 ; reste 1 : r = (0, 1, 3, 1), donc X³ = P1 + 6P2 + 6P3 (contrôle en X = 3 : 3 + 18 + 6 = 27).
7. (a) Question 6b avec Q = Xn : An unique, An(0) = 0, D(An) = Xn, deg An = n+1, donc An ∈ ℝn+1[X].
(b) An(k+1) − An(k) = kn ; on somme pour k = 0, …, p (0n = 0 car n ≥ 1) : An(p+1) − An(0) = Sn,p, donc Sn,p = An(p+1).
(c) B = Σ αkPk+1 vérifie B(0) = 0 (car Pk+1(0) = 0) et D(B) = Σ αkPk = Xn ; par unicité, An = B.
(d) A2 = P2 + 2P3 = X(X−1)/2 + X(X−1)(X−2)/3 = X(X−1)(2X−1)/6 ; A3 = P2 + 6P3 + 6P4 = X(X−1)/2 + X(X−1)(X−2) + X(X−1)(X−2)(X−3)/4 = (X(X−1)/4)(X² − X) = X²(X−1)²/4.
(e) S2,p = p(p+1)(2p+1)/6 et S3,p = p²(p+1)²/4 = [p(p+1)/2]².
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