Modèle de concours : CNC 2013 Mathématiques I (PSI) — Concours National Commun

Ce sujet est l'épreuve de Mathématiques I du Concours National Commun (CNC), session 2013, filière PSI. Le CNC donne accès aux écoles d'ingénieurs marocaines ; la présidence du concours est assurée par l'École Hassania des Travaux Publics. L'épreuve dure 4 heures, compte 4 pages plus une page de garde, et la calculatrice est interdite. C'est un problème d'analyse en trois parties sur la transformée de Laplace. On y étudie d'abord l'abscisse de convergence, puis la continuité, la dérivabilité et la limite en +∞. Viennent ensuite un calcul explicite, un théorème de type Césaro et enfin le théorème taubérien de Tauber. Voici une correction méthodologique proposée.

💡 Avant de commencer : presque tout le problème repose sur deux outils. Le premier est l'intégration par parties de 1.2.3 : elle remplace f par sa primitive bornée F, ce qui assure une domination. Le second est le théorème de convergence dominée, avec ses variantes à paramètre pour la continuité et la dérivation. Notez L(f)(z) = ∫₀^+∞ e^−zt f(t) dt. L'intégrale converge sans être forcément absolument convergente : ne majorez jamais |e^−zt f(t)| par une fonction intégrable sans l'avoir justifié. C'est le piège que l'énoncé signale en gras.

1ère partie : résultats préliminaires

1.1.1. Intégrabilité de t ↦ e^−zt

|e^−zt| = e^−xt avec x = Re(z). Or t ↦ e^−xt est intégrable sur ℝ⁺ si et seulement si x > 0. Donc t ↦ e^−zt est intégrable sur ℝ⁺ ⇔ Re(z) > 0.

1.1.2. Limite de cos(γt) et de e^−iyt

On a γ ≠ 0. Prenons t_n = 2nπ/|γ| et s_n = (2n+1)π/|γ|, qui tendent tous deux vers +∞. Alors cos(γt_n) = 1 et cos(γs_n) = −1. Les deux limites séquentielles diffèrent, donc cos(γt) n'a pas de limite en +∞.

Si y ≠ 0, la partie réelle de e^−iyt est cos(yt). Elle n'a pas de limite, donc e^−iyt non plus. Si y = 0, la fonction vaut constamment 1. Ainsi e^−iyt a une limite en +∞ ⇔ y = 0.

1.1.3. Convergence de ∫₀^+∞ e^−zt dt

• Si z = 0, ∫₀^X dt = X → +∞ : l'intégrale diverge.
• Si z ≠ 0, ∫₀^X e^−zt dt = (1 − e^−zX)/z, avec e^−zX = e^−xX e^−iyX.
  • Pour x > 0, le module e^−xX tend vers 0 : il y a convergence.
  • Pour x < 0, le module tend vers +∞ : il y a divergence.
  • Pour x = 0, on a y ≠ 0 et e^−iyX n'a pas de limite d'après 1.1.2 : il y a divergence.

L'intégrale converge ⇔ Re(z) > 0, et elle vaut alors 1/z.

1.2.1. F est C¹ et bornée

F est la primitive nulle en 0 de la fonction continue t ↦ e^−z₀t f(t). Elle est donc de classe C¹, avec F'(x) = e^−z₀x f(x). Par hypothèse de convergence, F a une limite finie en +∞. Une fonction continue sur [0, +∞[ qui a une limite finie en +∞ est bornée : elle est bornée sur [A, +∞[ pour A assez grand, et sur le segment [0, A]. On note M = sup |F|.

1.2.2. Intégrabilité de t ↦ e^{−(z−z₀)t} F(t)

On a |e^{−(z−z₀)t} F(t)| ≤ M e^{−Re(z−z₀)t}. Comme Re(z − z₀) > 0, ce majorant est intégrable d'après 1.1.1. La fonction est donc intégrable sur ℝ⁺.

1.2.3. Intégration par parties

On écrit e^−zt f(t) = e^{−(z−z₀)t} F'(t). Sur [0, X], on intègre par parties avec des fonctions C¹ :

∫₀^X e^−zt f(t) dt = e^{−(z−z₀)X} F(X) − F(0) + (z − z₀) ∫₀^X e^{−(z−z₀)t} F(t) dt.

D'une part F(0) = 0. D'autre part |e^{−(z−z₀)X} F(X)| ≤ M e^{−Re(z−z₀)X} → 0. Enfin, le dernier terme converge d'après 1.2.2. D'où la convergence et ∫₀^+∞ e^−zt f(t) dt = (z − z₀) ∫₀^+∞ e^{−(z−z₀)t} F(t) dt.

1.3. Transformée de f_λ(t) = e^λt

On a e^−zt e^λt = e^−(z−λ)t. D'après 1.1.3, l'intégrale converge si et seulement si Re(z) > Re(λ). Le domaine de définition est {z ∈ ℂ ; Re z > Re λ}, et L(f_λ)(z) = 1/(z − λ).

1.4.1. Abscisse de convergence

Soit D = {Re(z) ; L(f)(z) existe}. Si D est vide, on pose σ = +∞ : cette valeur convient trivialement. Sinon, on pose σ = inf D ∈ ℝ ∪ {−∞}.

• Cas Re(z) > σ. Par définition de la borne inférieure, il existe z₀ tel que L(f)(z₀) existe et σ ≤ Re(z₀) < Re(z). D'après 1.2.3, L(f)(z) existe.
• Cas Re(z) < σ. Si L(f)(z) existait, on aurait Re(z) ∈ D, donc Re(z) ≥ σ : c'est absurde.
• Unicité. Supposons que σ₁ < σ₂ conviennent tous deux. Pour z tel que σ₁ < Re z < σ₂, L(f)(z) serait à la fois défini et non défini : c'est absurde.

1.4.2. Abscisse de convergence de L(f_λ)

D'après 1.3, σ(f_λ) = Re(λ).

2ème partie : propriétés de la transformée de Laplace

2.1.1. Continuité sur Π(σ(f))

Soit z₁ tel que Re z₁ > σ. On choisit deux réels z₀ et a tels que σ < z₀ < a < Re z₁. L(f)(z₀) existe, et pour Re z > z₀, 1.2.3 donne L(f)(z) = (z − z₀) G(z), avec G(z) = ∫₀^+∞ e^{−(z−z₀)t} F(t) dt.

Sur l'ouvert {Re z > a}, on a la domination |e^{−(z−z₀)t} F(t)| ≤ M e^{−(a−z₀)t}. Ce majorant est intégrable et ne dépend pas de z. Par le théorème de continuité des intégrales à paramètre, G est continue sur cet ouvert, qui contient z₁. Donc L(f) est continue sur Π(σ(f)).

2.1.2. Classe C² sur ]σ, +∞[ et expression de L(f)''

On prend x réel et σ < z₀ < a < x. Les dérivées partielles en x de e^{−(x−z₀)t} F(t) sont (−t)^k e^{−(x−z₀)t} F(t). Elles sont dominées sur [a, +∞[ par M t^k e^{−(a−z₀)t}, qui est intégrable. G est donc de classe C² (et même C^∞), et L(f) = (x − z₀) G l'est aussi.

Pour l'expression, on calcule L(f)'' = 2G' + (x − z₀) G'' = ∫₀^+∞ (−2t + (x − z₀) t²) e^{−(x−z₀)t} F(t) dt. Une intégration par parties « à l'envers », comme en 1.2.3, montre que cette intégrale vaut ∫ t² e^{−(x−z₀)t} F'(t) dt. Le terme de bord t² e^{−(x−z₀)t} F(t) tend en effet vers 0. D'où :

L(f)''(x) = ∫₀^+∞ t² e^−xt f(t) dt, et de même L(f)'(x) = −∫₀^+∞ t e^−xt f(t) dt. Ces deux intégrales sont convergentes.

2.1.3. Limite nulle en +∞

On a L(f)(x) = (x − z₀) ∫₀^+∞ e^{−(x−z₀)t} F(t) dt. Le changement de variable u = (x − z₀) t donne L(f)(x) = ∫₀^+∞ e^−u F(u/(x − z₀)) du.

Pour chaque u, F(u/(x − z₀)) → F(0) = 0 quand x → +∞, par continuité de F en 0. La domination par M e^−u permet d'appliquer la convergence dominée : L(f)(x) → 0.

2.2.1. La fonction ω

On a 1 − cos t ~ t²/2, donc ω(0) = 1/2. De plus 0 ≤ 1 − cos t ≤ t²/2, donc 0 ≤ ω ≤ 1/2. Pour x > 0, e^−xt ω(t) est donc intégrable, et L(ω)(x) existe pour tout x > 0. Ainsi σ(ω) ≤ 0.

2.2.2. Dérivée seconde de L(ω)

Par 2.1.2 :

L(ω)''(x) = ∫₀^+∞ t² ω(t) e^−xt dt = ∫₀^+∞ (1 − cos t) e^−xt dt.

Or ∫ e^−xt dt = 1/x, et ∫ cos t e^−xt dt = Re(1/(x − i)) = x/(x²+1), d'après 1.3. Donc L(ω)''(x) = 1/x − x/(x²+1).

2.2.3. L(ω)' et L(ω)

En intégrant, L(ω)'(x) = ln x − ½ ln(1+x²) + C = −½ ln(1 + 1/x²) + C.

Or L(ω)' = −L(tω), et 2.1.3 appliqué à la fonction continue t ↦ tω(t), avec σ ≤ 0, donne L(ω)'(x) → 0 en +∞. Donc C = 0 : L(ω)'(x) = −½ ln(1 + 1/x²).

Une primitive de ln x est x ln x − x. Une primitive de ½ ln(1+x²) est ½ x ln(1+x²) − x + arctan x. On obtient L(ω)(x) = −(x/2) ln(1 + 1/x²) − arctan x + D.

En +∞, (x/2) ln(1 + 1/x²) ~ 1/(2x) → 0 et L(ω) → 0 par 2.1.3, donc D = π/2 :

L(ω)(x) = π/2 − arctan x − (x/2) ln(1 + 1/x²) = arctan(1/x) − (x/2) ln(1 + 1/x²).

Contrôle : quand x → 0⁺, on trouve π/2 = ∫₀^+∞ (1 − cos t)/t² dt, qui est la valeur classique.

2.3.1. Intégrabilité et définition de Δ_x

h est continue par morceaux sur [0,1], donc bornée par ‖h‖_∞. Comme e^−xt ∈ ]0,1], on a |e^−xt g(t) h(e^−xt)| ≤ ‖h‖_∞ e^−xt g(t).

Puisque g ≥ 0 et que L(g)(x) converge (car x > 0 ≥ σ(g)), la fonction positive e^−xt g est intégrable. C'est ici qu'intervient l'équivalence rappelée dans l'énoncé pour les fonctions positives. La fonction est donc intégrable.

2.3.2. Cas d'un polynôme

Pour P = X^k :

Δ_x(X^k) = x ∫ e^−(k+1)xt g(t) dt = x L(g)((k+1)x) = (1/(k+1)) · [(k+1)x L(g)((k+1)x)].

Le crochet tend vers 1 quand x → 0⁺, donc Δ_x(X^k) → 1/(k+1) = ∫₀¹ t^k dt. Par linéarité de Δ_x, Δ_x(P) → ∫₀¹ P(t) dt.

2.3.3. Extension aux fonctions continues (théorème de Weierstrass)

Théorème de Weierstrass : toute fonction continue sur un segment [a, b], à valeurs réelles, est limite uniforme sur [a, b] d'une suite de fonctions polynomiales.

Soient ε > 0 et P tel que ‖h − P‖_∞ ≤ ε. Comme g ≥ 0, Δ_x est positive, donc |Δ_x(h) − Δ_x(P)| ≤ ε Δ_x(1) = ε x L(g)(x). On en déduit :

|Δ_x(h) − ∫h| ≤ ε x L(g)(x) + |Δ_x(P) − ∫P| + ε.

Quand x → 0⁺, la limite supérieure du membre de droite est ≤ 2ε. Donc Δ_x(h) → ∫₀¹ h.

2.3.4. Application à h₁ : moyenne de Césaro

On a e^−xt ≥ 1/e ⇔ t ≤ 1/x. Dans ce cas h₁(e^−xt) = e^xt ; sinon h₁(e^−xt) = 0. Donc Δ_x(h₁) = x ∫₀^1/x g(t) dt, c'est-à-dire ∫₀^1/x g(t) dt = Δ_x(h₁)/x.

Avec a = 1/x, on a (1/a) ∫₀^a g = Δ_1/a(h₁). Quand a → +∞, cette quantité tend vers ∫₀¹ h₁ = ∫_1/e¹ dt/t = 1.

3ème partie : comportement au voisinage de l'origine

3.1.1. Formule pour L(f)(x) − L(f)(0)

On applique 1.2.3 avec z₀ = 0 et z = x > 0, ce qui donne L(f)(x) = x ∫ e^−xt F(t) dt. Par ailleurs x ∫₀^+∞ e^−xt L(f)(0) dt = L(f)(0). En soustrayant : L(f)(x) − L(f)(0) = x ∫₀^+∞ (F(t) − L(f)(0)) e^−xt dt.

3.1.2. Limite en 0⁺

Soit ε > 0. Il existe A tel que |F(t) − ℓ| ≤ ε pour t ≥ A, avec ℓ = L(f)(0). On découpe l'intégrale en A. On pose K = sup_[0,A] |F − ℓ| :

|L(f)(x) − ℓ| ≤ x A K + ε x ∫_A^+∞ e^−xt dt ≤ x A K + ε.

La limite supérieure quand x → 0⁺ est donc ≤ ε. Ainsi L(f)(x) → L(f)(0) (théorème abélien).

3.2. Contre-exemple : la fonction cosinus

cos = (f_i + f_−i)/2. Par 1.3, L(cos)(z) = ½(1/(z−i) + 1/(z+i)) = z/(z²+1) pour Re z > 0, et σ(cos) = 0. Sa limite en 0⁺ vaut 0. En revanche, L(cos)(0) = ∫₀^+∞ cos t dt diverge, car sin X n'a pas de limite (1.1.2). La réciproque de 3.1.2 est donc fausse sans hypothèse supplémentaire.

3.3.1. σ(f) ≤ 0

tf(t) → 0 entraîne f(t) → 0. Comme f est continue sur ℝ⁺ et a une limite finie, elle est bornée. Pour x > 0, e^−xt f(t) est donc intégrable, d'où σ(f) ≤ 0.

3.3.2. Moyenne de |tf|

Soit ε > 0 et A tel que |tf(t)| ≤ ε pour t ≥ A. Pour a > A :

(1/a) ∫₀^a |tf| ≤ (1/a) ∫₀^A |tf| + ε.

Le premier terme tend vers 0, donc la moyenne tend vers 0 (lemme de Césaro continu).

3.3.3. 1 − e^−u ≤ u

On pose φ(u) = u − 1 + e^−u. Alors φ'(u) = 1 − e^−u est du signe de u, donc φ atteint son minimum en 0, où φ(0) = 0. Ainsi φ ≥ 0 sur ℝ. On peut aussi invoquer la convexité : e^−u ≥ 1 − u (tangente en 0).

3.3.4. Les deux inégalités

On écrit L(f)(x) − ∫₀^a f = ∫₀^a (e^−xt − 1) f(t) dt + ∫_a^+∞ e^−xt f(t) dt. L'inégalité triangulaire donne la première inégalité, car 1 − e^−xt ≥ 0 pour t ≥ 0.

Pour la seconde :

• Par 3.3.3, 0 ≤ 1 − e^−xt ≤ xt, donc le premier terme est ≤ x ∫₀^a |tf(t)| dt.
• Pour t ≥ a, |f(t)| = |tf(t)|/t ≤ S/a, avec S = sup_t≥a |tf(t)|. Donc ∫_a^+∞ e^−xt |f| ≤ (S/a) · e^−xa/x ≤ S/(ax).

3.3.5. Théorème de Tauber

On choisit x = 1/a :

|L(f)(1/a) − ∫₀^a f| ≤ (1/a) ∫₀^a |tf| + sup_t≥a |tf(t)|.

Quand a → +∞, les deux termes tendent vers 0, par 3.3.2 et parce que tf → 0. Par ailleurs L(f)(1/a) → μ. Donc ∫₀^a f → μ : L(f)(0) existe et vaut μ.

💡 À réviser pour le CNC PSI (Maths I) : intégrales impropres (convergence ≠ intégrabilité) ; théorèmes de continuité et de dérivation des intégrales à paramètre, avec domination locale sur un demi-plan {Re z ≥ a} ; convergence dominée avec changement de variable (u = xt) ; intégration par parties sur [0, X] puis passage à la limite ; théorème de Weierstrass et positivité d'une forme linéaire ; lemme de Césaro ; calculs classiques (∫ e^−xt cos t dt = x/(x²+1), primitives de ln x et de ln(1+x²)). Ce sujet récompense la rigueur des majorations en complexe et la citation précise des théorèmes et des numéros de questions utilisés.