Modèle de concours : CNC 2019 Sciences industrielles (MP) — Concours National Commun

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MELANGEUR DE PEINTURE BI-AXIAL

Le mélangeur de peinture bi-axial « BIAX » est un malaxeur stationnaire pour des
pots étanches, ronds, rectangulaires et ovales, en métal ou en plastique.
Les peintures, colorants, laques bâtiment ou industrie ainsi que les crépis et autres
matériaux à viscosité faible peuvent être mélangés. Le domaine d’utilisation s’étend du
grossiste au détaillant, de l’industrie des laques et peintures jusqu’aux activités voisines.
Le mélangeur est particulièrement indiqué en tant que composant d’un système de mise
à la teinte. (Figure 1)

bdd [Modèle] Mélangeur Biaxia![ Diagramme de contexte ]
«external»
Pot de peinture

Utilisateur

«external»
Alimentation énergétique
Eneroie électrique:ONE()

‎«external»‏ 1 بي

‎Nuancier de couleurs de peinture
«block» ‏ب‎

‎Normes de sécurité ‏أ‎ SE Ë

‎«domain»
‎Industrie des laques et peintures
Mise à la teinte()

‎Figure 1 : diagramme de contexte

‎On donne ci-dessous Le diagramme de cas d’utilisation :

‎use case Mélangeur de peinture [ LR Diagramme de cas d'utilisation ]

‎Mélangeur BIAX

‎Utilisateur 0 ;
1 Préparer des mélanges de

‎\ peinture

‎Figure 2 : diagramme de cas d’utilisation

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La machine est composée de deux unités essentielles :

- Unité de rotation : son rôle est d’animer en rotation le pot suivant les axes
longitudinal et transversal.
- Unité de serrage : son rôle est la mise et le maintien en position du pot.

On donne ci-après, sur la figure 3, le diagramme de définition de blocs regroupant les
constituants des deux unités.

bdd [Modèle] mélangeur biaxial[ Diagramme de définition de blocs ]

«block» «block» «block» | «block» «block»
IHM engrenage système moteur principal système
conique pignon-chaine | poulie-

IN ; pes = par pr courroie

«block»
unité de serrage

«block»

2 «block» engrenage parallele moto-réducteur-frein

blocks systéme vis-écrou 08 de serrage
Plateau

Figure 3 : diagramme de définition de blocs

«block»
carte de puissance
«block» 1 8
١ |sysème de vérouillage du plateau inférieur

- Le pot est positionné avec son anse et centré sur le plateau inférieur.
L’anse du pot doit être positionnée vers l’arrière et fixée avec un élastique ou du
ruban adhésif. (Figure 4)

- Le pot serré est mis en rotation simultanément sur deux axes perpendiculaires, à

deux vitesses différentes adaptées à chaque type de matériaux (figure 5).
- Le temps de mélange nécessaire et l’aptitude du pot au mélange seront déterminés
préalablement par des tests.

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Rotation autour de l’axe

renier Rotation
autour de
l’axe
‏ملي‎ transversal
7
Pot de Figure 5

- peinture

Figure 4 : !

La figure 6 donne le diagramme des exigences du mélangeur :
req [Modèle] mélangeur BIAX[ Diagramme d'exigences

«requirement» sreguiromants
: informer l'utilisateur
rendre homogène un «satisfy»
mélange ld="1.1.1" — — afficheur LCD
Id="1.3" Text ="permettre à ee
Text = "réaliser une l'utilisateur de lire les
opération de malaxage” informations”

«requirement»
mise et maintien en position
du pot

Text = "permettre la fixation et Text = "permettre à Text = "communiquer l'état
le positionnement des pots l'utilisateur de préparer des de la machine

de différentes dimentions” mélanges de peinture à la

demande du client”

«requirement»
communiquer

5 «requirement»
7 «requirement» - 5
«requirement» ‏ا‎ informer l'agent de
seléctionner une couleur

mettre en rotation l'appareil maintenance distant

Text = "combiner deux Text ="à partir d'un Text = "communiquer à un
mouvements” cataloque de constructeur” agent distant l'état de la
machine”

Figure 6 : diagramme d’exigences

Th | asatisfy» «satisfy»

système de transmission bisckr rbbcks
pupitre Web server
‏لها‎

| «requirement» «requirement»
| «satisty» mouvement longitudinal mouvement transversal «block»
‏ا‎  - 20*12" 102*132 moteur prineipais

Text = "produire une vitesse Text = "produire une vitesse système poulies- courroies
de rotation double: de rotation: NT”
NL=2.NT" «satisfy» |

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Partie I : Partie préliminaire notée : 4 points sur 20.

Etude mécanique de l’unité de serrage

Le serrage du pot est assuré par un mécanisme composé d’un moteur et d’un système
vis écrou permettant le déplacement simultané des deux plateaux suivant deux sens
opposés (annexel). L’utilisation de deux = liaisons hélicoïdales a pour objectif
d’augmenter l’effort de serrage afin d’empêcher le glissement ou le pivotement du pot.

Le moteur de serrage est un moto-réducteur composé d’un moteur à courant continu,
délivrant un couple moteur ‏عونا‎ et une vitesse angulaire Om, Et équipé d’un frein agissant
sur le rotor, suivi d’un réducteur de rapport de réduction r (r=0,2). Le mouvement est
par la suite transmis aux plateaux supérieur et inférieur par l’intermédiaire d’un
engrenage parallèle, de rapport de transmission k=-1, non représenté sur la figure 7 et
deux systèmes vis-écrou de pas p (p=5 mm).

Q1. A partir de la description ci-dessus, du diagramme de contexte (figure 1), et
du diagramme BDD (figure 3), Compléter, sur le document réponses DRI1, le
diagramme correspondant à la chaîne d’énergie de l’unité de serrage.

Le schéma cinématique simplifié de l’unité de serrage est représenté sur la figure 7.
Le mécanisme est constitué des éléments suivants :
- Colonne de guidage liée au bâti (0) : }
5 ‏اي با‎ mad ‏ا‎ 4 Yo
Le repère R,(0,.Xo, Yo:Z,)lié au bâti (0)
est supposé galiléen.

- Vis 12: en liaison pivot d’axe (O,,ÿ,)
avec la colonne (0).

- Ensemble supérieur ES={6,7,Ps} (Aucun
mouvement relatif entre les solides de
l’ensemble ES) : en liaison glissière de
direction y, avec la colonne (0) et en
liaison hélicoïdale, à droite et de pas p
d’axe (N,,y,)avec la vis (12).

- Ensemble inférieur  Ei={8,Pi} (Aucun
mouvement relatif entre les solides de
l’ensemble Ei) : en liaison glissière de
direction y, avec la colonne (0) et en
liaison hélicoïdale, à gauche et de pas p,
d’axe (N,,y,)avec la vis (12).

On donne :
e O12/0)=442Ÿ e O,N;=dX + M-Ÿ
e ON, =dx - V(E).Ye ٠ 00 - ‏ونرط - ونه‎ = Figure 7 : Schéma
Les d liai hélicoïdal 1 3 ‏د‎ 015118
65 dEUX 118150115 1 es ont le même 3 simplifié de l’unité
pas:p=rsmm.s 1 ‏ولاس‎ 5
= de serrage
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Etude cinématique :

Q2. Ecrire au point Oz le torseur cinématique {9(12/0)}, ,puis au point N, les

torseurs cinématiques suivants : {9(12/0)} * et{ 9(Œi/0)} a

Q3. En déduire, au point N,, le torseur cinématique { 9(Ei/ 12}, en fonction de w,, et
p puis en fonction de œms, r et p.

Q4. En déduire, au point N,, le torseur cinématique { 4(Es/ 12}, en fonction de oms, r
et p.

QS. En déduire les expressions algébriques des vitesses de translation ‏مم7‎ et ‏و‎

des ensemble Es et Ei en fonction de oms, r et p.

Etude statique : Calcul du couple de freinage pour maintenir le pot.

Le pot de peinture est de masse M et de centre d’inertie G2, les autres solides seront
considérés de masses négligeables.
On donne M=40kg (masse maximale supportée par la machine).

Modélisation des actions mécaniques :

v Les actions mécaniques entre le plateau supérieur (Ps) et le pot de peinture (2)

seront modélisées par le torseur suivant ra | = * | , avecRs.yy =Ns , tel que :

Ns=450N.
v Les actions mécaniques entre le plateau inférieur (Pi) et le pot de peinture (2)
seront modélisées par le torseur suivant ‏و‎ | = › , avec Ri.yy = Ni ›0.

v L’action mécanique du frein sur la vis (12) est représentée par le torseur suivant

dE pr } =

motoréducteur. Le dispositif de freinage permet un couple maxi de 300Nmm sur
l’axe moteur.

0
== .f - Avec C,: couple de freinage associé au
M 0,(freins12) =—C,Y 0

y L’accélération de la pesanteur estg=-g.ÿ,, avec g=10m.s*

Notation préconisée : On utilisera l’écriture suivante pour les torseurs des actions

mécaniques transmissibles du solide i au solide ; : x; ‏م‎
‏إل حاجن‎ M;
2 05 ‏متعم[‎
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Graphe d’analyse des actions mécaniques :

_ _ Ensemble supérieur ES

ا لوطه نو
‎Rotule à doigt de centre* 4‏ 2 7
7
21د لاسي
‎Glissière(ÿ,) Contact Les en A‏

Pivot (0,, so)” ‏بيرق‎ Pesanteur

Motoréducteur-
frein

Hélifoïdale(N,,ÿ,)

Pivot (D,ÿ) —— “Ensemble inférieur Ei

ع وا أ _—

Remarque : Le contact ‏زعا‎ est un contact linéique circulaire entre 2 et Pj, avec j = {i,s}.

Q6. Donner la forme des torseurs des actions mécaniques des liaisons indiquées
dans le tableau du document réponses DR2.

07. Déterminer l’équation scalaire issue de l’application du théorème de la
résultante statique à l’ensemble Es (7+6+Ps) en projection sur y, . Déduire l’équation
scalaire issue de l’application du théorème de la résultante statique à l’ensemble
Ei (8+Pi) en projection sur y, -

058. 150167 le pot (2), puis déterminer l’expression de l’effort N; en fonction de M, g et

09. En appliquant le théorème du moment statique à la vis (12) en ‏و0‎ en projection
sur y, , déterminer l’expression du couple de freinage C; en fonction de p, M, ‏و‎ et Ns.

010. Faire l’application numérique. Le maintien du freinage est-il assuré ?

Chaîne d’énergie de l’unité de rotation

- La rotation autour de l’axe transversal est assurée par un moteur asservi en
vitesse entrainant le moyeu principal via un réducteur poulies-courroies.

- La rotation autour de l’axe longitudinal provient d’un engrenage conique
épicycloïdal et d’un système pignon-chaîne.

011. A partir du diagramme de contexte (figure 1) et du diagramme BDD
(figure 3) ; Compléter, sur document réponses DR2, le diagramme correspondant à
la chaîne d’énergie de l’unité de rotation.
Fin de la partie préliminaire
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Partie II: Etude cinématique et dynamique de l’unité de rotation

Objectif : dimensionner le moteur principal

Données et hypothèses :

On adopte une modélisation simplifiée du mélangeur faisant montrer la rotation du pot
sur lui-même autour de deux axes perpendiculaires.

| Moyeu principal 4 Plateau supérieur 6s

Pot de peinture 2

Figure 8 : schéma cinématique simplifié

v Le repère R,(O,Xp»Ÿ0:Z,) Est lié au bâti (0) et supposé galiléen.

y Le moyeu principal (4) de masse m4 est en liaison pivot parfaite d’axe (O,x,) avec le
bâti. Le repère R,(O,X,,ÿ,,2,)est lié à (4), avec 0, =(Yp.Ÿ4) = (Z0»24) ; son centre
d’inertie est situé sur l’axe de rotation (O, x, ) -

v La matrice d’inertie du moyeu principal (4) en O, dans la base (x,,yÿ,,2,)est défini

_ A, 0 0
par : 1 o(4) = 0 B, 0

v L'ensemble (pot + 2 plateaux) est en liaison pivot parfaite d’axe (O,ÿ,)avec le
moyeu principal (4). Le repère R,(O,X,,ÿ,,Z,) Est lié à cet ensemble, avec
0, = (24222) UN ar Xe)

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v On considère le pot, de masse M, excentré sur les plateaux, et G2 son centre
d’inertie tel que OG, =a.x,.
v Le pot (2) sera considéré comme un cylindre d’axe de révolution (G,,ÿ,), de matrice

A, 0 0
d’inertie en Ga, dans la 5886 ‏(و2.ولاءي)‎ est défini part, 2-1 0 B, 0
2

v Les plateaux (6s) et (6i) seront considérés comme des solides de masse et d’inertie
négligeables.

v Le couple appliqué par la motorisation sur le moyeu principal (4) du mélangeur
est noté Ca - ‏ود بم‎

y L’accélération de la pesanteur estg=-g.ÿ,-
Q12. Ecrire au point O les torseurs cinématiques suivants{(2/4)}, ; {94/0} et

Q13. Déterminer la matrice d’inertie du pot 2 en O dans la base(x,,ÿ2,Z2) -
Pour la suite on considérera que la matrice d’inertie du pot est de la forme
A 0 0

‎٠‏ 8 0ح
(و#ولامية)(0 0 0

‎014. Déterminer le moment cinétique, au point O, du pot (2) dans son mouvement
par rapport au repère R, : 0(0,2/ Ra}

‎Q15. Déterminer la projection sur X, du moment dynamique, au point O, du pot (2)

‎dans son mouvement par rapport au repère R, : X,.0(0,2/R,) -

‎Q16. Donner la projection sur X, du moment dynamique, au point O, du moyeu (4)

‎dans son mouvement par rapport au repère R, : X,.0(0,4/R,) -

‎On note E l’ensemble en

‎mouvement/Ro : E= {4+2}. Graphe d'analyse :

‎Motorisation Pesanteur

‎017. Déterminer, par application du théorème du moment dynamique à
l’ensemble E au point O en projection surX,, l’expression du couple Ca en fonction

‎de 02, 04, leurs dérivées et des données.

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Etude de la chaîne de transmission

La rotation autour de l’axe transversal est assurée par un moteur asservi en vitesse
entrainant le moyeu principal via un réducteur poulies-courroies.

Poulie (4) de
diamètre D4

Figure 9

Courroie \

Poulie (32) de
diamètre D32

Poulie (31) de
© diamètre 1

Poulie (1) de

018. Donner les rapports de réduction diamètre Di

2 2 :

‎et r=—” en fonction des Moteur‏ لللقدم
‎LS) 320 Principal‏

‎diamètres.

‎Données et hypothèses :

‎v Le repère R,(O,X,.Yo:Z,) ESt lié au bâti (0) et supposé Galiléen.

‎v Les trois solides (1), (3)={ (31) U (32) } et (4) sont en liaisons pivots avec le bâti.

‎v L’action mécanique du moteur sur (1) est modélisée par un torseur couple de
moment : &, ‏وعدي ح‎

‎v L'action mécanique du récepteur sur (4) est modélisée par un torseur couple de
moment : É ; =-C 7%"

‎v Les solides tournants sont équilibrés dynamiquement.

‎v Les courroies sont supposées inextensibles et de masses négligeables.
v Les liaisons sont parfaites et pas de glissement dans le système poulies — courroies.

‎Caractéristiques d’inertie :
‏ل آ‎ 16 moment d'inertie de l’ensemble {arbre moteur, poulie 1} par rapport à son
axe de rotation de vitesse angulaire ‏من = ره‎ ٠

‎le moment d'inertie de l’ensemble {axe 3, poulie 31, poulie 32} par rapport à‏ :ول آ
‎son axe de rotation de vitesse angulairew, .‏

‎Ÿ ‏:مل‎ le moment d’inertie de l’ensemble {axe 4, poulie 4: par rapport à son axe de
rotation de vitesse angulairew,.

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Q19. Déterminer l'énergie cinétique par rapport à R, de l’ensembleZ ={1,3,4}.

En déduire le moment d’inertie équivalent ‏وول‎ ramené sur l’arbre moteur en fonction
de J1, J3, Ja, 71 et ra.

Q20. Appliquer le théorème de l'énergie cinétique et déterminer une expression

littérale du couple moteur cn en fonction de Ci » ‏ول‎ ®,, T1 et r2. En déduire

l’expression du couple résistant ramené sur l’arbre moteur: Cr, tel que:

.)1( .يرت - م2 - برجن

La rotation autour de l’axe longitudinal provient d’un engrenage conique épicycloïdal et
d’un système pignon- chaîne.

Pour que le mélange soit fait en un temps

minimum avec un minimum  d'’énergie, _ _ Eiitnéas

l'expérience montre que la vitesse de ‏ئلا ‹‹ ولا‎ conique
; ss 2 4

rotation (Nr) autour de l’axe longitudinal

doit être le double de la vitesse de rotation

(Nr) autour de l’axe transversal.

Pour illustrer le mouvement bi-axial, on
donne sur la figure 10, un schéma
cinématique partiel.

On considère le repère R,(O,Xp:Ÿ0:2,) lié au
bâti (0)Le repère R,(O,.X4sY4Z,) Est lié au
moyeu (4), On donne : 6, = (Yo, V4) = (Zo,Za) -
le repère R,(O,,X,,ÿ,,Z,) est lié à L'arbre (2),

Le point O,est l'intersection des axes de la
liaison 4/0 pivot d’axe (O,.%) et de la

liaison 2/4 pivot d’axe(0,.ÿ,). Figure 20 “*—"

Le contact entre le pignon conique lié au solide (2) et la roue conique fixée au bâti (0) est
supposé ponctuel au point M.

Données géométriques : MO, =R,X, + ‏,ولام‎ avec : ‏م‎ = 2R,.
Ro et Ra sont respectivement les rayons primitifs des pignons (0) et (2).

On suppose qu’il y a roulement sans glissement au point M entre les deux pignons

021. Donner l’expression du torseur cinématique au point Oo du mouvement de (2)
par rapport à (0) : {92 / 0}, .

Q22. Déterminer, en utilisant la condition de roulement sans glissement en M, ô, en

fonction de 9٠

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On donne sur la figure 11, le schéma cinématique partiel (extrait du schéma global) qui
modélise la transmission du mouvement entre l’axe d’entrée du mouvement longitudinal
(4) et l’axe commun des deux plateaux supérieur et inferieur.

Pignon 5 y 2

Las: Glissière d’axe ‏راز‎

Laz : Pivot d’axe(O,, ÿ,)

Axe du plateau
supérieur

Figure 11
Vis de manœuvre du

lateau supérieur

Poulie (4) de
l’axe
transversal

Le système de transmission est constitué d’une chaîne en série composée du moyeu (4),
de l’arbre (2) et du solide intermédiaire (5).

La transmission du mouvement de rotation entre l’axe de l’arbre (2) et l’axe du pignon (6)
est réalisée par un système pignons-chaîne.

Les deux pignons (5) et (6) ont les mêmes rayons primitifs : Rs= Re.

Le serrage du potest assuré par un système vis écrou permettant le déplacement

simultané des deux plateaux suivant deux sens opposés.
L'utilisation de deux liaisons hélicoïdales a pour objectif d’augmenter l’effort de serrage

afin d’empêcher le glissement ou le pivotement du pot (Voir annexe 1).

023. Justifier, en exploitant les schémas cinématiques de la figure 11 et de
l’annexe 1, l’intérêt de la liaison glissière entre (5) et (2). En déduire la vitesse de

rotation Q5 10:

024. Donner le rapport des vitesses 4. , puis déduire la relation entre la vitesse de
‏ورد‎
‎rotation autour de l’axe longitudinal ‏ووه‎ et celle autour de l’axe 001150615616

Conclure vis-à-vis de l’exigence « Id :1.3.2.2 ».

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Partie III: Etude de l’asservissement en vitesse du mouvement autour de l’axe
transversal

Objectif : Modéliser la chaîne d’asservissement en vitesse du moteur et déterminer les
paramètres du correcteur permettant de respecter l’exigence identifiée 1.3.2.1.1.1.

L'asservissement en vitesse du mélangeur est représenté par le schéma bloc suivant :

Correcteur

Génératrice tachymétrique

Réducteur
poulies-courroies

Convertisseur Amplificateur

Qc : consigne de vitesse ; Qm : vitesse de rotation du moteur ;
21 : vitesse de rotation / à l’axe transversal.

Modélisation du moteur électrique à courant continu :

On donne les équations suivantes caractérisant le moteur :

| 2 ‏ور‎ R : résistance de l'induit e(t) : force contre
)2( : al) = RL vel L: inductance de l'induit électromotrice
(3): Cm(t)= kit) u(t): tension d'alimentation | ke: constante de force
(4): e(t)=k.on(f) du moteur contre électromotrice

١ i(t): courant moteur ki: constante de couple
On rappelle l'équation mécanique de la question 020 : 071/0 - Cr(t) = Jay 2767 (1).

On notera U(p), I(p), E(p), Cm(p) et Qm(p) les transformées de Laplace des différentes
grandeurs physiques définies ci-dessus :

Q25. En considérant que toutes les conditions initiales sont nulles, donner les quatre
équations précédentes dans le domaine de Laplace, puis compléter le schéma bloc

du document réponses DR3.

La figure 12 représente le schéma-bloc fonctionnel associé à la modélisation de
l’asservissement en vitesse du mélangeur.

Que) 8 IR} Den]

ووجووووججو دود دوواد ددحا | ‎Un(p)‏

Figure 12

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Sciences Industrielles

1455 p+— p”

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Blocs Fonctions de transfert

Convertisseur Kconv (à déterminer)

Correcteur C(p) (à déterminer)

Amplificateur Ka = 5 (sans unité)
Génératrice tachymétrique K, = 2.103 V/(rad/s)

Réducteur Kr=0,2
(poulies courroies)

La figure 13 donne le diagramme partiel de l’exigence : « Mettre en rotation l’appareil ».

«block»

système de
transmission

Figure13 : Diagramme partiel de l’exigence : « id 1.3.2»

«requirements

Bruit

Text = "Très silencieux

› à 70db"”

- Marge de phase supérieure ou égale à 40°.
- Marge de gain supérieure ou égale à 12087

= Diagramme d'exigences ]

«requirement» «satisfy»

Mouvement longitudinal

Text = "produire une
vitesse de rotation
double: 2NT"

«refine» 2

«requirement» ‏و‎

Consigne de vitesse
Text = "respecter la
consigne de vitesse”

«requirement»
Performances

Text ="respecter les
performances de
l'asservissement de

req [Block] mélangeur bi-axial[

«requirements
Mettre en rotation l'appareil
Text = "combiner deux
mouvements”

«requirement»
Mouvement transversal

10 1-2-7
Text = "produire une vitesse
de rotation NT”

7

| «satisfy»

«block»
moteur principal

vitesse”

Text="pas de dépassement de la

consigne”

ld="13211.14

- Erreur maximal de 0,5 tr/mn en régime établi pour une entrée
en rampe de couple de pente 40N.mmy/s ”

La perturbation en rampe de couple modélise
une variation lente du couple résistant liée à la
variation de température du mélange.

Q26. Déterminer les fonctions de transfert A1(p) et A-(p). En déduire les expressions
des gains statiques K; et Ka, de la constante du temps ‏آ‎ du facteur d’amortissement
€ et de la pulsation propre œn.
027. Quelle doit être la fonction de transfert ‏سا‎ du convertisseur de consigne
si l'on veut que l’écart € soit nul, quand la vitesse œr est égale à la vitesse de
consigne w., en régime permanent ?

Tournez la page S.V.P.

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Page 13 sur 25

«refine» /

Text = — Erreur nulle en régime établi pour une entrée en

- Erreur nulle en régime établi pour une perturbation en

échellon de vitesse.
échellon de couple.

Durée : 4 heures

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Le schéma bloc de l’asservissement peut se mettre sous la forme suivante :

C r(p)

| 028. Déterminer les expressions des fonctions de transferts : H:(p) et Hz(p).

La fonction de transfert en boucle ouverte du système non corrigé (C(p) = 1) est notée :
H jonc (P), son diagramme de Bode est donné sur le document réponse DR3.

029. Tracer les asymptotes, puis identifier les paramètres de la FTBO non corrigée ;
Justifier votre réponse.

030. Représenter graphiquement les marges de stabilité, puis donner leurs valeurs.
Conclure sur l’exigence de stabilité (répondre sur DR3).

Les valeurs numériques sont dans les unités du système international.

Pour la suite on prend : Hi(p) =

Dans le cas où C(p)=1 et Cr(p)=0, la fonction de transfert en boucle fermée s’écrit sous la
forme :
Or (p) _ Kpp

BF Qc (P) 1+ 2.5 p+ 1 p?
2
OnBF er
031. Déterminer les valeurs numériques des paramètres canoniques de la fonction
de transfert en boucle fermée.

L’abaque du temps de réponse réduit est représenté sur la figure 14.
Q32. Déterminer le temps de
réponse à 5%.

On.tr 5%

Q33. Tracer sur le document
réponse DR4, l'allure de la NI |
réponse temporelle wr{t) de ce ١ ١ ١١ ‏يذ‎ ١ ١ ١١ ï / I
système en faisant apparaître : 0 |
- Le signal de consigne pour 10 RER EN ‏بت‎
‎une commande en échelon wc de sr == +
30 rad/s.
L’amplitude du premier
dépassement D31. 11 A LUN
- La pseudo période Tr. 0.01
Conclure sur les exigences de
précision, de rapidité.

d’amortissement

د د ورد بد رج جد بد اك اله

0.4 1 10

Figure 14 : Abaque du
temps de réponse réduit

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034. Si l’on considère dans un premier temps que le correcteur est proportionnel de
fonction de transfert : C(p)=Ke. Justifier, sans calcul, que l’écart vis-à-vis de la
perturbation C,(p) est non nul. Conclure sur l’exigence de précision.

Pour la suite nous utiliserons un correcteur PI de fonction de transfert C(p)= K ITR,

035. Tracer, sur votre copie, le diagramme de Bode (asymptotique et allure du
diagramme réel) du correcteur. Indiquer les pentes et points caractéristiques en
fonction de K et T.

Q36. Quel est l’influence d’un tel correcteur sur la précision et la stabilité.

On choisit la valeur de T de telle façon que la valeur de la pulsation conduisant à un
déphasage de -45° pour le correcteur seul soit dix fois plus petite que la pulsation pour
laquelle la FTBO non corrigée (on) présente un déphasage de -90°.

037. Déterminer l’expression numérique de la fonction de transfert en boucle
Kpo (1+T.p)

25 1 :
OnBO TE

ouverte corrigée, sous la forme canonique suivante Ho (p) =

Indiquer son gain, son ordre et sa classe. Justifier la valeur de T=0,2 s.

038. Tracer dans le plan de Bode du document réponse DRS, les asymptotes et la
courbe réelle de gain de la FTBO corrigée avec K = 1. Indiquer les pentes et points
caractéristiques.

039. Déterminer la plus grande valeur de K (notée Kstan) permettant de satisfaire les
critères de stabilité (répondre sur DR 6). Porter sur les courbes les tracés
nécessaires.

On donne, sur le document réponse DR6, les courbes de la réponse w,{t} du système à
une entrée en échelon : @c{t) = 30.u(t) par simulation, pour différentes valeurs de K.
Q40. Choisir la valeur de K permettant de respecter à la fois les critères de stabilité,

amortissement, rapidité et précision. Justifier vos réponses et porter sur les courbes
les tracés nécessaires.

Le correcteur ayant été dimensionné, le schéma-bloc précédent peut se mettre sous la
forme suivante :

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)1+ 2.105 p)

041. Déterminer la valeur de l’erreur de trainage en régime permanent ep à un
couple perturbateur en rampe C,{t)=Co.t.u(t), avec Co=40Nmm.

L’exigence identifiée 1.3.2.1.1.1.3 est-elle respectée ? Justifier.

Partie IV : Etude du risque de glissement du pot
Objectif : valider l’exigence identifiée 1.3.1.2.3

On donne ci-après (figure 15)l'extrait du diagramme
identifiée 3.1 « Mise et maintien en position du pot ».

req [Block] mélangeur bi-axial[ (ES Diagramme d'exigences [

«requirements ld="1.3.1.2"
Mise et maintien en position du Text ="Le serrage du pot
pot doit être suffisant pour
éviter le pivotement et le
glissement’

partiel de l’exigence

pu 0 170:7
‏قعل اسلا‎ moteur de serrage
properties
couple de freinage
value : 300Nmm
Text = "permettre la fixation et le
positionnement des pots de
différentes dimensions”

› «refine»
arefine» \ x

arefine» /

/ «requirements
«requirements
Effort de serrage ld="13122"
="Coefficient de
résistance au
pivotement: u=0.8 "

«requirement»
Non glissement

="Coefficient
d'adhérence: f=0.8"

«requirement»

Mise en position du pot

Text ="Le pot doit être
positionner rapidement et
facilement sur le plateau

inférieur” = arefine» Mode de mise en position

"02 - 0-0 › «requirements id="131 11"
; 0 180 "L'opérateur

Id=13121"
Text = "à déterminer”

› — _ «deriveReats «requirement»

Taille du pot ‏ل‎

pa positionne le pot sur le
plateau inférieur après avoir
s'assuré de son étancheité”

Text ‏ح‎ "0015 de dimensions:
- 15cm‹Diamêtre‹44cm

«requirement»
Poids du pot

02 1.3.1.3"

«reine» |

Text="Le poids du pot ne

doit pas dépasser 40kg” - 10cm «Hauteur ‹50cm”

Figure15 : Diagramme partiel de l’exigence : « id 1.3.1»

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On rappelle la modélisation simplifiée du mélangeur.

‎Yon 2‏ ولا

‎Plateau supérieur 6s

‎Moyeu principal 4

‏ب لاد

‎Figure 16 : schéma cinématique simplifié‏ ولاح ولا

‎Données et hypothèses :
v Le repère R,(O,Xp.Yo:Z,) est lié au bâti (0) et supposé galiléen.

‎v Les actions mécaniques entre le plateau supérieur (6s) et le pot de peinture (2)

‎as à : T5 À + T,s ‏ولا‎ 7+ Tia
seront modélisées par le torseur suivant ‏ب = أبوجورةا‎ , avec
‏ولي‎ 0

‏,3 5 4و 047

‎v Les actions mécaniques entre le plateau inférieur (6i) et le pot de peinture (2)

‎0 ; Taha +7 ‏قي 17+ لطر‎
seront modélisées par le torseur suivant 76 = ÿ 8 , avec
f'+2 B

‏ب ‎H‏ ع هب
‎v On considère le pot(2), de masse M, excentré sur les plateaux et Gz son centre‏

‎d’inertie tel que OG, =a.x,.

‎v Le pot (2) sera considéré comme un cylindre d’axe de révolution (G,,ÿ,), de matrice

‎A 0 0
d'inertie en 0, dans la base(x,,ÿ,,Z,) est défini parT (2) =|0 8 0

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v L’accélération de la pesanteur estg=-g.ÿ,-

On considère les vitesses de rotations 6, et 6, constantes .
Q42. Déterminer l’expression du vecteur vitesseV(G, 62/700
043. Déterminer l’expression du vecteur accélération P(G, 62/70٠

Le moment cinétique, au point O, du pot (2) dans son mouvement par rapport au repère

Q44. Déterminer le moment dynamique, au point O, du pot (2) dans son
mouvement par rapport au repère R, : Ô(0,2/ 0)
Pour la suite on prend :

Q45. Déterminer les équations scalaires issues de l’application du théorème de la
résultante dynamique au pot de peinture (2) en projection dans la base(x,, y,, 2) -

046. Déterminer les équations scalaires issues de l’application du théorème du
moment dynamique en O, au pot de peinture (2) en projection sur les axes : (O,X,)

047. En déduire les expressions des efforts tangentiels ‏وى‎ Tzs, Txi et ‏و1‎ en
fonction des données du problème.

Une étude numérique a permis de tracer l’évolution de la résultante des efforts
tangentiels en fonction du temps (voir figure 17 ci-après).

Les facteurs de frottement f et de pivotement ju entre les plateaux (6) et le pot de peinture
(2) sont supposés constants et évalués à 0,8.

T. : effort tangentiel appliqué par

‎2 le plateau supérieur
0
‎S :: effort tangentiel appliqué ;par le
$ plateau inférieur | Figure 17
ta Temps en secondes
Q48. Commenter les courbes et déduire le module des efforts normaux Ns et N; à la
limite de glissement.
-Fin de l’énoncé—
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Annexe 1 :

| Axe longitudinal

. Tige de verrouillage

0 | Plateau supérieur

| Moyeu principal

Moteur

Plateau inférieur

serrage

Système de verrouillage du plateau inférieur

Moteur principal
1

Schéma cinématique du mélangeur

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Document réponse DR1
01. Energie

Energe 1 ans

électrique
q E ner g i ‏ممم م ممم و ممم وفع دج‎

électrique

Energie
mécanique
de rotation

Energie

Energie PT Plateau
‏ببس يسييوعوي‎ 6# | URMRRENENENTME supérieur en
‏ا‎ postion1
‏اف طفن‎ Engrenage seccoccccncu06 | Plate
parallèle supérieur en
positon 2
Energie Rapport :
Durée:4heurs 1 Page20sur25 = Tournez la page S.V.P.

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Document réponse DR2

Lux | from} = ‏ح — 170 | مآ‎
O2 O0
X 128 Bas
1128 ‏مج ملاح مول 4ح زهج 02ج‎ {7e ‹‹ 2 ›"
‏مدرا/ ميك‎ x H
L12-7 ‏كب ا‎ 7 Lps-6 {T6 › Ps)} =
Q11.

Rotation

autour de
Transmettre l’axe

transversal

Rotation

autour de
Transmettre l’axe

longitudinal

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| Conclusion 7 ‏ماما لا ا‎ sante

Marges de
stabilité :

030.

2
0

9
9

)( aseud

0.0

1000

10

-40

1
1
1
1
1
1
1
1

ذا ا ا ا ا ا ا ا ا ا

4 + ‏اتات ات باخ اب اب اب‎

و اه اس ا اا ا أ ا اا اا ااه
ذا ا أ أيه ا ا أ أ ا لاا ا ا ا ا اا دا

(ap) apnyidwy

H ponc ( P )

me non corrigé :

Le diagramme de Bode de la FTBO du syst

029

025. Schéma bloc du moteur :

DR3

réponse

Document

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5
‎50

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Document réponse DR4

033. Allure de la réponse temporelle ‏:نمه‎

اللاو

‎ptet bdd‏ بدت

‎“une

‏لحت

‏د ددمتت

‎Temps en secondes

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Durée : 4 heures

(,) eseud

Oo ‏تا‎

ا دلت ا الت ل الا
أ عد عه اله د ع اله ع ا لات

له داه لالت الت لس ل —

-10.0

(ap) 8001!

Q38. Diagramme asymptotique de Bode de la FTBO corrigée pour K

réponse

Document

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Document réponse DR6

039. La plus grande valeur de K (notée Kstar) permettant de satisfaire au critère de stabilité :

اتات ات ل ات تت ات تت دام ات تت تال دتمت يسيب ل تت ات ات ‎pe‏

ب ال سس ال ل ا

ا لقت كف ال ا ا ا ل ا

Temps en secondes

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

Justification :

Durée : 4 heures Page 25 sur 25 Tournez la page S.V.P.

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