Modèle de concours : CNC 2020 Génie mécanique (TSI) — Concours National Commun
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En bref
Ce document est une ancienne épreuve écrite du concours de Concours d'accès aux écoles d'ingénieurs organisé par Concours National Commun (CNC) — CPGE (2020), publiée sur Wadifa Info en consultation et téléchargement PDF gratuits, avec une correction proposée.
- Organisme
- Concours National Commun (CNC) — CPGE
- Grade
- Concours d'accès aux écoles d'ingénieurs
- Spécialité
- Technologie et sciences industrielles — génie mécanique
- Année
- 2020
- Pages
- 13
- Langue des questions
- français
- Correction
- correction proposée disponible sur cette page
📝 Texte des questions (extrait automatiquement des pages scannées)
Ce texte est extrait automatiquement des images de l'épreuve et peut contenir des erreurs de lecture — les images ci-dessus font foi.
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Concours National Commun Filière : TSI Génie mécanique Session 2020
Broyeur à cisailles rotatives
1. Introduction :
La dernière phase de cycle de vie d’un produit est son élimination, chaque produit peut être
recyclé, détruit, stocké. Les enjeux économiques et environnementaux déterminent son destin.
Les déchets sont valorisés, s'ils sont recyclés pour les réintroduire dans le processus industriel.
Les déchets industriels banals (D.I.B.) est l'ensemble des déchets générés par les activités
courantes d'une entreprise, à l'exclusion des déchets présentant un risque particulier pour
l'homme ou pour l’environnement (déchets dangereux).
La réduction du volume de ces 10.1.8 se fait au moyen de broyeurs, de compacteurs ou de
presses, favorisant la revalorisation, le recyclage ou le réemploi de matières.
Un broyeur à cisailles rotatives appelé aussi
déchiqueteur, muni dans sa partie supérieure
d'une trémie d'alimentation, a pour fonction
de réduire des morceaux de déchets solides
d'une taille donnée à une taille plus petite,
par l'action mécanique de pièces plus
résistantes, généralement métalliques.
Figure 1 : Broyeur
2. Diagramme de cas d'utilisation :
uc [R] Data [Diagramme de cas d'utilisation]
BROYEUR
« extend » Guider et pousser les Fouloir
encombrants
Opérateur « extend » Evacuer les déchets
Tapis
d'évacuation
Figure2 : Diagramme de cas d’utilisation
Durée:2heurs à Pagelsurs
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Concours National Commun Filière : TSI Génie mécanique Session 2020
3. Problématique :
Pour optimiser les performances du broyeur à cisailles rotatives, notamment sur les déchets à
accroche difficile, on souhaite installer un fouloir hydraulique (comportant un vérin et un
bélier) permettant de guider et de pousser les encombrants au centre des outils de coupe.
Le pousseur hydraulique aide à faire en sorte que les déchets soient capturés par les dents du
broyeur, ce qui permet d'augmenter la production de la cisaille (voir figure 3).
4. Présentation du fouloir
Le vérin hydraulique est lié par son corps au bâti de la trémie d'alimentation du broyeur et par
sa tige au bélier.
Vérin
hydraulique
0
=== hydraulique
Figure 3
Durée:2heurs à Page2sur13
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Concours National Commun Filière : TSI Génie mécanique Session 2020
Bélier du fouloir
Figure 4 : Principe du fouloir
Exercice préliminaire :(Noté 4 points sur 20)
Modélisation cinématique du mécanisme : figure 5
Ÿ Un repère R(O,X%,Y0-Z(), associé au bâti (0), supposé galiléen.
“ Un repère R,(O,X,,ÿ,,Z,) attaché au bélier du fouloir (1), ce dernier est lié au bâti (0) par
une liaison pivot d’axe (O,Z,) tel que(X),%) = (Yo, V1) = (!اه
Ÿ Le corps de vérin (2) est lié au bâti (0) par une liaison pivot d’axe(A,Z,), de repère
/ La tige du vérin (3) est lié au bélier (1) par une liaison pivot d’axe (B,Z,), le repère
associé est R,(B,X,,ÿ»,Z0) et AB= X(H)y. et OB= رق + dy, .
La tige du vérin (3) est lié aussi au corps (2) par une liaison glissière direction y. .
Va, b, c, et d sont des constantes.
Le problème est supposé plan.
Durée:2heurs à Pagessurls
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Figure 5
RK A1
1 ا/0
ا No عا No
١ ١
+١ ١ +١ ١
١ حت ١ وا
من ان ا 0٠ جب use” 5 =›
ءءء لانم MS: › 20 ساك اا سان ان س1 ما › 20
Questions :
1. Tracer le graphe de liaisons.
2. Quelles sont les paramètres d'entrée et de sortie de mouvement du mécanisme
3. Dans la chaine des solides {0, 1, 2, 3}, écrire la fermeture géométrique, dans le triangle
(OAB) et trouver les équations scalaires suivantes : (faire la projection dans la base
(XorVor20))-
a—Xsin8-ccosa+dsina =0
b+XcosB—csina—dcosa=0
4. Montrer que la loi d'entrée sortie en position du mécanisme est la suivante :
NX = ccosa—dsina—a * +(csina+dcosa—b)
Durée : 2 heures Page 4 sur 13
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5. Déterminer V(B €1/0) en fonction de c, det à.
6. Déterminer V(B €3/0) en fonction de À, À et B .
7. Montrer que : V(BE1/0)=V(BE3/0).
8. Projeter l'égalité précédente dans la base (Xp,Y0,Zp)et trouver les deux équations
scalaires suivantes :
\sin8+X8 cos = à(c sin a + d cos a)
À cosB—X8sin 8 = إن cos œ —d sin a)
9. En dérivant l'expression de la question 4, trouver une relation entre la vitesse
d'entrée À et la vitesse de sortie à et les autres paramètres et données.
Fin de l'exercice préliminaire
Partie 1 : Modélisation dynamique du fouloir.
Objectif : Déterminer les caractéristiques du vérin hydraulique et de la centrale hydraulique.
1.1 Equation de mouvement du mécanisme Fouloir
Ÿ On retient le schéma cinématique de la figure 5.
y Le bélier (1) est de masse m, de centre d'inertie G, de vecteur position OG= €, + hy,, son
moment d'inertie par rapport à l’axe (G,Z,)est I.
v Le vérin {2,3} est de masse et inertie négligeables.
y L'action du fluide intercalé entre le corps du vérin (2) et sa tige (3) est modélisée par un
glisseur au point B : F(fluide + 3) = و
v L'ensemble des frottements visqueux au niveau des liaisons est modélisé par un couple
frot _visq
ramené au point O : 0 1) = —poz, -
v L'action des déchets sur le bélier (1) est représentée par un glisseur au point E :
R(Déchets —1) = FX, +F,ÿ, et OÉ= فنا +1
y L'accélération de la pesanteur est g = —gy,-
h, ( et Lsont des constantes. و آ
Questions :
Q1. …— Dresser le graphe des actions mécaniques.
Q2. Déterminer le moment d'inertie du bélier (1) par rapport à l’axe (O,Z;).
Q3. — Déterminer l'énergie cinétique galiléenne de l’ensemble
Q4 Déterminer la puissance galiléenne des actions mécaniques extérieures à E:
Durée : 2 heures Page 5 sur 13
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Concours National Commun Filière : TSI Génie mécanique Session 2020
Q5. …— Déterminer la puissance des actions mécaniques intérieures à E : P,. -
Q6. — Applique le théorème de l'énergie cinétique à l'ensemble E et trouver une
équation de mouvement.
1.2 Caractérisation du circuit hydraulique du fouloir :
Le vérin hydraulique utilisé pour pousser le bélier (1) afin d’écraser les encombrants, a les
caractéristiques suivantes :
Bélier du fouloir
e Charge réelle exercée par le vérin
hydraulique : 8 000 daN
e Course du vérin : 700 mm
e Taux de charge du vérin : 0,75
e Pression de service : 200 bars
L’écrasement des encombrants se fait pendant la rentrée de la tige du vérin.
07. د l'aide du document Annexe A1 et des données ci-dessus, calculer la charge
théorique du vérin ?
08 A l'aide du document Annexe A2 et des résultats obtenus ci-dessus, donner la
référence et les dimensions du vérin pouvant convenir (opter pour le vérin le plus
léger).
On souhaite que le bélier du fouloir effectue sa descente en 45 secondes, c'est à dire que le vérin
effectue sa course entre la position tige sortie et la position tige rentrée en 45s.
09. — Calculer alors la vitesse de rentrée de la tige du vérin.
On choisit un vérin hydraulique dont le diamètre de l'alésage est de 100 mm, et le diamètre de
tige = 50 mm.
Q10. Calculer le débit d'alimentation du vérin pour avoir la vitesse de rentrée de la tige
du vérin souhaitée.
Q11. En exploitant le document Annexe A3, compléter sur le document réponse DR1,
le diagramme de définition de blocs internes IBD du fouloir.
Q12. Calculer la puissance hydraulique absorbée par le vérin, en déduire son
rendement.
Les caractéristiques de la pompe et du distributeur de la centrale hydraulique sont :
e Rendement de la pompe :n, = 0,9.
Durée:2heurs à Page6sur13
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Concours National Commun Filière : TSI Génie mécanique Session 2020
e Débit refoulé par la pompe : م =5,5( min ".
e On suppose que le rendement du distributeur : N, =1.
Q13. Calculer la puissance utile du moteur électrique nécessaire à l'entrainement de la
pompe hydraulique.
Q14. Sur le document réponse DR2, compléter les zones relatives aux vérins et
distributeur dans la position sortie de la tige.
PARTIE II : Dimensionnement de l'arbre de coupe du broyeur.
L'opération de broyage s'obtient par la rotation, en sens opposés à la même vitesse, de deux
arbres de coupe.
Chaque rotor de coupe tourne à la fréquence de N, =14 trmin ‘et développe un couple
C, = 4500Nm .
Un moteur hydraulique, tournant à la fréquence de rotation N, , transmet un couple C, au
réducteur de rapport r,, dont le schéma cinématique est donné ci-dessous figure 6.
2.1 Étude du réducteur :
Rotor du
moteur
Bâti (0)
Arbre de
coupe (1)
1e" train épicycloïdal 2906 train épicycloïdal Engrenage conique
de rapport r, de rapport r; de rapport r.
Figure 6 : Réducteur
Vocabulaire et nombre de dents :
e Bâti : (0) de nombre de dents Zo= 78 dents,
e Pignon : (1) et (1) de nombre de dents Z1=Z1'= 15 dents,
e Satellite : (2) et (2°) de nombre de dents Z2=Z;",
e Porte satellite : (3) et (3°).
1
27
e Renvoi conique de rapport r. =
Durée:2heurs à Page7surl3
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15. Déterminer le rapport de réduction ri du 1“ train épicycloïdal en fonction du
nombre de dents Zo et Zi.
5
16. Déterminer le rapport de réduction global du réducteur r, ,(r, = D, ;
5
17. Calculer la valeur numérique de r,.
18. En régime permanent, calculer le couple moteur C, si la transmission de
puissance se fait avec un rendement unitaire.
2.2 Détermination du diamètre de l'arbre de coupe.
On assimile l'arbre de coupe à une poutre droite de section circulaire, soumise à un couple de
torsion C, = 4500Nm , en acier traité tel que :
e La contrainte tangentielle à la limite élastique te = 600 MPa,
e Le module de coulomb G = 8.1 0‘MPa,
e Le coefficient de sécurité s =3,
e Ie coefficient de concentration de contrainte K=3,
e L'’angle unitaire de torsion 0 doit être :0 ‹ 6 =0,5°/m.
limite
Q19. Déterminer le diamètre de l'arbre de coupe en utilisant la condition de la
résistance à la torsion.
Q20. Vérifier la rigidité de cet arbre de coupe.
Q21. Conclure.
Fin de l’énoncé
Durée:2heurs à عه 8 3
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Document annexe A1 :
› Effort développé par un vérin.
4 Taux de charge :
charge réelle
charge théorique
C'est le rapport exprimé entre la charge réelle à déplacer par le vérin et la charge théorique
disponible en bout de tige.
4 Calcul du débit d'alimentation d’un vérin :
Q=V5
Q = Débit en m°/s ;
S = surface d'appui du fluide en m*
V = vitesse de déplacement de la tige en m/s.
En sortie de la tige du vérin En rentrée de la tige du vérin
Sex fE s=7(D' —d)
› Puissance hydraulique :
Pa = PQ
Pyya : Puissance hydraulique en W.
P : Pression hydraulique en Pascal.
Q : Débit en m°/s.
Durée:2heurs à 3ع 9 عه
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Document annexe A2 :
VERINS HYDRAULIQUES
GAMME STANDARD
DOUBLE EFFET
0 J M esp ok H
DE407020
DE407025
DE407030
DE407035
DE407040
DE407045
DE407050
DE407060
DE407070
DE408020
DE408025
DE408030
DE408035
DE408040
DE408050
DE408060
DE408070
DES010030
DES010040
DES010050
DE5010060
DES010070
DES010080
DES010090
DE7012050 POUSSER | TIRER
DE7012070 22 619 14 923
DE70120100 daN
Durée:2heurs à Page l0sur13
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Document annexe A3
Schéma en position repos
Vérin hydraulique double
Clapet anti retour à
étranglement
Distributeur 4/3
Co 0
1G
Filtre + clapet de non-
retour avec ressort
Limiteur |
de pression |
Pompe hydraulique
à cylindrée fixe Moteur électrique
Durée:2heurs à 06861113
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— صفحة 12 —
Concours National Commun Filière : TSI Génie mécanique Session 2020
Document réponse DR1 1
ibd [Block] Fouloir [Fouloir]
جا Moteur électrique جا
Energie
électrique
Energie mécanique
de translation
Durée:2heurs à Page l2sur13
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— صفحة 13 —
Concours National Commun Filière : TSI Génie mécanique Session 2020
Document réponse DR2 : Q14
Tige en position sortie
Zones à compléter
Durée:2heurs à 068613 3
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✅ Correction proposée
Il s'agit d'une correction proposée, rédigée par l'équipe wadifa-info pour vous aider à comprendre la méthode — ce n'est pas un corrigé officiel de l'administration organisatrice.
Ce modèle est l'épreuve de Génie mécanique du Concours National Commun (CNC) 2020, filière TSI. Durée imprimée sur le sujet : 2 heures. Le sujet (13 pages) porte sur un broyeur à cisailles rotatives équipé d'un fouloir hydraulique : un exercice préliminaire de cinématique (4 points), une partie I de dynamique et d'hydraulique (vérin, débit, puissances, schéma) et une partie II sur le réducteur et le dimensionnement en torsion de l'arbre de coupe. Voici une correction proposée, dans l'ordre du sujet.
💡 Conventions : vecteurs en gras (x0), dérivées notées par un point (α̇, λ̇, β̇). Bases : x1 = cosα x0 + sinα y0, y1 = −sinα x0 + cosα y0 ; de même pour la base 2 avec β.
Exercice préliminaire — Modélisation cinématique du fouloir
1. Graphe des liaisons
- 0 – 1 : pivot d'axe (O, z0) (bélier / bâti) ;
- 0 – 2 : pivot d'axe (A, z0) (corps du vérin / bâti) ;
- 2 – 3 : glissière de direction y2 (tige / corps) ;
- 3 – 1 : pivot d'axe (B, z0) (tige / bélier).
Le graphe forme une seule boucle 0 – 2 – 3 – 1 – 0.
2. Paramètres d'entrée et de sortie
Entrée : λ(t), la course de la tige du vérin (mouvement piloté par le fluide). Sortie : α(t), la rotation du bélier. β(t) est un paramètre intermédiaire (orientation du vérin).
3. Fermeture géométrique dans le triangle OAB
OA + AB + BO = 0 : a x0 + b y0 + λ y2 − c x1 − d y1 = 0, avec y2 = −sinβ x0 + cosβ y0.
- sur x0 : a − λ sinβ − c cosα + d sinα = 0
- sur y0 : b + λ cosβ − c sinα − d cosα = 0
4. Loi entrée-sortie en position
On isole λ sinβ = a − c cosα + d sinα et λ cosβ = c sinα + d cosα − b, puis on élève au carré et on additionne (sin²β + cos²β = 1) :
λ² = (c cosα − d sinα − a)² + (c sinα + d cosα − b)²
💡 Dans l'énoncé, la parenthèse du premier carré est absente à l'impression : il faut lire (c cosα − d sinα − a)².
5. V(B∈1/0)
V(B∈1/0) = α̇ z0 ∧ (c x1 + d y1) = α̇ (c y1 − d x1).
6. V(B∈3/0)
Composition : V(B∈3/0) = V(B∈3/2) + V(B∈2/0) = λ̇ y2 + β̇ z0 ∧ λ y2, soit V(B∈3/0) = λ̇ y2 − λ β̇ x2.
7. Égalité des vitesses en B
B est le centre de la liaison pivot entre (3) et (1) : V(B∈3/1) = 0. Par composition, V(B∈3/0) = V(B∈3/1) + V(B∈1/0) = V(B∈1/0).
8. Projection dans (x0, y0, z0)
Avec x1·x0 = cosα, y1·x0 = −sinα, x2·x0 = cosβ, y2·x0 = −sinβ :
- sur x0 : −λ̇ sinβ − λβ̇ cosβ = −α̇ (c sinα + d cosα), soit λ̇ sinβ + λβ̇ cosβ = α̇ (c sinα + d cosα) ;
- sur y0 : λ̇ cosβ − λβ̇ sinβ = α̇ (c cosα − d sinα) ;
- sur z0 : 0 = 0 (problème plan).
9. Relation entre λ̇ et α̇
En dérivant λ² = (c cosα − d sinα − a)² + (c sinα + d cosα − b)² :
2λλ̇ = 2α̇ [ −(c cosα − d sinα − a)(c sinα + d cosα) + (c sinα + d cosα − b)(c cosα − d sinα) ].
Les produits croisés (c cosα − d sinα)(c sinα + d cosα) se simplifient, d'où :
λ λ̇ = α̇ [ a (c sinα + d cosα) − b (c cosα − d sinα) ], soit λ̇ = α̇ [ a (c sinα + d cosα) − b (c cosα − d sinα) ] / λ.
On retrouve le même résultat en combinant les équations de la question 8 (×sinβ et ×cosβ) avec celles de la question 3.
Partie I — Modélisation dynamique du fouloir
Q1. Graphe des actions mécaniques
Reprendre le graphe des liaisons (pivots O, A, B et glissière 2/3) et y ajouter les actions extérieures et intérieures :
- pesanteur → (1) (le vérin {2, 3} a une masse négligeable) ;
- déchets → (1), glisseur en E : Fx x1 + Fy y1 ;
- frottement visqueux 0 → 1, couple −μ α̇ z0 en O ;
- fluide → (3) : Fv y2 en B, et réciproquement fluide → (2) : −Fv y2 (action entre 2 et 3).
Q2. Moment d'inertie du bélier par rapport à (O, z0)
Théorème de Huygens, avec OG² = e² + h² : IO = I + m (e² + h²).
Q3. Énergie cinétique de E = {1, 2, 3}
Le vérin a une masse et une inertie négligeables ; le bélier tourne autour de l'axe fixe (O, z0) :
T(E/R0) = ½ [ I + m (e² + h²) ] α̇²
Q4. Puissance des actions extérieures
- Pivots en O et A supposées parfaites (frottement regroupé dans le couple visqueux) : −μ α̇ z0·α̇ z0 = −μ α̇².
- Pesanteur : V(G∈1/0) = α̇ (e y1 − h x1), et −m g y0·V(G) = −m g α̇ (e cosα − h sinα).
- Déchets : V(E∈1/0) = α̇ (ℓ y1 − L x1), et (Fx x1 + Fy y1)·V(E) = α̇ (ℓ Fy − L Fx).
P(Ē→E/R0) = −μ α̇² − m g α̇ (e cosα − h sinα) + α̇ (ℓ Fy − L Fx)
Q5. Puissance des actions intérieures
La pivot en B est parfaite. L'action du fluide s'exerce entre (2) et (3) : Pint = Fv y2·V(B∈3/2) = Fv y2·λ̇ y2, soit Pint = Fv λ̇.
Q6. Théorème de l'énergie cinétique
dT(E/R0)/dt = Pext + Pint :
[ I + m (e² + h²) ] α̇ α̈ = Fv λ̇ − μ α̇² − m g α̇ (e cosα − h sinα) + α̇ (ℓ Fy − L Fx).
En remplaçant λ̇ par la relation de la question 9 et en divisant par α̇ (α̇ ≠ 0) :
[ I + m (e² + h²) ] α̈ = Fv [ a (c sinα + d cosα) − b (c cosα − d sinα) ] / λ − μ α̇ − m g (e cosα − h sinα) + ℓ Fy − L Fx
avec λ donné par la loi de la question 4 : c'est l'équation de mouvement du fouloir.
Q7. Charge théorique du vérin
Annexe A1 : taux de charge = charge réelle / charge théorique ⇒ charge théorique = 8 000 / 0,75 ≈ 10 667 daN (≈ 106,7 kN).
Q8. Choix du vérin (annexe A2)
L'écrasement se fait en rentrée de tige : c'est l'effort « TIRER » (section annulaire) qui doit dépasser 10 667 daN, avec une course d'au moins 700 mm.
- Série DE408… : TIRER = 7 540 daN < 10 667 daN → insuffisant ;
- Série DE5010… : TIRER = 11 781 daN ≥ 10 667 daN → convient ;
- Série DE7012… : TIRER = 14 923 daN → convient aussi, mais nettement plus lourde (72 kg pour 700 mm).
Vérin retenu (le plus léger) : DE5010070 — course Z = 700 mm, alésage 100 mm, tige 50 mm (colonnes EA = 50, EB = 100, EG = 115), E = 925 mm, K = 60, M = 1/2" BSP, J = 47, F = 70, I = 60, D = 30,5, C = 28, L = 20, H = 75, masse 39,1 kg.
Contrôle : 200 bar × π/4 (100² − 50²) mm² = 20 MPa × 5 890 mm² ≈ 117 800 N = 11 781 daN : cohérent avec le catalogue.
Q9. Vitesse de rentrée de la tige
V = 700 mm / 45 s ≈ 15,6 mm/s (0,0156 m/s).
Q10. Débit d'alimentation
En rentrée, le fluide agit sur la section annulaire : S = π/4 (D² − d²) = π/4 (0,1² − 0,05²) ≈ 5,89·10−3 m².
Q = V·S = 0,01556 × 5,89·10−3 ≈ 9,16·10−5 m³/s ≈ 5,5 L/min (c'est bien le débit de la pompe donné plus loin).
Q11. IBD du fouloir (DR1)
Énergie électrique → Moteur électrique → énergie mécanique de rotation → Pompe hydraulique à cylindrée fixe (1WP) → énergie hydraulique (débit Q, pression p) → Distributeur 4/3 (1D, avec les clapets anti-retour à étranglement 1QA/2QB) → énergie hydraulique distribuée → Vérin hydraulique double effet → énergie mécanique de translation (de la tige, donc du bélier).
Q12. Puissance hydraulique absorbée et rendement du vérin
Phyd = p·Q = 200·10⁵ × 9,16·10−5 ≈ 1 833 W.
Puissance mécanique utile : Pu = charge réelle × V = 80 000 N × 0,01556 m/s ≈ 1 244 W.
Rendement : ηv = 1 244 / 1 833 ≈ 0,68 (réponse probable : c'est la lecture « charge réelle / pleine puissance hydraulique » ; il équivaut au rapport 8 000 / 11 781 daN entre charge réelle et effort disponible à 200 bar).
Q13. Puissance utile du moteur électrique
Puissance hydraulique fournie par la pompe : p·QP = 200·10⁵ × 5,5·10−3/60 ≈ 1 833 W. Le distributeur ayant un rendement de 1, le moteur doit fournir sur l'arbre de la pompe : Pmoteur = 1 833 / 0,9 ≈ 2 040 W ≈ 2 kW.
💡 Le limiteur de pression 1R de l'annexe A3 porte l'indication « 120 b », alors que le texte donne 200 bar de pression de service : le calcul suit la donnée du texte. Signalez la discordance sur la copie.
Q14. DR2 — vérin et distributeur, tige en position sortie
- Vérin : symbole du vérin double effet avec la tige sortie (piston en butée côté tige), orifice A côté fond, orifice B côté tige.
- Distributeur 4/3 (1D) : on dessine les trois cases ; pour obtenir la sortie, c'est la case de gauche (commande a, électroaimant 2YVA activé) qui est en face des orifices : P → A (le fluide entre côté fond) et B → T (la chambre côté tige se vide vers le réservoir). Case centrale : A et B reliés, P et T bloqués ; case de droite (2YVB) : P → B et A → T (rentrée de tige, écrasement).
Réponse probable pour la case représentée : si l'on veut figurer la tige déjà arrivée en fin de course au repos, le distributeur revient en position centrale (ressorts).
Partie II — Dimensionnement de l'arbre de coupe
💡 Sur la figure 6, les couleurs placent le pignon (1') et l'arbre de coupe (1) sur les planétaires et l'entrée (4) sur le porte-satellite (3') : lu tel quel, ce serait un multiplicateur (ω1/ω5 ≈ 14, moteur à moins de 1 tr/min), ce qui est incohérent avec un « réducteur » et Nr = 14 tr/min. On traite donc chaque train comme un réducteur (entrée par le planétaire, sortie par le porte-satellite) ; le résultat Nm ≈ 1 450 tr/min, vitesse courante d'un moteur, confirme cette lecture. Signalez-le sur la copie.
Q15. Rapport du 1er train
Willis, couronne (0) fixe, un contact extérieur et un contact intérieur : (ωp − ωps)/(ω0 − ωps) = −Z0/Z1. Avec ω0 = 0 : ωp = ωps (1 + Z0/Z1), d'où
r1 = ωps/ωp = Z1 / (Z0 + Z1) = 15/93 ≈ 0,161.
Q16. Rapport global
Les deux trains sont identiques (Z1' = Z1, Z2' = Z2) : r2 = r1. En série avec le renvoi conique :
rg = ω1/ω5 = rc · r1 · r2 = rc · [ Z1/(Z0 + Z1) ]² (en valeur absolue ; le sens dépend du renvoi conique).
Q17. Valeur numérique
rg = (1/2,7) × (15/93)² = 0,3704 × 0,02601 ≈ 9,64·10−3 (≈ 1/103,8).
Fréquence du moteur : Nm = Nr/rg = 14 / 9,64·10−3 ≈ 1 453 tr/min.
Q18. Couple moteur en régime permanent
Rendement unitaire : Cm ωm = Cr ωr ⇒ Cm = rg · Cr = 9,64·10−3 × 4 500 ≈ 43,4 N·m (pour un rotor de coupe entraîné par son moteur, comme sur la figure 3 où chaque arbre porte son moteur).
Q19. Diamètre par la condition de résistance
τmax = K · 16 Cr / (π d³) ≤ τe/s = 600/3 = 200 MPa, d'où
d³ ≥ 16 K s Cr / (π τe) = 16 × 3 × 3 × 4,5·10⁶ / (π × 600) ≈ 343 800 mm³ ⇒ d ≥ 70,05 mm (soit d ≈ 71 mm).
Q20. Vérification de la rigidité
θ = Cr / (G I0) avec I0 = π d⁴/32. Pour d = 70,05 mm : I0 ≈ 2,36·10⁶ mm⁴ et
θ = 4,5·10⁶ / (8·10⁴ × 2,36·10⁶) ≈ 2,38·10−5 rad/mm = 0,0238 rad/m ≈ 1,36 °/m > 0,5 °/m : la condition de rigidité n'est pas vérifiée.
Diamètre exigé par la rigidité : d⁴ ≥ 32 Cr / (π G θlim), avec θlim = 0,5° /m = 8,73·10−6 rad/mm : d⁴ ≥ 32 × 4,5·10⁶ / (π × 8·10⁴ × 8,73·10−6) ≈ 6,57·10⁷ mm⁴ ⇒ d ≥ 90 mm.
Q21. Conclusion
C'est la condition de rigidité qui dimensionne l'arbre : on retient d ≥ 90 mm (diamètre normalisé 90 mm ou supérieur). Avec d = 90 mm la contrainte maximale vaut 3 × 16 × 4,5·10⁶ / (π × 90³) ≈ 94 MPa, bien en dessous des 200 MPa admissibles : la résistance est alors largement assurée.
Questions fréquentes sur ce sujet
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