Modèle de concours : CNC 2003 Mathématiques I (TSI) — Concours National Commun

Ce modèle est l'épreuve de Mathématiques I du Concours National Commun (CNC) 2003, filière TSI, concours d'admission aux grandes écoles d'ingénieurs marocaines. Durée : 4 heures, calculatrice interdite, énoncé de 3 pages. Il comporte un exercice (transformée de Fourier de la gaussienne), un problème 1 (transformée de 1/ch, développement en série et séries de Fourier) et un problème 2 (équation des cordes vibrantes : méthode de D'Alembert et solutions stationnaires). Voici une correction proposée, question par question.

💡 À retenir : pour dériver une intégrale à paramètre, citez toujours le théorème et vérifiez la domination de la dérivée partielle par une fonction intégrable indépendante du paramètre. Dans une EDP, le changement de variables linéaire u = x − ct, v = x + ct ramène l'équation des ondes à ∂²f*/∂v∂u = 0.

Exercice

1. f(t) = e^−t² est continue et positive sur ℝ. Comme t²e^−t² → 0 quand |t| → +∞, on a e^−t² ≤ 1/t² pour |t| assez grand ; 1/t² est intégrable au voisinage de ±∞, donc ∫_−∞^+∞ f(t) dt converge.
Pour x réel, |e^−ixt f(t)| = f(t) : l'intégrale définissant f̂(x) est absolument convergente, donc f̂(x) a un sens.

2. Posons k(x,t) = e^−ixte^−t². Pour tout t, x ↦ k(x,t) est C¹ et ∂k/∂x(x,t) = −it e^−ixte^−t², continue en (x,t), avec la domination |∂k/∂x(x,t)| ≤ |t|e^−t², fonction intégrable sur ℝ indépendante de x. Par le théorème de dérivation sous le signe intégrale, f̂ est dérivable (même C¹) et
f̂′(x) = ∫_−∞^+∞ −it e^−t² e^−ixt dt.
Intégration par parties avec u(t) = e^−ixt, v(t) = (i/2)e^−t² (donc v′(t) = −it e^−t²) :
f̂′(x) = [ (i/2)e^−t²e^−ixt ]_−∞^+∞ − ∫ (i/2)e^−t²(−ix)e^−ixt dt = 0 − (x/2) f̂(x).
Le crochet est nul car |e^−t²e^−ixt| = e^−t² → 0. Donc f̂′ + (x/2) f̂ = 0 : f̂ est solution de (1).

3. (1) est linéaire du premier ordre ; une primitive de x/2 est x²/4, donc les solutions sont y(x) = C e^−x²/4, C ∈ ℝ (ou ℂ). Or f̂(0) = ∫ f = √π, d'où
f̂(x) = √π e^−x²/4 pour tout x réel.

Problème 1

Ici g(t) = 1/ch t.

1.(a) Si (α, β) ≠ (0, 0), α + iβ ≠ 0 et ∫₀^A e^(α+iβ)t dt = (e^(α+iβ)A − 1)/(α + iβ). Si α = β = 0, l'intégrale vaut A.

1.(b) On multiplie par le conjugué : (e^(α+iβ)A − 1)(α − iβ)/(α² + β²), puis on prend parties réelle et imaginaire (e^(α+iβ)t = e^αtcos βt + i e^αtsin βt) :
∫₀^A e^αtcos βt dt = [e^αA(α cos βA + β sin βA) − α] / (α² + β²),
∫₀^A e^αtsin βt dt = [e^αA(α sin βA − β cos βA) + β] / (α² + β²),
pour (α, β) ≠ (0, 0) (et respectivement A et 0 si α = β = 0).

1.(c) |e^−ptcos βt| ≤ e^−pt, intégrable sur [0, +∞[ (p > 0) : l'intégrale converge absolument. Avec α = −p dans (b) et e^−pA → 0 (le facteur entre parenthèses est borné) :
∫₀^+∞ e^−ptcos βt dt = p/(p² + β²).

2. |g(t) cos xt| ≤ 1/ch t = 2/(e^t + e^−t) ≤ 2e^−|t|, intégrable sur ℝ. L'intégrale est donc absolument convergente pour tout x. (Comme la fonction est paire, ∫_−∞^+∞ = 2ĝ(x).)

3.(a) Pour t ≥ 0, posons q = e^−2t ∈ ]0, 1] ; g(t) = 2e^−t/(1 + e^−2t) = 2e^−t/(1 + q). Somme géométrique : 1/(1 + q) = ∑_k=0ⁿ (−q)^k + (−q)ⁿ⁺¹/(1 + q). D'où
g(t) = 2∑_k=0ⁿ (−1)^ke^−(2k+1)t + 2(−1)ⁿ⁺¹ e^−(2n+3)t/(1 + e^−2t).
On multiplie par cos(xt) et on intègre sur [0, +∞[ : chaque intégrale converge (1.(c) avec p = 2k + 1 ; le reste est dominé par e^−(2n+3)t), et la linéarité donne la formule demandée.

3.(b) Comme 1 + e^−2t ≥ 1 et |cos xt| ≤ 1 : |∫₀^+∞ e^−(2n+3)tcos(xt)/(1 + e^−2t) dt| ≤ ∫₀^+∞ e^−(2n+3)t dt = 1/(2n + 3).
Notons I_k(x) = ∫₀^+∞ e^−(2k+1)tcos(xt) dt. Par (a), |ĝ(x) − 2∑_k=0ⁿ(−1)^kI_k(x)| ≤ 2/(2n + 3) → 0. Les sommes partielles convergent donc vers ĝ(x) : la série converge et ĝ(x) = 2∑_n≥0(−1)ⁿI_n(x).

3.(c) Par 1.(c) avec p = 2n + 1 et β = x : I_n(x) = (2n + 1)/(x² + (2n + 1)²), d'où
ĝ(x) = 2∑_n=0^+∞ (−1)ⁿ(2n + 1)/(x² + (2n + 1)²).

4.(a) h est impaire, donc a_n = 0 pour tout n. Pour n ≥ 1, b_n = (2/π)∫₀^π ch(xt) sin(nt) dt. Notons J cette intégrale ; deux intégrations par parties :
J = [−ch(xt)cos(nt)/n]₀^π + (x/n)∫₀^π sh(xt)cos(nt) dt = (1 − (−1)ⁿch(πx))/n + (x/n)[sh(xt)sin(nt)/n]₀^π − (x²/n²)J.
Le crochet est nul, donc J(1 + x²/n²) = (1 − (−1)ⁿch πx)/n et
b_n = (2/π) · n(1 − (−1)ⁿch(πx)) / (n² + x²).

4.(b) Théorème de Dirichlet : si h est 2π-périodique et C¹ par morceaux, sa série de Fourier converge en tout t vers ½(h(t⁺) + h(t⁻)). Ici, sur [0, π], h coïncide (hors des extrémités) avec t ↦ ch(xt), qui est C¹ sur [0, π] : h est bien C¹ par morceaux. Donc :
• pour t ∈ ]0, π[, h est continue en t : ∑ b_nsin nt = ch(xt) ;
• en t = 0 et t = π, tous les sin nt sont nuls : la somme vaut 0 (c'est bien la demi-somme des limites, ±1 en 0 et ±ch(πx) en π).

4.(c) Pour t = π/2 : sin(nπ/2) = 0 si n est pair et sin((2p+1)π/2) = (−1)^p. Pour n = 2p + 1, (−1)ⁿ = −1, d'où
ch(πx/2) = (2/π)(1 + ch πx) ∑_p=0^+∞ (−1)^p(2p + 1)/((2p + 1)² + x²).

5. Par 3.(c), la série de 4.(c) vaut ĝ(x)/2, donc ch(πx/2) = (1 + ch πx) ĝ(x)/π. Avec la formule rappelée, 1 + ch(πx) = 2ch²(πx/2) :
ch(πx/2) = 2ch²(πx/2) ĝ(x)/π, et comme ch(πx/2) ≠ 0 : ĝ(x) = π / (2 ch(πx/2)) pour tout x réel.

Problème 2 — Équation des cordes vibrantes

A — Méthode de D'Alembert

1. Si h(u,v) = F(u) + G(v) avec F, G ∈ C²(ℝ), alors ∂h/∂u = F′(u) et ∂²h/∂v∂u = 0.
Réciproquement, si ∂/∂v(∂h/∂u) = 0 sur ℝ², alors pour u fixé, v ↦ ∂h/∂u(u,v) a une dérivée nulle sur l'intervalle ℝ : elle est constante, ∂h/∂u(u,v) = φ(u) := ∂h/∂u(u,0). φ est C¹ (h est C²). Soit F une primitive de φ : F ∈ C²(ℝ). Alors ∂(h(u,v) − F(u))/∂u = 0, donc h(u,v) − F(u) ne dépend que de v : h(u,v) − F(u) = G(v) avec G(v) = h(0,v) − F(0), qui est C². D'où h(u,v) = F(u) + G(v).

2.(a) Ψ est linéaire, de matrice (1 −c ; 1 c) dans la base canonique, de déterminant 2c ≠ 0 : c'est un automorphisme de ℝ². Son inverse est Φ(u,v) = ((u + v)/2, (v − u)/(2c)).

2.(b) Φ est linéaire donc de classe C^∞ ; si f ∈ C²(ℝ²), f∘Φ ∈ C²(ℝ²). Θ est linéaire : (λf + g)∘Φ = λ f∘Φ + g∘Φ. Elle est bijective, d'inverse f* ↦ f*∘Ψ (même argument). Θ est donc un automorphisme de C²(ℝ²).

3.(a) f*(u,v) = f(x,t) avec x = (u + v)/2 et t = (v − u)/(2c). Règle de la chaîne :
∂f*/∂u = ½ ∂f/∂x − (1/(2c)) ∂f/∂t (dérivées prises en Φ(u,v)).
On dérive par rapport à v (∂x/∂v = ½, ∂t/∂v = 1/(2c)) et on utilise le théorème de Schwarz (f est C²) :
∂²f*/∂v∂u = ¼ ∂²f/∂x² + (1/(4c))∂²f/∂t∂x − (1/(4c))∂²f/∂x∂t − (1/(4c²))∂²f/∂t² = ¼ (∂²f/∂x² − (1/c²)∂²f/∂t²)∘Φ = 0, car f est solution de (I).

3.(b) f* ∈ C²(ℝ²) vérifie ∂²f*/∂v∂u = 0 ; par A.1, f*(u,v) = F(u) + G(v) avec F, G ∈ C²(ℝ). Comme f = f*∘Ψ :
f(x,t) = F(x − ct) + G(x + ct). (Réciproquement, une telle fonction vérifie ∂²f/∂x² = F″ + G″ et ∂²f/∂t² = c²(F″ + G″) : elle est solution de (I).)

4. Soit f = F(x − ct) + G(x + ct) une solution. Les conditions (1) donnent F(x) + G(x) = φ(x) et c(G′(x) − F′(x)) = 0 pour tout x. Donc G = F + k (k constante), puis F = (φ − k)/2 et G = (φ + k)/2. La constante disparaît :
f(x,t) = ½ [φ(x − ct) + φ(x + ct)].
Unicité : toute solution vérifiant (1) est de cette forme (calcul ci-dessus). Existence : cette fonction est C² (φ l'est), solution de (I) par A.3.(b), et vérifie f(x,0) = φ(x), ∂f/∂t(x,0) = ½(−cφ′(x) + cφ′(x)) = 0.

B — Solutions stationnaires vérifiant des conditions aux limites

1. f(x,t) = g(x)h(t) : ∂²f/∂x² = g″(x)h(t) = λg(x)h(t) et ∂²f/∂t² = g(x)h″(t) = λc²g(x)h(t). Donc ∂²f/∂x² − (1/c²)∂²f/∂t² = λgh − λgh = 0 : f est solution de (I).

2. f solution s'écrit g″(x)h(t) = (1/c²)g(x)h″(t) pour tous x, t. f n'étant pas identiquement nulle, il existe (x₀, t₀) avec g(x₀) ≠ 0 et h(t₀) ≠ 0. Posons λ = g″(x₀)/g(x₀).
• En x = x₀ : g(x₀)·λ h(t) = (1/c²)g(x₀)h″(t), donc h″ = λc²h.
• En t = t₀ : g″(x)h(t₀) = (1/c²)g(x)h″(t₀) = λ g(x)h(t₀), donc g″ = λg.
g et h sont donc solutions de (S_λ).

3.(a) Équation caractéristique r² = μ.
• μ = 0 : y(x) = Ax + B ;
• μ = ω² > 0 (ω > 0) : y(x) = A ch(ωx) + B sh(ωx) ;
• μ = −ω² < 0 (ω > 0) : y(x) = A cos(ωx) + B sin(ωx) ; (A, B) ∈ ℝ².

3.(b) • μ = 0 : y(0) = B = 0, y(a) = Aa = 0 ⇒ y = 0.
• μ > 0 : y(0) = A = 0, y(a) = B sh(ωa) = 0 avec sh(ωa) ≠ 0 ⇒ y = 0.
• μ < 0 : A = 0 et B sin(ωa) = 0 ; une solution non nulle existe si et seulement si sin(ωa) = 0, soit ω = kπ/a, k ∈ ℕ*.
Conclusion : μ = −k²π²/a², k ∈ ℕ*, et les solutions correspondantes sont y(x) = B sin(kπx/a), B ∈ ℝ.

3.(c) La fonction nulle convient. Soit f = g(x)h(t) une solution stationnaire non nulle vérifiant (2). Par B.2 il existe λ avec g″ = λg et h″ = λc²h. Comme h(t₀) ≠ 0 pour un t₀, (2) donne g(0) = g(a) = 0, et g ≠ 0 : par 3.(b), λ = −k²π²/a² et g(x) = B sin(kπx/a). Alors h″ = −(kπc/a)²h, donc h(t) = C cos(kπct/a) + D sin(kπct/a). Réciproquement ces fonctions sont solutions (B.1) et vérifient (2). L'ensemble cherché est :
{0} ∪ { (x,t) ↦ sin(kπx/a)·[C cos(kπct/a) + D sin(kπct/a)] ; k ∈ ℕ*, (C, D) ∈ ℝ² }
(les « modes propres » de la corde fixée en 0 et en a).