Modèle de concours : CNC 2000 Mathématiques II (TSI) — Concours National Commun

Ce modèle est l'épreuve de Mathématiques II du Concours National Commun d'admission aux grandes écoles d'ingénieurs, concours TSI, session 2000 (durée 4 heures, calculatrice interdite). Thème : matrices tridiagonales — système discret −x_k+1 + 2x_k − x_k−1 = y_k, déterminants et factorisation LU, valeurs propres, puis lien avec les polynômes orthogonaux et les polynômes de Tchebychev. Voici une correction proposée.

💡 Idée clé : une matrice tridiagonale symétrique à coefficients sous-diagonaux non nuls a n valeurs propres réelles simples ; la relation de récurrence à trois termes des polynômes orthogonaux fait apparaître une telle matrice, dont les valeurs propres sont les racines de P_n.

I — Première partie

1. (a)

A_n est la matrice tridiagonale avec 2 sur la diagonale et −1 sur la sur- et la sous-diagonale (0 ailleurs).

Si tous les y_k sont nuls : x_k+1 − x_k = x_k − x_k−1 pour k = 1, …, n, donc (x_k)_0≤k≤n+1 est arithmétique ; x₀ = 0 donne x_k = kr, et x_n+1 = (n + 1)r = 0 donne r = 0. La seule solution est x = 0.

1. (b)

Le noyau de A_n est réduit à {0} : A_n est injective, donc (matrice carrée) inversible. Pour tout (y₁, …, y_n), le système (S_n) admet une solution et une seule, X = A_n⁻¹Y.

2.

Pour k ≠ j les équations sont homogènes. Les équations k = 1, …, j − 1 montrent que (x₀, …, x_j) est arithmétique avec x₀ = 0 : x_k = kα (0 ≤ k ≤ j). Les équations k = j + 1, …, n montrent que (x_j, …, x_n+1) est arithmétique avec x_n+1 = 0 : x_k = β(n + 1 − k) (j ≤ k ≤ n + 1).

Raccord en j : jα = β(n + 1 − j). Équation j : (x_j − x_j−1) − (x_j+1 − x_j) = α + β = 1. D'où α = 1 − j/(n + 1), β = j/(n + 1), et

• pour k ≤ j : x_k = k(1 − j/(n + 1)) ;
• pour k ≥ j : x_k = j(n + 1 − k)/(n + 1) = k(1 − j/(n + 1)) − (k − j).

Cette solution est A_n⁻¹e_j, c'est-à-dire la j-ième colonne de A_n⁻¹ : le coefficient (k, j) vaut k(1 − j/(n+1)), diminué de (k − j) si k > j. C'est exactement la somme des deux matrices de l'énoncé.

3.

Cherchons x_k = k(n + 1 − k)/2 : x₀ = x_n+1 = 0, et la partie linéaire k(n + 1)/2 a une « dérivée seconde discrète » nulle, tandis que −(k + 1)² + 2k² − (k − 1)² = −2 ; donc −x_k+1 + 2x_k − x_k−1 = −(1/2)(−2) = 1. Par unicité (1.b) : x_k = k(n + 1 − k)/2, k = 1, …, n. (On retrouve la somme des lignes de A_n⁻¹.)

4.

sin((k − 1)θ) + sin((k + 1)θ) = 2 sin(kθ)cos θ, donc −sin((k − 1)θ) + 2 sin(kθ) − sin((k + 1)θ) = 2(1 − cos θ)sin(kθ).

Soit X_θ = (sin θ, …, sin nθ). Avec x_k = sin(kθ), on a x₀ = 0 ; si de plus sin((n + 1)θ) = 0, la k-ième ligne de A_nX_θ vaut 2(1 − cos θ)sin(kθ) pour tout k. On prend θ_j = jπ/(n + 1), j = 1, …, n : X_θj ≠ 0 (sin θ_j > 0) et

A_nX_θj = λ_jX_θj, λ_j = 2(1 − cos(jπ/(n + 1))) = 4 sin²(jπ/(2(n + 1))).

cos est injective sur ]0, π[ : les n réels λ_j sont distincts. A_n étant d'ordre n, ce sont toutes ses valeurs propres, chacune d'espace propre de dimension 1 engendré par (sin(jπ/(n+1)), …, sin(njπ/(n+1))).

II — Seconde partie

1.

Développement de det(T_k) par rapport à la dernière ligne (le cofacteur de a_k−1 se développe ensuite selon la dernière colonne, qui ne contient que c_k−1) :

δ_k = b_k−1δ_k−1 − a_k−1c_k−1δ_k−2, k ≥ 2 (vérifié pour k = 2 : δ₂ = b₀b₁ − a₁c₁).

2. (a)

Le pivot de Gauss, ligne par ligne, n'agit que sur la sous-diagonale. On obtient (δ_k ≠ 0 assure des pivots non nuls) :

• L : 1 sur la diagonale, l_k+1,k = a_kδ_k−1/δ_k (k = 1, 2, 3), 0 ailleurs ;
• U : u_kk = δ_k/δ_k−1 (k = 1, …, 4), u_k,k+1 = c_k (k = 1, 2, 3), 0 ailleurs.

Vérification : u₁₁ = b₀ = δ₁/δ₀ ; l₂₁ = a₁/u₁₁ ; u₂₂ = b₁ − l₂₁c₁ = (b₁δ₁ − a₁c₁δ₀)/δ₁ = δ₂/δ₁, et de même aux rangs suivants grâce à la relation du 1. Le produit LU redonne b_k sur la diagonale, c_k au-dessus, a_k en dessous.

2. (b)

Si LU = L′U′ (δ₄ ≠ 0, donc U et U′ inversibles) : L′⁻¹L = U′U⁻¹. Le membre de gauche est triangulaire inférieure à diagonale unité, celui de droite triangulaire supérieure : les deux valent I₄. Donc L = L′ et U = U′ : factorisation unique.

2. (c)

Pour A₄ : b_k = 2, a_k = c_k = −1, et δ_k = 2δ_k−1 − δ_k−2 donne δ_k = k + 1. D'où

• L : sous-diagonale −1/2, −2/3, −3/4 (l_k+1,k = −k/(k + 1)) ;
• U : diagonale 2, 3/2, 4/3, 5/4 (u_kk = (k + 1)/k), sur-diagonale −1, −1, −1.

2. (d)

LZ = Y (descente) : z₁ = y₁, z₂ = y₂ + z₁/2, z₃ = y₃ + 2z₂/3, z₄ = y₄ + 3z₃/4, soit z_k = (y₁ + 2y₂ + … + ky_k)/k.

UX = Z (remontée) : x₄ = (4/5)z₄, puis x_k = (k/(k + 1))(z_k + x_k+1). On obtient

• x₄ = (y₁ + 2y₂ + 3y₃ + 4y₄)/5 ;
• x₃ = (2y₁ + 4y₂ + 6y₃ + 3y₄)/5 ;
• x₂ = (3y₁ + 6y₂ + 4y₃ + 2y₄)/5 ;
• x₁ = (4y₁ + 3y₂ + 2y₃ + y₄)/5.

C'est la solution de A₄X = Y ; on retrouve bien les lignes de A₄⁻¹ données en I.2 (coefficient min(k, j)(5 − max(k, j))/5).

3. (a)

T_n(a, b, a) est réelle symétrique : par le théorème spectral, elle est diagonalisable dans M_n(ℝ) (même dans une base orthonormée).

3. (b)

(L'énoncé écrit i ∈ {1, …, n} ; il faut lire i ∈ {1, …, n − 1}, a n'ayant que n − 1 composantes.) Soit X = (x₁, …, x_n) avec (T_n − λI)X = 0. La ligne i (i ≤ n − 1) s'écrit a_i−1x_i−1 + (b_i−1 − λ)x_i + a_ix_i+1 = 0 (avec a₀x₀ = 0) ; comme a_i ≠ 0, elle détermine x_i+1 en fonction de x_i, x_i−1. Par récurrence X est déterminé par x₁ : l'application X ↦ x₁ est injective sur l'espace propre, qui est donc de dimension ≤ 1, d'où = 1.

T_n étant diagonalisable, la somme des dimensions des espaces propres vaut n : il y a n valeurs propres réelles distinctes (simples).

4. (a)

χ_k(λ) = det(λI_k − T_k(a, b, a)) vérifie, par 1 appliqué à T_k(−a, λ − b, −a) : χ_k = (λ − b_k−1)χ_k−1 − a_k−1²χ_k−2, avec χ₀ = 1, χ₁ = λ − b₀. (Pour T_k(a, b, c), même formule avec a_k−1c_k−1 à la place de a_k−1².)

4. (b)

La récurrence ne fait intervenir que les b_i et les produits a_ic_i. T_n(a, b, c) et T_n(I, b, a × c) ont les mêmes b_i et les mêmes produits (1·a_ic_i = a_ic_i) : même polynôme caractéristique, donc mêmes valeurs propres (avec multiplicités).

4. (c)

Posons d_i = √(a_ic_i) > 0 et d = (d₁, …, d_n−1). Comme d_id_i = a_ic_i, par 4.b T_n(d, b, d) et T_n(a, b, c) ont le même polynôme caractéristique. Or T_n(d, b, d) est réelle symétrique à sous-diagonale non nulle : par 3.a et 3.b, elle a n valeurs propres réelles simples. Donc T_n(a, b, c) admet n valeurs propres réelles simples (et est diagonalisable dans M_n(ℝ)).

4. (d)

Exemple : a = (0, 0), b = (1, 1, 1), c = (1, 1) : T₃ = (1 1 0 ; 0 1 1 ; 0 0 1). Sa seule valeur propre est 1 ; si elle était diagonalisable, elle serait semblable à I₃ donc égale à I₃, ce qui est faux. T₃ n'est pas diagonalisable (bloc de Jordan ; ici a_ic_i = 0, hypothèse de 4.c en défaut).

III — Troisième partie

1. (a)

L'intégrale converge : PQ est combinaison linéaire des x^k, et chaque ∫ x^kf converge. L'application est symétrique, bilinéaire (linéarité de l'intégrale), positive (P²f ≥ 0). Définie : si ∫ P²f = 0, la fonction continue positive P²f est nulle sur ]−1, 1[ ; f > 0 donc P s'annule sur ]−1, 1[ : une infinité de racines, P = 0. C'est un produit scalaire sur E.

1. (b)

On applique le procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt à la famille libre (1, X, X², …) : on obtient (P_n) orthonormale avec Vect(P₀, …, P_k) = Vect(1, …, X^k) = E_k, donc deg P_k = k.

1. (c)

E_k−1 = Vect(P₀, …, P_k−1) et P_k est orthogonal à chaque P_j, j < k : <P_k|Q> = 0 pour tout Q ∈ E_k−1.

2.

<XP_k|P_j> = ∫ xP_k(x)P_j(x)f(x)dx = <P_k|XP_j>, et deg(XP_j) = j + 1 ≤ k − 1 : par 1.c, <XP_k|P_j> = 0.

3.

XP_k ∈ E_k+1, de base orthonormée (P₀, …, P_k+1) : XP_k = Σ_j <XP_k|P_j>P_j, et par 2 seuls j = k − 1, k, k + 1 subsistent. Posons a_k+1 = <XP_k|P_k+1>, b_k = <XP_k|P_k>. Le coefficient de P_k−1 est <XP_k|P_k−1> = <P_k|XP_k−1> = a_k : on obtient bien la relation (1) (pour k = 0, seul P₁ et P₀ interviennent).

Identification des coefficients :

• coefficient de X^k+1 : α_k,k = a_k+1α_k+1,k+1, d'où a_k = α_k−1,k−1/α_k,k ;
• coefficient de X^k (k ≥ 1) : α_k,k−1 = a_k+1α_k+1,k + b_kα_k,k, d'où b_k = α_k,k−1/α_k,k − α_k+1,k/α_k+1,k+1 ;
• pour k = 0, coefficient constant : 0 = a₁α_1,0 + b₀α_0,0, d'où b₀ = −α_1,0/α_1,1.

4. (a)

P₀ = α_0,0 est une constante non nulle, donc pour k ≥ 1 : ∫₋₁¹ P_kf = <P_k|P₀>/α_0,0 = 0. Si P_k gardait un signe constant sur ]−1, 1[, P_kf serait continue, de signe constant et non identiquement nulle, d'intégrale non nulle : contradiction. P_k change donc de signe sur ]−1, 1[ ; un polynôme ne change de signe qu'en une racine de multiplicité impaire : P_k a au moins une racine d'ordre impair dans ]−1, 1[. (L'énoncé écrit « singe » pour « signe ».)

4. (b)

• deg Q = r, donc deg(QP_k) = r + k. En chaque racine de QP_k dans ]−1, 1[ la multiplicité est paire (x_i : impaire + 1 ; autres racines de P_k : paire, inchangée). QP_k ne change donc pas de signe sur ]−1, 1[ et, par continuité, garde un signe constant sur [−1, 1].

• Par l'absurde, si r < k : Q ∈ E_k−1, donc <P_k|Q> = ∫ QP_kf = 0 (1.c). Mais QP_kf est continue, de signe constant, non identiquement nulle : son intégrale est non nulle. Contradiction : r ≥ k. Comme P_k a au plus k racines, r = k ; ces k racines distinctes épuisent le degré, donc elles sont simples et toutes dans ]−1, 1[.

5. (a)

Soit V(x) = (P₀(x), …, P_n−1(x)). Avec c = a, la ligne k (k = 0, …, n − 1) de T_nV(x) vaut a_kP_k−1(x) + b_kP_k(x) + a_k+1P_k+1(x) (sans le terme P_k−1 pour k = 0, sans le terme P_n pour k = n − 1). Par (1) :

T_nV(x) = xV(x) − a_nP_n(x)·(0, …, 0, 1).

5. (b)

Si P_n(x) = 0, alors T_nV(x) = xV(x) avec V(x) ≠ 0 (première composante P₀ ≠ 0) : x est valeur propre de T_n. Par 4.b, P_n a n racines distinctes, qui sont donc n valeurs propres distinctes de T_n ∈ M_n(ℝ) : ce sont exactement les valeurs propres de T_n, de vecteurs propres V(x_i).

6. (a)

t₀ = 1, t₁(x) = x, t₂(x) = 2x² − 1 (cos 2θ = 2cos²θ − 1). Avec cos((k+1)θ) + cos((k−1)θ) = 2cos θ cos(kθ) et x = cos θ : t_k+1(x) = 2x t_k(x) − t_k−1(x). Par récurrence, t_k est un polynôme de degré k et de coefficient dominant 2^k−1 pour k ≥ 1 (1 pour k = 0).

6. (b)

Avec x = cos θ, dx = −sin θ dθ et √(1 − x²) = sin θ sur ]0, π[ : <t_n|t_m> = ∫₀^π cos(nθ)cos(mθ)dθ = (1/2)∫₀^π[cos((n−m)θ) + cos((n+m)θ)]dθ.

• n ≠ m : 0 ;
• n = m = 0 : π ;
• n = m ≥ 1 : π/2.

Conclusion : (t_k) est une famille orthogonale de E (non normée).

6. (c)

P₀ = 1/√π, P_k = √(2/π)·t_k (k ≥ 1) : famille orthonormale, deg P_k = k, coefficients dominants positifs (c'est celle de Gram-Schmidt).

6. (d)

xP₀ = (1/√π)t₁ = P₁/√2 ; pour k ≥ 1, x t_k = (t_k+1 + t_k−1)/2 donne xP_k = P_k+1/2 + P_k−1/2 pour k ≥ 2 et xP₁ = P₂/2 + P₀/√2. Donc b_k = 0, a₁ = 1/√2, a_k = 1/2 pour k ≥ 2 (cohérent avec a_k = α_k−1,k−1/α_k,k). T_n est la matrice tridiagonale symétrique à diagonale nulle, avec 1/√2 en positions (1, 2) et (2, 1), et 1/2 sur le reste des sur- et sous-diagonales.

Ses valeurs propres sont les racines de t_n : cos(nθ) = 0, θ ∈ ]0, π[, d'où λ_j = cos((2j − 1)π/(2n)), j = 1, …, n. Vecteurs propres associés (5.a, à un facteur √π près) : (1, √2 cos θ_j, √2 cos 2θ_j, …, √2 cos((n − 1)θ_j)) avec θ_j = (2j − 1)π/(2n).