Modèle de concours : CNC 2014 Physique I (MP) — Concours National Commun

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ROYAUME DU MAROC

Ministère de l'Enseignement Supérieur, de la Recherche
Scientifique et de la Formation des Cadres

Présidence du Concours National Commun
Ecole Mohammadia d'Ingénieurs

CONCOURS NATIONAL COMMUN
d'admission dans les Etablissements de Formation d'Ingénieurs

et Établissements Assimilés

Session 2014

ÉPREUVE DE PHYSIQUE I

Filière MP

Durée 4 heures

Cette épreuve comporte 07 pages au format A4, en plus de cette page de garde
L'usage de la calculatrice est autorisé

page de garde

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e On veillera à une présentation et une rédaction claires et soignées des copies.
Il convient en particulier de rappeler avec précision les des questions
abordées.

e Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant claire-
ment les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.

e Toutes les réponses devront être très soigneusement justifiées.

e Si un résultat donné par l’énoncé est non démontré, il peut néanmoins être admis
pour les questions suivantes. Ainsi, les diverses parties de chaque problème sont
relativement indépendantes entre elles.

L'épreuve se compose de deux problèmes indépendants.

Problème I - Étude d’un pendule

On considère un pendule pesant (P), dans le champ de pesanteur terrestre ÿ = ge.
uniforme, constitué :
- d’une tige (7) de forme cylindrique, de longueur 1 = OC, de dimension latérale

négligeable devant sa longueur et de masse mr. Le moment d'inertie de la tige par

8 A mal?
rapport à son extremité est ‏ول‎ = $

- d’un disque (D) de rayon a, de centre C et de masse mp. Le moment d'inertie du
mpa”

2
Le disque (D) est solidaire à l’extremité inférieure C de la tige (T).

Le pendule (P) est en mouvement de rotation, via une z
liaison pivot parfaite de centre 0, autour de l’axe ho- ›

rizontal (Oy) passant par l’extrémité supérieure 0 de 0 T) |
la tige (7) et perpendiculaire au plan de la figure 1.

La position du pendule (P) est repérée par l’angle 0

que fait son axe de symétrie avec l’axe vertical (Oz) ee) (D)
du référentiel terrestre R(O, x, y, z, t) supposé galiléen.

disque par rapport à son axe de révolution est Jp =

figure 1.1
À l’instant choisi comme origine des temps, le pendule est abandonné avec les condi-
tions initiales 0(t = 0) = % et 7 (t = 0) = 0. On associe au référentiel (R) la base

On néglige tout frottement (sauf dans la question 16) et on étudie le mouvement du
pendule dans le plan vertical (Oxz).
1. Qu’appelle-t-on référentiel galiléen ?

2. Définir le référentiel terrestre. Citer une expérience historique qui a permis de
mettre en évidence le caractère non galiléen de ce référentiel. Justifier que dans
notre étude, ce référentiel peut être considéré galiléen.

3. Que signifie "liaison pivot parfaite de centre O" ? Quelles conséquences cela a-t-il ?

Épreuve de Physique I 1/7

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4. En utilisant le théorème d’HUYGENS, calculer le moment d'inertie Jp du pendule
par rapport à l’axe de rotation (Oy).

5. Déterminer le vecteur vitesse de rotation “2 (pr) du pendule et le vecteur vitesse

Tan du centre de masse G du pendule dans le référentiel (R).

6. Parmi les forces appliquées au pendule, il y a la poussée d’ARCHIMÈDE. Donner
les caractéristiques de cette force. Cette force sera négligée dans la suite de l’étude.
Justifier qu’il est légitime de la négliger.

7. Quelles sont les forces appliquées au pendule (P)? Calculer le travail de chaque
force. En déduire que le système étudié est conservatif et donner l’expression de son
énergie potentielle ‏.مط‎ On choisit l’origine des énergies potentielles K,(0 = 0) = 0.

8. Exprimer l’énergie cinétique 2 et l'énergie mécanique Em du pendule dans le
référentiel d’étude.

9. Établir l'équation différentielle du mouvement du pendule. Le pendule étudié est-il
un système linéaire ? Justifier.

10. Retrouver l’équation établie dans la question précédente en appliquant le théorème
du moment cinétique scalaire au pendule (P).

11. Montrer que, lorsque l’énergie mécanique est telle que 0 › 5, › Ko, le mouvement
du pendule pesant est oscillatoire et ne peut avoir lieu que si 0 € [0m +On]-
Donner l’expression de ‏.و71‎ Exprimer la période T(0,,) d’oscillation du pendule
sous forme d’une intégrale en précisant les bornes d’intégration.

10
12. Représenter dans l’espace des phases (0, 7 ) les trajectoires possibles pour diverses

valeurs de l’énergie mécanique FE, On distinguera les deux cas En › Ep et EF, ›
Eg. Quelle est la nature du mouvement dans le cas Em › ‏و5‎ ? Comment reconnaît-
on, dans l’espace des phases, une position d’équilibre, stable ou instable ?

13. À quelle condition l’énergie potentielle est harmonique ? Donner dans ce cas la loi
de variation de 0 en fonction du temps. Exprimer la pulsation wy caractérisant le
mouvement du pendule. Quelle est la longueur L du pendule simple équivalent qui
permet de faire osciller un objet ponctuel de masse m = mp + MT avec la même
période que le pendule (P) ?

14. Proposer un montage simple permettant de relever automatiquement et de visua-
liser la position angulaire 0(t) du pendule sur l’écran d’un ordinateur.

15. Le montage de la question précédente permet d’obtenir le graphe de la figure 2.
Commenter et justifier l’allure de 0(t). Quel est le régime d’évolution de l’oscilla-
teur ?

16. Pour expliquer le résultat obtenu dans la question précédente, on reste dans le
cadre de l’hypothèse de l'énergie potentielle harmonique et on se place dans le cas
où les frottements de l’air sur le disque ne sont plus négligeables et sont modéli-
sables par une force = —av, où 7 est la vitesse du disque dans le référentiel
d’étude et a est une constante positive.

Épreuve de Physique I 2/7

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16.1. Montrer que l'équation différentielle à laquelle obéit 0 peut se mettre sous la
2

20 d
forme : dE + Ti + y0 = 0. Exprimer 4 et y et donner leur dimension.

16.2. Montrer que la solution de cette équation différentielle peut se mettre sous
la forme : 0(t) = f(t).exp(—t/7), où 7 est une constante que l’on exprimera
en fonction des données. Sans chercher à expliciter la fonction f(t), décrire
brièvement les différents régimes du mouvement du pendule.

16.3. À quelle(s) condition(s) sur œ aura-t-on f(t) = ‏ن‎ cos(wt) + cz sin(wt) ?

Exprimer alors les constantes ‏بن‎ Ca et w en fonction des données. On suppose
cette condition vérifiée dans la suite.

16.4. Que devient l’allure du portrait de phase tracé dans la question 12 si l’on
tient compte de la force de frottement F = —av?

17. Le pendule (P) est assimilé maintenant à un pendule simple de masse m ponctuelle
montée sur une tige indéformable de longueur L = O'A et de masse négligeable.
Ce pendule est fixé via une liaison pivot parfaite sur un chariot (C) de masse M et
de centre d’inertie 0. Le chariot (figure 1.3) est un solide libre de se déplacer sans
aucun frottement sur le plan horizontal (Oxy) le long de l’axe (Oz). Le pendule
est libre d'effectuer un mouvement de rotation dans le plan vertical (Oxz) autour
de l’axe (0"y). Sa position est repérée par l’angle 0 que fait la tige )0/4( avec l’axe
vertical (O'z) du référentiel terrestre R(O, x, y, z, t) supposé galiléen. On repère la
position du chariot (C') par l’abscisse ‏و‎ de 0 et celle de la masse m par l’abscisse

À l’instant choisi comme origine des temps, le chariot et le pendule sont abandon-
nés avec les conditions initiales 0(t = 0) = ‏,و‎ ea (t = 0) = 0, xe(t = 0) = 79 et

Épreuve de Physique I 3/7

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17.1. Quelle relation y a-t-il entre les
deux coordonnées x 4 et ‏نو‎

17.2. En appliquant le théorème de la
résultante cinétique au système
tiel terrestre R(O, x, y, z, t), établir

une intégrale première du mouve-
ment. Commenter.

figure 1.3

17.3. Exprimer l’énergie cinétique F,(2), l’énergie potentielle F,(E) et l'énergie
mécanique E,n(E) du système (E). Justifier que Em(E) est une constante du
mouvement.

17.4. On pose À = — et ‏ون‎ = 4/7. À partir des équations établies dans les

112 + M L
deux questions précédentes, établir l’équation différentielle vérifiée par 0.

17.5. On cherche pour solution des petites oscillations sinusoïdales du type 0(t) =
A cos(Ot+®). En faisant les approximations convenables, linéariser l’équation
différentielle du mouvement du pendule et déterminer la pulsation des petites
oscillations. Soumettre le résultat à des critères de pertinence en distinguant
les deux cas M › m et M ‹ m.

17.6. Décrire qualitativement le mouvement du chariot en fonction de la position
du pendule.

17.7. Déterminer l’expression de la coordonnée xe(t) en fonction du temps.

17.8. Comment est modifiée l'expression de xe(t) si l’on suppose initialement 2 fE =
0) = 0 # 0, les autres conditions initiales restant inchangées.

17.9. À l’instant t = 0, le chariot )0( est placé contre un obstacle (butoir vertical)
fixé en x = 0. À cet instant, on écarte le pendule d’un angle 60(— : › 00 › 0)
et on le lâche sans vitesse initiale. À partir de quel instant le chariot quitte-

t-il l’obstacle ? Déterminer alors l’expression de xe(t). Décrire le mouvement
du chariot.

Problème II — Rayonnement thermique

1. À l’aide d’un spectromètre, on réalise l’acquisition du spectre de deux lampes, la
première à incandescence (ampoule électrique à filament, figure 2.1) et la deuxième
à halogène (figure 2.2).

1.1. Commenter les deux spectres obtenus. Justifier qu’une lampe à incandescence
émet une lumière de nature « thermique ».

1.2. Dans quel domaine spectral est située la valeur de la longueur d’onde Am
correspondant au maximum de la répartition spectrale de l’énergie émise par
la lampe à incandescence ? Pourquoi le filament nous semble-t-il cependant
blanc ?

Épreuve de Physique I 4/7

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| aude
‏ا د‎ d ‏اده زح الث‎ Tu.

‎figure 2.1 figure 2.2

‎1.3. Évaluer la valeur approximative de la température normale 7 de fonctionne-
ment du filament. On rappelle la loi de WIEN : ‏الما‎ = 2898 um. K.

‎2. En 1896, WIEN proposait pour la puissance surfacique rayonnée par unité de

‎longueur d’onde À par un corps noir en équilibre à la température 7 la forme

‎: dP 01 ‏ونه‎
‎suivante : ‏تيدص‎ (T, À) = 70 = 35 exp(— AT ) , OÙ ‏وه‎ et ‏وه‎ sont deux constantes
positives et ‏وم‎ est la constante de BOLTZMANN. Tracer l’allure de ‏)سيرم‎ À) en
fonction de la longueur d’onde À à température donnée et la comparer à la courbe

‎expérimentale obtenue ci-dessus (figure 2.1).

‎3. En 1900, RAYLEIGH et JEANS proposaient un modèle classique dans lequel la

puissance surfacique d rayonnee par unité de longueur d’onde A par un COrps
7

‎noir en équilibre à la température 1 est donnée par parz(T,A) = où ‏وه‎ est

‎03
‎une constante positive.

‎3.1. Tracer l’allure de pa,ry(T, A) en fonction de la longueur d’onde À à tempé-

‎rature donnée et la comparer à la courbe expérimentale obtenue ci-dessus
(figure 2.1).

‎3.2. Cette loi découverte par RAYLEIGH et JEANS "colle" très bien à basse fré-
quence (domaine infrarouge). Pourquoi le physicien EHRENFEST l’a-t-il qua-
lifiée de "catastrophe ultra-violette" ?

‎4. Au début du XX" siècle, PLANCK propose la loi démontrant la relation entre la
puissance surfacique spectrale d’un corps noir et sa température 1 en fonction de
la fréquence v du rayonnement qu’il émet. La puissance P rayonnée par l'unité de

‎surface d’un corps noir est répartie sur l’ensemble des longueurs d’onde possibles

‎avec, pour répartition selon la fréquence v : ,(T,v) = — = AP,

‎dv exp(r) — 1

‎avec x = —= et À est une constante.

‎4.1. Qu’appelle-t-on un corps noir ? D’où vient le terme "noir" ?

‎4.2. La constante À peut être écrite sous la forme de produit de la constante de
PLANCK h, de la vitesse de la lumière dans le vide c et de la constante de
BOLTZMANN kg : A = 6(c)*(h)*(kp)”, où à, B, y et 6 sont des constantes sans

‎Épreuve de Physique I 5/7

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dimensions. À partir d’une analyse dimensionnelle, déterminer les valeurs de

4.3. Établir la loi de STEFAN. En déduire la valeur de la constante 6 sachant que
221
la constante de STEFAN est à = TES = 5,67.1078 117771 2.12 4. On donne :
+0 23 FT ‏7م21‎
‎| ‏ست‎ dx = —. Donner l'expression de la puissance surfacique
‏ددن‎ exp(r) —1 15
pa(T, A) = — rayonnée par unité de longueur d’onde À.

4.4. Montrer que l’expression de la puissance surfacique ‏ارم‎ À) permet de re-
trouver pxry(T,X) et paw(T,X\) respectivement aux basses et aux hautes
fréquences. En déduire les constantes ay, ‏مه‎ et ‏يه‎

4.5. La loi de déplacement de WIEN a été mise au point expérimentalement avant
la découverte de la loi de PLANCK. Redémontrer cette loi en vérifiant que la

longueur d’onde d’émission maximale d’un corps varie bien en 7 On donne
la solution xp = 4,97 de l’équation exp(xo)(5 — xo) = 5.

4.6. La longueur d'onde An correspondant au maximum du spectre solaire est
Am = 530nm. Préciser la couleur correspondant à cette longueur d’onde et
la valeur de la température Ty de surface du Soleil, assimilé à un corps noir.
En justifiant la réponse, indique si le Soleil peut être en équilibre thermique
à cette température.

4.7. Vérifier à partir de la loi de PLANCK qu’à longueur d’onde donnée l'émission
d’un corps est une fonction croissante de T.

4.8. On caractérise la puissance surfacique spectrale 5, (T, À) par l'intervalle AA,
dit largeur "d’équivalence", définie par AX.pa(T, Am) = oT*. Montrer que
l’intervalle AA est proportionnel à Amn-

4.9. Justifier sans calcul le fait que l’essentiel de la puissance émise par un corps

noir est rayonnée dans un intervalle spectral centré sur A, dont la largeur est
de l’ordre de AA.

5. On souhaite établir la relation température-résistance du filament d’une ampoule
électrique.

Dans une lampe à incandescence, le filament de tungstène traversé par un ‏حتاف‎
‎rant électrique est porté à une haute température et émet un rayonnement élec-
tromagnétique polychromatique, dont la répartition spectrale est fonction de la
température 7' et obéit à la loi de PLANCK.

On assimile le filament à un cylindre de longueur 1 = 40 cm, de rayon r = 0,02 mm
et de résistivité électrique p.

On néglige l’absorption du rayonnement par le verre de l’ampoule ni des éventuels

courants de chaleur dans le gaz inerte contenu dans l’ampoule.

5.1. La température 1 est une grandeur macroscopique. À quelle grandeur micro-
scopique est-elle attachée ?

5.2. Justifier le choix du tungstène comme métal adapté pour faire des ampoules.

Épreuve de Physique I 6/7

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5.3. Exprimer la résistance électrique R du filament en fonction de la résistivité
‏,م‎ de r et de ‏أ‎

5.4. À 300 K, la résistivité du filament de tungstène est ‏م‎ = 7,1.1078 SI et sa
température de fusion vaut Tyus = 3683 K. La tension d'alimentation aux
bornes du filament est U = 220 V. Calculer numériquement la puissance P;
dissipée par effet Joule. Commenter. Expliquer pourquoi le filament et le verre
de l’ampoule s’échauffent.

5.5. On se place en régime permanent. En effectuant un bilan de puissance pour
le filament de tungstène, calculer numériquement la température d’équilibre
du filament. Commenter.

5.6. Des mesures expérimentales de la variation de la résistivité ‏م‎ d’un filament de
lampe à incandescence en tungstène ont été faites par JONES et LANGMUIR.
Le comportement de la résistivité en fonction de la température est modélisé
par l’équation ‏م‎ = a.T” + b.T, où T est la température en Kelvin, a =
2 50.101457 ‏ح ان‎ 2, 10-257

5.6.1. Montrer que la température d’équilibre du filament est solution de l’équa-

tion 14 = ——. Exprimer numériquement la constante B.
5.6.2. Calculer la valeur numérique réelle de la température 7 du filament.
Conclure.

5.7. Quel est l'intérêt de choisir une longueur / = 40cm de filament ? Comment
réaliser une telle longueur dans l’ampoule ?

5.8. On définit le rendement de la lampe par 7 = 2 = puissances envontée dons ie ae
Pi puissance totale rayonnée

Le filament d’une ampoule électrique d’éclairage est porté à la tempéra-
ture 7,. Exprimer sous forme du rapport de deux intégrales le rendement
n de la lampe. On rappelle que les longueurs d’onde du rayonnement visible
s'étendent environ de A; = 0,4 yum à A2 = 0,8 yum.

Calculer numériquement la puissance P, rayonnée par la lampe dans le visible
et le rendement n de la lampe à la température du filament 7, = 2500 K.
Commenter et justifier le résultat obtenu.

‎On donne :‏
‎2x1 3‏
:71 7 1,38.10 دوا 3758 6,663.10 7 :0,43 تل |
1- (00)2ت وجحن

‏.3.1071 جع

‎5.9. En justifiant, indiquer vers quel domaine d’ondes se déplace le maximum
d'intensité lumineuse de la lampe lorsque la température passe de 7, à 75 ›
T,. Quelle sera la conséquence de l’augmentation de la température sur le
rendement de la lampe ?

‎FIN DE L’ÉPREUVE

‎Épreuve de Physique I 777

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