Modèle de concours : CNC 2015 Mathématiques II (PSI) — Concours National Commun

Ce sujet est l'épreuve de Mathématiques II du Concours National Commun (CNC) 2015, filière PSI, organisé par la présidence du CNC (ENSEM) pour l'admission dans les écoles d'ingénieurs marocaines. Durée : 4 heures, calculatrice interdite, 3 pages d'énoncé. C'est un problème d'algèbre linéaire et de topologie en dimension finie : « Quelques propriétés du groupe spécial orthogonal SO₂(ℝ) — application à la non continuité de la diagonalisation en dimension 2 ». Voici une correction méthodologique proposée.

💡 Avant de commencer : le fil conducteur est simple : on suppose qu'une diagonalisation continue f existe sur l'ouvert 𝒰, on la « normalise » pour la rendre à valeurs dans SO₂(ℝ), puis on fabrique une fonction continue de ℝ dans ℝ qui ne prend que les valeurs −2 et 2 : le théorème des valeurs intermédiaires donne la contradiction. Les outils à mobiliser sont peu nombreux : continuité des applications linéaires/polynomiales en dimension finie, caractérisation des ouverts par image réciproque, produit par blocs, paramétrage de SO₂(ℝ) par θ ↦ Φ(θ). Soignez les références aux questions : le problème les réutilise sans cesse.

1ère Partie — Résultats préliminaires

1.1.1. Description de 𝒰

Pour A ∈ M₂(ℝ), χ_A(X) = X² − Tr(A) X + det A. A a deux valeurs propres réelles distinctes ⇔ ce trinôme a deux racines réelles distinctes ⇔ son discriminant est strictement positif. Donc 𝒰 = {A ∈ M₂(ℝ) ; (Tr A)² − 4 det A > 0}.

1.1.2. Continuité de Tr et det

Tr est linéaire sur un espace de dimension finie, donc continue. Pour A = (a b ; c d), det A = ad − bc est un polynôme en les coordonnées de A ; les applications coordonnées sont linéaires donc continues (toutes les normes sont équivalentes), et sommes et produits de fonctions continues sont continus : det est continue.

1.1.3. 𝒰 est un ouvert non vide

φ : A ↦ (Tr A)² − 4 det A est continue (1.1.2), et 𝒰 = φ⁻¹(]0, +∞[) est l'image réciproque d'un ouvert de ℝ : c'est un ouvert. Il est non vide : diag(1, 0) ∈ 𝒰 (φ = 1 > 0).

1.1.4. Graphique

Le graphe de x ↦ x²/4 est une parabole de sommet l'origine, tournée vers le haut, passant par (±2, 1) et (±4, 4). L'ensemble {(Tr A, det A) ; A ∈ 𝒰} est la région strictement située sous la parabole : {(s, p) ∈ ℝ² ; p < s²/4}, parabole exclue (c'est cette zone qu'on hachure). En effet, l'inclusion découle de 1.1.1 ; réciproquement, si p < s²/4, X² − sX + p a deux racines réelles distinctes λ ≠ μ et A = diag(λ, μ) ∈ 𝒰 vérifie (Tr A, det A) = (s, p).

1.1.5. Diagonalisabilité et construction de f₁

Une matrice d'ordre 2 ayant deux valeurs propres distinctes a deux sous-espaces propres de dimension ≥ 1 dont la somme est directe et de dimension 2 : toute matrice de 𝒰 est diagonalisable.

Pour M = (a b ; c d) ∈ 𝒱 (b ≠ 0), posons Δ(M) = (Tr M)² − 4 det M > 0 et λ_1,2(M) = (a + d ± √Δ(M))/2. La première ligne du système (M − λI₂)X = 0 s'écrit (a − λ)x + by = 0 ; comme b ≠ 0, X_λ = ^t(b, λ − a) est un vecteur propre non nul (la seconde ligne est alors automatiquement vérifiée car le système est de rang 1). On pose :

f₁(M) = ( b b ; λ₁(M) − a λ₂(M) − a ), de déterminant b(λ₂ − λ₁) = −b√Δ(M) ≠ 0.

f₁ est continue (√ est continue sur ]0, +∞[, Δ est continue), à valeurs dans GL₂(ℝ), et ses colonnes sont des vecteurs propres : par 1.3, f₁(M)⁻¹ M f₁(M) = diag(λ₁, λ₂). (L'énoncé écrit « pour tout M ∈ M₂(ℝ) » : il faut lire M ∈ 𝒱.)

1.2.1. Commutant de B = diag(α, β), α ≠ β

Pour M = (x y ; z t) : MB = (αx βy ; αz βt) et BM = (αx αy ; βz βt). MB = BM ⇔ (β − α)y = 0 et (α − β)z = 0 ⇔ y = z = 0. Donc 𝒞(B) = 𝒟₂(ℝ), l'ensemble des matrices diagonales.

1.2.2.

(U, V inversibles.) UBU⁻¹ = VBV⁻¹ ⇔ V⁻¹UB = BV⁻¹U ⇔ V⁻¹U ∈ 𝒞(B) ⇔ V⁻¹U est diagonale (1.2.1).

1.3. CNS de conjugaison à une diagonale

Écrivons P = (X₁ | X₂) par colonnes et D = diag(d₁, d₂). Par produit par blocs, MP = (MX₁ | MX₂) et PD = (d₁X₁ | d₂X₂). Donc P⁻¹MP = D ⇔ MP = PD ⇔ MX_i = d_iX_i pour i = 1, 2. Comme P est inversible, X_i ≠ 0 : X_i est vecteur propre associé à d_i, qui est donc valeur propre. Réciproquement, si les colonnes de P sont des vecteurs propres associés respectivement à d₁, d₂, on a MP = PD, d'où P⁻¹MP = D. (Comme D est semblable à M, ses coefficients diagonaux sont exactement les valeurs propres de M, avec multiplicité.)

2ème Partie — Le groupe SO₂(ℝ)

2.1.

Soit A = (a c ; b d) ∈ O₂(ℝ). ^tAA = I₂ signifie que les colonnes sont orthonormées : a² + b² = 1, c² + d² = 1, ac + bd = 0. Le vecteur (c, d), unitaire et orthogonal à (a, b) unitaire, vaut ±(−b, a). Alors det A = ad − bc = ±(a² + b²) = ±1, et det A = 1 impose (c, d) = (−b, a). Réciproquement, pour A = (a −b ; b a) avec a² + b² = 1 : ^tAA = (a²+b²) I₂ = I₂ et det A = 1. D'où SO₂(ℝ) = {(a −b ; b a) ; a² + b² = 1}.

2.2.

SO₂(ℝ) ⊂ GL₂(ℝ) (det = 1), I₂ ∈ SO₂(ℝ). Pour A, B ∈ SO₂(ℝ) : ^t(AB)(AB) = ^tB(^tAA)B = I₂ et det(AB) = 1 ; A⁻¹ = ^tA vérifie ^t(^tA)^tA = A^tA = I₂ et det(^tA) = 1. SO₂(ℝ) est un sous-groupe de GL₂(ℝ).

2.3.1. et 2.3.2.

• Les coordonnées de Φ(θ) (cos θ, ± sin θ) sont continues, donc Φ est continue (en dimension finie, la continuité se lit coordonnée par coordonnée).
• cos²θ + sin²θ = 1 donne Φ(ℝ) ⊂ SO₂(ℝ) (2.1). Réciproquement, si a² + b² = 1, il existe θ ∈ ℝ avec a = cos θ, b = sin θ (point du cercle unité) : Φ(ℝ) = SO₂(ℝ).

2.4.1. à 2.4.3.

• M ↦ ^tM est linéaire en dimension finie, donc continue.
• Sur SO₂(ℝ), U⁻¹ = ^tU : U ↦ U⁻¹ est la restriction de la transposition, donc continue.
• U ↦ (U, U⁻¹) est continue et le produit matriciel est bilinéaire en dimension finie, donc continu : U ↦ UAU⁻¹ est continue de SO₂(ℝ) dans 𝒮_A.

2.4.4. Une application continue à valeurs dans {B₁, B₂} est constante

Soit F : ℝ → ℝ, F(θ) = [σ(Φ(θ) A Φ(θ)⁻¹)]_1,1 (coefficient (1,1)). F est continue comme composée de Φ (2.3.1), de U ↦ UAU⁻¹ (2.4.3), de σ et d'une forme linéaire. Ses valeurs sont dans {α, β}. Si F prenait les deux valeurs, par le théorème des valeurs intermédiaires elle prendrait (α+β)/2 ∉ {α, β} : absurde. Donc F est constante. Comme Φ(ℝ) = SO₂(ℝ), tout élément de 𝒮_A s'écrit Φ(θ)AΦ(θ)⁻¹, et B₁, B₂ se distinguent par leur coefficient (1,1) (α ≠ β) : σ est constante.

3ème Partie — Non continuité de la diagonalisation sur 𝒰

On suppose f : 𝒰 → GL₂(ℝ) continue avec f(M)⁻¹Mf(M) diagonale pour tout M ∈ 𝒰.

3.1.1.

Par 1.3, C₁(M), C₂(M) sont des vecteurs propres de M associés aux coefficients diagonaux d₁, d₂ de D = f(M)⁻¹Mf(M). D est semblable à M, donc {d₁, d₂} = {λ₁, λ₂} avec λ₁ ≠ λ₂ (M ∈ 𝒰) : les valeurs propres associées sont distinctes. M étant symétrique : d₁⟨C₁, C₂⟩ = ^t(MC₁)C₂ = ^tC₁^tMC₂ = ^tC₁MC₂ = d₂⟨C₁, C₂⟩, donc (d₁ − d₂)⟨C₁, C₂⟩ = 0 et ⟨C₁, C₂⟩ = 0.

3.1.2. et 3.1.3.

Les colonnes C_i/‖C_i‖₂ (C_i ≠ 0 car f(M) inversible) sont unitaires et orthogonales : la matrice est orthogonale, et son déterminant α(M) vaut ±1. g(M) a pour colonnes α(M)C₁/‖C₁‖ et C₂/‖C₂‖, encore orthonormées (|α(M)| = 1), et det g(M) = α(M)·α(M) = α(M)² = 1 (linéarité par rapport à la première colonne). Donc g(M) ∈ SO₂(ℝ).

3.1.4.

M ↦ f(M) est continue, donc ses colonnes C_i(M) aussi (extraction linéaire), ainsi que ‖C_i(M)‖₂, qui ne s'annule pas ; les quotients C_i/‖C_i‖ sont continus, α(M) (déterminant, polynomial) aussi : g est continue. Les colonnes de g(M) sont des multiples non nuls de C₁(M), C₂(M), donc des vecteurs propres de M : par 1.3, g(M)⁻¹Mg(M) est diagonale.

3.2.1.

Pour U ∈ SO₂(ℝ), UBU⁻¹ = UB^tU, et ^t(UB^tU) = U^tB^tU = UB^tU : elle est symétrique. Elle est semblable à B donc a pour valeurs propres α ≠ β réelles : elle est dans 𝒰. Donc 𝒮_B ⊂ 𝒰 ∩ 𝒮₂(ℝ).

3.2.2.

Pour M ∈ 𝒮_B, h(M)⁻¹Mh(M) est diagonale (3.1.4) et semblable à M, elle-même semblable à B : c'est une matrice diagonale de valeurs propres α et β, donc h(M)⁻¹Mh(M) ∈ {B₁, B₂} = {diag(α, β), diag(β, α)}.

3.2.3.

σ : M ↦ h(M)⁻¹Mh(M) est continue sur 𝒮_B (h continue, inversion continue sur SO₂(ℝ) par 2.4.2, produit continu) et à valeurs dans {B₁, B₂}. Par 2.4.4 (avec A = B), σ est constante sur 𝒮_B.

3.2.4.

Si la constante est B₂ = diag(β, α), on remarque que B₂ = RBR⁻¹ avec R = Φ(π/2) ∈ SO₂(ℝ) (R échange, au signe près, les vecteurs de base). Donc 𝒮_B2 = 𝒮_B ; en remplaçant B par B₂ (c'est-à-dire en échangeant les rôles de α et β), on a h(M)⁻¹Mh(M) = B₂, la « nouvelle » B. On peut donc supposer h(M)⁻¹Mh(M) = B pour tout M ∈ 𝒮_B.

3.3.1.

Soit M = UBU⁻¹ et W = h(M)⁻¹U. De h(M)⁻¹Mh(M) = B on tire B = h(M)⁻¹UBU⁻¹h(M) = WBW⁻¹, soit WB = BW : par 1.2.1, W est diagonale. De plus W ∈ SO₂(ℝ) (sous-groupe, 2.2), donc de la forme (a −b ; b a) avec b = 0 et a² = 1 : W = ±I₂.

3.3.2.

φ est bien à valeurs dans 𝒮_B × {−I₂, I₂} (3.3.1) et ψ dans SO₂(ℝ) (±I₂ ∈ SO₂(ℝ)).

• ψ∘φ(U) = h(UBU⁻¹) · h(UBU⁻¹)⁻¹U = U.
• Pour (M, D), U = h(M)D : UBU⁻¹ = h(M)DBD⁻¹h(M)⁻¹ = h(M)Bh(M)⁻¹ = M (D = ±I₂ commute avec B, et h(M)⁻¹Mh(M) = B). Puis h(UBU⁻¹)⁻¹U = h(M)⁻¹h(M)D = D. Donc φ∘ψ(M, D) = (M, D).

φ et ψ sont des bijections réciproques.

3.3.3.

T : U ↦ Tr(h(UBU⁻¹)⁻¹U) est continue : composée de U ↦ UBU⁻¹ (2.4.3), de h (continue), de l'inversion sur SO₂(ℝ) (2.4.2), du produit et de la trace. Ses valeurs sont Tr(±I₂) = ±2. Les deux sont atteintes : ψ(B, I₂) = h(B) donne T = 2 et ψ(B, −I₂) = −h(B) donne T = −2 (car φ(ψ(B, ±I₂)) = (B, ±I₂)). T(SO₂(ℝ)) = {−2, 2}.

3.3.4. Conclusion

θ ↦ T(Φ(θ)) est continue de ℝ dans ℝ, d'image T(SO₂(ℝ)) = {−2, 2} (car Φ(ℝ) = SO₂(ℝ)). Par le théorème des valeurs intermédiaires elle devrait prendre la valeur 0 : contradiction. Donc il n'existe pas d'application continue f : 𝒰 → GL₂(ℝ) diagonalisant chaque M ∈ 𝒰 : la diagonalisation ne peut pas être choisie continûment sur tout 𝒰, alors qu'elle le peut sur l'ouvert 𝒱 (1.1.5).

💡 À retenir et à réviser pour le CNC PSI : (1) continuité en dimension finie : applications linéaires, polynomiales (det), bilinéaires (produit), image réciproque d'un ouvert ; (2) réduction : polynôme caractéristique en dimension 2 (X² − Tr X + det), critère « deux valeurs propres distinctes ⇒ diagonalisable », lecture P⁻¹MP = D par colonnes ; (3) matrices symétriques réelles : orthogonalité des sous-espaces propres ; (4) groupe orthogonal O₂/SO₂ et paramétrage par les rotations Φ(θ) ; (5) le schéma d'argument « fonction continue de ℝ dans un ensemble à deux points ⇒ constante » (TVI / connexité), très fréquent dans les problèmes de topologie matricielle. En copie, rappelez toujours le numéro de la question utilisée.