Modèle de concours : CNC 2017 Physique II (MP) — Concours National Commun

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Concours National Commun - Session 2017 - Filière MP

e On veillera à une présentation et une rédaction claires et soignées des copies.
Il convient en particulier de rappeler avec précision les des
questions abordées.

e Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant
clairement les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.

e Toutes les réponses devront être très soigneusement justifiées.

e Si un résultat donné par l'énoncé est non démontré, il peut néanmoins être
admis pour les questions suivantes. Ainsi, les diverses parties du problème
sont relativement indépendantes entre elles.

L'énergie électrique : centrale REP

La prise électrique que nous connaissons tous, est l’aboutissement de tout un
réseau de production et de transport de l’énergie électrique. Les centrales nucléaires
ont pour rôle de transformer l’énergie libérée par une réaction nucléaire en énergie
électrique.

Dans ce problème, nous aborderons plusieurs aspects des problèmes liés à la
production de l'énergie électrique dans une centrale électronucléaire de type REP
(réacteur à eau pressurisée), à son transport et à sa gestion.

Les différentes parties de ce problème sont largement indépendantes.
1. Préliminaire : cycle thermodynamique de Carnot

Une masse donnée d’un fluide décrit un cycle moteur de Carnot. Il s’agit d’un cycle
ditherme réversible composé de la succession des phases suivantes :

e une compression isotherme A, — A, à la température de la source froide T, ;
e une compression adiabatique A, › À, ;

e une détente isotherme A, — À, à la température de la source chaude T, ;

« une détente adiabatique A, › À, .

On note W le travail reçu par le fluide, ‏م0‎ la chaleur reçue par le fluide de la part
de la source chaude et Q, la chaleur reçue par le fluide de la part de la source froide.

Ces grandeurs sont comptées algébriquement.
1.1. Donner le signe des trois grandeurs énergétiques W, Q,. et 0٠

1.2. Dessiner le schéma fonctionnel du système étudié. Préciser les sens réels et
ceux conventionnels des échanges énergétiques.

1.3. Représenter le cycle parcouru par la machine de Carnot dans le diagramme de
Clapeyron puis dans le diagramme (7,5) en précisant le sens.

1.4. Écrire le premier principe et le second principe de la thermodynamique pour le
fluide au cours d’un cycle.

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1.5. Établir l’expression du rendement thermodynamique n, du cycle de Carnot en
fonction uniquement de T, et 7

1.6. On suppose que le cycle n’est pas réversible et on désigne par S, l’entropie
produite lors du cycle. Montrer que le rendement thermodynamique du cycle de
Carnot irréversible est donné par : n=1- ‏دي‎ :
Te Qc
1.7. Comparer n, et n. Le cycle de Carnot est de tous les cycles thermodynamiques

fonctionnant entre deux sources données ; celui qui a le rendement le plus élevé.
Justifier pourquoi.

2. Uranium : combustible du REP

L’uranium naturel, mélange d’isotopes constitué à 99,3 % d'uranium 2807. est le
combustible des centrales nucléaires. Il est présent naturellement dans l'écorce
terrestre. Les principales mines se trouvent en Australie, au Canada et en Russie. Le
yellow - cake, obtenu après purification et transformation du minerai, contient deux
isotopes de l'uranium : *U et **U. L’uranium ‏نا‎ est le seul qui soit susceptible de
subir la fission.

2.1. Énergie libérée par la fission de l’uranium ‏نر‎

De nombreuses fissions de l'uranium ‏ا‎ sont susceptibles de se produire dans le
cœur de la centrale nucléaire ; une des réactions possibles conduit à du strontium

*Sr et du xénon "Xe comme l'indique l'équation ci - dessous :
235 1 95 139 1
‏عه + لضي ‹‹ الزن + نادو‎ + 1

2.1.1. Calculer la variation de masse Am qui accompagne la fission d’un noyau
d’uranium *U. En déduire, en MeV, l'énergie libérée par la fission d'un noyau
d'uranium *U.

2.1.2. Calculer, en joule, l'énergie Q libérée par la fission d'une masse m=1,0g

2

: 35
d'uranium ‏نا‎ . Commenter.

On donne :
; 1 95 139 235
Particule ;n ns 4 Xe 9, U

Masse (u) | 1,009 | 94,945 | 138,955 | 235,120

- lu=931,5MeV/c"=1,661.10"kg, c étant la vitesse de la lumière dans le vide.

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2.2. Enrichissement de l’uranium

L’uranium ”*U, le seul qui soit susceptible de subir la fission, ne correspond qu’à
0,72% de l’uranium contenu dans le yellow-cake. Pour alimenter des réacteurs
nucléaires, il faut disposer d’un combustible dont la proportion d’uranium "*U fissile
se situe entre 3% et 5% . Deux principaux procédés d'enrichissement ont été
développés à l’échelle industrielle : la diffusion gazeuse et
l’ultracentrifugation. L'ultracentrifugation a pour but d’utiliser la force centrifuge pour

= “LCA : 238 235 :
séparer, compte tenu de leur masse différente, les isotopes 7 et ’U de l'uranium.
On transforme alors l'uranium naturel en hexafluorure d'uranium (UF,) sous forme

gazeuse que l’on introduit à l’intérieur d’un bol : la centrifugeuse.

2.2.1. Principe de l’ultra-centrifugation

Le bol utilisé pour l’ultra-centrifugation a la forme d’un cylindre de
rayon a et hauteur h . Il est animé, par rapport au référentiel (R) lié au
laboratoire et considéré comme galiléen, d’un mouvement de rotation
uniforme autour de son axe (Oz) à la vitesse angulaire w (figure 1). Il
contient N molécules de masse molaire M, d’un gaz supposé parfait de
masse volumique ‏.ا‎ On admet que le gaz atteint un état d’équilibre dans
le référentiel (R') non galiléen lié au cylindre à la température T7

supposée constante. On ne tient pas compte de la pesanteur.
D’autre part, en régime permanent, et du fait des chocs moléculaires,

on admettra qu’une molécule de masse m située au point M de

figure 1

coordonnées cylindriques (r,0,z) à une distance r de l’axe de rotation,
possède une accélération normale d’entraînement égale à ae=-rw"e; . On note
(e,ëo,e:) la base des coordonnées cylindriques. On rappelle l’expression de
l’accélération a(M /R) d’un point matériel M dans un référentiel (R) en fonction de

son accélération a(M /R'") dans un référentiel mobile (R') d'origine O'
AMIR)=AM IR +401 A) +22 ROM +01 (0 ROM) +20 AM IR, w est la vitesse de
1

rotation de (R') par rapport à (R) et v(M /R') la vitesse de M dans (R’).

2.2.1.1. Justifier l’expression de l’accélération ‏حا‎ 1006 . Exprimer la force
centrifuge F. à laquelle est soumise une molécule située à la distance r de l’axe
de rotation. En déduire la force par unité de volume 7. appliquée au fluide.

2.2.1.2. Montrer que l’énergie potentielle dans le référentiel (R') d’une molécule
() est E,(r)= -5 mo . On suppose que l’énergie potentielle est nulle sur l’axe de
rotation.

2.2.1.3. Déterminer l’expression de la pression P(r) du gaz en fonction de r et de

la pression P(0) sur l’axe du cylindre. On rappelle que lorsqu’un fluide est soumis

Épreuve de Physique Il 3/9

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à des forces de densité volumique A , la condition d’équilibre s’écrit :
f,(M) - grad(P(M))= 0 où P(M) est la pression au point M du fluide.
2.2.1.4. En déduire que le nombre de molécule N'(r) par unité de volume dans le
cylindre à la distance r de l’axe (Oz) est donné par :
* ٠ Mr
où R est la constante des gaz parfaits. Donner l’expression de N'(0).
2.2.1.5. Vérifier que N (r) se met sous la forme N (r)=N (0)exp(- = , k, étant
la constante de Boltzmann. Donner l’expression de E,(r) en fonction des données.

Comment appelle-t-on le terme exp(- ) ? Quelle est sa signification physique 2

2.2.2. Séparation isotopique

Le dispositif précédent est à la base de la méthode d’enrichissement de l’uranium
par ultracentrifugation. L’hexafluorure d'uranium UF,, mélange gazeux des deux
isotopes “UF, et ‏انا‎ de masses molaires respectives ‏موا‎ et M,,, est introduit

dans des cylindres de rayon a qui tournent à la vitesse angulaire w constante. La
température est 17 ٠

On donne : a=10em , My, =349g.mol" , M, =352g.mol! , R=8,314J.K"'.mol et
‏وه‎ - 2500017 min” .

0

2.2.2.1. Calculer numériquement dans le cas d’une molécule *UF,, puis

2

dans le cas d’une molécule ‏ركان"‎ à T'=300K puis à T"=400K.

2.2.2.2. Donner l’expression du facteur de séparation défini par le rapport
= AA . Vérifier que q dépend de la différence des masses molaires des
deux gaz.
2.2.2.3. Calculer numériquement ‏و‎ à T'=300K puis à 7"=400K . Commenter les
résultats.
2.2.2.4. Le combustible contient 3,5% de l’isotope "*U. On note x, la fraction

X335 (0)
X335 (A

molaire de molécules d’hexafluorure contenant ‏نر‎ . Calculer . Commenter,

sachant qu’une installation comporte 100 à 1000 cylindres.
3. Étude du cycle de l’eau d'un réacteur à eau pressurisée

On étudie dans cette partie le fonctionnement simplifié des deux circuits primaire
et secondaire d'une centrale REP. Dans toute cette partie, le travail des forces de
pesanteur ainsi que la variation d'énergie cinétique subie par l'unité de masse du
fluide sont supposés négligeables devant les autres quantités d'énergie échangées.
D’autre part, on néglige tout frottement.

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On rappelle que pour un fluide en écoulement permanent, le premier principe de la
thermodynamique, relatif à l'unité de masse s'écrit : Ah=w +q où w, et ‏و‎
‎représentent respectivement le travail massique utile et la chaleur massique échangés
avec l'extérieur.

3.1. Étude du circuit primaire

Dans le circuit primaire, de l'eau sous pression circule en parcours fermé (figure
2). Cette eau s'échauffe lors de son passage dans le cœur du réacteur grâce à l'énergie
produite par les éléments combustibles. Cette énergie calorifique, transportée par
l'eau sous pression, est utilisée, via l'échangeur (générateur de vapeur), par le circuit
secondaire (étudié dans la partie 3.2) pour produire de l'énergie électrique.

Pressuriseur
Réacteur

Générateur de vapeur

Turbine Alternateur

Condenseur refroidissement

Circuit primaire Circuit secondaire

figure 2

L'eau entre dans la cuve du réacteur à la température 1-2684 °C et sous la

pression P =155 bar et en sort à la température T, 321 °C sous la même pression

qu'à l'entrée. Dans le pressuriseur, la pression est également P =155 bar.

3.1.1. Le diagramme de la figure 3
représente la pression de vapeur
saturante de l'eau en fonction de la
température de l'eau.

3.1.1.1. Reproduire le digramme et
indiquer, en justifiant, le domaine de
l'eau liquide et celui de l'eau vapeur.

3.1.1.2. À quel(s) état(s) physique(s) se
trouve l'eau à l'entrée et à la sortie de

la cuve du réacteur ? Justifier votre

réponse.

3.1.1.3. Déterminer la température qui
règne dans le pressuriseur sachant que
ce dernier contient un mélange d'eau
liquide et d'eau vapeur.

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3.1.2. Calculer la variation d'enthalpie massique Ah de l'eau entre l'entrée et la
sortie de la cuve du réacteur. On donne la capacité thermique massique de l'eau
c=5,8 kJ kg”'.K' dans les conditions où l'eau circule dans la cuve.

3.1.3. Dans le réacteur, la fission nucléaire des atomes d'uranium produit une
grande quantité de chaleur. La puissance thermique fournie est P=2,8GW .

Calculer la valeur du débit massique D, d'eau nécessaire dans le réacteur pour
évacuer cette puissance.

3.2. Étude du circuit secondaire

Le circuit primaire communique avec un deuxième circuit fermé, appelé circuit
secondaire, par l'intermédiaire du générateur de vapeur (figure 2). Dans ce générateur
de vapeur, l'eau chaude du circuit primaire chauffe l'eau du circuit secondaire. Dans
le circuit secondaire, la vapeur produite par le générateur de vapeur fait tourner une
turbine qui entraîne à son tour un alternateur.

Dans le circuit secondaire, le fluide (eau) décrit un cycle moteur que l’on modélise
par la succession des phases suivantes :

e  A—B : L'eau sous forme de liquide saturant (état 1) subit dans la pompe une
compression quasistatique sans échange thermique et durant laquelle sa

température reste pratiquement constante égale à 7, =30 °C. Cette compression
élève la pression de l'eau de P, =0,04 bar à P,=85,9 bar.

e  B—C—D :L'échangeur permet les transferts thermiques entre le circuit
primaire et le circuit secondaire du réacteur. L'eau sous forme liquide est

chauffée de façon isobare de la température T, à la température T, - 300 °C sous
la pression P, (B = C) puis vaporisée entièrement de façon à l'amener à l'état de
vapeur juste saturante (C —›D ) :

e D-—E : La vapeur d'eau saturante-sèche à la pression P, est introduite dans la
turbine calorifugée où elle se détend de façon quasi-statique jusqu'à la pression
P, et la température T,. Dans l'état E, l'eau se trouve sous deux phases liquide
- vapeur en équilibre. On note x, la fraction de l'eau vapeur à la fin de cette
détente.

e  E—A : L'eau est évacuée dans un condenseur où la condensation s'achève sous
la pression P, et à la température T,.

On négligera le travail consommé par la pompe devant les autres termes
énergétiques de l'installation. On admet que h, =h, .

3.2.1. Représenter l'allure du cycle ABCDEA dans le diagramme de Clapeyron
(P,v ) en faisant apparaître la courbe de saturation de l'eau. On positionnera les

points 4, B, 0, D et E en justifiant sans faire de calcul leur position et on
indiquera le sens de parcours du cycle.

3.2.2. La variation élémentaire de l'entropie massique d'un corps pur à l'état
liquide, en fonction de la pression P et de la température 7 est donnée par :

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ds =c, 7 - «47 , où c, et a désignent respectivement la capacité thermique
massique du corps pur à l'état liquide et le coefficient de dilatation isobare du
corps. Les deux grandeurs c, et à sont supposées indépendantes de la
température et de la pression. Le volume massique v, est supposé indépendant de
la pression. On veut vérifier si la température reste pratiquement constante égale
à T, au cours de la transformation A — B . Calculer la variation AT = T «T dela
température de l'eau liquide lors de la compression A — B amenant le fluide de
l'état A (T,=30°C, P,=0,04 bar) à l'état B (T,. P,=85,9 bar). Que peut-on en

déduire ?

On donne : v, 2103 m*kg", ce, =4,18kJ.K" kg" et a=3,5.10*K".

Propriétés de l’eau (région saturée) :

; Enthalpie Entropie
Volume massique ; ;
Température | Pression 3 massique massique

FX | ‏ا | نح‎ RE ve ve
| 300 | 859 | 1.40.103 | 0,02164 | 1345 | 2749 | 325 | 5.57 |

3.2.3. Quelle est la valeur de l'entropie massique du fluide au point FE ?

3.2.4. En utilisant le théorème des moments sur le palier d’équilibre liquide-
vapeur à la température T,, calculer la valeur numérique du titre x,(T,) de la
vapeur d'eau à la sortie de la turbine.

3.2.5. Montrer que l’enthalpie massique h d’un mélange diphasique liquide-
vapeur de titre massique en vapeur x, est donnée par la relation

h=x,h, +(1-x,)h, où h, et h, sont les enthalpies massiques respectivement à l’état

de vapeur saturante et à l’état de liquide saturant. Calculer numériquement
l'enthalpie massique h, à l'état EF à la sortie de la turbine.

3.2.6. Exprimer le travail massique w, =w,, reçu par l’eau dans la turbine.

Calculer sa valeur numérique.

3.2.7. Exprimer la chaleur massique ‏مرو‎ reçue par l'eau du circuit secondaire

au cours d'un cycle à travers l'échangeur du circuit primaire. Calculer sa valeur
numérique.

3.2.8. On définit le rendement thermodynamique n, du cycle par n = m'a |
Calculer la valeur numérique de 7, .

3.2.9. On assimile la centrale électronucléaire à eau pressurisée à un moteur
thermique où le fluide caloporteur est l'eau décrivant un cycle entre deux sources;

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la source chaude qui est le cœur du réacteur, de température constante T, et la

source froide qui est un réfrigérant, de température constante 1, . Calculer
numériquement le rendement maximal 7, Qu'on aurait pu avoir avec les mêmes
sources de chaleur. Quelle conclusion peut-on en tirer ?

3.2.10. La puissance électrique nette produite par la centrale est P, =600 MW .
En déduire le rendement », de la conversion de l'énergie thermique en énergie

électrique de la centrale électronucléaire à eau pressurisée.
4. Conversion d’énergie mécanique en énergie électrique

La vapeur produite sortant de l'échangeur du
secondaire entraîne la turbine. Cette dernière
entraîne la rotation de l'alternateur. Ce dernier
assure la conversion de l’énergie mécanique de la
turbine en énergie électrique et produit un courant
électrique alternatif. On étudie dans cette partie le
principe de l'alternateur. On représente le rotor
(partie mobile) de l'alternateur comme une bobine
plate (B) de N spires rectangulaires de centre O,

de surface S chacune et d'axe orienté par la

normale n (figure 4). La bobine figure 4

tourne autour de son axe de symétrie (Oz) passant par les deux milieux de côtés
opposés avec une vitesse angulaire constante @ dans une région de l'espace où règne

un champ magnétique extérieur 2. - 62 homogène, uniforme et stationnaire

orthogonal à l’axe de rotation. On néglige le champ magnétique propre créé par les
courants induits dans la bobine (B) de résistance R devant le champ extérieur Be ;

On prendra à la date 1-0, Be et la normale à la bobine parallèles et de même sens.
4.1. Exprimer le flux magnétique ® embrassé par les spires de la bobine (B).

4.2. En déduire l'expression de la force électromotrice e induite par le mouvement
de la bobine et donner sa valeur maximale e, -

4.3. Établir l'expression du courant i induit dans la bobine et donner sa valeur
maximale I, -

4.4. Établir l'expression du couple électromagnétique FL des forces de Laplace

exercées sur la bobine. Calculer sa valeur moyenne dans le temps ‹I›.

4.5. Établir l'expression de la puissance P, dissipée par effet Joule dans la bobine.

Calculer sa valeur moyenne ‹P, ›.

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4.6. Déterminer l'expression du couple 1 suivant l'axe (Oz) qu'il faut exercer pour

maintenir la rotation de la bobine et calculer sa valeur maximale 1

5. Aspect environnemental : valorisation des déchets nucléaires

Un des problèmes majeurs du nucléaire est la gestion des résidus radioactifs
inutilisables. Une des solutions étudiées consiste à incorporer ces déchets au béton.
Cette partie propose d’étudier le contrôle de la production de la chaleur posé par cette
méthode.

Une paroi d’épaisseur e,, comprise entre deux plans parallèles, perpendiculaire à

l’axe (Ox), est constitué d’un mélange homogène de béton et de résidus radioactifs de

conductivité thermique ‏,ما‎ de masse volumique u, et de chaleur massique à volume
constant ‏.وى‎ Les réactions nucléaires qui se produisent dans ce matériau y dégagent

une puissance thermique volumique ‏.تر‎ uniformément répartie dans le matériau. On

cherche à déterminer la distribution de la température dans la paroi en fonction de sa
géométrie. On considère la paroi suffisamment longue suivant les axes Oy et Oz pour
que la température 7 =T(x,t) dans le matériau ne dépende que de l’abscisse x et du
temps / . Cette température vérifie la loi de Fourier de la diffusion thermique

im ‏ل- د‎ grad(T).

5.1. Préciser la signification physique de Ji et donner son unité ainsi que celle de À,
dans le système international.

5.2. Montrer, à l’aide du bilan de l’énergie interne U dans un volume cylindrique de
section droite, d’aire S, compris entre les plans d’abscisses x et x+dx, que
l’équation différentielle de la diffusion thermique est :

x ‏حا الا‎ OT
b“vb at nue b ‏و‎
‎On suppose dans la suite que le régime est permanent.

5.3. Les deux faces de la paroi situées respectivement en x=0 et x=e, sont

maintenues à une température fixe 7, par une circulation d’eau froide.

5.3.1. Déterminer l’expression de la température 7(x) dans la paroi et tracer la
courbe correspondante. Quelle est la valeur de la température maximale 7

dans le système ? Faire l’application numérique avec les paramètres

5.3.2. Établir l’expression du flux thermique surfacique @(x) dans le système.

Tracer son allure. Vérifier que toute la puissance créée au sein de la paroi est
évacuée par ses deux faces.

Épreuve de Physique Il 9/9

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