Modèle de concours : CNC 2021 Physique I (MP) — Concours National Commun

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Concours National Commun - Session 2021 - Filière MP

* On veillera à une présentation et une rédaction claires et soignées des copies. Il
convient en particulier de rappeler avec précision les des questions
abordées.

* SL au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant
clairement les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.

e Toutes les réponses devront être très soigneusement justifiées.

* Si un résultat donné par l'énoncé est non démontré, il peut néanmoins être admis
pour les questions suivantes. Ainsi, les diverses parties du problème sont
relativement indépendantes entre elles.

* Tous les résultats numériques seront donnés avec un nombre de chiffres
significatifs compatibles avec les données fournies.

La physique dans un four à micro-ondes

Le four à micro-ondes a fait ses entrées dans les cuisines à la fin du 20ème
siècle et a révolutionné les habitudes alimentaires. Il est le fruit à la fois de
découvertes majeures sur l’électromagnétisme au 19ème siècle et du développement
technologique tout au long du 20ème siècle, en parallèle notamment avec celui de la
communication radio et mobile.

Le sujet de cette épreuve a pour but de décrire ce qui se passe dans le four à
micro-ondes utilisant des ondes électromagnétiques dans le domaine des
hyperfréquences. Il est constitué de deux parties indépendantes : la première partie
est notée sur 4 points, la deuxième sur 16 points.

Données :
-  Permittivité diélectrique du vide : & = = Fm"
36x.10
-  Perméabilité magnétique du vide : u, =4x.107H.m".

- Masse de l'électron : m=9,1.107"

- Charge élémentaire : e=1,6.10""C.
-  Célérité des ondes électromagnétiques dans le vide : c, =3,00.10*m.s” .
- Constante d’Avogadro : N, =6,02.10*mol".
- Constante de Boltzmann : k, -1,38.107 7.0
-  Équations de Maxwell dans le vide sans charge ni courant :
dvË-0  riE--

‎ Ribena,‏ حفس
1)آ

‎- roiroiÂ= grad(divA)-aÀ.

‎Epreuve de Physique I 1/7

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- Relations de passage du champ électrique E(M,1) en un point M à l'interface

entre deux milieux différents indicés 1 et 2 : E,(M,1) -— E,(M, t)= ‏ات‎ , avec

86
O(M,t) la densité surfacique de charge au niveau de l'interface et mm le

vecteur unitaire normal à la surface orienté du milieu 1 au milieu 2.
-  Vecteurs position, vitesse et accélération d’un point M en coordonnées polaires

(r,0) dans la base correspondante (0.6, 6) :

0 -/2 3-5 07 es :- (8) état,

' dt #2 ‏2ه | »ها‎ “dt dt
1°"° partie

Description d'une onde électromagnétique

1. Établir l'équation différentielle dont est solution le champ électrique E dans un
milieu dont les propriétés électriques et magnétiques sont assimilées à celles
du vide, sans charge ni courant. En déduire l'équation différentielle vérifiée par
le champ magnétique B.

2. Exprimer la vitesse de propagation du champ électromagnétique 7 B) ;
3. On considère une onde électromagnétique plane progressive harmonique de
vecteur d'onde + (k= 3 ) se propageant dans le milieu considéré. La

représentation complexe du champ électrique de cette onde est : E= Eye" e,.

3.1. En utilisant l’une des équations de maxwell, exprimer le champ magnétique B
correspondant à cette onde.

3.2. Préciser l'état de polarisation de cette onde électromagnétique, sa direction et
son sens de propagation.

3.3. Justifier que cette onde est plane et progressive.

3.4. Vérifier que les champs électrique et magnétique sont perpendiculaires à k.
Vérifier également que (& E, B) constitue un trièdre orthogonal direct.

3.5. Montrer qu’une onde plane progressive harmonique décrite par le champ
électrique ci-dessus se propage à une vitesse constante pour toute pulsation w.

3.6. Sur un axe gradué en longueur d’onde, préciser le spectre des ondes
électromagnétiques en y situant les rayons X , les micro-ondes, l’I.R., les
rayons y, les U.V., les ondes radios et le visible.

2°"° partie
Le four à micro-ondes
1.  Magnétron

Epreuve de Physique I 2/7

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Un magnétron est un dispositif qui transforme l'énergie cinétique en énergie
électromagnétique, sous forme de micro-ondes. Il s'agit d'un tube à vide sans grille où
les électrons émis par une cathode cylindrique, chauffée par un filament, se dirigent
vers une anode cylindrique concentrique mais sont déviés par un champ magnétique
en une trajectoire en spirale. Dans l’anode, sont creusées un nombre pair de cavités

cylindriques = appelées « résonateurs » et
déterminant la fréquence de résonance (figure
1). La cathode, de rayon r., est portée au

potentiel nul. L'anode, de rayon r,, en forme de
couronne entourant la cathode, est portée au
potentiel constant ‏ا‎ . Les cavités, de rayon
R.=Tmm, s'ouvrent sur le trou central par de
minces fentes de dimension, d=1mm , !=6mm et
h=17,5mm (figures 2 et 3) et divisant le tube en Figure 1

autant de sous-sections. L'un des résonateurs

est couplé à une antenne qui transmet l'énergie micro-ondes. On ignorera l'antenne
dans ce qui suit. Tous les espaces internes sont sous vide.

Cavité

Anode

Figure 2 Figure 3
1.1. Émission des électrons par effet thermoélectronique
Un métal chauffé émet des électrons par effet thermoélectronique à vitesse
initiale négligeable. Pour cela, une faible fraction de ces électrons peuvent acquérir

une énergie cinétique supérieure à un seuil correspondant à leur énergie de
confinement dans le métal que l’on notera W, et que l’on supposera grande par
rapport au potentiel chimique des électrons. On simplifie le problème en considérant
que les électrons de conduction du métal forment un gaz parfait de N particules. On
traitera les électrons comme des particules classiques dont l’énergie est purement

cinétique.

1.1.1. Exprimer la vitesse minimale d’un électron pour réaliser cette extraction.
Calculer sa valeur numérique pour le tungstène (W, =4,52eV).

1.1.2. En considérant qu’un atome du métal libère un électron, exprimer n,, le

nombre d’électrons par unité de volume dans le métal. Calculer n, dans le cas
du tungstène. On donne la masse molaire atomique M(W)=183,83g.mol" et la
masse volumique p(W)=19,25g.cm” du tungstène.

Epreuve de Physique I 3/7

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1.1.3. L'équation de Richardson énonce que la densité de courant
thermoélectronique émis par unité de surface J en fonction de la température

T est donnée par la relation J = A,T" ox|- 5 , où T est la température du

métal en K , W, est en eV , ‏وا‎ est la constante de Boltzmann, et

1/2
A, la constante de Richardson donnée par A, = nel ‏و‎ :

2m
1.1.3.1. Comment varie le courant ‏ل‎ en fonction de la température ?
1.1.3.2. Tracer l’allure de la courbe de J en fonction de la température 7

Commenter. Préciser dans quelle partie de la courbe on se situe pour la
thermo-émission.

1.1.3.3. Calculer la valeur de la densité de courant J pour le tungstène pour la
température 7 - 20007 ٠
1.1.3.4. Y a-t-il un lien entre ce phénomène et l’effet photoélectrique ?

1.2. Nuage électronique en régime pré-oscillatoire
Le tube à vide est muni d'un aimant permanent à chaque extrémité. Les deux

aimants créent un champ magnétique axial uniforme et permanent le long de l'axe du
magnétron, B=B,e.. Des électrons sont émis par la cathode avec une vitesse initiale
négligeable. En un point M inter-électrodes, la vitesse d'un électron, de masse m et
de charge -e, dans le référentiel du laboratoire est y. Ce référentiel sera supposé
galiléen.

En l'absence de champ hyperfréquence, les électrons sont soumis à la force de
Lorentz liée aux champs E et B liés respectivement au potentiel V, et aux aimants.
1.2.1. Donner l'expression de la force de Lorentz.

1.2.2. Quel devra être le signe de V, si l'on veut que les électrons soient
accélérés lorsqu'ils sont émis par la cathode ? Quel est l'effet de la composante
magnétique de la force de Lorentz ?

1.2.3. Qualitativement, prédire et schématiser la trajectoire que va décrire un
électron.

On s'intéresse au régime pré-oscillatoire dit régime de Brillouin. On néglige le
poids de l'électron ainsi que toute interaction entre les électrons. On fait
l'approximation d'une géométrie parfaitement cylindrique (V =V(r) et B=B, 3 , V=V()
étant le potentiel électrique dont dérive le champ E), on repère alors un point M de

la cavité par ses coordonnées cylindriques (r,0,z) dans la base (eee. :

1.2.4. Écrire la deuxième loi de Newton appliquée à un électron dans le
référentiel du laboratoire.
1.2.5. Montrer que le mouvement de l'électron s'effectue dans le plan z=cte.
1.2.6. Montrer que le mouvement de l’électron vérifie les deux équations
différentielles suivantes :
dr (do ed 40 1d ; æ) dr
dt dt m dr dt rdt\ dt dt

Donner l'expression de la constante ٠

Epreuve de Physique I 4/7

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1.2.7. De l'une deux relations établies dans la question 1.2.6., déduire la

relation ‏ل‎ 00: 1 - 5) ;

2

1.2.8. En utilisant l'autre relation établie dans la question 1.2.6., établir
l'équation différentielle vérifiée par r.
1.2.9. En déduire la relation 2 =2ÉV(r)-o?r | - 5 ;
dt m r
1.2.10. Comment varie la vitesse radiale des électrons lorsque le champ
magnétique augmente ?
1.2.11. Montrer qu’il existe une valeur B, de B pour laquelle les électrons ne

parviennent pas jusqu’à l’anode. Exprimer B,, appelé champ magnétique de

coupure, en fonction de V,, r,, r., e et m.
1.3. Cavité résonante

Chaque cavité fonctionne comme un circuit résonnant inductance-
condensateur (LC) (figure 3). La fréquence de résonance d'une cavité micro-ondes est
déterminée par la dimension physique du résonateur, qui détermine la capacité C et
l'inductance 7 . En supposant que le courant dans le résonateur circule
uniformément très près de la surface de son cylindre cavité, et que l'intensité du
champ magnétique généré par ce courant est 0,6 fois celle d'un solénoïde idéal infini,

2

: 1 1 R
l'inductance d'un résonateur sera donnée par : L=0,63u, = ;
1

1.3.1. Montrer que le circuit (LC) équivalent à la cavité est un circuit oscillant.
Exprimer la fréquence de résonance de ce circuit.

1.3.2. La capacité C provient principalement des parties planes de la surface
du résonateur. Exprimer C en fonction de ‏ما‎ h, d et ٠

1.3.3. En déduire l’expression de la fréquence v, de résonance du circuit (LC).

1.3.4. Estimer alors la fréquence v, d'un seul résonateur.

On utilisera la valeur réelle v=2,45GHz dans le reste des questions.

2. Guide d’ondes

Le magnétron étant auto-oscillant, il émet de l'énergie électromagnétique à la
fréquence v . Le dispositif de couplage prélève l'énergie de sortie. Celle-ci est
véhiculée dans un guide d'onde à section rectangulaire pour être absorbée par
l'aliment à chauffer. La figure 4 est celle du guide d’un four à micro-ondes, au-dessus
de la cavité du four. La forme en croix sert à distribuer la
puissance. On modélise ce guide par un cylindre métallique
creux illimité, d’axe (Oz), et dont la section droite est le
rectangle O‹x‹a , O‹y‹bhb avec c››a et c››b (figure 5) ;
l’intérieur du guide est rempli d’air, assimilé au vide.

On cherche une solution pour un champ électrique en
notation complexe sous la forme :

2.1. L'onde est-elle TE (transverse électrique) ? Est-elle plane ?
Justifier.

Epreuve de Physique I 5/7

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2.2. On suppose les parois du guide 48
constituées ‏ةق‎ métal =— parfait
(conductivité infinie). Qu’est-ce que
cela implique pour le transport de creme rec ce ‏ب سات سج د‎ ‹= =
l’énergie électromagnétique dans ce, 4
guide ? 2 7
2.3. Écrire les conditions aux limites que
doit satisfaire E sur chaque paroi
métallique. Déterminer a et ÿ. On
introduira un entier n désignant le mode du résonateur.
2.4. Déterminer la relation de dispersion liant w et k.
2.5. Montrer qu’il existe une pulsation de coupure ‏ره‎ en dessous de laquelle aucun

Figure 5

mode n’existe. Que se passe-t-il si on essaie d’introduire une onde à une
fréquence telle que wœ‹w, ? Y a-t-il alors dissipation d’énergie ? Que peut-on
dire du nombre de modes possibles en fonction de ‏ه‎ ? Représenter
graphiquement k(w) pour n=1 et n=2.

2.6. Dans toute la suite, on pose w›w,. Établir les expressions possibles du champ
électrique E,(y,z.t) ;

2.7. Commenter l’expression de E,(y,z.t) d’une part à z fixé et d’autre part à y fixé.

2.8. Calculer la vitesse de phase et la vitesse de groupe et commenter sachant que

les principes de la relativité interdisent la propagation d’une information à une
vitesse supérieure à la célérité c, des ondes électromagnétiques dans le vide.

2.9. Calculer le champ magnétique 2 du mode n . Vérifier qu’il n’est pas
transversal.

2.10. Calculer la moyenne temporelle du vecteur de Poynting 11. En déduire dans
quelle direction se propage l’énergie.

2.11. Calculer la puissance moyenne à travers une section du guide d’onde. Cette
puissance dépend-elle de z 2 En pratique, on ne peut pas considérer le métal
comme parfait. Qualitativement, que se passe-t-il alors ?

3. Structure de l'onde dans le four à micro-ondes

On modélise le four à micro-ondes par un parallélépipède rectangle d'arêtes
parallèles aux axes (O'X), (O'Y) et (O'z). L'axe (O'z) est vertical ascendant. La cavité
a pour dimension d, =29cm, d, =29cm et d, =19cm.

On suppose que la structure du four à micro-ondes est constituée d'un
conducteur parfait. On suppose aussi que le four est rempli d'air dont les propriétés
électriques et magnétiques sont assimilées à celles du vide.

On mène une étude simplifiée de l'onde présente dans le four à micro-ondes.
On admet que le champ électrique de l'onde résultante à l'intérieur du four s'écrit en
notation complexe sous la forme :

Epreuve de Physique I 6/7

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X y v, Z | ‏بو‎

11,77 -- |0051 7172 — |5111| 71,77 -- |e

d, d, 2

: X A Y Z eo

E,, E, et E, sont des amplitudes constantes, w est la pulsation de l'onde, et n,, n, et

E, = E,sin

n, sont trois nombres entiers.

3.1. Déterminer les fréquences possibles dans le cadre des hypothèses effectuées.
3.2. Déterminer la plus basse fréquence de résonance qui y soit possible. Donner le
triplet (n,,n,,n,) correspondant.

3.3. On se place dans le plan Z=0.

3.3.1. À l'aide de l’une des équations de Maxwell, déterminer le champ
magnétique B.
3.3.2. Montrer que la moyenne temporelle de la densité volumique d'énergie

électromagnétique dans la cavité est :

HE | ‏ون‎ Fi HE ‏و‎ x
4u,o | dj d) 4 d,
3.3.3. Déterminer les positions des zones où la densité d'énergie est maximale.
3.3.4. Quelle est la distance entre deux zones consécutives où la densité
d'énergie est maximale ?
3.3.5. On utilise comme « détecteur de champ » de fins copeaux de chocolat

uniformément répartis sur la plaque inférieure (Z=0), le plateau tournant
ayant été ôté. Après quelques secondes de cuisson, le chocolat a fondu par
endroit. Justifier pourquoi la cuisson du chocolat n’est pas uniforme lorsqu’on
n’utilise pas la plaque tournante à l'intérieur de la cavité de cuisson. Pourquoi
fait-on tourner les aliments 2 Expliquer qu’en repérant les zones fondues, on
pourra déterminer le couple (n,n,) puis retrouver la fréquence du magnétron.
3.4. Les parois du four à micro-ondes sont constituées d'aluminium de conductivité
finie y et d'épaisseur e,. Le caractère non parfait du métal se traduit par une

légère pénétration de l'onde dans le conducteur sur une longueur

caractéristique = :

3.4.1. Calculer numériquement 6 pour le four à micro-ondes étudié.
Commenter physiquement la valeur trouvée. On donne y=2,0.10"0".m".
3.4.2. On suppose que l'amplitude du champ électrique est multipliée par un

facteur ‏ف‎ . Calculer numériquement l'épaisseur minimale €, Pour que
l'amplitude de l'onde soit atténuée d'un facteur 10”. Commenter.

3.5. La face intérieure de la porte du four à micro-ondes est munie d’une grille
métallique présentant des alvéoles transparentes de rayon de l’ordre de
quelques millimètres. Justifier qualitativement le double intérêt de cette grille.

Epreuve de Physique I 7/7

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