Modèle de concours : CNC 2007 Mathématiques I (TSI) — Concours National Commun

Ce modèle est l'épreuve de Mathématiques I du Concours National Commun (CNC) 2007, filière TSI, concours d'admission aux grandes écoles d'ingénieurs marocaines. Durée : 4 heures, calculatrice interdite, énoncé de 4 pages. Premier problème : polynômes P_n(x) = xⁿ(a − bx)ⁿ/n! et preuve de l'irrationalité de π (méthode de Niven). Deuxième problème : la cardioïde ρ = 1 + cos θ (étude, longueur, aire) et sa courbure en coordonnées polaires. Voici une correction proposée ; les tracés demandés sont décrits avec les points et tangentes à placer.

💡 À retenir : en polaire, avec ρ = f(θ) : ds/dθ = √(f² + f′²), tan V = f/f′ et R = (f² + f′²)^3/2/(f² + 2f′² − ff″). Pour la cardioïde, f² + f′² = 2ρ et f² + 2f′² − ff″ = 3ρ : presque tous les calculs du deuxième problème en découlent.

Premier problème

Première partie

1.(a) P_n est le produit de xⁿ (degré n) et de (a − bx)ⁿ (degré n, coefficient dominant (−b)ⁿ ≠ 0) : deg P_n = 2n, coefficient dominant (−b)ⁿ/n!.

1.(b) Pour k ≥ 2n + 1 > deg P_n : P_n^(k) = 0.

2.(a) P_n(x) = ((−b)ⁿ/n!)·xⁿ(x − a/b)ⁿ : les racines sont 0 et a/b, chacune de multiplicité n.

2.(b) Une racine de multiplicité n annule les dérivées d'ordre 0 à n − 1 : P_n^(k)(0) = P_n^(k)(a/b) = 0 pour k ∈ {0, …, n − 1}.

3.(a) Leibniz avec u = xⁿ, v = (a − bx)ⁿ : (uv)^(k) = ∑_p=0^k C_k^p u^(p)v^(k−p), où
u^(p) = (n!/(n − p)!) x^n−p si p ≤ n (0 sinon) et v^(q) = (n!/(n − q)!)(−b)^q(a − bx)^n−q si q ≤ n (0 sinon).
Les termes non nuls vérifient p ≤ n et k − p ≤ n, soit k − n ≤ p ≤ n (intervalle contenu dans [0, k] car n ≤ k ≤ 2n). En divisant par n! on obtient la formule de l'énoncé.

3.(b) En x = 0, seul le terme p = n (x^n−p = 1) subsiste ; en x = a/b, seul le terme p = k − n ((a − bx)^n−k+p = 1) subsiste. Après simplification (C_kⁿ n!/(2n − k)! = k!/((k − n)!(2n − k)!)) :
P_n^(k)(0) = k!/((k − n)!(2n − k)!) · (−b)^k−n a^2n−k ;
P_n^(k)(a/b) = k!/((k − n)!(2n − k)!) · (−b)ⁿ (a/b)^2n−k = (−1)ⁿ k!/((k − n)!(2n − k)!) · a^2n−kb^k−n.
(Contrôle : P_n(a/b − x) = P_n(x), donc P_n^(k)(a/b) = (−1)^kP_n^(k)(0) : c'est cohérent.)

3.(c) k!/((k − n)!(2n − k)!) = C_kⁿ · n!/(2n − k)! : produit d'un coefficient binomial et de n!/(2n − k)! = (2n − k + 1)⋯n, entier car 2n − k ≤ n. Les exposants k − n et 2n − k sont positifs, donc si a, b ∈ ℕ*, les deux valeurs sont des entiers. Avec 2.(b) et 1.(b), c'est vrai pour tout k ∈ ℕ.

Deuxième partie

1.(a) P_n′(x) = (1/n!)[n xⁿ⁻¹(a − bx)ⁿ − nb xⁿ(a − bx)ⁿ⁻¹] = xⁿ⁻¹(a − bx)ⁿ⁻¹(a − 2bx)/(n − 1)!. Sur [0, a/b], xⁿ⁻¹(a − bx)ⁿ⁻¹ ≥ 0 : P_n′ a le signe de a − 2bx.

1.(b) D'après le tableau, 0 ≤ P_n(x) ≤ P_n(a/(2b)) sur [0, a/b], avec P_n(a/(2b)) = (a/(2b))ⁿ(a/2)ⁿ/n! : β_n = (a²/(4b))ⁿ/n!.

2.(a) u_n+1/u_n = α/(n + 1) → 0.

2.(b) Il existe N tel que pour n ≥ N, u_n+1/u_n ≤ ½ ; alors 0 < u_n ≤ u_N(½)^n−N → 0 : u_n → 0.

2.(c) β_n = u_n avec α = a²/(4b) > 0 : β_n → 0.

3. x_n → 0 : il existe N tel que |x_n| < 1 pour n ≥ N. Un entier de valeur absolue < 1 est nul : x_n = 0 pour n ≥ N.

Troisième partie

Q_n est le polynôme P_n avec a = c et b = d, et a/b = c/d = π.

1. Sur [0, π] : 0 ≤ Q_n(x) ≤ β_n = (c²/(4d))ⁿ/n! (II.1.(b)) et 0 ≤ sin x ≤ 1. En intégrant sur un intervalle de longueur π : 0 ≤ I_n ≤ (π/n!)(c²/(4d))ⁿ. Par II.2, le majorant tend vers 0, donc I_n → 0.

2. Sur ]0, π[ : x > 0 et c − dx = d(π − x) > 0, donc Q_n(x) > 0 ; et sin x > 0. La fonction x ↦ Q_n(x)sin x est continue, positive sur [0, π] et non identiquement nulle : son intégrale est strictement positive, I_n > 0, en particulier I_n ≠ 0.

3. Posons S_j(x) = sin(x − jπ/2) : S₁ = −cos est une primitive de sin, et S_j+1 est une primitive de S_j. Des intégrations par parties successives (Q_n⁽²ⁿ⁺¹⁾ = 0) donnent
I_n = ∑_k=0²ⁿ (−1)^k[Q_n^(k)(x)S_k+1(x)]₀^π.
Or (−1)^ksin(x − (k + 1)π/2) = −(−1)^kcos(x − kπ/2) = −cos(x + kπ/2) = cos(x + kπ/2 + π). Avec π = c/d et Q_n^(k)(0) = Q_n^(k)(c/d) = 0 pour k ≤ n − 1 (I.2.(b)), on obtient
I_n = ∑_k=n²ⁿ ( Q_n^(k)(c/d)cos(c/d + kπ/2 + π) − Q_n^(k)(0)cos(kπ/2 + π) ).

4. c et d sont des entiers : par I.3.(c), Q_n^(k)(0) et Q_n^(k)(c/d) sont des entiers. Comme c/d = π, cos(c/d + kπ/2 + π) = cos(kπ/2 + 2π) = cos(kπ/2) et cos(kπ/2 + π) = −cos(kπ/2), qui valent 0, 1 ou −1. Donc I_n ∈ ℤ.

5. (I_n) est une suite d'entiers qui tend vers 0 (question 1) : par II.3, I_n = 0 à partir d'un certain rang, ce qui contredit la question 2. L'hypothèse est fausse : π est irrationnel.

Deuxième problème — la cardioïde ρ = 1 + cos θ

Première partie

1.(a) ρ est définie sur ℝ et 2π-périodique.

1.(b) ρ est paire. M(−θ) = ρ(θ)u(−θ), et u(−θ) est le symétrique de u(θ) par rapport à (Ox) : M(−θ) est le symétrique de M(θ) par rapport à l'axe (Ox), axe de symétrie du support.

1.(c) Par 2π-périodicité, il suffit de θ ∈ [−π, π]. Le support de γ₁ est la réunion du support de γ₂ (θ ∈ [0, π]) et de son symétrique par rapport à (Ox).

2. ρ(π) = 0 : le point de paramètre π est le pôle O. Avec φ = ρu : φ′ = ρ′u + ρv, φ″ = (ρ″ − ρ)u + 2ρ′v, φ‴ = (ρ‴ − 3ρ′)u + (3ρ″ − ρ)v. En π : ρ = 0, ρ′ = −sin π = 0, ρ″ = −cos π = 1, ρ‴ = sin π = 0, d'où φ′(π) = 0, φ″(π) = u(π) = −i, φ‴(π) = 3v(π) = −3j. Point stationnaire avec p = 2 (pair) et q = 3 (impair) : point de rebroussement de première espèce, de tangente l'axe (Ox).

3. θ₀ ≢ π (mod 2π), donc ρ(θ₀) > 0. det(φ′, φ″) dans la base (u, v) : ρ′·2ρ′ − ρ(ρ″ − ρ) = ρ² + 2ρ′² − ρρ″. Ici ρ² + 2sin²θ + (1 + cos θ)cos θ = 1 + 2cos θ + cos²θ + 2sin²θ + cos θ + cos²θ = 3 + 3cos θ = 3ρ > 0. φ′ et φ″ sont libres : M₀ est birégulier. Le déterminant est positif (la courbe tourne dans le sens direct) et ρ² + 2ρ′² − ρρ″ > 0 : la concavité est tournée vers le pôle O (côté du vecteur N).

4. ρ′(θ) = −sin θ ≤ 0 sur [0, π] : ρ décroît.

5. Tracé (unité 3 cm). Points d'intersection avec les axes : y = ρ sin θ = 0 donne θ = 0 ou π ; x = ρ cos θ = 0 donne θ = ±π/2 ou π.
• A(2, 0) (θ = 0, soit 6 cm) : ρ′ = 0, la tangente est perpendiculaire à (OA) : tangente verticale x = 2.
• B(0, 1) (θ = π/2) : φ′ = ρ′u + ρv = −j − i, tangente de direction (1, 1) : droite y = x + 1, de pente 1.
• B′(0, −1) (θ = −π/2) : par symétrie, tangente y = −x − 1, de pente −1.
• O (θ = π) : rebroussement, tangente (Ox), la courbe arrive à gauche de O (x ≈ −h²/2 pour θ = π + h).
Points utiles : θ = π/3 donne (3/4, 3√3/4), point d'ordonnée maximale (y′ = cos θ + cos 2θ = 0 ⇔ cos θ = ½) ; θ = 2π/3 donne (−1/4, √3/4), point d'abscisse minimale (x = ρ cos θ minimal pour cos θ = −½). La courbe, symétrique par rapport à (Ox), a la forme d'un cœur dont la pointe rentrante est en O.

6. ρ² + ρ′² = (1 + cos θ)² + sin²θ = 2 + 2cos θ = 4cos²(θ/2). Sur [0, π], cos(θ/2) ≥ 0 :
L(γ₂) = ∫₀^π 2cos(θ/2) dθ = [4 sin(θ/2)]₀^π = 4 (12 cm) ; la cardioïde entière mesure 8.

7. 𝒜 = ½∫_−π^π ρ² dθ = ½∫_−π^π(1 + 2cos θ + cos²θ) dθ = ½(2π + 0 + π) = 3π/2 unités d'aire (soit 27π/2 cm² avec l'unité 3 cm).

Deuxième partie

A.1. Croquis à faire : une portion d'arc, le point M(θ), le vecteur u(θ) porté par (OM) dans le sens de O vers M, v(θ) directement orthogonal à u(θ) ; en M, le vecteur tangent unitaire T et N obtenu par rotation de +π/2. Angles à marquer : θ = (i, u(θ)), V = (u(θ), T), α = (i, T), avec la relation α = θ + V (mod 2π).

A.2. Une abscisse curviligne est une fonction s de classe C¹ telle que ds/dθ = ‖dM/dθ‖ (orientation selon θ croissant), soit s(θ) = ∫_θ₀^θ ‖dM/dθ‖. Comme dM/dθ = f′u + fv : ds/dθ = √(f² + f′²).

A.3. On dérive cotan V = f′/f (f ≠ 0 hors du pôle) : −(1 + cotan²V)V′ = (ff″ − f′²)/f², avec 1 + cotan²V = (f² + f′²)/f², d'où
dV/dθ = (f′² − ff″)/(f² + f′²).
Alors dα/dθ = 1 + dV/dθ = (f² + 2f′² − ff″)/(f² + f′²) et
R = ds/dα = (ds/dθ)/(dα/dθ) = (f² + f′²)^3/2/(f² + 2f′² − ff″).

A.4. T = (f′u + fv)/√(f² + f′²), et N, image de T par la rotation +π/2 (u ↦ v, v ↦ −u) : N = (−fu + f′v)/√(f² + f′²). Comme MI = RN, les coordonnées de I dans (M, u, v) sont
( −f(f² + f′²)/(f² + 2f′² − ff″) , f′(f² + f′²)/(f² + 2f′² − ff″) ).

B.1. Pour f = ρ = 1 + cos θ : f² + f′² = 2ρ, f² + 2f′² − ff″ = 3ρ (partie 1, question 3). Donc MI = (−2ρ/3)u + (2ρ′/3)v, et comme OM = ρu :
dans (O, u(θ), v(θ)) : I(θ) = ( (1 + cos θ)/3 , −(2/3)sin θ ).
Avec u = (cos θ, sin θ), v = (−sin θ, cos θ) :
dans (O, i, j) : x_I = (2 + cos θ − cos²θ)/3, y_I = sin θ(1 − cos θ)/3.
(Au passage R = (2ρ)^3/2/(3ρ) = (4/3)|cos(θ/2)|.)

B.2. M(θ + π) = (1 − cos θ)·(−u(θ)), soit en coordonnées (cos²θ − cos θ, sin θ cos θ − sin θ). On cherche Ω = (ω, 0) et λ avec I − Ω = λ(M(θ + π) − Ω). Les ordonnées imposent λ = −1/3 ; les abscisses : (cos θ − cos²θ)/3 + 4ω/3 = (2 + cos θ − cos²θ)/3, d'où ω = ½. Donc I(θ) est l'image de M(θ + π) par l'homothétie de centre Ω(½, 0) et de rapport λ = −1/3. (Contrôle θ = 0 : I(0) = (2/3, 0) = A − (4/3)i, le rayon de courbure en A valant 4/3.)

B.3. La projection orthogonale de I sur (OM) ne garde que la composante sur u(θ) : OH = (ρ/3)u(θ) = (1/3)OM. H(θ) est l'image de M(θ) par l'homothétie de centre O et de rapport μ = 1/3.

B.4. Tracé : γ_H est la cardioïde ρ = (1 + cos θ)/3, réduite au tiers, de rebroussement en O et de sommet (2/3, 0). γ_I est l'image de γ₁ par l'homothétie (Ω, −1/3) : une cardioïde de même taille que γ_H mais retournée, de point de rebroussement (2/3, 0) (image de O) et passant par O (image de A, limite de I(θ) quand θ → π). Pour un M(θ), placer H(θ) au tiers de [OM] et I(θ) sur la normale en M, à la distance R = (4/3)|cos(θ/2)| du côté de O ; H est le pied de la perpendiculaire menée de I à (OM).

B.5. Une homothétie de rapport μ multiplie les longueurs par |μ| et les aires par μ². Donc L(γ_H) = 8/3 et 𝒜(γ_H) = (1/9)(3π/2) = π/6 (en unités ; 8 cm et 3π/2 cm² avec l'unité 3 cm).