Modèle de concours : CNC 2016 Mathématiques I (PSI) — Concours National Commun

Ce sujet est l'épreuve de Mathématiques I du Concours National Commun (CNC) 2016, filière PSI, pour l'admission dans les écoles d'ingénieurs marocaines (présidence : École Nationale Supérieure des Mines de Rabat). Durée : 4 heures, calculatrice interdite, 4 pages. C'est un sujet de type problème, composé de deux problèmes indépendants : Problème 1, séries (transformation d'Abel, séries trigonométriques, comparaison série-intégrale et transformée de Laplace) ; Problème 2, fonction génératrice des moments d'une variable aléatoire (cas fini, discret infini, à densité) avec une version « logarithmique » du théorème central limite. Voici une correction méthodologique proposée.

💡 Avant de commencer : les deux problèmes sont indépendants et très proches du cours (Abel, Riemann, comparaison série-intégrale, dérivation terme à terme, intégration terme à terme, moments). La clé du problème 1 est la formule de sommation d'Abel de I.1.b, réutilisée partout en partie II. Dans le problème 2, retenez que φ_X(t) = ln(M_X(t))/t est le « taux d'accroissement » de ln M_X en 0 : tout découle du développement ln M_X(t) = E(X)t + V(X)t²/2 + o(t²).

Problème 1 — Partie I : transformation d'Abel

1.a et 1.b

b_k = B_k − B_k−1 pour k ≥ 1. Alors
S_n = a₀B₀ + Σ_k=1ⁿ a_k(B_k − B_k−1) = Σ_k=0ⁿ a_kB_k − Σ_k=0ⁿ⁻¹ a_k+1B_k = Σ_k=0ⁿ⁻¹ (a_k − a_k+1)B_k + a_nB_n (changement d'indice dans la seconde somme).

2.a

Somme télescopique : Σ_k=0ⁿ (a_k − a_k+1) = a₀ − a_n+1 → a₀. La série converge (de somme a₀), et ses termes sont positifs puisque (a_n) décroît.

2.b

Si |B_k| ≤ M : |(a_k − a_k+1)B_k| ≤ M(a_k − a_k+1), donc Σ(a_k − a_k+1)B_k converge absolument. De plus |a_nB_n| ≤ M a_n → 0. Par 1.b, (S_n) converge : Σ a_nb_n converge (critère d'Abel).

Problème 1 — Partie II : applications

1. Séries alternées

b_n = (−1)ⁿ : B_n vaut 1 ou 0, bornée. Par I.2.b, Σ(−1)ⁿa_n converge (critère spécial des séries alternées retrouvé).

2.a

Somme géométrique de raison e^iθ ≠ 1 : Σ_k=1ⁿ e^ikθ = e^iθ(1 − e^inθ)/(1 − e^iθ) = e^i(n+1)θ/2 sin(nθ/2)/sin(θ/2) (factorisation par l'angle moitié). En particulier son module est ≤ 1/|sin(θ/2)|.

2.b

Pour α ≤ 0, |e^inθ/n^α| = n^−α ≥ 1 : le terme général ne tend pas vers 0, la série diverge grossièrement.

2.c

Pour α > 0, a_n = 1/n^α décroît vers 0 et les sommes partielles de e^inθ sont bornées (2.a). Par Abel, Σ e^inθ/n^α converge ; en prenant parties réelle et imaginaire, Σ cos(nθ)/n^α et Σ sin(nθ)/n^α convergent.

2.d

|cos(nθ)/n^α| ≤ 1/n^α et de même pour sin ; Σ1/n^α converge pour α > 1 (Riemann) : convergence absolue.

2.e (0 < α ≤ 1)

• i) Si 2θ ∉ 2πZ, on applique 2.c à l'angle 2θ : Σ cos(2nθ)/n^α converge. Remarque d'énoncé : si θ ≡ π (mod 2π), cos(2nθ) = 1 et la série Σ1/n^α diverge ; il faut donc supposer θ ∉ πZ (hypothèse à signaler sur la copie). Pour θ ≡ π, sin(nθ) = 0 et ii), iii) sont aussi en défaut.
• ii) sin²(nθ) = (1 − cos(2nθ))/2. La série Σ cos(2nθ)/(2n^α) converge et Σ 1/(2n^α) diverge (α ≤ 1) : la somme d'une série convergente et d'une divergente diverge. Σ sin²(nθ)/n^α diverge.
• iii) |sin(nθ)| ≥ sin²(nθ), donc |sin(nθ)|/n^α ≥ sin²(nθ)/n^α ≥ 0 ; par comparaison de séries à termes positifs, Σ sin(nθ)/n^α n'est pas absolument convergente (elle est semi-convergente).

3.

Pour α = 0 c'est l'hypothèse. Pour α > 0 : a_n = 1/n^α décroît vers 0 et B_n = Σ_k≤n c_k converge donc est bornée. Par I.2.b (appliqué aux suites indexées à partir de 1), Σ c_n/n^α converge.

Problème 1 — Partie III : comparaison série-intégrale

1.

t ↦ e^−stf(t) est continue et 0 ≤ e^−stf(t) ≤ f(0)e^−st, intégrable sur R⁺ pour s > 0. φ_f est définie sur R^*+.

2.

φ_g(s) = ∫₀¹ (1 − t)e^−st dt. Avec ∫₀¹ e^−st dt = (1 − e^−s)/s et, par IPP, ∫₀¹ te^−st dt = −e^−s/s + (1 − e^−s)/s² :
φ_g(s) = 1/s − (1 − e^−s)/s² = (s − 1 + e^−s)/s². (Contrôle : quand s → 0⁺, on retrouve ∫₀¹(1 − t)dt = 1/2.)

3.

Sur [k, k+1], t ↦ e^−stf(t) est produit de deux fonctions positives décroissantes, donc décroissante : e^−(k+1)sf(k+1) ≤ e^−stf(t) ≤ e^−ksf(k). On intègre sur un intervalle de longueur 1 : l'encadrement demandé.

4.

En sommant 3 pour k = 0..N−1 : Σ_k=1^N e^−ksf(k) ≤ ∫₀^N e^−stf(t)dt ≤ Σ_k=0^N−1 e^−ksf(k). D'où ∫₀^N ≤ Σ_k=0^N−1 ≤ Σ_k=0^N, et Σ_k=0^N = f(0) + Σ_k=1^N ≤ f(0) + ∫₀^N. Encadrement établi.

5.

Série à termes positifs dont les sommes partielles sont majorées par f(0) + φ_f(s) : elle converge.

6.

On somme 3 pour k = n..M−1 : Σ_k=n+1^M e^−ksf(k) ≤ ∫_n^M, et pour k = n+1..M : ∫_n+1^M+1 ≤ Σ_k=n+1^M. On fait M → +∞ : ∫_n+1^+∞ e^−stf(t)dt ≤ Σ_k=n+1^+∞ e^−ksf(k) ≤ ∫_n^+∞ e^−stf(t)dt.

7.a

f(t) = 1/(1 + e^ts') est continue, positive et décroissante sur R⁺ (s' > 0) : on applique 6. Encadrement obtenu.

7.b

Avec s' = s, changement de variable u = e^−st (du = −su dt) : e^−st/(1 + e^st) dt = −(1/s) u/(1 + u) du. Donc ∫_n^+∞ e^−st/(1 + e^st) dt = (1/s) ∫₀^e−ns (1 − 1/(1+u)) du = (1/s)(e^−ns − ln(1 + e^−ns)) ; de même avec n+1. On obtient l'encadrement demandé.

7.c

Les deux bornes sont positives (x − ln(1+x) ≥ 0) et la borne supérieure est ≤ (1/s)(1 − ln 2) → 0 (la fonction x ↦ x − ln(1+x) est croissante sur [0, 1]). La limite vaut 0 quand s → +∞.

7.d

Quand s → 0⁺, e^−ns et e^−(n+1)s → 1, donc les deux bornes sont équivalentes à (1 − ln 2)/s. Par encadrement : Σ_k=n+1^+∞ e^−ks/(1 + e^ks) ~ (1 − ln 2)/s quand s → 0⁺.

8.a

f est croissante et positive, e^−t ∈ ]0, 1] pour t ≥ 0, donc 0 ≤ e^−s2tf(e^−t) ≤ f(1)e^−s2t, intégrable car s² > 0. L'intégrale converge.

8.b

h(t) = e^−s2tf(e^−t) est continue, positive et décroissante (f croissante composée avec t ↦ e^−t décroissante, multipliée par une exponentielle décroissante positive). Les questions 3 et 4 n'utilisent que ces propriétés : pour tout N, 0 ≤ Σ_k=0^N h(k) − ∫₀^N h ≤ h(0) = f(1). La série Σh(k) converge (même raisonnement qu'en 5) ; en faisant N → +∞ : 0 ≤ Σ_k=0^+∞ e^−s2kf(e^−k) − ∫₀^+∞ e^−s2tf(e^−t)dt ≤ f(1).

Problème 2 — Partie I : variables discrètes finies

1.

M_Z(t) = 1 − p + pe^t (t ∈ R).

2.

M_X(t) = Σ_i=1^r p_ie^tx_i est une somme finie de fonctions C^∞ ; M_X^(k)(t) = Σ p_ix_i^ke^tx_i, donc M_X^(k)(0) = Σ p_ix_i^k = E(X^k) (transfert).

3.a

M_X(t) > 0 (somme de termes positifs, Σp_i = 1), donc ln M_X est définie et C^∞. Comme M_X(0) = 1, φ_X(t) = (ln M_X(t) − ln M_X(0))/t → (ln M_X)'(0) = M_X'(0)/M_X(0) = E(X).

3.b

Soit L = ln M_X : L(0) = 0, L'(0) = E(X), L'' = (M''M − M'²)/M², donc L''(0) = E(X²) − E(X)² = V(X). Taylor-Young : L(t) = E(X)t + V(X)t²/2 + o(t²), d'où φ_X(t) = E(X) + V(X)t/2 + o(t). φ_X est dérivable en 0 et φ_X'(0) = V(X)/2.

3.c

• i) h(u) = 1 + u + u²/2 − e^u : h(0) = 0 et h'(u) = 1 + u − e^u ≤ 0 (convexité : e^u ≥ 1 + u). h est décroissante, donc h(u) ≥ h(0) = 0 pour u ≤ 0 : e^u ≤ 1 + u + u²/2.
• ii) Si X ≤ 0 et t ≥ 0, tX ≤ 0 : e^tX ≤ 1 + tX + t²X²/2. En prenant l'espérance : M_X(t) ≤ 1 + tE(X) + t²E(X²)/2. Comme ln(1 + y) ≤ y : ln M_X(t) ≤ tE(X) + t²E(X²)/2, et en divisant par t > 0 : φ_X(t) ≤ E(X) + (t/2)E(X²) ; pour t = 0 c'est l'égalité φ_X(0) = E(X).

3.d

• i) (L'énoncé écrit (f₁, …, f_n) : il faut lire (f₁, …, f_r), avec des x_i distincts.) Ordonnons x₁ < … < x_r et supposons Σλ_ie^tx_i = 0 pour tout t. En multipliant par e^−tx_r et en faisant t → +∞, tous les termes tendent vers 0 sauf λ_r : λ_r = 0. Par récurrence descendante, tous les λ_i sont nuls : la famille est libre.
• ii) Même loi ⇒ M_X = M_Y ⇒ φ_X = φ_Y. Réciproquement, φ_X = φ_Y ⇒ M_X(t) = e^tφ_X(t) = M_Y(t) pour tout t. Soit z₁, …, z_s les valeurs distinctes prises par X ou Y : Σ_l (P(X = z_l) − P(Y = z_l))e^tz_l = 0 pour tout t ; par liberté, P(X = z_l) = P(Y = z_l) pour tout l : même loi.

3.e

X, Y indépendantes ⇒ e^tX, e^tY indépendantes ⇒ M_X+Y(t) = M_X(t)M_Y(t). En prenant ln et en divisant par t ≠ 0 : φ_X+Y(t) = φ_X(t) + φ_Y(t) ; en 0, E(X+Y) = E(X) + E(Y). φ_X+Y = φ_X + φ_Y.

3.f

Une loi B(s, p) est la loi de la somme de s variables de Bernoulli B(p) indépendantes ; les fonctions M (donc φ) ne dépendent que de la loi. Par 3.e, φ_X = sφ_Z, d'où ln M_X = s ln M_Z et M_X(t) = (1 − p + pe^t)^s.

3.j (symétrie)

φ_−X(t) = (1/t) ln E(e^−tX) = (1/t) ln M_X(−t) = −φ_X(−t). Donc φ_X impaire ⇔ φ_X(t) = −φ_X(−t) = φ_−X(t) pour tout t ⇔ φ_X = φ_−X ⇔ (3.d.ii) X et −X ont même loi.

4.a

E(S_n) = nm, V(S_n) = nσ² (indépendance), donc S_n* = (S_n − nm)/(σ√n). Par indépendance, M_Sn*(t) = e^{−tnm/(σ√n)} M_X(u)ⁿ avec u = t/(σ√n). En prenant ln et en divisant par t (et n/t = √n/(σu)) : φ_Sn*(t) = −m√n/σ + (√n/σ) φ_X(t/(σ√n)).

4.b

Par 3.b, φ_X(u) = m + σ²u/2 + o(u) quand u → 0. Avec u = t/(σ√n) → 0 : φ_Sn*(t) = −m√n/σ + m√n/σ + (√n/σ)(σt/(2√n)) + o(1) = t/2 + o(1). lim φ_Sn*(t) = t/2, ce qui correspond à M(t) = e^t2/2, fonction génératrice des moments de la loi normale centrée réduite (esprit du théorème central limite).

Problème 2 — Partie II : variables discrètes infinies

1.a et 1.b

Si x ≥ 0 : bx ≤ cx, donc e^bx ≤ e^cx. Si x < 0 : bx < ax, donc e^bx ≤ e^ax. Dans les deux cas e^bx ≤ e^ax + e^cx.
0 ∈ I_X (M_X(0) = 1). Si a, c ∈ I_X et a < b < c : 0 ≤ e^bX ≤ e^aX + e^cX, d'espérance finie, donc b ∈ I_X. I_X est convexe : c'est un intervalle contenant 0.

2.

M_Y(t) = Σ_k≥0 e^−λ(λe^t)^k/k! = exp(λ(e^t − 1)), pour tout t ∈ R.

3.a

u_n^(k)(t) = P(X = x_n) x_n^k e^tx_n et, pour |t| < α, tx_n ≤ α|x_n| : |u_n^(k)(t)| ≤ P(X = x_n)|x_n|^ke^α|x_n|.

3.b

y^ke^αy = y^ke^{−(ρ−α)y} · e^ρy et y ↦ y^ke^{−(ρ−α)y} est bornée sur R⁺ (croissances comparées ; son maximum vaut (k/((ρ−α)e))^k pour k ≥ 1, et 1 pour k = 0). On prend M_k ce maximum : |u_n^(k)(t)| ≤ M_kP(X = x_n)e^ρ|x_n|.

3.c

e^ρ|x| ≤ e^ρx + e^−ρx et ±ρ ∈ ]−a, a[, donc Σ P(X = x_n)e^ρ|x_n| ≤ M_X(ρ) + M_X(−ρ) < ∞. Chaque série dérivée Σu_n^(k) converge donc normalement sur ]−α, α[. Par le théorème de dérivation terme à terme, M_X est C^∞ sur ]−α, α[, pour tout α < a, donc C^∞ sur ]−a, a[, avec M_X^(k)(t) = Σ P(X = x_n)x_n^ke^tx_n ; en 0 (série absolument convergente) : M_X^(k)(0) = E(X^k).

4.

M_Y' = λe^tM_Y, M_Y'' = (λe^t + λ²e^2t)M_Y. Donc E(Y) = λ, E(Y²) = λ + λ², V(Y) = λ.

Problème 2 — Partie III : variables à densité

1.

X, Y indépendantes ⇒ e^tX et e^tY indépendantes et positives, donc E(e^t(X+Y)) = E(e^tX)E(e^tY) : M_X+Y = M_XM_Y sur I_X ∩ I_Y.

2.a

e^s|t| = Σ_j (s|t|)^j/j! ≥ (s|t|)^k/k! (termes positifs), d'où |t|^k ≤ (k!/s^k)e^s|t|.

2.b

e^s|x| ≤ e^sx + e^−sx et ±s ∈ ]a, b[ (car 0 < s < min(−a, b)) : ∫|x|^kf(x)dx ≤ (k!/s^k)(M_X(s) + M_X(−s)) < ∞. E(|X|^k) est finie.

2.c

Pour |t| < s : e^txf(x) = Σ_k (tx)^kf(x)/k! et Σ_k ∫|tx|^kf(x)/k! dx = ∫e^|t||x|f(x)dx ≤ ∫e^s|x|f(x)dx < ∞. Par le théorème d'intégration terme à terme : M_X(t) = Σ_k≥0 E(X^k)t^k/k!.

2.d

M_X est donc la somme d'une série entière de rayon ≥ s : elle est C^∞ sur ]−s, s[ et ses coefficients sont M_X^(k)(0)/k!. Par unicité du développement : M_X^(k)(0) = E(X^k).

💡 Résultats clés : formule d'Abel S_n = Σ(a_k − a_k+1)B_k + a_nB_n ; Σ sin(nθ)/n^α semi-convergente pour 0 < α ≤ 1 (θ ∉ πZ) ; φ_g(s) = (s − 1 + e^−s)/s² ; équivalent (1 − ln 2)/s en 0⁺ ; φ_X'(0) = V(X)/2 ; M = (1 − p + pe^t)^s pour la binomiale, exp(λ(e^t − 1)) pour Poisson ; lim φ_Sn*(t) = t/2. À réviser pour le CNC PSI Maths I : critère d'Abel et séries trigonométriques, comparaison série-intégrale, intégrales à paramètre (transformée de Laplace), dérivation et intégration terme à terme, séries entières, lois usuelles (Bernoulli, binomiale, Poisson), indépendance et fonctions génératrices. Signalez les coquilles d'énoncé (θ ∉ πZ en II.2.e, (f₁, …, f_r) en 3.d.i) avant de poursuivre.