Modèle de concours : CNC 2011 Physique I (MP) — Concours National Commun
En bref
Ce document est une ancienne épreuve écrite du concours de Concours d'accès aux écoles d'ingénieurs organisé par Concours National Commun (CNC) — CPGE (2011), publiée sur Wadifa Info en consultation et téléchargement PDF gratuits, avec une correction proposée.
- Organisme
- Concours National Commun (CNC) — CPGE
- Grade
- Concours d'accès aux écoles d'ingénieurs
- Spécialité
- Physique I
- Année
- 2011
- Pages
- 9
- Langue des questions
- français
- Correction
- correction proposée disponible sur cette page
Sujet officiel de l'épreuve de Physique I du Concours National Commun (CNC) 2011 d'admission dans les établissements de formation d'ingénieurs et assimilés, pour les élèves des classes préparatoires (CPGE) de la filière MP. Ce modèle contient les 9 pages de l'énoncé original. Les autres épreuves et sessions du CNC sont aussi disponibles sur le site.
📝 Texte des questions (extrait automatiquement des pages scannées)
Ce texte est extrait automatiquement des images de l'épreuve et peut contenir des erreurs de lecture — les images ci-dessus font foi.
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ROYAUME DU MAROC
Ministère de l'Éducation Nationale de ١٠ Enseignement Supérieur,
de la Formation des Cadres et de la Recherche Scientifique
Présidence du Concours National Commun
Institut National des Postes et Télécommunications
CONCOURS NATIONAL COMMUN
d’Admission dans les Établissements de Formation
d’Ingénieurs et Établissements Assimilés
Session 2011
ÉPREUVE DE PHYSIQUE 1
Filière : MP
Durée : 4 heures
Cette épreuve comporte 8 pages au format A4. en plus de cette page de garde
L'usage de la calculatrice est autorisé
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Concours National Commun - Session 2011 - Filière MP
« On veillera à une présentation et une rédaction claires et soignées des copies. Il
convient en particulier de rappeler avec précision les références des questions
abordées.
e Si au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant
clairement les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Rayonnement électromagnétique
Le but du présent problème est l’étude de quelques aspects du rayonnement
électromagnétique par un dipôle électrique puis par un dipôle magnétique. Après une
comparaison des puissances rayonnées électrique et magnétique, on s'intéresse à la
réflexion d’une onde électromagnétique sur une cible mobile.
Il est à signaler que les parties composant ce problème sont largement
indépendantes entre elles.
Données :
« Vitesse de la lumière dans le vide : c = 3.108 m.s-! :
0 3
e Rotationnel en coordonnées sphériques :
2
ارود" 00 ile rsin(@)| مم 7 مم aid a ماج جح - لابج ل
e Les vecteurs e., e,, e: désignent les vecteurs unitaires selon les axes Ox, Oy, Oz
du repère R(O, x, y, 2. Les vecteurs e,, € » €, désignent les vecteurs unitaires de
la base associée aux coordonnées sphériques (r, 0, (م d’un point M de l’espace.
1. Régime statique
1.1. Dipôle électrostatique
Un dipôle électrostatique est constitué de deux charges ponctuelles و- et +q
placées sur l’axe Oz. La charge -q est située en N(z = -a/2) et l’autre charge +q est placée
1.1.1. Donner l'expression du moment dipolaire électrique Po de la distribution décrite
ci-dessus en fonction des données. Quelle est son unité ?
1.1.2. Donner l’expression du potentiel électrostatique V,(M) créé au point M de l’espace
par la charge ponctuelle +.
Epreuve de Physique | 1/8
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1.1.3. En fixant, par convention, le potentiel à l’infini égal à 0, donner l’expression du
potentiel électrostatique V(M) créé par les deux charges au point M.
1.1.4. Justifier clairement que le champ électrostatique créé par les deux charges au
point M s’écrit sous la forme E(M) = E,(r, O)e, + E,(r,0)en et que V(M) = V(r.0).
1.1.5. Les deux charges sont maintenant très proches l’une de l’autre, et l'on s’intéresse
à l'expression du potentiel électrostatique en un point M tel que r ›› a. Etablir alors
l'expression approchée du potentiel V(M ). On se limitera à l’ordre 1 en a/r.
1.1.6. En déduire les composantes radiale et orthoradiale du champ électrostatique créé
au point M par le dipôle loin de celui-ci.
1.1.7. Etablir l'équation des lignes de champ loin du dipôle en coordonnées sphériques.
1.1.8. Dessiner l'allure des lignes de champ dans le plan م = constante en n’oubliant pas
de les orienter.
1.2. 110616 magnétique
On considère une spire circulaire (figure 1) de rayon b, d’axe Oz contenue dans le
plan xOy du repère R(O, x, y, 2. Elle est parcourue par un courant d'intensité constante
0
On rappelle qu'un élément de la spire de longueur dl situé en un point P de celle-ci
crée en un point M de l’espace le potentiel vecteur : dAr(M)= RS ;
1.2.1. Justifier clairement que le potentiel vecteur est de la forme A(M )= À(r, O)en ,
1.2.2. Exprimer l’élément d/ =dOP. On pourra utiliser les vecteurs €, et e. de la base
cylindrique associée au point P (figure 2).
1.2.3. Montrer que dans le cadre de l’approximation dipolaire, le potentiel vecteur A(M )
créé par la spire au point M est donné par 4(M) = a .م6 Définir la grandeur 7
et donner son expression. Préciser son unité.
Epreuve de Physique | 2/8
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1.2.4. Justifier clairement que le champ magnétostatique B(M) est tel que B(M)e, =
1.2.5. Quelle relation lie A(M) et B(M) ?
1.2.6. Calculer les composantes de B(M).
1.2.7. Montrer que les expressions de 4(M) et B(M) établies respectivement en 1.2.3.
et 1.2.6. sont similaires à celles de V(M) et E(M) établies respectivement en 1.1.5. et
1.1.6. moyennant une transposition à préciser.
1.2.8. Etablir l’équation des lignes de champ loin du dipôle en coordonnées sphériques.
1.2.9. Dessiner l'allure des lignes de champ dans le plan م = constante en n'oubliant pas
de les orienter. Comparer la topographie du champ magnétostatique à celle du champ
électrostatique.
2. Régime variable
2.1. Dipôle électrique oscillant
On modélise un dipôle électrique
oscillant (figure 3) par une charge -q fixe
à l’origine O du référentiel
R(O, x, y, z) et par une charge +q au
point P de l’axe Oz. La charge +q est
animée le long de cet axe d’un
mouvement sinusoïdal de pulsation w et
d’équation :
z(1)=acos(et)= R, (aexp[-jet]) ,a›0Oet
2.1.1. Citer quelques intérêts du concept de dipôle électrique oscillant.
2.1.2. Donner l'expression du moment dipolaire électrique p(t) = p(t (6. du dipôle
électrique oscillant. On l’exprimera en fonction de P, Module de Pa défini dans la
question 1.1.1.
Le calcul du champ électromagnétique (E(M,1) , B(M,1)) créé par le dipôle
pu ) en un point M de coordonnées sphériques (r. 0, @) donne, en notation complexe et
dans les conditions où r ›› a et à ›› و ; À étant la longueur d’onde associée à l’onde
électromagnétique rayonnée par le dipôle :
47 Fr
0
“Epreuve de Physique | 3/8 Tournez la page S.V.P.
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k étant le module d’onde associé à l’onde électromagnétique rayonnée. On pose
= = =— avec cla vitesse de l’onde dans le vide.
7
2.1.3. Commenter qualitativement les deux approximations : r ›› a et à ›› a.
2.1.4. Justifier le terme kr dans la phase instantanée du champ électromagnétique.
2.1.5. Montrer que l'expression du champ électromagnétique est en accord avec la
symétrie du problème.
2.1.6. Que devient le champ électromagnétique en régime quasi stationnaire ?
2.1.7. Que devient le champ électromagnétique en régime stationnaire ? Commenter.
Dans la suite de cette partie, on s’intéresse au champ électromagnétique dans la
zone de rayonnement.
2.1.8. Définir la zone de rayonnement du dipôle.
2.1.9. En déduire l’expression du champ électromagnétique rayonné dans cette zone.
2.1.10. Donner l'expression de l’amplitude E,(r,0) du champ électrique en un
point M en fonction de r et 6.
°e 2.1.11. Tracer, dans un plan p = constante, le diagramme polaire du champ
électrique (graphe @ défini par une valeur déterminée de la norme de E(M, 0):
Commenter.
2.1.12. Que vaut le rapport 7 2 Décrire la structure du champ électromagnétique
rayonné par le dipôle électrique oscillant. Quelle conséquence ceci a-t-il sur le choix de la
géométrie des détecteurs d’ondes électromagnétiques ?
2.1.13. Calculer le vecteur de Poynting 11: correspondant à l’onde rayonnée ainsi
que sa valeur moyenne ‹IIl. › dans le temps. Montrer que cette moyenne s’écrit sous la
forme ›11, ›= : He (es) .م Exprimer la grandeur /,, en fonction de a, w et po et
donner son unité. Décrire la variation spatiale de ‹ M, ›, module de ‹ I. ›. A quoi peut-
on relier la décroissance جد du vecteur de Poynting ?
2.1.14. On définit la fonction angulaire de la puissance rayonnée par:
Calculer R,(0.p) et représenter dans un plan م = constante, le diagramme polaire qui en
découle. Comment doit-on orienter le moment dipolaire pt) d’un dipôle électrique
oscillant pour que ce dernier émette de manière optimale dans un plan ?
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2.1.15. Calculer la puissance électromagnétique moyenne ‹P › rayonnée dans
tout l'espace. On l’exprimera en fonction de I, À » A, Het c, puis en fonction de
2.1.6. On définit la résistance de rayonnement du dipôle par la résistance Re du
conducteur ohmique qui, parcouru par un même courant de valeur maximale I,
dissiperait la même puissance par effet Joule. Donner l’expression de Re en fonction de
À, a, etc.
2.1.17. Sachant que l'amplitude du champ électrique détecté par un récepteur situé
à la distance r, dans le plan xOy, est E,(r), calculer la puissance › P.› nécessaire
d'émission pour r= 10 km puis pour r= 1000 km. On donne : E (r)= 107
2.2. Dipôle magnétique oscillant
La spire circulaire décrite dans la partie 1.2. est parcourue par un courant
sinusoïdal de pulsation w et dont l’intensité i1)=1,cos(œt) est la même à chaque instant
en tout point du circuit.
On s'intéresse au potentiel vecteur et au champ électromagnétique que la
distribution crée en un point M éloigné de coordonnées sphériques (r, 0,@). On pose
2.2.1. A quelle condition peut-on considérer que l'intensité du courant est la même à
chaque instant en tout point du circuit ?
On admet que, dans les conditions où r ›› b et à ›› b, la partie principale du
potentiel vecteur 4 M,t) peut s’écrire en notation complexe
sin(0)
(1-j&r)exp [-7(ot - kr)] Ce, y étant une constante qui sera exprimée dans
la question suivante.
2.2.2. Quel résultat retrouve-t-on dans la limite kr ‹‹ 1? Expliquer. En déduire
l’expression de y.
Dans la suite de cette partie, on étudie le champ électromagnétique dans la zone
de rayonnement.
2.2.3. Que devient l’expression de A(M, {) dans cette zone ?
2.2.4. On établit, dans la zone de rayonnement, les expressions suivantes :
4re
Identifier parmi ces deux expressions, celle du champ électrique E(M,1) et celle
du champ magnétique B(M.1). Justifier votre choix.
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2.2.5. Que vaut le rapport 7 ? Décrire la structure du champ électromagnétique
rayonné par le dipôle magnétique oscillant. Comparer au champ électromagnétique
rayonné par un dipôle électrique oscillant.
2.2.6. Calculer le vecteur de Poynting 11. correspondant à l’onde rayonnée ainsi que sa
valeur moyenne dans le temps › م]] ›.
2.2.7. Calculer la puissance moyenne rayonnée ‹P
› dans tout l'espace. Montrer
est la résistance de ا ا où R,=R, ملم ا 5 =› qu’elle se met sous la forme ‹P,
rayonnement du dipolaire magnétique oscillant. Donner l'expression de R, en fonction
H, et c. Calculer sa valeur numérique.
2.3. Comparaison
On considère une antenne de longueur ! dans laquelle on maintient un courant
sinusoïdal de fréquence / et dont l'intensité i(t)=1/,cos(&t) est la même à chaque
instant en tout point du circuit.
2.3.1. Cette antenne est assimilée à un dipôle électrique oscillant de moment pu )= qle-
si l’antenne est linéique d’axe Oz.
Déterminer, dans la zone de rayonnement, l’expression de la puissance moyenne
‹P, › rayonnée dans tout l'espace en fonction de اما f et des constantes مير et c.
2.3.2. Cette antenne est assimilée à un dipôle magnétique oscillant de moment
ml )= me. si l’antenne est en forme d’une boucle circulaire de périmètre ! et d’axe Oz.
Déterminer, dans la zone de rayonnement, l’expression de la puissance moyenne
‹P, › rayonnée dans tout l'espace en fonction de /,, |, f et des constantes ا مار c.
2.3.3. Application numérique : On donne = 10m, / = 2 MHz, 1, = 16 A. Calculer
› et le rapport n = —”—. Conclure.
3. Application : réflexion d’une onde électromagnétique sur un
conducteur parfait
Un radar a pour but de déterminer la position d’une cible, mais aussi sa vitesse grâce
à l’effet Doppler. La fréquence f, de l’onde électromagnétique réfléchie par la cible mobile
est différente de la fréquence / de l’onde émise par l’antenne émettrice du radar. Dans
le voisinage d’un point situé à grande distance du point O où se trouve l’émetteur, le
champ électromagnétique est pratiquement uniforme. D’autre part, en tenant compte du
résultat de la question 2.1.12., on peut caractériser l’onde électromagnétique rayonnée
dans cette zone par le champ électrique : E(M,1) = 0 exp|-j(o, - k7)] . Afin de
simplifier, on choisit En = E,e, et 3 = ke. . Cette onde, dite incidente, se propage dans
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l’air assimilé au vide et tombe en incidence normale sur un plan conducteur parfait de
côte X (figure 4).
plan ٠ parfait
onde incidente
onde réfléchie X
3.1. Rappeler l’équation de propagation du champ électrique et vérifier que le champ
E, (M,1) satisfait cette équation. En déduire la relation entre / et .م
3.2. Quel est l’état de polarisation de l’onde incidente ? Quelle est sa direction de
propagation ?
3.3. Déterminer l’expression du champ magnétique B, (M,1) de cette onde.
3.4. Quelle est la définition d’un conducteur parfait? Justifier que le champ
électromagnétique est nul dans un tel conducteur.
3.5. Rappeler en se servant d’un schéma clair les relations de passage des champs
électrique et magnétique à l'interface air-conducteur parfait.
3.6. Comment justifier l’existence d’une onde électromagnétique réfléchie ?
On admet que cette onde est plane progressive monochromatique de champ électrique :
E, (M,t)= En exp|-j(,t - k,7)| . En exploitant la relation de passage, déterminer بوط
œ, et k, . En déduire le champ magnétique B, (M,f) de l’onde réfléchie.
Le plan conducteur parfait est en réalité une cible mobile le long de l’axe Ox à la
vitesse constante v = ve, (v ‹‹ c) par rapport au référentiel R(O, x, y, Z) supposé galiléen
lié à l’émetteur fixe. On note 107 x, y, 2 le référentiel lié à la cible (assimilée à un plan
conducteur parfait) en translation par rapport à R. L’onde incidente de champ
2 (M,t) = E,exp [-j( œt- k,x)] e, est réfléchie par la cible et donne naissance à une onde
réfléchie de champ 2 (M,t) = rE, exp [-j(0,t + k,x)] e,. Ces deux champs sont
mesurés dans le référentiel fixe R.
3.7. Etablir, dans le cadre de la mécanique non relativiste, l'expression des champs
électriques incident E'(M,t) et réfléchi لا M.t) mesurés dans le référentiel mobile R’.
Epreuve de Physique | 7/8 Tournez la page S.V.P. ا
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Montrer que ces deux champs se mettent sous la forme : ا (M,t) = | 22 et
0
58
3.8. Etablir l'expression de X en fonction du temps t.
3.9. Ecrire la relation de passage du champ électrique en x = X dans le référentiel
mobile R’. En déduire le coefficient r, de réflexion de l’onde pour l’amplitude et la
fréquence f, de l’onde réfléchie mesurée dans le référentiel R. On exprimera ces deux
grandeurs en fonction de la fréquence / de l’onde incidente, de v et de c. Commenter.
3.10. Exprimer la diminution relative de fréquence par réflexion sur le conducteur
mobile.
3.11. Un détecteur d’onde électromagnétique convertit l’onde réfléchie par la cible en un
signal électrique ur(t) = نا cos(2x f,t + ©. Un oscillateur de référence fournit un signal
électrique synchrone du signal d’émission ui(t) = ناآ cos(2x ft). Ces deux signaux sont
ensuite appliqués à un multiplieur de constante k’ qui délivre en sortie le signal
3.11.1. Donner le spectre de la tension us(t).
3.11.2. Le multiplieur est-il Un composant linéaire ? Justifier votre réponse.
3.12. Le signal us(t) est envoyé sur un filtre électrique. Déterminer la nature de ce filtre
pour que l’on récupère en sortie un signal permettant la mesure de la fréquence
Af = 7 -/ | . Proposer un schéma simple de ce filtre en précisant les conditions de son
bon fonctionnement.
3.13. Application numérique : Un véhicule circulant en agglomération (vitesse limitée à
60 km/h) est contrôlé par un radar Doppler de la police ( f = 24,125 GHz). Au passage du
véhicule l'onde écho est de fréquence 1 = f - 2500 Hz. On suppose que l’angle entre
l'axe du faisceau radar et l'axe de déplacement du véhicule mesuré est nul.
3.13.1.1. Calculer la longueur d’onde À de l’onde émise par le radar.
3.13.1.2. A partir de quelle distance peut-on se situer dans la zone de rayonnement
du radar ?
3.13.1.3. Ce véhicule est-il en infraction ?
Epreuve de Physique | 8/8 FIN
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✅ Correction proposée
Il s'agit d'une correction proposée, rédigée par l'équipe wadifa-info pour vous aider à comprendre la méthode — ce n'est pas un corrigé officiel de l'administration organisatrice.
Ce sujet est l'épreuve de Physique I de la filière MP du Concours National Commun (CNC) 2011 d'admission dans les établissements de formation d'ingénieurs (présidence : INPT). Durée : 4 heures, calculatrice autorisée, 8 pages. C'est un problème d'électromagnétisme intitulé « Rayonnement électromagnétique ». Il comprend : dipôles électrostatique et magnétostatique (partie 1) ; rayonnement des dipôles électrique et magnétique oscillants et comparaison des antennes (partie 2) ; réflexion d'une onde sur un conducteur parfait mobile et radar Doppler (partie 3). Voici une correction méthodologique proposée.
💡 Avant de commencer : les parties sont largement indépendantes. La partie 3 (onde plane, conducteur parfait, Doppler, multiplieur et filtre) est très classique et rapide : traitez-la si vous bloquez sur les intégrales de la partie 1.2. Justifiez toujours les symétries par un plan de symétrie ou d'antisymétrie nommé explicitement, et une invariance.
1. Régime statique
1.1. Dipôle électrostatique
- 1.1.1. p0 = q NP = q a ez, en C·m.
- 1.1.2. V+(M) = q/(4πε0 PM).
- 1.1.3. V(M) = (q/4πε0)(1/PM − 1/NM).
- 1.1.4. La distribution est invariante par rotation autour de Oz, donc V et E ne dépendent pas de φ. Tout plan contenant Oz et M est un plan de symétrie des charges ; E(M) y est contenu, donc Eφ = 0. Ainsi E = Er(r,θ)er + Eθ(r,θ)eθ et V = V(r,θ).
- 1.1.5. PM ≈ r − (a/2)cosθ et NM ≈ r + (a/2)cosθ, donc 1/PM − 1/NM ≈ a cosθ/r2. D'où V(M) ≈ p0 cosθ/(4πε0r2).
- 1.1.6. Avec E = −grad V : Er = 2p0cosθ/(4πε0r3) et Eθ = p0sinθ/(4πε0r3).
- 1.1.7. Une ligne de champ vérifie dr/Er = r dθ/Eθ, soit dr/r = 2 cotanθ dθ. D'où r = K sin2θ.
- 1.1.8. Les lignes sont des boucles symétriques par rapport à Oz, tangentes à Oz en O. Elles sortent vers le haut (θ ≈ 0, Er > 0) et reviennent par le bas. Dans le plan équatorial, elles sont dirigées selon +eθ, c'est-à-dire vers −z. Près des charges, elles partent de +q et aboutissent sur −q.
1.2. Dipôle magnétique
- 1.2.1. Tout plan contenant Oz est un plan d'antisymétrie des courants, qui sont orthoradiaux. A se comporte comme le courant (vecteur polaire), donc A est perpendiculaire à ce plan : A est porté par eφ. L'invariance par rotation autour de Oz donne A = A(r,θ)eφ.
- 1.2.2. OP = b eu, donc dl = b dα ev, où α repère P par rapport au demi-plan méridien de M.
- 1.2.3. On a OP·OM/r = b sinθ cosα, donc 1/PM ≈ (1/r)(1 + b sinθ cosα/r). Dans la base de M, ev = −sinα eρ + cosα eφ. Le terme en 1/r s'annule sur le tour, et il reste A = (μ0I0b2 sinθ/4πr2) ∫02πcos2α dα eφ. On obtient A = μ0m0sinθ/(4πr2) eφ, avec m0 = I0πb2. m0 est le moment magnétique de la spire (m = I S ez) ; il s'exprime en A·m2.
- 1.2.4. B est un vecteur axial. Un plan d'antisymétrie des courants le contient, donc B·eφ = 0. Par invariance de rotation, B = B(r,θ).
- 1.2.5. B = rot A.
- 1.2.6. Br = (1/(r sinθ)) ∂(sinθ Aφ)/∂θ = 2μ0m0cosθ/(4πr3) ; Bθ = −(1/r) ∂(rAφ)/∂r = μ0m0sinθ/(4πr3) ; Bφ = 0.
- 1.2.7. On passe de E à B par la transposition p0/ε0 ↔ μ0m0 (c'est-à-dire 1/(4πε0) ↔ μ0/4π et p ↔ m). Les potentiels se correspondent aussi : V = p·er/(4πε0r2) et A = μ0 m∧er/(4πr2).
- 1.2.8. Mêmes composantes à grande distance, donc même équation : r = K sin2θ.
- 1.2.9. Loin du dipôle, la topographie est identique à celle du dipôle électrique, orientée dans le sens de m (sortie vers +z si le courant tourne dans le sens direct autour de Oz). Près de la source, en revanche, les lignes de B se referment à travers la spire (champ à flux conservatif), alors que les lignes de E partent de +q et finissent sur −q.
2. Régime variable
2.1. Dipôle électrique oscillant
- 2.1.1. C'est le modèle élémentaire de toute source de rayonnement : antennes, atomes et molécules excités par une onde (diffusion Rayleigh, bleu du ciel), et premier terme du développement multipolaire d'une distribution quelconque.
- 2.1.2. p(t) = q z(t) = p0cos(ωt), soit en complexe p = p0e−jωt, avec p0 = qa.
- 2.1.3. r ≫ a : c'est l'approximation dipolaire, on observe de loin par rapport à la taille de la source. λ ≫ a : les différences de retard entre points de la source sont négligeables. Cela équivaut à vmax = aω ≪ c (mouvement non relativiste), puisque aω/c = 2πa/λ.
- 2.1.4. ωt − kr = ω(t − r/c) : le champ en M à l'instant t est créé par la source à l'instant retardé t − r/c. C'est la propagation à vitesse finie (potentiels retardés, causalité).
- 2.1.5. E est dans le plan (er, eθ) : il est polaire et contenu dans le plan méridien, plan de symétrie des charges. B est selon eφ : il est axial et perpendiculaire à ce plan. Aucune composante ne dépend de φ (invariance de révolution). Tout est cohérent.
- 2.1.6. Pour kr ≪ 1 (r ≪ λ), régime quasi stationnaire : E ≈ p(t)/(4πε0r3)[2cosθ er + sinθ eθ], c'est le champ du dipôle statique avec p(t) instantané. Et B ≈ μ0(dp/dt) sinθ/(4πr2) eφ, c'est la loi de Biot et Savart pour l'élément de courant dp/dt.
- 2.1.7. Pour ω = 0 : on retrouve E du 1.1.6 et B = 0. Des charges immobiles ne créent pas de champ magnétique.
- 2.1.8. La zone de rayonnement est définie par r ≫ λ (kr ≫ 1), en plus de r ≫ a et λ ≫ a.
- 2.1.9. On garde les termes en (kr)2 et kr : E ≈ −μ0p0ω2 sinθ/(4πr) exp[−j(ωt − kr)] eθ et B ≈ −μ0p0ω2 sinθ/(4πrc) exp[−j(ωt − kr)] eφ. On a utilisé 1/ε0 = μ0c2 et k = ω/c.
- 2.1.10. Em(r,θ) = μ0p0ω2 sinθ/(4πr).
- 2.1.11. À |E| fixé, r = K sinθ : dans un plan méridien, ce sont deux cercles tangents à Oz en O. Le champ est nul sur l'axe du dipôle et maximal dans le plan équatorial.
- 2.1.12. E/B = c. L'onde est localement plane et transverse : (E, B, er) forme un trièdre direct, E est selon eθ (polarisation rectiligne dans le plan méridien) et B selon eφ. Conséquence pour la détection : une antenne rectiligne réceptrice doit être parallèle à E, donc à l'axe du dipôle émetteur. Une antenne cadre doit avoir sa normale selon eφ, pour capter le flux de B.
- 2.1.13. En réels, Π = E∧B/μ0 = [μ0p02ω4 sin2θ/(16π2r2c)] cos2(ωt − kr) er. D'où <Π> = μ0p02ω4 sin2θ/(32π2r2c) er. En identifiant avec la forme donnée (λ = 2πc/ω), on trouve Im = p0ω/a = qω, en ampères : c'est l'amplitude du courant équivalent. <Π> varie en sin2θ/r2. La décroissance en 1/r2 traduit la conservation de l'énergie : la puissance qui traverse une sphère de rayon r ne dépend pas de r.
- 2.1.14. PΩ(θ,φ) = sin2θ. Le diagramme polaire a deux lobes tangents en O, symétriques par rapport au plan équatorial. Pour émettre au mieux dans un plan, il faut orienter p perpendiculairement à ce plan.
- 2.1.15. On intègre sur la sphère : <Pe> = (1/8)μ0c(Ima/λ)2 × 2π × 4/3, soit <Pe> = (π/3)μ0c(Ima/λ)2. Comme <Π>(π/2) = Em2/(2μ0c), on a aussi <Pe> = 4πr2Em(r)2/(3μ0c).
- 2.1.16. On pose <Pe> = (1/2)ReIm2. D'où Re = (2π/3)μ0c(a/λ)2 ≈ 790 (a/λ)2 Ω.
- 2.1.17. Avec μ0c ≈ 377 Ω et Em = 10−3 V·m−1 : pour r = 10 km, <Pe> ≈ 4π·108·10−6/1131 ≈ 1,1 W ; pour r = 1000 km, ≈ 1,1·104 W. La puissance nécessaire varie en r2.
2.2. Dipôle magnétique oscillant
- 2.2.1. Il faut l'ARQS : la durée de propagation le long du circuit doit être négligeable devant la période, soit 2πb ≪ λ.
- 2.2.2. Pour kr ≪ 1, A ≈ γ sinθ e−jωt/r2 eφ : on retrouve le potentiel du dipôle magnétostatique (1.2.3) avec le moment instantané m(t). Donc γ = μ0m0/(4π), avec m0 = πb2I0.
- 2.2.3. Pour kr ≫ 1 : A ≈ −jkμ0m0 sinθ/(4πr) exp[−j(ωt − kr)] eφ.
- 2.2.4. La spire est neutre, donc E = −∂A/∂t = jωA. Cela donne E = μ0m0ω2 sinθ/(4πrc) exp[…] eφ (première expression). Ensuite B = rot A ≈ jk er∧A, ce qui donne B = −μ0m0ω2 sinθ/(4πrc2) exp[…] eθ (seconde expression). On vérifie : leur rapport vaut c, B contient un facteur 1/c de plus, et eφ∧(−eθ) = er, donc le trièdre (E, B, er) est direct.
- 2.2.5. E/B = c. L'onde est encore localement plane, transverse et sphérique, en sin θ/r. Mais les rôles sont échangés par rapport au dipôle électrique : ici E est selon eφ et B selon eθ. La polarisation est tournée de 90°.
- 2.2.6. Πm = μ0m02ω4 sin2θ/(16π2c3r2) cos2(ωt − kr) er, et en moyenne <Πm> = μ0m02ω4 sin2θ/(32π2c3r2) er.
- 2.2.7. On obtient <Pm> = μ0m02ω4/(12πc3). Avec m0 = πb2I0 et ω = 2πc/λ, cela devient <Pm> = (4π5/3)μ0c(b/λ)4I02. On en déduit R0 = (8π5/3)μ0c = 320π6 ≈ 3,1·105 Ω.
2.3. Comparaison des antennes
- 2.3.1. Comme dq/dt = i, on a ωp0 = I0l. Le 2.1.15 avec Ima = I0l donne <Pe> = πμ0I02l2f2/(3c).
- 2.3.2. On a b = l/(2π), donc m0 = I0l2/(4π). D'où <Pm> = πμ0I02l4f4/(12c3).
- 2.3.3. <Pe> ≈ 4,5·102 W ; <Pm> ≈ 0,50 W ; η = (lf/c)2/4 ≈ 1,1·10−3 (ici λ = 150 m ≫ l). Pour une petite antenne, le dipôle électrique rayonne environ mille fois mieux que la boucle. Les boucles servent surtout en réception.
3. Réflexion sur un conducteur parfait — radar Doppler
- 3.1. Équation de propagation : ΔE − (1/c2)∂2E/∂t2 = 0. En la reportant, (−ki2 + ωi2/c2)Ei = 0, d'où ki = ωi/c.
- 3.2. La polarisation est rectiligne selon ey et l'onde se propage selon +ex.
- 3.3. Bi = ex∧Ei/c = (E0/c) exp[−j(ωit − kix)] ez.
- 3.4. Un conducteur parfait a une conductivité infinie. Comme j = γE reste fini, E = 0 à l'intérieur. Alors ∂B/∂t = −rot E = 0 : la partie variable de B est nulle. Le champ électromagnétique variable est donc nul dans le conducteur.
- 3.5. Relations de passage (normale n du conducteur vers l'air) : Eair − Econd = (σ/ε0)n et Bair − Bcond = μ0js∧n. Ici les champs dans le conducteur sont nuls : à la surface, Etangentiel = 0, Enormal = σ/ε0, Bnormal = 0 et Btangentiel = μ0js∧n.
- 3.6. L'onde incidente seule ne respecte pas Etangentiel = 0 en x = X. Les courants surfaciques induits rayonnent donc une onde réfléchie. La condition doit tenir pour tous t, y et z. On en déduit ωr = ωi, kr = −kiex et E0r = −E0e2jkiX ey (soit −E0ey si X = 0). Puis Br = (−ex)∧Er/c = (E0/c)e2jkiX exp[−j(ωit + kix)] ez.
- 3.7. Pour v ≪ c, la transformation galiléenne des champs donne E' = E + v∧B. Pour l'onde incidente, v ex∧(Ei/c)ez = −(v/c)Eiey, d'où E'i = (1 − v/c)Ei. Pour l'onde réfléchie, Br = −(Er/c)ez, d'où E'r = (1 + v/c)Er.
- 3.8. X(t) = X0 + vt. On prend X0 = 0 en choisissant l'origine des temps.
- 3.9. Dans R', le conducteur est immobile et le champ électrique total y est nul en x = X(t) : (1 − v/c)E0e−jωi(1 − v/c)t + (1 + v/c)raE0e−jωr(1 + v/c)t = 0 pour tout t. On en déduit fr = fi(1 − v/c)/(1 + v/c) ≈ fi(1 − 2v/c) et ra = −(1 − v/c)/(1 + v/c). La cible s'éloigne : la fréquence réfléchie diminue (effet Doppler double, aller et retour) et l'amplitude aussi. L'onde cède de l'énergie à la cible via la pression de radiation, et le déphasage de π est conservé.
- 3.10. (fi − fr)/fi = 2v/(c + v) ≈ 2v/c.
- 3.11.1. us = (k'UiUr/2)[cos(2π(fi + fr)t + Φ) + cos(2π(fi − fr)t − Φ)]. Le spectre a deux raies, d'amplitude k'UiUr/2 chacune : l'une à fi + fr ≈ 2fi, l'autre à Δf = |fr − fi|.
- 3.11.2. Le multiplieur est non linéaire : il crée des fréquences absentes des entrées, ce qu'un système linéaire ne peut pas faire. Le principe de superposition n'y est pas vérifié ; il est seulement linéaire par rapport à chaque entrée prise séparément.
- 3.12. Il faut un filtre passe-bas qui garde Δf et élimine fi + fr. Exemple : cellule RC, avec R en série et C en sortie, de fréquence de coupure fc = 1/(2πRC). Conditions : Δf < fc ≪ 2fi (avec Δf de l'ordre du kHz, fc de quelques dizaines de kHz convient), et une charge de sortie d'impédance grande devant R (suiveur).
- 3.13.1.1. λ = c/f = 3·108/24,125·109 ≈ 1,24 cm.
- 3.13.1.2. La condition est r ≫ λ. Dès quelques dizaines de centimètres (r ≳ 10λ ≈ 0,12 m), on est dans la zone de rayonnement : c'est toujours le cas pour un véhicule contrôlé.
- 3.13.1.3. v = cΔf/(2f) = 3·108 × 2500/(2 × 24,125·109) ≈ 15,5 m·s−1 ≈ 56 km/h < 60 km/h. Le véhicule, qui s'éloigne puisque fr < fi, n'est pas en infraction.
💡 Résultats clés : dipôle V = p cosθ/(4πε0r2), lignes r = K sin2θ ; m0 = πb2I0 et transposition p/ε0 ↔ μ0m ; zone de rayonnement r ≫ λ, E/B = c, <Π> ∝ sin2θ/r2 ; <Pe> = (π/3)μ0c(Ima/λ)2, Re ≈ 790(a/λ)2 Ω ; R0 ≈ 3,1·105 Ω ; η ≈ 1,1·10−3 ; fr ≈ f(1 − 2v/c), v ≈ 56 km/h. Pour le CNC MP, révisez les symétries des champs, le développement dipolaire (électrique et magnétique), le rayonnement dipolaire (structure, vecteur de Poynting, puissance), la réflexion sur un conducteur parfait, la transformation galiléenne des champs et la détection synchrone (multiplieur et passe-bas).
Questions fréquentes sur ce sujet
Ce sujet est-il téléchargeable gratuitement ?
Oui. La totalité du sujet (9 pages) est consultable et téléchargeable gratuitement, sans inscription ni compte.
Le corrigé est-il inclus ?
Oui. Un corrigé proposé figure sur cette page, sous les pages du sujet : méthode de réponse et éléments attendus, rédigés par l'équipe Wadifa Info.
Quel organisme et quel grade concerne ce sujet ?
Ce sujet provient d'un concours organisé par Concours National Commun (CNC) — CPGE. Il concerne le grade : Concours d'accès aux écoles d'ingénieurs.
De quelle session s'agit-il et dans quelle langue ?
Session : 2011. Les questions sont en français.
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