Modèle de concours : CNC 2021 Physique II (MP) — Concours National Commun

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Concours National Commun - Session 2021 - Filière MP

* On veillera à une présentation et une rédaction claires et soignées des
copies. Il convient en particulier de rappeler avec précision les
des questions abordées.

* Si au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une
erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en
indiquant clairement les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.

Toutes les réponses devront être très soigneusement justifiées.

°  Siun résultat donné par l'énoncé est non démontré, il peut néanmoins être
admis pour les questions suivantes. Ainsi, les diverses parties du
problème sont relativement indépendantes entre elles.

e Tous les résultats numériques seront donnés avec un nombre de chiffres
significatifs compatibles avec les données fournies.

Le sujet de cette épreuve est constitué de deux parties indépendantes :
la première partie est notée sur 4 points, la deuxième sur 16 points.

Partie 1
Puits de potentiel quantique

Les puits quantiques sont des
empilements de couches  cristallines
alternées, pouvant être aussi minces que
quelques monocouches atomiques, de semi-
conducteurs de compositions chimiques
différentes. On étudie dans cette partie une
particule quantique, de masse m, d’énergie
E , piégée dans un milieu d'épaisseur a.
L'énergie potentielle V(x) ressentie par le
quanton est représentée par le puits de
potentiel infini à fond plat de largeur a
défini par :

Figure 1 : Sandwich AlGaAs —
GaÂs - AlGaAs

V(x)= 0 pour 04
+00 sinon

On rappelle l’équation de Schrôdinger :

50 1° __ تكالالان
‎ôt 2m 0x‏
‎On cherche, pour O‹x‹a, des solutions de l’_équation de Schrôdinger‏

pour des états stationnaires tels que : W(x,#)=@(x)e 7٠

1. Justifier que quantiquement la fonction d’onde de la particule doit être
nulle à l’extérieur du puits (x‹0 et x›a).

2. Déterminer l’équation différentielle vérifiée par (x) pour 044

Epreuve de Physique II 1/8

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3. Montrer que (x)= Asin(nx ‏طخ‎ , avec n un entier positif, sont les états

stationnaires qui vérifient les conditions aux limites.
4. En utilisant la condition de normalisation, montrer que À est donné

par A= P ;

5. Représenter l’allure de @(x) et celle de la densité de probabilité de

présence ‏للا‎ * de la particule quantique en fonction de x pour les
cas n=l et n=2. Comparer au cas d’une particule classique.
6. Montrer que les énergies E, des états stationnaires sont données par
= n°. On pose E, =hœ pour n=1. Exprimer E, en fonction de

"2m
netwœ.

7. Un électron est confiné dans un puits quantique de potentiel infini de
largeur a=3,0nm. Ce puits est formé d'une couche de GaAs prise en
« sandwich » entre deux couches de AlGaAs . On considère que
l'électron possède une masse effective de m=0,067m, avec
m,=9,1.10"'kg. Déterminer la longueur d'onde À correspondant à la
transition entre les niveaux n=2 et n=1. À quelle domaine du spectre
électromagnétique appartient cette longueur d'onde. On donne la
constante de Planck h=6,62.10*J.s et la vitesse de la lumière dans le

Partie 2

Le dioxyde de carbone

Le dioxyde de carbone est le principal gaz associé à l’activité humaine.
Il est l’une des causes principales du réchauffement climatique. Afin de
réduire les émissions de dioxyde de carbone CO, , plusieurs voies d’action se
dégagent : la maîtrise de la consommation d'énergie, le développement de
technologies ne produisant pas, ou très peu, de gaz à effet de serre, le
captage et le stockage géologique du CO, …

Cette partie a pour but d’étudier quelques propriétés et utilisations du

1. Diagramme d’état du CO,

La figure 2 représente le diagramme pression-température (P,T) du
dioxyde de carbone.

1.1. Identifier les points particuliers 7 et 7 du diagramme (P,T) du
dioxyde de carbone, les courbes C,, C, et C, et l’état physique dans
lequel se trouve ce dernier dans les zones : E,, E,, E, et E,.

1.2. On se place à la pression P=1,0bar et dans l’état CO, gazeux. Quelle
est la plage de température correspondant à ces contraintes ?

Epreuve de Physique II 2/8

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P(bar)4

1.3. Le dioxyde de carbone est pris
initialement dans les conditions
suivantes : P=1,0bar et 1 =-73°C. 73,84

1.3.1. Dans quel état se trouve le
dioxyde de carbone ? Décrire les
phénomènes observés lors d’un
refroidissement à pression fixée,
amenant le CO, à la température ‏بد‎
‎finale T, =150K.

1.3.2. Tracer la courbe d’analyse
thermique, graphe représentant la hs - ‏مه‎ di 70
température de CO, en fonctions Figure 2 : Diagramme d'état du

du temps, lors de ce CO,
refroidissement à pression
constante.

2. Le CO,, gaz réel

ل 1,0

On considère une mole de dioxyde de carbone gazeux de volume

molaire V, sous la pression P et à la température T et obéissant à

l’équation de Van Der Waals :

P + se -b)=RT
où a, b sont des constantes et R=8,31J.mol".K"! est la constante des
gaz parfaits.

2.1. Écrire l’équation d’état d’un gaz de Van Der Waals pour ‏م‎ moles du
gaz.

2.2. Rappeler deux hypothèses, une microscopique et une macroscopique,
du modèle de gaz parfait.

2.3. Dans le cas où a=0, comparer le comportement d’un gaz de Van Der
Waals à celui d’un gaz parfait. Quel sens physique donner à b ?

2.4. Dans le cas où b=0, comparer le comportement d’un gaz de Van Der
Waals à celui d’un gaz parfait. Interpréter ce comportement en
introduisant une interaction entre les particules, et en s’intéressant au
choc entre une particule et une paroi.

2.5. Préciser les unités de a et b. Quelle différence y a t-il entre a et b
d’une part et R de l’autre ?

2.6. Le dioxyde de carbone gazeux est caractérisé par la fonction entropie
5S,(U,V) pour une mole de gaz :

U + 8

m Om von

7 m

Epreuve de Physique II 3/8

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Som› ‏.ما‎ €t Von SONt respectivement les valeurs de l’entropie, de l’énergie
interne et du volume de cette mole de gaz dans un état de référence
arbitraire donné.

Donnée : la capacité calorifique molaire à volume constant du dioxyde
de carbone C,, =28,50J.mol".K"' et la constante a=0,366S.1..

2.6.1. Exprimer l’entropie S(U,V) pour n mole.

2.6.2. Exprimer la différentielle, dS(U,V), de l’entropie de n mole de
gaz.

2.6.3. Donner une deuxième expression de la différentielle, dS(U,V), de
l’entropie de gaz.

2.6.4. En identifiant les deux expression de dS(U,V), montrer que

l'expression de l’énergie interne, U(T,V), de n mole de gaz est donnée

par U=U, +nCym£- 5 :

2.6.5. Interpréter l’existence et la forme du terme ajouté dans cette
équation.
2.6.6. Deux moles de ce gaz subissent une détente de Joule - Gay-

Lussac d’un volume initial V =5,00dm* et d’une température initiale
T =293,0K à un volume final V,=2V,.

2.6.6.1. Calculer les variations de température et d’entropie
correspondantes.
2.6.6.2. Comparer les résultats obtenus à ceux de la détente de deux

moles de gaz parfait de même capacité calorifique molaire à volume
constant dans les mêmes conditions initiales.

3. Mesure de la capacité thermique massique de CO, gazeux

3.1. Exprimer la chaleur Q, reçue par un système à l’aide de la variation de
l’enthalpie AH de ce système lorsqu’il subit une transformation à
pression constante égale à la pression extérieure.

3.2. Exprimer la capacité thermique massique à pression constante c,
d’un système à l’aide de son enthalpie massique h.

Dans un calorimètre rempli d'eau, plonge un serpentin métallique
parcouru par un courant gazeux de CO, de débit massique constant d,. Le
gaz, arrive dans le calorimètre à une température 1, =373K . On désigne par
C (supposée constante) la capacité thermique totale incluant le calorimètre,
ses accessoires et l’eau. On note T la température du calorimètre et de l’eau
qu’il contient. En régime permanent, le calorimètre, l’eau qu’il contient et le
gaz sortant sont à la même température T, =310K.

3.3. On suppose que le régime permanent est établi et que la capacité
thermique massique c, du CO, est constante entre 1 et T,.

3.3.1. Exprimer la chaleur 0 reçue par le dioxyde de carbone de la
part du calorimètre pendant la durée dt en fonction de la variation de
l’enthalpie massique Ah=h -h du CO, entre l’entrée et la sortie du
calorimètre.

Epreuve de Physique II 4/8

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3.3.2. Exprimer = en fonction de c,, d
80 ‏م‎

3.4. Le calorimètre n’est pas parfaitement calorifugé. On tient compte des
pertes thermiques que l’on modélise par unité de temps comme étant
proportionnelles à l’écart entre la température T et celle 7, - 29376 du

cédée par le

T, et T,. Quel est le signe de

milieu extérieur, supposée constante. La chaleur ôQ

perte

calorimètre à l’extérieur pendant le temps dt est donnée par :

50 re
perte = k T = T.
TRE -D)
où k est une constante positive.
3.4.1. On se place en régime permanent (T=T,). Faire le bilan

thermique au niveau du calorimètre et en déduire l’expression de c,
en fonction de ‏ءا‎ d,, T,, T, et T,.

3.4.2. On souhaite déterminer la valeur de la constante ‏.م‎ On utilise
alors le procédé suivant : une fois le régime permanent atteint, on
coupe le courant gazeux. La température T du  calorimètre,
initialement égale à T,, varie. Établir la loi de variation de T(t) en
fonction du temps ٠

3.4.3. Après une durée A/=6min , on coupe le courant gazeux, la
température 7 du calorimètre baisse de AT=2K . En déduire
l’expression de k puis celle de c, . Calculer numériquement k et ‏دي‎

On donne C=4kJ.K" et d,, =0,47g.s"".

3.5. On considère un système constitué de molécules de dioxyde de
carbone à température et pression ambiantes. On s’intéresse aux
différents degrés de liberté qui contribuent à la capacité calorifique de
ce gaz. Parmi les excitations associées aux mouvements ci-dessous,
quelles sont celles qui sont susceptibles de contribuer à la chaleur
spécifique du CO, à température et pression ambiantes : translation
du centre de masse des molécules, vibrations des molécules, rotations
des molécules, mouvements des noyaux, mouvements des électrons 7

3.6. Par continuité avec le modèle du gaz parfait, quelle doit être la valeur
de c, ? Commenter. On donne la masse molaire M(CO,)=44g.mol".

4.0 Utilisation du CO, comme fluide frigorigène

Du fait des contraintes environnementales, de plus en plus lourdes,
les frigoristes ont suscité de nombreuses études récentes sur le CO, qu’ils
souhaitent voir réemployer. En effet, le CO, (R744) est un fluide frigorigène
dont les caractéristiques thermodynamiques sont excellentes et permettent
d’envisager un bel avenir pour ce fluide, malgré les pressions de service
beaucoup plus élevées que celles des HFC qui peuvent poser des problèmes
de sécurité.

Epreuve de Physique II 5/8

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On s’intéresse à un cycle réfrigérant décrit par une masse m=1kg de
CO, dans une machine thermique ditherme. Les différentes étapes du cycle,

supposé réversible, sont données dans le désordre :
- A : Le fluide est mis en contact thermique isobare avec la source
chaude de température 7. Le transfert thermique massique associé à

ce contact est ‏.و‎ À l’issue de ce contact thermique, le fluide est à la
température ٠

-  B : Le fluide est mis en contact thermique isobare avec la source
froide de température T, . Le transfert thermique massique associé à ce

contact est ‏.وو‎ À l'issue de ce contact thermique, le fluide est à la
température ‏م‎

-  C : Le fluide passe dans le compresseur adiabatique qui lui fournit un
travail massique w

comp *
- D : Le fluide traverse un détendeur adiabatique à parois rigides.

Le diagramme (P,h) des frigoristes du CO, représenté figure 3 donne
la pression P en fonction de l’enthalpie massique h. Il correspond au
dioxyde de carbone pouvant être liquide, gazeux ou à l’équilibre entre les
deux phases. 11 comporte les isothermes (température allant de -50 à 170°C),
les courbes isentropiques (entropie massique s allant de 1300 à
2600J.kg'.K”'), les courbes isotitres dans la zone diphasée (valeurs de 0,1 en

0,1) et les courbes d’égal volume massique (allant de 1,5 à 100dm’ kg”).

Le cycle décrit ci-dessus est représenté sur le digramme de la figure 3.
Il est décrit dans l’ordre 1—+2—›3—›4—1.

On rappelle l’expression du premier principe pour un fluide en
écoulement stationnaire : A(h+e,+e,)=w,+g,, OÙ h est l’enthalpie massique,

e, l'énergie cinétique massique et e, l'énergie potentielle massique du fluide,
w, le travail mécanique utile qu’il reçoit et ‏رو‎ l’énergie thermique reçue.

On néglige au cours des différentes étapes les variations d’énergie
cinétique et d’énergie potentielle macroscopiques.

4.1. À l’aide d’un schéma, expliquer le fonctionnement d’une machine
frigorifique. Définir l’efficacité e de cette machine.

4.2. Justifier que l’étape D correspondant à la Compresseur
traversée du détendeur est une détente
isenthalpique du fluide (détente de Joule -
Kelvin).

4.3. Reprendre le diagramme de la figure 4 et
compléter le en indiquant par les lettres A,
B, C et D les parties du cycle associées à
ces étapes et en plaçant les points
correspondants aux états 1, 2, 3 et 4.

4.4. Dans un tableau, indiquer, lorsque c’est
possible, les valeurs de P, T, h et s pour |
les points 1, 2, 3 et 4. Figure 4 :

4.5. Identifier au cours de quelles transformations se font les échanges
thermiques avec la source chaude et la source froide.

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4.6. Que valent la température T. de la source chaude, la température ‏م7‎
‎de la source froide et la température T, à l’état de départ A ?

4.7. Donner l'allure du cycle sur un diagramme 0 V) faisant apparaître la
courbe de saturation de CO, . Préciser le sens dans lequel le cycle est
parcouru. Justifier l’allure des courbes isothermes en utilisant les cas
limites.

4.8. Calculer les chaleurs q, et ‏مو‎ échangées respectivement avec la

source froide et la source chaude.
4.9. Calculer le travail ‏ري‎ reçu par le fluide frigorifique.

comp

4.10. Dire, en justifiant, si la machine décrite fonctionne en moteur ou en
pompe à chaleur.

4.11. Calculer l’efficacité e du cycle et la comparer avec celle (e.) du cycle de
Carnot. Expliquer comment améliorer e.

4.12. Expliquer comment on peut, sur le diagramme de la figure 3, évaluer
l’efficacité du cycle (indiquer le principe sans chercher à effectuer de
calcul).

4.13. Calculer la valeur de l’entropie s

Soc Créée par unité de masse
parcourant le cycle.

Epreuve de Physique II 7/8

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7 Te SESS TT |
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‎Figure 3 : Diagramme (P,h) des frigoristes du CO,‏

Epreuve de Physique II 8/8

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