Modèle de concours : CNC 2015 Physique II (MP) — Concours National Commun

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ROYAUME DU MAROC

Ministère de l'Enseignement Supérieur,
de la Formation des Cadres et de la Recherche Scientifique

Présidence du Concours National Commun 2015
Ecole Nationale Supérieure d'Électricité et de Mécanique

ENSEM

CONCOURS NATIONAL COMMUN

d'Admission dans les Établissements de Formation

d'Ingénieurs et Établissements Assimilés

Édition 2015

ÉPREUVE DE PHYSIQUE II

Filière MP

Durée 4 heures

Cette épreuve comporte 8 pages au format A4, en plus de cette page de garde
L'usage de la calculatrice est autorisé

Page de garde

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Concours National Commun - Session 2015 - Filière MP

e On veillera à une présentation et une rédaction claires et soignées des copies. Il
convient en particulier de rappeler avec précision les | références | des questions abor-

dées.

e Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé,
il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant clairement les raisons
des initiatives qu’il est amené à prendre.

e Toutes les réponses devront être très soigneusement justifiées.

e Si un résultat donné par l’énoncé est non démontré, il peut néanmoins être admis
pour les questions suivantes. Ainsi, les diverses parties du problème sont relativement
indépendantes entre elles.

Le microscope à effet tunnel

Données :

e Constante de PLANCK : h = 6,626.10-*% J.s.
27
e Charge élémentaire : e = 1,602.10-"° C.

e Constante de PLANCK réduite : À =

e Masse de l’électron : me = 9, 109.1075* kg.
e Constante de BOLTZMANN : ‏وم‎ = 1,381.107-3 J.K—.

e Masse du proton : m, = 1, 673.107?" kg.

e Vitesse de la lumière : c = 2, 999.108 m.s7*.

En mécanique newtonienne, lorsqu'une particule vient heurter une barrière de potentiel,
elle ne peut pas la franchir. En mécanique quantique, l’équation de SCHRÔDINGER admet
des solutions à l’intérieur d’une barrière de potentiel, lorsque le potentiel n’est pas infini
dans ces régions et que l’énergie totale de la particule est inférieure à l’énergie potentielle.

La faible pénétration de l’onde dans une région interdite à la particule classique associée
est à l’origine de l’effet tunnel. Cet effet a joué un rôle historique important en permettant
de comprendre la radioactivité ‏مه‎ ce qui a constitué une des premières confirmations de la
mécanique quantique.

On s’intéresse au mouvement à une dimension d’une particule non relativiste de masse m
et d’énergie totale Æ › 0 se déplaçant parallèlement à l’axe (Oz) dans l’énergie potentielle
V (x). Dans ce qui suit, on note V(M,t) = V(x,t) la fonction d’onde (complexe) de l’onde
de DE BROGLIE associée à la particule. L’équation de SCHRÔDINGER vérifiée par V(x,t)

s’écrit : ‏2م‎ à? 1
Épreuve de Physique II 1/8

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On rappelle qu’en plus d’être de « carré sommable » et « normalisée », la fonction
d’onde W(x,t) doit également être de classe C*.
Dans toute la suite, on cherchera les solutions de l’équation de SCHRÔDINGER pour des

états stationnaires tels que V(x,t) = V(x)e*'

1. Onde de De Broglie

1.1. Quelle est la relation entre la mécanique quantique et la mécanique classique ? Citer
certains faits et phénomènes physiques qui ont conduit à développer la mécanique
quantique ?

1.2. Décrire une expérience illustrant la notion d’onde de matière.

1.3. Énoncer la relation de DE BROGLIE, pour une particule matérielle de masse m, re-
liant la quantité de mouvement p, et la longueur d’onde À. Interpréter cette relation
physiquement.

1.4. D’après la mécanique classique, déterminer la vitesse ‏ون‎ acquise par un électron de
masse m, et de charge (—e) accéléré par une tension U,-

1.5. Exprimer la longueur d’onde À. d’un électron, de vitesse ve en fonction du potentiel
d’accélération U, en mécanique classique newtonienne (ve › c). Calculer les longueurs
d’onde ‏برط‎ A» et ‏وا‎ respectivement pour les trois potentiels d'accélération suivants :
Ua, = 1kV, ‏ونا‎ = 100 AV et ‏ومن‎ = 1 MV. Vérifier dans chacun des cas la validité de
l’hypothèse non relativiste sachant qu’un calcul en mécanique einsteinienne donne :
À, = 38,8 pm, A9 = 3, 71 pm et As = 0,94 pm.

1.6. La description de l’état d’une particule en un point M à l’instant ‏ا‎ se fait au moyen
d’une fonction complexe W(M, t). Pourquoi ?

1.7. Expliquer physiquement la signification de la fonction d’onde V(x,t) et de | V(r,t) |? ?
Interpréter la condition de normalisation de la fonction d’onde V(x,t).

1.8. On pose p(x,t) = | V(x,t) | *. Montrer que toutes les solutions de l’équation de SCHRÔ-

‎pro-‏ عل ‎(grad 1: 0) est appelé courant‏ (1,*)*ل- )00 ‎t) (gra (W*(x,‏ ص ا

‎DINGER W(x,t) vérifient l’_équation + div 0 t)) = 0 où le vecteur J(x,t) =

‎babilité, V*(x,t) étant le conjugué de W(x,t). Quelle est l’interprétation physique de
cette équation. Que devient cette équation dans le cas stationnaie ?
1.9. Donner J(x,t) pour une fonction d’onde de la forme : W(x,t) = A ef où f(x, t) est
une fonction de x et ‏عل‎
‎1.10. On considère une particule libre de masse m, d'énergie totale Æ dont l’état peut être
décrit par la fonction W(r,t). Donner la relation qui existe entre 7 et w pour qu’une
onde plane monochromatique V(x,t) = A e7-k=) soit compatible avec l’équation
de SCHRÔDINGER. En déduire la valeur de l’énergie F en fonction de w. L’onde plane
satisfait-elle les conditions de normalisation de la fonction d’onde ?
1.11. Déterminer le courant de probabilité dans le cas de la fonction d’onde V(x,t) =
A e—‘et-kz), A étant une constante réelle.

‎Épreuve de Physique II 2/8

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2. Réflexion de particules sur un mur de potentiel

On envoie sur une marche d’énergie potentielle dans le sens des x croissants, un flux
permanent monocinétique de particules de masse m et d'énergie F. En x = 0, une
particule rencontre une barrière de potentiel d’énergie V = Vy en forme de marche :
dans le domaine x › 0, l’énergie potentielle est nulle, dans le domaine x › 0, elle est
égale à Vo. La zone d’énergie potentielle égale à Vy s’étend à l’infini (Figure 1).

V9

0 x

FIGURE 1

2.1. Étudier les cas physiques possibles du mouvement de la particule dans le cadre de la
mécanique classique selon que F › Vy ou F › Vo. Sous quelle condition la particule
pourra-t-elle franchir la barrière d’énergie potentielle ?

2.2. On étudie maintenant les cas physiques possibles du mouvement de la particule dans
le cadre de la mécanique quantique dans le cas F › 7
2.2.1. Écrire l’équation de SCHRÔDINGER indépendante du temps relative à la région

x › 0. Pour cette région, la fonction d’onde indépendante du temps V1(x)
est la somme d’une onde de DE BROGLIE d'amplitude À se propageant dans
le sens des x croissants et d’une onde d’amplitude B se propageant en sens
inverse. Donner en fonction de F, m et ñ, l’expression du module du vecteur
d’onde k de ces ondes puis celle de la fonction d’onde V,(x) en fonction des
paramètres A, B et k.

2.2.2. Écrire l’équation de SCHRÔDINGER indépendante du temps relative à la région
x › 0. Montrer que dans cette région, la fonction d’onde de DE BROGLIE
indépendante du temps Va(x) est de la forme Va(x) = 06-72. Interpréter cette
solution et donner l’expression de y en fonction des données.

2.2.3. Quelles sont les conditions de raccordement (continuité) relatives à la fonction
d’onde et à sa dérivée spatiale qui permettent de déterminer les constantes
qui interviennent dans les solutions précédentes ? En déduire les deux rapports

d’amplitude — et —.

2.2.4. Calculer le coefficient

2
il Quelle est sa signification physique et comment

interprète-t-on la valeur qu’il a dans ce problème ? Quelle différence fondamen-
tale subsiste par comparaison avec la mécanique classique ?

Épreuve de Physique II 3/8

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2.3. On envisage maintenant les cas physiques possibles du mouvement de la particule dans
le cadre de la mécanique quantique dans le cas # › Vo.
La fonction d’onde de l’onde de DE BROGLIE associée à la particule de masse m et
d’énergie 7/7 et solution de l’équation de SCHRÔDINGER est donnée par :

Acte ‏سوج 1*7 جرم ا‎ # › 0,
‏حر‎ pour x › 0
52 2
Avec k prenant l’expression trouvée dans la question 2.2.1, F— 106 = 0 et À est

une constante. t et r sont des coefficients que l’on calculera dans la suite.

2.3.1. Écrire les conditions de raccordement de la fonction d’onde.

2.3.2. Calculer les coefficients t et 7 en fonction de k et ko.

2.3.3. Calculer le courant de probabilité J, pour x › 0 puis ‏ول‎ pour x › 0. Commen-
ter. Identifier les courants incident J;, réféchi J, et transmis 7. On définit un
coefficient de réflexion R et de transmission T de la marche de potentiel par :

0 7 : ‏ميد‎
‎R= |Z|et T=|=|. Exprimer R et T ainsi que leur somme. Commenter et

conclure. Calculer la limite de R et celle de 7 pour k tendant vers 0 puis pour
k tendant vers l’infini. Comparer avec les résultats de la mécanique classique.

3. Barrière de potentiel

On étudie dans cette partie un des effets de la mécanique quantique qui va à l’encontre
de la mécanique classique. On considère alors un faisceau d’électrons, non relativistes,
de masse m, qui se déplace parallèlement à l’axe (Ox) dans le sens des x croissants,
et qui vient heurter en 7 = 0 une barrière d’énergie potentielle de hauteur ‏نا‎ › 0 et
d’épaisseur a définie par :

Va) = Vo, pour0‹x‹a

‎sinon‏ ,0 { صا(

‎3.1. Donner l’exemple d’un système physique qui pourrait être modélisé par la barrière de
potentiel V(x).

‎3.2. Que peut-on dire du point de vue de la mécanique classique sur la présence de la
particule dans la région de l’espace 0 › x ‹a?

‎3.3. On se place maintenant dans le cadre de la mécanique quantique. On considère une
situation physique correspondant à une onde plane associée au flux incident de par-
ticules, venant de 7 = —oo en direction de la barrière. Lorsqu'elle parvient à la
discontinuité de potentiel en x = 0, cette onde donne naissance à une onde réfléchie
dans la région x › 0 et à une onde "évanescente" pénétrant dans la région 0 › x ‹a.
À l'interface en x = a, l’onde se scinde à nouveau, en une onde évanescente réfléchie et
en une onde progressive dans le sens des x croissants transmise dans la région x › a.
On s’intéresse au problème de franchissement de la barrière par les particules venant
de x = —oo et possédant l’énergie E telle que : 0 › F › W (effet tunnel).

‎Épreuve de Physique II 4/8

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3.3.1. On note V,(r), Va(x) et Vz(x) les solutions de l’équation de SCHRÔDINGER
aux états stationnaires respectivement dans les régions 7 › 0, 0 › « ‹aet
x › a. Montrer qu’elles sont données par :

Ua) dl HAE
Vs(x) = Age ‏عير‎

où A1, A, Ag, A5, As et AS sont des constantes. Donner les expressions de k

3.3.2. Justifier que pour la situation étudiée, la fonction d’onde dans la région x › a
ne comprend qu’un terme.

3.3.3. Écrire les conditions de raccordement en x = 0 et x = a.

3.3.4. On définit les coefficients de réflexion R et de transmission 7” de la ‏عوط‎

rière par : 7/8 = ER et T° = |=2| . Montrer qu’ils sont donnés par :
1 1
RE TI IE 27.2
dy2k2 + (42 + k2)2sh?(ya) dy2k2 + (92 + k2)2sh?(ya)

varie le coefficient de transmission 7” en fonction de l’énergie F ? Discuter de

l’influence des paramètres Vy et a sur 7”. On pourra poser X = 7 et étudier
0
T'(X) en fonction de la variable X.

3.3.5. Établir des formules approchées pour le coefficient de transmission 7” dans le
cas où la barrière est mince, puis dans le cas où la barrière est très épaisse. Que
devient la transparence d’une barrière quelconque lorsque l’énergie cinétique
des particules incidentes tend vers Vy. Comparer ces résultats à ceux de la
mécanique classique.

3.3.6. Dans la limite ya › 1, étudier le comportement du coefficient de transmission
1" en fonction de a, m et )6 — (٠
Application numérique : La hauteur de la barrière de potentiel est Vy = 2eV
et sa largeur est a = 1nm. Calculer le coefficient de transmission de la barrière
pour un électron d’énergie F = 12617, puis pour un proton de même énergie.
Comparer les deux résultats et conclure. L'hypothèse ya › 1 est-elle satisfaite ?

3.3.7. Déterminer le courant de probabilité dans chacune des régions 7 › 0,0 ‹x ‹a
et x › a. Retrouver le fait que R' + 7” = 1. Quel est le sens physique de cette
équation ?

3.4. Comment est modifiée la fonction d’onde dans chacune des régions x ‹ 0,0 › ‏م › ع‎

et x › a dans le cas où la particule venant de x = —oo en direction de la barrière a

une énergie Æ telle que F › 7

Épreuve de Physique II 5/8

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4. Application : microscope à effet tunnel

Les développements de la partie précédente modélisent le fonctionnement d’un micro-
scope à effet tunnel nommé STM (Scanning Tunneling Microscope). La microscopie à
effet tunnel est une technique d'imagerie qui permet d’atteindre la résolution du na-
nomètre et de distinguer ainsi les atomes à la surface d’un objet. Cet instrument a été
développé par G. Binnig et H. Rôhrer au début des années 80 au laboratoire de recherche
IBM en Suisse. Les deux inventeurs ont été récompensés par le prix Nobel de physique
en 1986 pour cette invention révolutionnaire.
Contrairement aux microscopes classiques qui fonctionnent avec de la lumière, un STM
utilise une pointe mobile très pointue (idéalement terminée par un unique atome) qui
va servir à scanner la surface. Lors du balayage, le dernier atome de la pointe suit le
relief de la surface et c’est en détectant le mouvement de la pointe qu’on remonte à la
géométrie de la surface.

En pratique, on balaie ligne par

ligne une zone carrée pour re-

constituer une image en relief.

Système de mesure

On déplace la pointe très fine ١ 5
et d'asservissement

à quelques nanomètres de la
surface de l’échantillon conduc-

7
teur à l’aide ‏عل‎ transducteurs échantillon

piézoélectriques. En polarisant
la jonction pointe/vide/échantillon,
les électrons peuvent passer par tension FIGURE 2
effet tunnel de la pointe à

l’échantillon, créant ainsi un courant tunnel macroscopique qui est le signal mesuré par
le STM et qui dépend de façon très sensible de la distance pointe-échantillon (Figure 2).
Une boucle d’asservissement ajuste la distance de la pointe à la surface du conducteur de
façon que le courant provenant du passage d’électrons par effet tunnel soit constant.

4.1. Le microscope à effet tunnel permet-il de voir, au sens strict du terme, les atomes ?

4.2. On suppose que les régions x › 0 et x › a sont constituées de deux électrodes
métalliques. La première électrode est une plaque et la seconde est une pointe. Ces
deux électrodes sont séparées par une barrière de vide. Lorsque l’on applique une
tension U faible entre les deux électrodes, la densité de courant tunnel peut s’écrire :
Jr = BUT" où A est une constante. Exprimer Jr pour une barrière épaisse (à = 1 nm).

4.3. Le courant tunnel dépend exponentiellement de la distance a entre la pointe et la
surface : I, = I, exp(—2ya). Pour évaluer la précision de cette technique, calculer la
variation relative de courant à travers la pointe d’un microscope à effet tunnel lorsque
la distance pointe-échantillon varie de 1nm à 1,1nm (avec ‏ما‎ = 6eV et E = 1 eV).

4.4. Sachant qu’il est possible de discerner des variations relatives de courant de l’ordre de
10% , évaluer la résolution en profondeur d’un microscope à effet tunnel Aa susceptible
d’être discriminée pour a = 0,6 nm.

Épreuve de Physique II 6/8

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5. Mesure du courant tunnel

Le courant tunnel créé est très faible (quelques
‏هم‎ à nA). On utilise alors un amplificateur afin
d’amplifier ce courant et le convertir en tension.
D’autre par la fréquence de balayage du micro-
scope étant de quelques dizaines de Hertz, la
bande passante du montage amplificateur doit

être suffisante afin d'assurer un bon fonctionne- , .
ment dans ce domaine de fréquence. On utilise échantillon
alors le montage de la figure 3. Il est composé d’un
amplificateur opérationnel faible courant d’entrée
et faible bruit. On considère que cet amplifica-
teur est idéal et fonctionne en régime linéaire. FIGURE 3

Le condensateur 0 représente les capacités pa-

rasites liées à la conception du circuit intégré et aux connexions. On donne R, = 1GQ et

5.1. Établir l’expression de la fonction de transfert du montage définie par : Z = =
Déterminer la nature du filtre ainsi que sa fréquence de coupure à —3 dB.

5.2. Calculer la transimpédance Z dans la bande passante du montage. En déduire la
valeur numérique de la tension de sortie V, pour un courant tunnel /, = 0,1nA.
5.3. On souhaite améliorer le comportement fréquentiel du montage tout en maintenant
un niveau de bruit équivalent. On utilise alors le montage de la figure 4 pour lequel
R, = 10 M® et C, est un condensateur dont on souhaite déterminer la valeur de la

capacité.

FIGURE 4

5.3.1. Montrer que la nouvelle expression de la fonction de transfert de ce montage

Vr 1l+ 207
s’écrit sous la forme : Z' = — = | R+R,——— |. Donner les expressions
Ir 1 + ‏ونا‎
‎de 7 et Ty.
Epreuve de Physique II 7/8

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5.3.2. Déterminer la valeur de la capacité C, permettant de compenser la capacité
parasite C, et d'augmenter la bande passante du montage.

5.3.3. En pratique, la compensation des capacités parasites n’est pas parfaite et la
bande passante est limitée à 100kHz. La fonction de transfert du montage

amplificateur considéré prend alors la forme Z" = NE Justifier, sans

calcul, cette expression et donner la valeur numérique de 2
5.4. L’étude faite précédemment a montré que le courant tunnel est une fonction non
linéaire de la largeur de la barrière de potentiel, qui n’est autre que la distance a entre la
pointe et l’échantillon. Afin de rendre le système linéaire, on fait suivre l’amplificateur
de courant étudié ci-dessus d’un amplificateur logarithmique constitué de deux étages

(Figure 5).

riTI 0.1 1 10 100 1000

FIGURE 5

FIGURE 6

Les deux amplificateurs opérationnels utilisés sont idéaux et fonctionnement en régime

linéaire. D est un dipôle non linéaire dont la caractéristique est donnée par la relation :

eU ksT

Ip = Isexp (52) où 7 = 300 K est la température absolue, —3 = 25mV et Is

est une constante homogène à un courant.

5.4.1. Quelle opération réalise chacun des deux étages de ce circuit ?

5.4.2. Montrer que la tension de sortie V, de l’amplificateur logarithmique en fonction

de V7 se met sous la forme V, = ‏مايا‎ (7 . Le graphe de la figure 6 donne
la caractéristique de transfert de l’amplificateur logarithmique. Déterminer les
valeurs des constantes Vm et Vr,-

5.4.3. On met en série le montage convertisseur amplificateur de la figure 4 et le
montage amplificateur logarithmique de la figure 5. Montrer que dans la bande
passante du montage, la tension de sortie V, est reliée au courant tunnel Ir

I7,

) . Exprimer les deux constantes V,, €t Im-
0

par la relation : ‏ا‎ = V,, In (

FIN DE L’ÉPREUVE

Épreuve de Physique II 8/8

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