Modèle de concours : CNC 2003 Mathématiques II (TSI) — Concours National Commun

Ce modèle est l'épreuve de Mathématiques II du Concours National Commun (CNC), filière TSI, session 2003, pour l'admission aux grandes écoles d'ingénieurs marocaines. Durée : 4 heures, calculatrice interdite. Le problème porte sur les polynômes de Legendre : un endomorphisme différentiel diagonalisable (1^re partie), la formule de Rodrigues L_k = (1/(2^kk!))·[(X²−1)^k]^(k) (2^e partie) et la méthode d'intégration de Gauss (3^e partie). Voici une correction proposée, question par question.

💡 Notations : (P|Q) = ∫₋₁¹ P(t)Q(t) dt ; Φ(P) = (X²−1)P'' + 2XP' = ((X²−1)P')' ; V_p,q = [(X²−1)^p]^(q), U_k = V_k,k, L_k = U_k/(2^kk!). Trois idées portent tout le sujet : Φ est symétrique pour (·|·), ses valeurs propres sont distinctes, et un polynôme de degré n+1 orthogonal à E_n est déterminé à un facteur près.

1^re partie

Question 1

La dérivation est linéaire et la multiplication par un polynôme fixé est linéaire, donc Φ est linéaire. Si deg P ≤ n : deg((X²−1)P'') ≤ 2 + (n−2) = n et deg(2XP') ≤ n, donc Φ(E_n) ⊂ E_n : Φ induit un endomorphisme Φ_n de E_n.

Question 2

Pour 0 ≤ j ≤ n : Φ(X^j) = (X²−1)·j(j−1)X^j−2 + 2jX^j = j(j+1)X^j − j(j−1)X^j−2.

La matrice de Φ_n dans ℬ est donc triangulaire supérieure : dans la colonne j, le coefficient diagonal (ligne j) vaut j(j+1), le coefficient de la ligne j−2 vaut −j(j−1) (pour j ≥ 2), tous les autres sont nuls. Par exemple pour n = 3 :

Question 3

Matrice triangulaire : les valeurs propres sont les coefficients diagonaux μ_k = k(k+1), k = 0, …, n. La suite k(k+1) est strictement croissante, donc ces n+1 valeurs propres sont deux à deux distinctes ; dim E_n = n+1, donc Φ_n est diagonalisable et chaque sous-espace propre est une droite.

Question 4

(a) Le sous-espace propre Ker(Φ_n − μ_k Id) est une droite D_k. Soit P ∈ D_k non nul, de degré d et de coefficient dominant a ≠ 0. D'après la question 2, le coefficient de X^d dans Φ(P) est d(d+1)a ; l'égalité Φ(P) = μ_kP impose d(d+1) = k(k+1), donc d = k. Tout vecteur non nul de D_k est donc de degré k et il existe un unique vecteur unitaire dans D_k : P_k = P/a (tout autre vecteur propre unitaire est λP avec λa = 1).

(b) Démontré au passage : deg P_k = k. (Remarque : P_k ne dépend pas de n ≥ k, car il est déjà vecteur propre de Φ_k.)

Question 5

(·|·) est bilinéaire (linéarité de l'intégrale), symétrique, et (P|P) = ∫ P² ≥ 0. Si (P|P) = 0, la fonction continue et positive P² est nulle sur [−1,1] : P a une infinité de racines, donc P = 0. C'est un produit scalaire sur E.

Question 6

Par intégration par parties, avec Φ(P) = ((X²−1)P')' :

(Φ(P)|Q) = [(t²−1)P'(t)Q(t)]₋₁¹ − ∫₋₁¹(t²−1)P'(t)Q'(t) dt = − ∫₋₁¹(t²−1)P'Q' dt,

car t²−1 s'annule en ±1. Cette expression est symétrique en P et Q, donc (Φ(P)|Q) = (P|Φ(Q)).

Question 7

Pour k ≠ k' : μ_k(P_k|P_k') = (Φ(P_k)|P_k') = (P_k|Φ(P_k')) = μ_k'(P_k|P_k'), donc (μ_k − μ_k')(P_k|P_k') = 0 et, comme μ_k ≠ μ_k', (P_k|P_k') = 0.

Question 8

(a) (P₀, …, P_n) est une famille de polynômes de degrés échelonnés 0, 1, …, n, donc libre ; elle compte n+1 = dim E_n éléments : c'est une base de E_n. Elle est orthogonale (question 7), donc R_k = P_k/‖P_k‖ (k = 0, …, n) forme une base orthonormée.

(b) Soit P = Σ c_kR_k avec ‖P‖² = Σ c_k² = 1. Alors Φ_n(P) = Σ μ_kc_kR_k et ‖Φ_n(P)‖² = Σ μ_k²c_k² ≤ μ_n² Σ c_k² = μ_n², avec égalité pour P = R_n. Donc |||Φ_n||| = μ_n = n(n+1).

2^e partie

Question 1

(a) (X²−1)^k est de degré 2k, unitaire ; sa dérivée k-ième est de degré k et de coefficient dominant (2k)!/k!. Donc deg L_k = k et son coefficient dominant est c_k = (2k)! / (2^k(k!)²).

(b) Leibniz : U_k = Σ_j=0^k C(k,j)·[(X−1)^k]^(j)·[(X+1)^k]^(k−j). En X = 1, [(X−1)^k]^(j) = k!/(k−j)!·(X−1)^k−j s'annule sauf pour j = k où il vaut k!. Donc U_k(1) = k!·2^k et L_k(1) = 1.

(c) (X²−1)^k est pair ; la dérivée d'un polynôme pair est impaire et inversement. Sa dérivée k-ième a donc la parité de k : L_k(−X) = (−1)^kL_k(X).

(d) L_k(−1) = (−1)^kL_k(1) = (−1)^k.

Question 2

(a) 1 et −1 sont racines d'ordre p de (X²−1)^p = (X−1)^p(X+1)^p, donc racines de toutes ses dérivées d'ordre q ≤ p−1. Si p > q, on a bien V_p,q(1) = V_p,q(−1) = 0.

(b) (X²−1)^p est de degré 2p : ses dérivées d'ordre q > 2p sont nulles, V_p,q = 0.

(c) Par symétrie on suppose p < q. En intégrant par parties, avec V_q,i' = V_q,i+1 :

∫ U_pV_q,q = [U_pV_q,q−1]₋₁¹ − ∫ U_p'V_q,q−1 = − ∫ U_p'V_q,q−1,

car V_q,q−1(±1) = 0 (q > q−1, question 2a). En répétant q fois (les crochets font intervenir V_q,q−i(±1) = 0, i ≥ 1) : (U_p|U_q) = (−1)^q ∫ U_p^(q)·(t²−1)^q dt. Or U_p^(q) = V_p,p+q = 0 car p+q > 2p (question 2b). Donc (U_p|U_q) = 0.

Question 3

Les L_j (0 ≤ j ≤ k) sont non nuls, deux à deux orthogonaux (question 2c), donc libres ; ils sont k+1 dans E_k de dimension k+1 : (L₀, …, L_k) est une base orthogonale de E_k.

Question 4

(a) (XL_n|L_k) = ∫ tL_n(t)L_k(t) dt = (L_n|XL_k). Pour k ≤ n−2, XL_k ∈ E_n−1 = Vect(L₀, …, L_n−1), orthogonal à L_n. Donc (XL_n|L_k) = 0.

(b) Soit α_n = c_n+1/c_n : alors L_n+1 − α_nXL_n ∈ E_n, donc s'écrit Σ_k=0ⁿ a_kL_k avec a_k = (L_n+1 − α_nXL_n|L_k)/‖L_k‖². Pour k ≤ n−2 : (L_n+1|L_k) = 0 et (XL_n|L_k) = 0, donc a_k = 0. Il reste L_n+1 = (α_nX + β_n)L_n + γ_nL_n−1 avec β_n = a_n, γ_n = a_n−1.

Question 5

(a) W_n' = 2nX(X²−1)ⁿ⁻¹, donc (X²−1)W_n' = 2nXW_n (pour n = 0, les deux membres sont nuls).

(b) On dérive n+1 fois avec Leibniz (les dérivées de X²−1 d'ordre ≥ 3 et de X d'ordre ≥ 2 sont nulles) :

• membre de gauche : (X²−1)W_n⁽ⁿ⁺²⁾ + (n+1)·2X·W_n⁽ⁿ⁺¹⁾ + (n+1)n·W_n⁽ⁿ⁾ ;
• membre de droite : 2n[XW_n⁽ⁿ⁺¹⁾ + (n+1)W_n⁽ⁿ⁾].

Avec U_n = W_n⁽ⁿ⁾ : (X²−1)U_n'' + 2(n+1)XU_n' + n(n+1)U_n = 2nXU_n' + 2n(n+1)U_n, soit (X²−1)U_n'' + 2XU_n' = n(n+1)U_n. En divisant par 2ⁿn! : Φ_n(L_n) = n(n+1)L_n.

(c) L_n ≠ 0 est vecteur propre pour μ_n = n(n+1) ; le sous-espace propre est la droite engendrée par P_n, donc L_n = a_nP_n avec a_n ≠ 0. P_n étant unitaire, a_n est le coefficient dominant de L_n : a_n = (2n)! / (2ⁿ(n!)²).

Question 6

(a) (X|L_kL_k') = ∫ tL_k(t)L_k'(t) dt = [t·L_k(t)²/2]₋₁¹ − ½∫ L_k² = ½·1 − (−½)·1 − ½‖L_k‖² (car L_k(±1)² = 1), d'où (X|L_kL_k') = 1 − ½‖L_k‖².

(b) Pour k = 0, L₀' = 0 et les deux membres sont nuls. Pour k ≥ 1, XL_k' et kL_k sont de degré k avec le même coefficient dominant kc_k, donc XL_k' − kL_k ∈ E_k−1, orthogonal à L_k. Ainsi (XL_k'|L_k) = k‖L_k‖².

(c) Les deux produits scalaires sont la même intégrale ∫ tL_kL_k'. Donc 1 − ½‖L_k‖² = k‖L_k‖², soit ‖L_k‖² = 2/(2k+1), ‖L_k‖ = √(2/(2k+1)).

(d) D'après 4(b) : L_k+1 = (α_kX + β_k)L_k + γ_kL_k−1 (k ≥ 1).

• β_k = 0 : L_k+1, XL_k et L_k−1 ont la parité de k+1, donc β_kL_k aussi ; mais L_k a la parité de k. Un polynôme à la fois pair et impair est nul : β_kL_k = 0, donc β_k = 0.
• α_k = c_k+1/c_k = (2k+2)(2k+1)/(2(k+1)²) = (2k+1)/(k+1).
• γ_k : en X = 1, 1 = α_k + γ_k, donc γ_k = 1 − (2k+1)/(k+1) = −k/(k+1).

En multipliant par k+1 : (k+1)L_k+1 = (2k+1)XL_k − kL_k−1 pour tout k ≥ 1.

3^e partie

💡 Ici 𝓛_k = Q_n/((X−x_k)Q_n'(x_k)) = Π_i≠k(X−x_i)/(x_k−x_i) est le polynôme d'interpolation de Lagrange : deg 𝓛_k = n et 𝓛_k(x_i) = δ_ik.

Question 1 (méthode d'ordre 2n+1)

(a) Pour Q ∈ E_n, Q_nQ ∈ E_2n+1, donc ℰ(Q_nQ) = 0 : ∫ Q_nQ = Σ λ_iQ_n(x_i)Q(x_i) = 0 car Q_n(x_i) = 0.

(b) Q_n ∈ E_n+1 est orthogonal à E_n. Dans la base orthonormée (R₀, …, R_n+1) de E_n+1, l'orthogonal de E_n est la droite ℝR_n+1 : Q_n = cR_n+1. Les deux polynômes ont des coefficients dominants positifs (Q_n unitaire, R_n+1 = P_n+1/‖P_n+1‖), donc c > 0 et c = ‖Q_n‖ : Q_n = ‖Q_n‖R_n+1. Les x_i sont donc nécessairement les n+1 racines de R_n+1 (c'est-à-dire du polynôme de Legendre L_n+1) : les nœuds sont imposés.

(c) deg 𝓛_k = n ≤ 2n+1 : ∫ 𝓛_k = Σ λ_i𝓛_k(x_i) = λ_k.

(d) deg 𝓛_k² = 2n ≤ 2n+1 : ∫ 𝓛_k² = Σ λ_i𝓛_k(x_i)² = λ_k (en particulier λ_k > 0).

Question 2 (nœuds = racines de R_n+1)

(a) Q − Σ Q(x_i)𝓛_i est de degré ≤ n et s'annule aux n+1 points distincts x_j : il est nul, donc Q = Σ Q(x_i)𝓛_i.

(b) En intégrant : ∫ Q = Σ Q(x_i)∫ 𝓛_i = Σ λ_iQ(x_i), donc ℰ(Q) = 0 pour tout Q ∈ E_n.

(c) Division euclidienne de P ∈ E_2n+1 par Q_n (degré n+1) : P = Q_nQ + R, deg R ≤ n et deg Q ≤ n.

• Q_n est unitaire et a les mêmes n+1 racines simples que R_n+1 (degré n+1), donc Q_n est proportionnel à R_n+1, orthogonal à E_n : ∫ Q_nQ = 0.
• ℰ(P) = ∫ Q_nQ + ∫ R − Σ λ_i[Q_n(x_i)Q(x_i) + R(x_i)] = 0 + ℰ(R) = 0 (question b). La méthode est d'ordre 2n+1.

(d) Elle n'est pas d'ordre 2n+2 : pour P = Q_n² ∈ E_2n+2, ∫ Q_n² > 0 alors que Σ λ_iQ_n(x_i)² = 0, donc ℰ(Q_n²) ≠ 0. La méthode est exactement d'ordre 2n+1 (méthode de Gauss–Legendre).

💡 Contrôle rapide : n = 0 donne x₀ = 0, λ₀ = 2 (point milieu) ; n = 1 donne x = ±1/√3 et λ₀ = λ₁ = 1, exacte jusqu'au degré 3.