Modèle de concours : CNC 2009 Physique II (MP) — Concours National Commun

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ROYAUME DU MAROC

Ministère de l'Éducation Nationale, de l'Enseignement Supérieur,
de la Formation des Cadres et de la Recherche Scientifique

Présidence du Concours National Commun
Institut Nationale de Statistique et d'Economie Appliquée
INSEA

Concours National Commun d’admission

aux Grandes Ecoles d'Ingénieurs ou assimilées
Session 2009

ÉPREUVE DE PHYSIQUE II

Filière MP

Durée 4 heures

Cette épreuve comporte 8 pages au format A4, en plus de cette page de garde
L'usage de la calculatrice est autorisé

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Concours National Commun - Session 2009 - Filière MP

L'énoncé de cette épreuve comporte 8 pages.
L'usage de la calculatrice est autorisé.

On veillera à une présentation claire et soignée des copies. Il convient en particulier de rappeler avec

précision les | références | des questions abordées.

Le sujet est composé de deux problèmes totalement indépendants. Ils peuvent être traités dans
un ordre quelconque.

Dans les applications numériques, qui ne doivent pas être négligées, une attention particulière
sera prêtée au nombre de chiffres à utiliser pour afficher les résultats. Ce nombre, qui dépend en
général du niveau de précision recherché, ne doit en aucun cas dépasser le nombre de chiffres
significatifs permis par les données. La valeur numérique de toute grandeur physique doit être
accompagnée de son unité dans le système international des unités (SI).

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa
copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Données pour toute l'épreuve

e Masse du Soleil : Mg = 1,99.10%° kg

Constante d'attraction universelle : G = 6, 67.10 13 N.m°*.kg7?

2

Accélération de la pesanteur au niveau du sol : g = 9,81 m.s”
e Constante des gaz parfaits : R = 8,31 J.K—*.mol”*

e Masse molaire de l'air : M, = 29.1073 kg.mol”*

Masse volumique de l’eau : ‏م‎ = 103 kg.m73

Premier problème
Durée des saisons

La saison est une période de l’année qui observe une relative constance du climat et de la
température. D'une durée d'environ trois mois, la saison joue un rôle déterminant sur l'état de
la végétation qui dépend essentiellement de facteurs climatiques.

D’un point de vue astronomique, une saison correspond à l'intervalle de temps au cours duquel
la Terre occupe une portion de l’espace lors de sa gravitation autour du Soleil. C’est l'inclinaison
de l'axe des pôles, combinée à la rotation de la Terre autour du Soleil, qui fait qu'il se produit une
alternance des saisons. Celles-ci correspondent aux périodes qui séparent le passage de la Terre à
certains points de son orbite.

Dans ce problème, on étudie le mouvement de la Terre dans le référentiel héliocentrique R ceniré
au centre S du Soleil et supposé galiléen.

1% partie
Propriétés générales du mouvement
1.1. Référentiel galiléen

1.1.1. Donner la définition d'un référentiel galiléen.

Épreuve de Physique II 1/8 Tournez la page S.V.P.

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11.2. Définir le référentiel géocentrique. À quelle(s) condition(s) peut-on le considérer comme
galiléen ?

1.2. Force et énergie mécanique

La Terre est modélisée par un solide indéformable de forme sphérique que l'on assimilera ici à
un point matériel de masse m situé en son centre d'inertie 0. Les effets liés à la rotation de la Terre
autour de son axe ne sont pas pris en compte dans ce problème.

Le centre d'inertie 0 de la Terre se déplace dans le champ de gravitation du Soleil de masse M5
sous l'effet de la force :

- GMsm_
Fsso=— ei (1)

ÿ = SO étant le vecteur position du centre O de la Terre par rapport au centre S du Soleil. On néglige
l’influence des autres planètes sur le mouvement de la Terre.

1.2.1. Le champ de force de l'équation (1) est-il un champ de force central ?

1.2.2. Donner la définition d’une force conservative.

1.2.3. Montrer que la force de gravitation exercée par le Soleil sur la Terre est conservative.

1.2.4. Exprimer l'énergie potentielle F, dont dérive cette force en fonction de G, Ms, m et r.
L'énergie potentielle E, sera prise conventionnellement nulle pour r tendant vers l’infini.

1.25. Montrer que l'énergie mécanique Em de la Terre est constante au cours de son mouve-
ment autour du Soleil.

1.3. Moment cinétique

1.3.1. Définir le vecteur moment cinétique Es de la Terre dans le référentiel R, par rapport au
centre S du Soleil.

1.3.2. Énoncer le théorème du moment cinétique pour un point matériel.

1.3.3. En appliquant à la Terre le théorème du moment cinétique par rapport au point 5,
montrer que son moment cinétique Lg est un vecteur constant.

1.3.4. En déduire que la trajectoire suivie par la Terre autour du Soleil est entièrement contenue
dans un plan fixe II. Comment est situé le plan de cette trajectoire par rapport au vecteur moment
cinétique Ls ?

1.3.5. Pour la suite, on pose : Ls = 10100 où à est un vecteur unitaire fixe dans le référentiel
héliocentrique R et C une constante.

Dans le plan II de sa trajectoire, on repère la position du centre d'inertie de la Terre 0 en
coordonnées polaires (r,0) définies par r = SO et 9 = (SO0, 50( (figure 1-a). Op est la position
de O à une date choisie comme origine. (ü,, da) étant la base locale associée à ces coordonnées.

Épreuve de Physique II 2/8 —

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Figure 1-a : repérage de la position de la Terre. Figure 1-b : trajectoire de la Terre autour du Soleil.

1.3.5.1. Montrer que la vitesse du centre d'inertie de la Terre par rapport au référentiel R
s'écrit sous la forme :

Donner les expressions de v, et de ‏وو‎ en fonction de r, à = 2 etde Ô = =
7

1.3.5.2... Exprimer le moment cinétique Ls en fonction de m, r et ‏.ق‎ En déduire que la constante
C est liée aux paramètres r et À par la relation :

0-8

1.3.6. Loi des aires

1.3.6.1. Exprimer l'aire d, balayée par le rayon-vecteur pendant une durée dt du mouve-
ment de la Terre autour du Soleil.

1.3.6.2. Montrer que l'aire 2 balayée par le rayon-vecteur 7 durant un intervalle de temps At
est donnée par la loi :

0
‏ارما‎

Comment appelle-t-on cette loi? Justifier l'appellation de la constante des aires habituellement
donnée à C.

2ème partie
Étude de la trajectoire

dr _ dr du d60

1
On pose u = - = eton rappelle que — di dudé dt

dr du
2.1.  Exprimer — 7 en fonction de C et — 20

2.2. Définir l'énergie cinétique E, de la Terre par rapport au référentiel héliocentrique R. En

déduire son expression en fonction de m, C, u et Le

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2.3. Montrer que l'énergie mécanique du système s’écrit sous la forme :

2
En = jm 02 6 + ( 5) | —-GMsmu

2.4. Montrer que la conservation de l'énergie mécanique le long de la trajectoire se traduit par
deux équations différentielles possibles relatives à (0). On explicitera ces deux équations.

0

2.5. L'une des deux équations précédentes s'écrit 7

dans ce cas ?

= 0. Quelle est la nature de la trajectoire

2.6. On montre, par un choix convenable de l’origine des angles polaires que la solution de la
deuxième équation peut s’écrire sous la forme :

ji 1 + 86 2
02
déterminer.

La relation (2) est l'équation polaire d’une conique d’excentricité e. On supposera que e ‹ 1 et
que la trajectoire est une ellipse dont S est l’un de ses foyers (figure 1-b).

avec p = ete = p. up, OÙ up est une constante d'intégration qu’on ne demande pas de

2.6.1. Déterminer la distance SO minimale notée rm au périhélie P de la trajectoire en fonction
depete.

2.6.2. Déterminer la distance SO maximale notée r, à l'aphélie A de la trajectoire en fonction
depete.

2.6.3. Déterminer l'écart relatif entre ces deux distances défini par un

2.6.4. Application numérique : on donne ‏م‎ = 150.109 km et e = 0,018. Calculer rm, Tm et leur
écart relatif. Commenter.

3ème partie

Période temporelle du mouvement

On rappelle que la surface d'une ellipse est donnée par ‏ل‎ = w.0.b, où a = 7 2

désignant respectivement le demi grand axe et le demi petit axe de l’ellipse.

Pour toute la suite, on utilisera les valeurs numériques de e et de p données dans la question

3.1. En utilisant la relation établie en 1.3.6.2., exprimer la période 2 du mouvement de la Terre
autour du Soleil, en fonction de G, Ms, pete.

3.2. Application numérique : calculer 7 en jours. Commenter.

Pour l'hémisphère nord de la Terre, le périhélie P de la trajectoire correspond approximative-
ment au début de l'hiver (solstice d'hiver), l’aphélie À de la trajectoire correspond au début de l'été
(solstice d'été), le début du printemps ou équinoxe du printemps EP correspond à 0 = 1/2 et le
début de l'automne ou équinoxe d'automne EA correspond à 0 = 37/2.

Épreuve de Physique II 4/8 sé

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3.3.  Reproduire le schéma de la trajectoire (figure 1-b) et placer les points À, EP et FA. Indiquer
avec soin la surface balayée par le rayon-vecteur de la Terre pendant chacune des quatres saisons.

3.4. Montrer graphiquement que le printemps et l’été sont plus longs que l'automne et l'hiver
dans l'hémisphère nord.

3.5. Dans cette section, on utilise la relation établie dans la question 1.3.5.2.

3.5.1. En tenant compte de la valeur de e, montrer que la durée T} de l'hiver se calcule
approximativement par :

p? x/2
216 y = | (1 — 2e cos 0)d0
3.5.2. Application numérique : calculer 7} en jours.
3.5.3. Montrer de même que la durée T, du printemps se calcule approximativement par :
‏م‎ qu
nus | (1 — 2e cos 6)d0
0 x/2
3.5.4. Application numérique : calculer 7, en jours. Commenter.

3.6. Un modèle plus complexe permet d'établir un calendrier qui fait apparaître les dates approx-
imatives suivantes :

solstice d’hiver : 21 décembre 2008 à 12h

équinoxe du printemps : 20 mars 2009 à 12h

solstice d'été : 21 juin 2009 à 6h

équinoxe d'automne : 22 septembre 2009 à 21h

solstice d'hiver : 21 décembre 2009 à 18h

3.6.1. Calculer la durée de la saison d'hiver T; et de la saison du printemps T,.

3.6.2. Comparer ces valeurs à celles obtenues par le modèle précédent. Commenter. Que
pensez vous du modèle utilisé ?

Deuxième problème
Étude de l'équilibre de l'atmosphère dans le champ de pesanteur

L'atmosphère terrestre s'étend sur quelques dizaines de kilomètres et permet à toutes les
espèces vivantes terriennes de respirer pour vivre. Les phénomènes physiques intervenant dans
l'atmosphère sont nombreux et caractérisent en fait différentes couches en fonction de l'altitude :
de la troposphère au niveau du sol jusqu'à l'ionosphère couche d'atmosphère la plus haute avant
l'Espace.

On se propose d'étudier quelques modèles de variation de la pression dans l'atmosphère
terrestre. Dans tout le problème, on ne tiendra pas compte des effets liés à la rotation de la Terre. Le

Épreuve de Physique II 5/8 Tournez ia page s.V.P.

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champ de pesanteur ÿ = —gü, est supposé uniforme, d'intensité égale à sa valeur au niveau du sol.
ü, étant le vecteur unitaire de la direction ascendante Oz.

1000 =
800
2 4

0 5 10 15 20
Sol z (km)
Figure 1 : tranche de fluide dans Figure 2 : Profil de pression dans les premières
le champ de pesanteur. couches de l'atmosphère.
1%e partie

Pression dans un fluide au repos dans le champ de pesanteur

On considère un fluide au repos dans le champ de pesanteur. On suppose que la pression et la
masse volumique du fluide ne dépendent que de l'altitude z. On appelle P(z) cette pression et p(z)
la masse volumique du fluide. La pression au niveau du sol, pris comme origine des altitudes 2 = 0,
vaut À = 1,0 bar = 1, 0.10° Pa.

1.1. Déterminer la résultante ‏رلك‎ des forces de pression s'exerçant sur une tranche de fluide de
base S, située entre les altitudes 2 et z+dz (figure 1). En déduire l'expression de la densité volumique
des forces de pression.

1.2. Écrire l'équation qui traduit l'équilibre mécanique de la tranche de fluide dans le champ de
pesanteur. Montrer que la pression est liée à la masse volumique du fluide par l'équation :

1.3. On suppose dans cette question que la masse volumique du fluide est quasi-indépendante
de l'altitude. Déterminer l'expression de la pression P(z) qui règne dans le fluide à l'altitude z.

1.4. Ordres de grandeurs

1.41. Déterminer la différence de pression entre le sol et le toit d'une salle, situé à une altitude
de 3 m, en assimilant l'air à un gaz parfait à la température ambiante 7 = 300 K. Commenter.

1.4.2. Déterminer la différence de pression entre la surface libre et un point à une profondeur
de 3 m d’un océan. Commenter.

Épreuve de Physique II 6/8 ‏جب‎

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2ème partie
Modèle de l'atmosphère isotherme

On assimile l'atmosphère à un gaz parfait de masse molaire M, au repos dans le référentiel
terrestre supposé galiléen et soumis au champ de pesanteur uniforme ÿ.

On suppose dans ce paragraphe, que l'atmosphère est isotherme dans laquelle la température
est uniforme et vaut Ty = 273 K. La pression au niveau du sol vaut Py = 1,0 bar = 1,0. 10° Pa. On
appelle P(z) la pression qui règne à l'altitude z.

2.1. À partir de l'équation d'état des gaz parfaits, déterminer l'expression de la masse volumique
de l'air en fonction de M£, Ty, de la pression P et de la constante des gaz parfaits R.

2.2. En déduire, en utilisant l'équation (1), l'expression de la pression P(z).

2.3. Interpréter le résultat obtenu en termes énergétiques et mettre en évidence le facteur de
BOLTZMANN.

2.4. En déduire une hauteur caractéristique h des variations de la pression P(z). Déterminer la
valeur numérique de h. Commenter.

3ème partie

Modèle de l'atmosphère polytropique
Le modèle de l'atmosphère isotherme ne s'applique qu’à la haute atmosphère appelée stratosphère,

pour des couches d'air dont l'altitude est comprise entre 10 km et 30 km, et avec une température
de l’ordre de 223 K.

Entre les altitudes z = 0 et z = 10 km, l'air est constamment brassé par les courants que
constituent les vents dont l’origine est en partie due aux variations journalières de la température
au niveau du sol. La partie de l'atmosphère correspondante s'appelle la troposphère.

Les données expérimentales transmises par un ballon-sonde, utilisé par une station météorologique,
au cours de la traversée de la troposphère et de la basse stratosphère montrent que le modèle le
mieux adapté est celui d’un gradient uniforme de température. Ces données permettent de tracer
le profil réel de la pression régnant à la verticale de la station. Les résultats sont rassemblés sur la
figure 2. On cherche à modéliser ces résultats en considérant un profil de température de la forme :

T(z) = To — az
To et a étant des paramètres constants.

3.1. Donner l'expression de la masse volumique p(z) de l'air en fonction de M,, To, à, ‏ره‎ P(z) et

3.2. La pression et la masse volumique sont toujours liées par l'équation (1).
3.2.1. Déterminer l'expression de la pression P(z). Montrer qu'elle s'écrit sous la forme :
où b et œ sont deux paramètres constants à déterminer.

3.2.2. Comparer ce champ de pression avec celui obtenu pour l'atmosphère isotherme lorsque
l’on se place à faible altitude (b.z ‹‹ 1).

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3.2.3. Montrer que la pression est liée à la masse volumique par la relation :

= cste

appelée relation polytropique d'indice k. Donner l'expression de k en fonction de a.

3.3. Le traitement des données expérimentales, indiquées par des croix sur la figure 2, permet
d'ajuster les valeurs de Py, b et œ pour que le modèle décrive correctement les points expérimentaux.
On obtient ainsi : M = 1,03.10° Pa; b = 1,95.10-5 ‏جو‎ eta = 5, 91. La courbe correspondante est
tracée en trait plein sur la figure 2.

3.3.1. Déduire de ces résultats les valeurs de Ty et de a. En déduire la valeur de la température
T à une altitude de 10 km. Conclure quant à la validité de ce modèle pour décrire la troposphère.

3.3.2. Déduire de ce qui précède l'ordre de grandeur de l'épaisseur de l'atmosphère dans le
cadre de ce modèle.

FIN DE L'ÉPREUVE

Épreuve de Physique II _ 8/8 Eu

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