Modèle de concours : CNC 2009 Physique I (MP) — Concours National Commun
En bref
Ce document est une ancienne épreuve écrite du concours de Concours d'accès aux écoles d'ingénieurs organisé par Concours National Commun (CNC) — CPGE (2009), publiée sur Wadifa Info en consultation et téléchargement PDF gratuits, avec une correction proposée.
- Organisme
- Concours National Commun (CNC) — CPGE
- Grade
- Concours d'accès aux écoles d'ingénieurs
- Spécialité
- Physique I
- Année
- 2009
- Pages
- 12
- Langue des questions
- français
- Correction
- correction proposée disponible sur cette page
Sujet officiel de l'épreuve de Physique I du Concours National Commun (CNC) 2009 d'admission dans les établissements de formation d'ingénieurs et assimilés, pour les élèves des classes préparatoires (CPGE) de la filière MP. Ce modèle contient les 12 pages de l'énoncé original. Les autres épreuves et sessions du CNC sont aussi disponibles sur le site.
📝 Texte des questions (extrait automatiquement des pages scannées)
Ce texte est extrait automatiquement des images de l'épreuve et peut contenir des erreurs de lecture — les images ci-dessus font foi.
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ROYAUME DU MAROC
Ministère de l'Éducation Nationale, de l'Enseignement Supérieur,
de la Formation des Cadres et de la Recherche Scientifique
Présidence du Concours National Commun
Institut Nationale de Statistique et d'Economie Appliquée
INSEA
Concours National Commun d’admission
aux Grandes Écoles d'Ingénieurs ou assimilées
Session 2009
ÉPREUVE DE PHYSIQUE I
Filière MP
Durée 4 heures
Cette épreuve comporte 11 pages au format A4, en plus de cette page de garde
L'usage de la calculatrice est autorisé
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Concours National Commun - Session 2009 - Filière MP
L’énoncé de cette épreuve comporte 11 pages.
* On veillera à une présentation et une rédaction claires et soignées des
copies. Il convient en particulier de rappeler avec précision les références
des questions abordées.
e Si au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une
erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en
indiquant clairement les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.
L'épreuve se compose de deux problèmes indépendants.
Problème I - OPTIQUE
Données :
e Constante des gaz parfaits : R = 8,314 J.K-!.mol-!,
Masse molaire de l’air : Ma = 29 g.mol-!.
e Fonction sinus cardinal : sin c(x)=——.
٠ Les grandeurs complexes sont notées aves des lettres soulignées et
exprimées avec j tel que j? = -1.
Ce problème propose l’étude de quelques propriétés d’un télescope monté en
Cassegrain. 11 se compose de trois parties largement indépendantes.
1ère partie
Etude et propriétés des télescopes
1.1. Questions de cours
1.1.1.Expliquer ce qu’est l’approximation de l’optique géométrique.
1.1.2.Qu'appelle-t-on système optique centré ?
1.1.3.Rappeler brièvement les conditions de l’approximation de Gauss.
Quelles sont les propriétés d’un système optique centré utilisé dans ces
conditions ?
Dans la suite du problème, les systèmes optiques étudiés seront
considérés centrés et utilisés dans les conditions de Gauss.
1.2. Etude d’un miroir sphérique
“ On considère un miroir sphérique de rayon R, de centre C, de sommet S, et
de diamètre d’ouverture D (figure 1).
Epreuve de Physique I 1/11 Tournez la page S.V.P.
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Concours National Commun - Session 2009 - Filière MP
Dans les conditions de Gauss, on rappelle que la relation de conjugaison
reliant la position d’un point objet A sur l’axe à celle de son image A' est
donnée par
1 1 2
باج ب +ا ب
SA" SA SC
On rappelle aussi le grandissement avec origine au sommet : y = 2
Figure 1
1.2.1.Définir et donner la position des foyers objet F et image F' de ce miroir
sphérique. Exprimer la distance focale du miroir / =SF en fonction de R.
1.2.2.On observe deux étoiles A et B à l’aide du miroir sphérique de la
figure 1. Les deux étoiles sont séparées d’un angle œ petit (compté à partir de
l’axe CZ) : A se trouve sur l’axe optique et B est au-dessus de l’axe optique.
1.2.2.1. Construire soigneusement la position de leurs images respectives
1.2.2.2. Déterminer la position des deux images A' et B', la taille A'B' et la
nature de l’image.
1.2.2.3. Comment a-t-on intérêt à choisir le rayon R du miroir utilisé ?
1.2.2.4. Application numérique : on donne a = 2 secondes d'arc et
R = 28,76 m. Déterminer la taille de l'image.
1.2.3.On place dans le plan où se forment les deux images A' et B' une
caméra numérique CCD composée d’une matrice rectangulaire de détecteurs
élémentaires, appelés pixels, de forme carrée, de côté h = 9 um. Chacun de ces
pixels mesure l’intensité lumineuse qu’il reçoit et transmet l’information
correspondante séparément. Sa surface active est perpendiculaire à l’axe
optique.
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Concours National Commun - Session 2009 - Filière MP
Quell est la plus petite valeur àmin de l’angle œ séparant les deux étoiles A
et B que l’on peut espérer résoudre avec cette caméra ?
1.3. Etu de du télescope Cassegrain
Pour 1 observation d'objets célestes, on n’utilise pas un simple miroir
sphérique mais une combinaison de plusieurs d’entre eux avec des formes
différentes
Le Ver, Large Télecsope (VLT) au chili est composé de quatre télescopes
montés en Cassegrain. Ces télescopes pourront fonctionner indépendamment
ou en asso ‘lation, totalisant alors (lorsque leurs faisceaux sont combinés) un
télescope de puissance importante.
Afin de د ener une étude quantitative et dans un souci de simplification, on
peut modél ser un télescope réel de type Cassegrain par deux miroirs
sphériques. \insi, dans les conditions de Gauss, le télescope réel est équivalent
au télescope composé de deux miroirs sphériques (figure 2).
Figure 2 : Télescope du VLT en configuration Cassegrain
e Le miroi- primaire (M1) est concave, de sommet S;, de foyer F1, de
distance focale f, de rayon R = 28,76 m et de diamètre extérieur D1 = 8,20 m.
11 est percé d’un trou de diamètre D = 1 m en son centre.
e Le miroir secondaire (M2) est convexe, de sommet ,دي de foyer F2, de
distance focale f,, de rayon R, = 4,56 m et de diamètre extérieur Da = 1,12 m.
La distance entre les sommets des miroirs vaut d = S,S, = 12,4 m.
A l’aide du télescope ci-dessus, on observe les deux étoiles A et B de la
question 1.2.2.
1.3.1.Soit A, l’image de A par (M) et A, celle de A par (M2). Où se trouve
l’image A ? Que représente A, pour le télescope ? Déterminer S,4, en fonction
de R, R, et d. Faire le calcul numérique.
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1.3.2.Faire une construction soignée et détaillée des images B, et B. de l’étoil
B par les miroirs successifs (M:) et (M2). On précisera aussi les images A, et
1.3.3.On note y = == le grandissement transversal du miroir secondaire.
1e)
Déterminer AB, et قا en fonction de R, 7 eta.
1.3.4.On définit la focale équivalente du télescope par / =
4
0 en
fonction de y et R,.
1.3.5.Application numérique : on donne a = 2 secondes d'arc.
Calculer la position du foyer image global F' du télescope (on donnera 4 ="), le
grandissement y, la focale équivelente / du télescope et la taille B, de
l’image finale.
Conclure sur l’avantage du télescope à deux miroirs par rapport à تلع : à un
seul miroir.
1.3.6.On place dans le plan de front de l’image finale A,B, la caméra CC د
définie dans la question 1.2.3.
Quel est la plus petite valeur d’min de l’angle œ séparant les deux étoil s À et
B que l’on peut espérer résoudre avec cette caméra ? Comparer a ec Omin
obtenu en 1.2.3. Conclure.
2ème partie
Diffraction par une fente
Dans cette partie, on prend en compte les effets de la diffraction su: les
performances du télescope. Afin de simplifier les calculs, le télescc 5e utilisé
pour les observations astronomiques peut être modélisé par un objet (iffractant
et la lentille convergente équivalente au télescope dont la distance for ale / est
calculée dans la question 1.3.4. L'objet diffractant est une fente tre nsparente
rectangulaire de centre O, de largeur a = D1 (diamètre du miroir primaire)
suivant OX, de grande dimension suivant l'axe perpendiculaire OY (figure 3).
On observe, à l’aide du télescope, une étoile B située dans la direction
représentée par l’angle orienté a (x est supposé petit en valeur absoiue). Cette
étoile (supposée ponctuelle) émet une onde monochromatique de longueur
d’onde dans le vide À .
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Concours National Commun - Session 2009 - Filière MP
BY Plan focal
Figure 3
2.1. Présenter un montage (réalisable) permettant d’observer sur un écran la
figure de diffraction « à l’infini » donnée par une fente rectangulaire de côtés a et
b (b › a) sous incidence normale.
2.2. Rappeler le principe d'Huygens-Fresnel permettant de calculer
l’amplitude de l’onde diffractée par une fente.
2.3. Expliquer en quelques lignes en quoi consiste la diffraction à l'infini
(aussi appelée diffraction de Fraunhofer).
.2.4. Que signifie "grande dimension" suivant OY ? Quelles sont les
conséquences de cette hypothèse ?
2.5. Dans le cadre de la diffraction à l’infini, l’amplitude complexe en un
point M de la vibration diffractée en un point P(X) de la fente est donnée par :
A(M)= Ken مدر 7 fe
K étant une constante et &(M) la différence de marche, au point 1/00 du plan
focal de la lentille (L), entre les deux vibrations diffractées respectivement aux
points P et O de la fente. On notera n l’indice du milieu traversé par la lumière.
2.5.1.Calculer la différence de marche 6(M) en fonction de X, x, n, œ et f.
2.5.2.Calculer l’amplitude A(M) au point M.
2.6. On rappelle que l'intensité lumineuse est définie par I(M)= kA(MJA (M),
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+ étant une constante et 4'(M) le complexe conjugué de l’amplitude A(M).
2
Montrer que /(M)=1(x)=1, in (a + Sy . Donner l’expression de /,.
2.7. Représenter la figure de diffraction observée sur l'écran (plan F’xy).
Préciser ses caractéristiques.
2.8. Tracer l’allure de la courbe représentative de l’intensité I(x).
Préciser ses caractéristiques. En quel point cette intensité est-elle maximale ?
Conclure.
3ème partie
Phénomènes limitant le pouvoir de résolution
On modélise toujours le télescope utilisé pour les observations
astronomiques par la lentille convergente équivalente au télescope dont la
distance focale f est calculée dans la question 1.3.4. Cette lentille forme une
pupille diffractante circulaire, de centre O, de diamètre a = Di (diamètre du
miroir primaire).
La figure de diffraction dans le plan focal de la lentille peut être schématisée
par une tache centrale brillante de rayon R = 12244 entourée d’anneaux
alternativement sombres et brillants.
3.1. Justifier qualitativement l’aspect de la figure de diffraction.
3.2. On observe à nouveau les deux étoiles 4 et B de la question 1.2.2 par le
télescope. On rappelle que celles-ci sont vues avec un écart angulaire « petit.
3.2.1.A quelle condition sur يه Di, À et n, les deux taches de diffraction
seront-elles séparées sur l’écran ? On adoptera le critère de Rayleigh.
3.2.2.En déduire la résolution angulaire du télescope définie par la valeur
minimale d’min de «.
Rappel
Critère de Rayleigh : deux taches de diffraction peuvent être séparées
si le maximum principal de l’une est confondu avec le premier minimum nul
de l’autre.
3.3. Citer quelques phénomènes limitatifs du pouvoir de résolution d’un
télescope terrestre.
3.4. Citer des méthodes permettant de s'affranchir des phénomènes limitatifs
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du pouvoir de résolution d’un télescope.
3.5. Pour quelles raisons construit-on tout de même de grands télescopes ?
ème partie
Effet de la turbulence atmosphérique
sur la structure d’un front d’onde
“ L’atmosphère terrestre est constituée de couches d’air de différentes
températures qui se mélangent les unes aux autres causant de grands
mouvements (appelés «turbulences ») dans les masses d'air. Pour les
astronomes, ces turbulences sont néfastes car elles perturbent la trajectoire des
rayons lumineux. Ce faisant, elles sont responsables du scintillement des
étoiles dans le ciel et de la distorsion des images collectées par les télescopes.
Les turbulences de l’atmosphère créent des variations de la masse volumique
de l’air et par conséquent entraînent des fluctuations de son indice de
réfraction.
On admet que l’indice de réfraction de l’air est lié à sa masse volumique p
par la relation empirique (dite de Gladstone) :
n=1+Cp, C étant une constante.
4.1. Quelle est la dimension de la constante C.
4.2. En supposant que l’air se comporte comme un gaz parfait, exprimer
n en fonction de la température T et de la pression P.
4.3. Calculer numériquement la constante C, sachant qu’à T = 293 K et
P = 105 Pa, n = 1,00029.
4.4. On note T(z) et فاط respectivement la température et la pression de
l’atmosphère à l’équilibre à l’altitude z. Les fluctuations de la température et de
la pression par rapport à l’équilibre se manifestent par des écarts ôT et ôP.
Exprimer la fluctuation ôn de l’indice n qui en résultent en fonction de
ôT et ôP.
On étudie maintenant l’effet des variations de l’indice de l’atmosphère sur la
structure du front d’onde émise par une étoile.
4.5. Définir ce qu’est une surface d’onde.
4.6. Enoncer le théorème de Malus.
Epreuve de Physique I 7/711 Tournez la page S.V.P.
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4.7. Dans l’atmosphère d’indice n, on considère une zone cylindrique de
diamètre ro et de hauteur e suivant Oz (figure 4). Cette zone est d’indice
n + ôn (on prendra ôn › 0). On considère une onde électromagnétique plane
incidente progressive dans la direction des z croissants et de longueur d’onde
dans le vide Xo.
Figure 4
4.7.1.Calculer la phase رام z) de l’onde pour z › 0. On prendra comme
a ine des phases le point O et on distinguera les deux cas |x | ‹ ro/2 et
4.7.2.En déduire l’équation de la surface d’onde dans le plan (xOZ).
4.7.3.Reprendre le schéma de la figure 4 et tracer une surface d’onde
dans la zone 2 › 0, puis dans la zone 2 › ع
4.7.4.Conclure. Quelle méthode utilise-t-on en pratique pour corriger l’effet de
la turbulence atmosphérique ?
Problème II - Electronique
__ Ce problème étudie un filtre à structure de Rauch.
À chaque grandeur sinusoïdale x(t)= X.cos(wt+@) on associe le complexe
x(t) = X.exp(j(ot+ @)) tel que x(r)= Re(x(1)). Re(x(#)) signifie la partie réelle de
x(t). On note j2 = -1.
On considère le circuit à amplificateur opérationnel de la figure 1.
L’amplificateur opérationnel est alimenté par une source de tension symétrique (non
représentée) +Vcc = +15 V. Le cas échéant, les tensions de saturations seront aussi
+ Vsat = +15 V.
Dans tout le problème, on suppose que l'amplificateur opérationnel est parfait
et fonctionne en régime linéaire.
Epreuve de Physique I 8/11 Tournez la page S.V.P.
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Figure 1
1ère partie
Etude théorique
1.1. Justifier simplement que l’amplificateur fonctionne en régime linéaire.
On suppose dans la suite de cette partie que le signal ve appliqué à l'entrée
du circuit est sinusoïdal de pulsation © ٠
1.2. Etudier le comportement asymptotique du montage aux basses
fréquences, puis aux hautes fréquences et déduire la nature du filtre.
1.3. Appliquer le théorème de Millman aux nœuds À et B et déduire deux
relations entre vs, Va Et Ve.
1.4. Montrer que la fonction de transfert H = ع du circuit s’écrit sous la
forme H= a , 2766 x= 2
Exprimer H,, 2 et a, en fonction de R,, R,, R', = #2 ce.
1 و 2
1.5. Dans quel domaine de fréquences ce circuit présente-t-il un caractère
intégrateur ? dérivateur ? Exprimer vs{t) en fonction de ve(t) dans chacun des
deux cas.
1.6. Définir, puis calculer les pulsations de coupure à - 3 dB en fonction de
وه et Q. En déduire la largeur de la bande passante du filtre.
1.7. Application numérique : on donne H,= -1, 0 = 20 et f = = = 3 kHz.
Calculer la largeur de la bande passante en fréquence du filtre.
rer تيت يت تتم ا ا ل ب ب
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1.8. On pose H = H(w)exp(jp(œ)) ٠
1.8.1. Déterminer le module H(œ) et l’argument p(w) de la fonction de transfert
1.8.2. Montrer que H(w) passe par un maximum pour une valeur واه de ه que
l'on exprimera. Tracer l’allure de H(œ).
2ème partie
Analyse de Fourier
On applique à l’entrée du montage de la figure 1, un signal ve(t) de fréquence
f= 1/T= 3 kHz et d’amplitude E = 5 V.
2.1. Le signal appliqué est donné par v,(t)= Esin(2=/). En tenant compte des
caractéristiques numériques du filtre (données en 1.8), donner l’expression du
signal vs(t) obtenu en sortie du circuit.
2.2. Le signal appliqué est un signal en créneau (figure 2) dont on donne le
développement en série de Fourier :
ton É SRE _sinfs
v,.(t)= 2 2 00 sin(2x(2p+1)f)
Ve(t)
T/2
Figure 2
2.3. Justifier, sans calcul, ce développement.
2.4. Donner l’allure du spectre en fréquence du signal ve(t) ?
2.5. En tenant compte des caractéristiques numériques du filtre, donner
l’expression du signal vs(t) observé en sortie de circuit.
2.6. Décrire en quelques lignes comment pourrait-on utiliser le circuit de la
figure 1 pour déterminer le spectre en fréquence du signal ve(t).
Epreuve de Physique I 10/11 Tournez la page S.V.P.
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3ème partie
Etude pratique
3.1. Représenter le montage expérimental qui permettrait de visualiser ve(t),
et vs{t). On fera apparaître tous les appareils et connexions nécessaires.
3.2. Décrire une démarche expérimentale qui permettrait d'étudier le
comportement en fréquence du circuit.
3.3. Que se passerait-il si l'amplitude théorique de vs{t) dépassait 15 V ?
Tracer l’allure de vs(t) dans ce cas.
3.4. La sortie ne reste linéaire que si و
de l'AO (slew rate). Jusqu'à quelle valeur f1 de f, le signal vs(t) reste-t-il
théoriquement sinusoïdal ? On donne جه 1,0 V !قر
(0 ,5 est appelé vitesse de balayage
Epreuve de Physique I 11/11 Tournez la page S.V.P.
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✅ Correction proposée
Il s'agit d'une correction proposée, rédigée par l'équipe wadifa-info pour vous aider à comprendre la méthode — ce n'est pas un corrigé officiel de l'administration organisatrice.
Ce sujet est l'épreuve de Physique I du Concours National Commun (CNC) 2009 d'admission aux grandes écoles d'ingénieurs marocaines, filière MP (présidence INSEA), durée 4 heures, calculatrice autorisée, 11 pages. C'est un problème en deux parties indépendantes : Problème I – Optique (télescope Cassegrain du VLT : miroirs sphériques, diffraction par une fente, critère de Rayleigh, turbulence atmosphérique) et Problème II – Électronique (filtre passe-bande à structure de Rauch, analyse de Fourier, étude pratique). Voici une correction méthodologique proposée.
💡 Avant de commencer : les deux problèmes sont indépendants et de poids comparable. Le problème d'électronique (Rauch) est très classique : Millman aux nœuds A et B, forme canonique du passe-bande, puis Fourier ; il rapporte vite. En optique, fixez d'emblée vos conventions (axe Oz orienté vers la droite, sens de la lumière incidente, signe de α) et gardez-les : la plupart des pertes de points viennent des signes des distances algébriques. Convertissez 2″ en radians une fois pour toutes : α = 2/3600 × π/180 = 9,70×10−6 rad.
Problème I – Optique : télescope Cassegrain
1.1 Questions de cours
- 1.1.1 On est dans l'approximation de l'optique géométrique lorsque les dimensions des obstacles et des ouvertures sont grandes devant la longueur d'onde : on néglige la diffraction (limite λ → 0), la lumière se propage selon des rayons lumineux indépendants, rectilignes dans un milieu homogène, et obéit aux lois de Snell-Descartes.
- 1.1.2 Un système optique centré est un système qui possède une symétrie de révolution autour d'un axe, l'axe optique (centres des dioptres et miroirs alignés sur cet axe).
- 1.1.3 Conditions de Gauss : rayons paraxiaux, c'est-à-dire peu inclinés sur l'axe et proches de l'axe (petite ouverture, petit champ). Propriétés : stigmatisme et aplanétisme approchés ; l'image d'un plan de front est un plan de front ; relations de conjugaison et de grandissement linéaires (indépendantes de l'inclinaison des rayons).
1.2 Miroir sphérique
- 1.2.1 Le foyer image F' est l'image d'un point objet à l'infini sur l'axe ; le foyer objet F est le point dont l'image est à l'infini. Avec la relation de conjugaison (SA → ∞) : 1/SF' = 2/SC, donc F = F', milieu de [SC]. Avec l'orientation de la figure 1 (C à gauche de S) : SC = −R, d'où f = SF = −R/2 (distance focale de valeur R/2, miroir concave convergent).
- 1.2.2.1 Construction : A étant à l'infini sur l'axe, A' = F. Pour B, on trace le rayon passant par C (non dévié) incliné de α, et le rayon passant par F qui ressort parallèle à l'axe ; B' est à leur intersection, dans le plan focal.
- 1.2.2.2 A' est en F : SA' = −R/2. B' est dans le plan focal, sur le rayon passant par C : A'B' = CF·tan α ≈ (R/2)α. L'image est réelle et renversée (du côté opposé à B) : A'B' = −Rα/2 (en valeur absolue Rα/2).
- 1.2.2.3 La taille de l'image est proportionnelle à R : on a intérêt à prendre R grand pour séparer les images (avec la contrainte d'encombrement, d'où l'idée du Cassegrain).
- 1.2.2.4 |A'B'| = Rα/2 = 14,38 × 9,70×10−6 ≈ 1,39×10−4 m ≈ 139 µm.
- 1.2.3 Les deux images sont distinguées si elles tombent sur deux pixels différents : Rα/2 ≥ h, soit αmin = 2h/R = 2×9×10−6/28,76 ≈ 6,3×10−7 rad ≈ 0,13″. (Si l'on exige un pixel non éclairé entre les deux, on prend 2h : αmin ≈ 0,26″ ; indiquez le critère choisi.)
1.3 Télescope Cassegrain
- 1.3.1 L'étoile A est à l'infini sur l'axe : son image par (M1) est le foyer, A1 = F1, avec S1A1 = −R1/2 = −14,38 m. A2, image d'un point à l'infini sur l'axe par tout le télescope, est le foyer image global F'.
S2A1 = S2S1 + S1A1 = d − R1/2 = −1,98 m (A1 est un objet virtuel pour M2). M2 convexe tourné vers M1 : S2C2 = −R2. Conjugaison : 1/S2A2 = −2/R2 − 1/(d − R1/2), d'où
S2A2 = R2(R1 − 2d) / [2(R2 − R1 + 2d)] = 4,56×3,96/(2×0,60) ≈ 15,05 m.
A2 est donc réelle, derrière M1 (S1A2 = 15,05 − 12,4 ≈ 2,65 m) : la lumière sort par le trou du primaire. - 1.3.2 Construction : B1 est dans le plan focal de M1 (rayon passant par C1), puis B1 (objet virtuel) est imagé par M2 en B2 à l'aide du rayon passant par C2 et du rayon passant par S2 (symétrique par rapport à l'axe) ; A1 = F1 et A2 = F'.
- 1.3.3 A1B1 = −R1α/2 (résultat de 1.2.2.2) et A2B2 = γ·A1B1 = −γR1α/2, avec γ = −S2A2/S2A1.
- 1.3.4 f = A2B2/α, donc |f| = γR1/2 = γ|f1|. Le signe algébrique dépend de l'orientation adoptée pour α (avec α > 0 pour B au-dessus de l'axe et l'orientation de la figure, on obtient −γR1/2) ; on retient pour la lentille équivalente la focale positive γR1/2.
- 1.3.5 Applications numériques : S2F' ≈ 15,05 m (soit S1F' ≈ 2,65 m derrière le primaire) ; γ = 15,05/1,98 ≈ 7,60 ; f ≈ 7,60 × 14,38 ≈ 109 m ; |A2B2| = fα ≈ 109,3 × 9,70×10−6 ≈ 1,06 mm.
Conclusion : on obtient une focale ~7,6 fois plus grande (image 7,6 fois plus grande) avec un encombrement d'environ 15 m seulement, au lieu d'un tube de ~110 m pour un miroir unique de même focale. - 1.3.6 Même critère : fα ≥ h, soit α'min = h/f = 9×10−6/109,3 ≈ 8,2×10−8 rad ≈ 0,017″, soit αmin/γ : la résolution limitée par le capteur est améliorée d'un facteur γ ≈ 7,6.
Partie 2 – Diffraction par une fente
- 2.1 Montage : source ponctuelle monochromatique (laser, ou lampe + trou source placé au foyer objet d'une lentille L1) → faisceau parallèle en incidence normale → fente (a × b) → lentille convergente L2 → écran dans le plan focal image de L2. (Avec un laser seul, on peut placer l'écran très loin : D ≫ a²/λ.)
- 2.2 Principe d'Huygens-Fresnel : chaque élément de surface dS de l'ouverture atteint par l'onde se comporte comme une source secondaire ponctuelle émettant une onde sphérique d'amplitude proportionnelle à l'amplitude incidente en ce point et à dS ; ces sources secondaires sont cohérentes et l'amplitude en M est la somme (intégrale) de leurs contributions, avec leurs déphasages.
- 2.3 Diffraction de Fraunhofer : source et observation à l'infini (ou dans les plans focaux de lentilles) ; les ondes diffractées sont planes, l'amplitude ne dépend que de la direction de diffraction, et chaque point du plan focal correspond à une direction. Elle s'obtient en calculant les déphasages liés aux différences de marche entre points de la pupille.
- 2.4 « Grande dimension » : b ≫ a (et b ≫ λ). La diffraction selon OY est alors négligeable (ouverture angulaire ~λ/b ≈ 0) : la lumière n'est étalée que selon Ox, le problème devient unidimensionnel et l'intégrale selon Y ne donne qu'une constante.
- 2.5.1 Onde incidente de direction ui ≈ (−α, 1), onde diffractée vers M(x) de direction ud ≈ (x/f, 1). δ(M) = n(ui − ud)·OP, soit δ(M) = −nX(α + x/f) (le signe dépend de l'orientation de α ; seul le module compte pour l'intensité).
- 2.5.2 A(M) = K∫−a/2a/2 exp[j2πnX(α + x/f)/λ0] dX, d'où A(M) = K·a·sinc[(πna/λ0)(α + x/f)].
- 2.6 I = kAA* = k|K|²a² sinc²[(πna/λ0)(α + x/f)] : I0 = k|K|²a² (proportionnelle au carré de la largeur de la fente).
- 2.7 Figure : taches alignées sur l'axe Ox (perpendiculaire à la grande dimension de la fente), centrée en x0 = −fα ; tache centrale de largeur 2λ0f/(na), taches secondaires deux fois moins larges et beaucoup moins lumineuses.
- 2.8 Courbe en sinc² : maximum principal I0 en x0 = −fα, zéros en x = −fα + pλ0f/(na) (p entier non nul), maxima secondaires ≈ 4,7 % de I0. Le maximum est à la position de l'image géométrique de B : l'image d'un point est une tache de demi-largeur λ0f/(na), d'autant plus fine que l'ouverture a est grande.
Partie 3 – Phénomènes limitant le pouvoir de résolution
- 3.1 La pupille est circulaire : par symétrie de révolution, la figure est invariante par rotation autour de l'axe : tache d'Airy centrale entourée d'anneaux (analogue en 2D de la fente, avec le facteur 1,22 au lieu de 1).
- 3.2.1 Les centres des deux taches sont séparés de fα. Rayleigh : fα ≥ R0 = 1,22λ0f/(nD1), soit α ≥ 1,22λ0/(nD1).
- 3.2.2 α'min = 1,22λ0/(nD1). L'énoncé ne donne pas λ0 : pour λ0 = 0,55 µm (hypothèse, milieu du visible) et n ≈ 1, α'min ≈ 8,2×10−8 rad ≈ 0,017″, du même ordre que la limite du capteur trouvée en 1.3.6.
- 3.3 Limitations d'un télescope terrestre : turbulence atmosphérique (seeing, ~1″), absorption et diffusion par l'atmosphère, pollution lumineuse, aberrations et défauts de polissage, déformations mécaniques et thermiques, obstruction centrale par M2, vibrations.
- 3.4 Remèdes : optique adaptative (analyseur de front d'onde + miroir déformable), optique active, sites en altitude et secs, télescopes spatiaux, interférométrie (combinaison des télescopes du VLT), imagerie des tavelures.
- 3.5 On construit quand même de grands télescopes pour collecter plus de lumière (flux ∝ D1²) et observer des objets faibles, et parce qu'avec l'optique adaptative ou l'interférométrie on se rapproche de la résolution théorique 1,22λ/D.
Partie 4 – Turbulence atmosphérique et front d'onde
- 4.1 n est sans dimension, donc Cρ aussi : C s'exprime en m³·kg−1 (inverse d'une masse volumique).
- 4.2 Gaz parfait : ρ = PMa/(RT), d'où n = 1 + CMaP/(RT).
- 4.3 C = (n − 1)RT/(MaP) = 2,9×10−4 × 8,314 × 293/(0,029 × 105) ≈ 2,44×10−4 m³·kg−1 (ρ ≈ 1,19 kg·m−3).
- 4.4 Différentielle logarithmique : δn = (CMa/R)(δP/T − PδT/T²) = (n − 1)(δP/P − δT/T).
- 4.5 Une surface d'onde est le lieu des points où la phase de l'onde (ou le chemin optique depuis la source) a la même valeur à un instant donné.
- 4.6 Théorème de Malus : dans un milieu isotrope, après un nombre quelconque de réflexions et réfractions, les rayons lumineux restent orthogonaux aux surfaces d'onde ; deux surfaces d'onde découpent sur tous les rayons des chemins optiques égaux.
- 4.7.1 Retard de phase φ = 2πL/λ0 (L chemin optique depuis O). Pour 0 < z < e : φ = 2π(n + δn)z/λ0 si |x| < r0/2, φ = 2πnz/λ0 si |x| > r0/2. Pour z > e : φ = 2π(nz + δn·e)/λ0 à l'intérieur (|x| < r0/2) et 2πnz/λ0 à l'extérieur.
- 4.7.2 φ = constante = 2πnz0/λ0 : pour z > e, z = z0 hors de la zone et z = z0 − eδn/n dans la zone |x| < r0/2 ; dans la zone 0 < z < e, z = nz0/(n + δn) pour |x| < r0/2.
- 4.7.3 Pour z < 0 : surface d'onde plane (droite parallèle à Ox). Pour z > e : plan présentant un décrochement en retrait de profondeur eδn/n sur la largeur r0 (la partie centrale est en retard).
- 4.7.4 La turbulence déforme le front d'onde (rayons, orthogonaux aux surfaces d'onde, déviés au bord de la zone) : l'image d'une étoile s'élargit et s'agite (scintillement). Correction : optique adaptative (mesure du front d'onde, par exemple Shack-Hartmann, et correction en temps réel par un miroir déformable), ou observation depuis l'espace.
Problème II – Électronique : filtre de Rauch
Montage (figure 1) : R1 entre ve et A, R2 entre A et la masse, un condensateur C entre A et vs, un condensateur C entre A et B, R3 entre B et vs ; B relié à l'entrée −, entrée + à la masse.
- 1.1 Il y a une rétroaction sur l'entrée inverseuse (par R3 et C) et aucune sur l'entrée + : le montage est stable, l'AO fonctionne en régime linéaire, V− = V+ = 0, donc vB = 0.
- 1.2 BF : condensateurs ouverts ; aucun courant dans R3 (i− = 0), donc vs = vB = 0. HF : condensateurs en court-circuit ; A est relié à B (masse virtuelle) et à la sortie, donc vs = 0. Filtre passe-bande.
- 1.3 Millman en A : vA(1/R1 + 1/R2 + 2jCω) = ve/R1 + jCω vs. Millman en B (vB = 0) : jCω vA + vs/R3 = 0, soit vA = −vs/(jR3Cω).
- 1.4 En éliminant vA (avec 1/R1 + 1/R2 = 1/R'3) : H = −1/{R1[2/R3 + jCω + 1/(jR3R'3Cω)]} = (−R3/2R1)/[1 + jR3Cω/2 + 1/(2jR'3Cω)]. Par identification (Qx = R3Cω/2, Q/x = 1/(2R'3Cω)) :
H0 = −R3/(2R1) ; ω0 = 1/(C√(R3R'3)) ; Q = ½√(R3/R'3). - 1.5 Pour ω ≪ ω0 : H ≈ jH0x/Q = −jR3R'3Cω/R1 : dérivateur, vs = −(R3R'3C/R1) dve/dt. Pour ω ≫ ω0 : H ≈ H0/(jQx) = −1/(jR1Cω) : intégrateur, vs = −(1/(R1C))∫vedt.
- 1.6 Coupure à −3 dB : |H| = |H|max/√2 ⇔ Q(x − 1/x) = ±1, d'où ω1,2 = ω0[√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)] et Δω = ω2 − ω1 = ω0/Q.
- 1.7 Δf = f0/Q = 3000/20 = 150 Hz (f1 ≈ 2926 Hz, f2 ≈ 3076 Hz).
- 1.8.1 H(ω) = |H0|/√(1 + Q²(x − 1/x)²) ; comme H0 < 0 : φ(ω) = π − arctan[Q(x − 1/x)], qui varie de 3π/2 (BF) à π/2 (HF) et vaut π à la résonance.
- 1.8.2 Le dénominateur est minimal pour x = 1 : ω'0 = ω0, Hmax = |H0| = 1. Allure : courbe en cloche, nulle en 0 et à l'infini, d'autant plus pointue que Q est grand (Q = 20 : très sélectif).
Problème II – 2e partie : analyse de Fourier
- 2.1 f = f0 = 3 kHz : H = H0 = −1, donc vs(t) = −5 sin(2πft) V = 5 sin(2πft + π) V.
- 2.3 Le créneau (0, E) a pour valeur moyenne E/2 ; ve − E/2 est une fonction impaire (avec l'origine choisie) et vérifie f(t + T/2) = −f(t) : seuls des termes en sinus d'harmoniques impairs subsistent, d'amplitudes décroissant en 1/(2p + 1) (discontinuités).
- 2.4 Spectre de raies : raie continue E/2 = 2,5 V en f = 0, puis raies en f, 3f, 5f… d'amplitudes 2E/π ≈ 3,18 V, 1,06 V, 0,64 V, 0,45 V…
- 2.5 Composante continue : H(0) = 0, supprimée. Fondamental (x = 1) : gain 1, déphasage π. Harmonique 3 (x = 3) : Q(3 − 1/3) ≈ 53,3, gain ≈ 1/53,3 ≈ 0,019 → amplitude ≈ 0,02 V (négligeable ; les suivants encore plus). Donc vs(t) ≈ −(2E/π) sin(2πft) ≈ −3,18 sin(2πft) V : le filtre extrait le fondamental.
- 2.6 Le filtre, très sélectif, joue le rôle d'analyseur de spectre : on fait coïncider successivement chaque harmonique avec f0 (en réglant f = f0/(2p + 1), ou en faisant varier f0 par C ou R3) et on mesure l'amplitude de sortie, égale à |H0| fois l'amplitude de l'harmonique sélectionné.
Problème II – 3e partie : étude pratique
- 3.1 GBF branché sur l'entrée, alimentation symétrique ±15 V de l'AO, oscilloscope bicourbe : voie 1 sur ve, voie 2 sur vs, masses communes (GBF, oscilloscope, alimentation).
- 3.2 Balayer la fréquence du GBF à amplitude constante, mesurer Vs/Ve et le déphasage (décalage temporel ou ellipse en mode XY), tracer le diagramme de Bode, repérer f0 (maximum, déphasage π) et les fréquences à −3 dB.
- 3.3 L'AO sature : vs est écrêtée à ±15 V (sinusoïde tronquée en plateaux), le régime n'est plus linéaire.
- 3.4 vs = Vs sin(ωt) : |dvs/dt|max = 2πfVs < σ, donc f1 = σ/(2πVs) ; pour Vs = 5 V : f1 = 106/(2π × 5) ≈ 32 kHz. Remarque : compte tenu de la sélectivité du filtre, la pente maximale réelle est obtenue à f0 (2π × 3000 × 5 ≈ 0,094 V/µs < σ), donc pas de distorsion de vitesse de balayage avec E = 5 V.
💡 À retenir pour le CNC (Physique I, MP) : relations de conjugaison des miroirs avec distances algébriques et association de deux miroirs (Cassegrain, focale équivalente γ·f1) ; diffraction de Fraunhofer (fente : sinc², pupille circulaire : 1,22λ/D) et critère de Rayleigh ; loi de Gladstone et gaz parfait ; théorème de Malus. En électronique : Millman, forme canonique du passe-bande H0/[1 + jQ(x − 1/x)], bande passante ω0/Q, filtrage d'un créneau par ses harmoniques, saturation et slew rate. Entraînez-vous à rédiger vite les questions de cours (1.1, 2.2–2.4, 3.3–3.5, 4.5–4.6) : ce sont des points faciles.
Questions fréquentes sur ce sujet
Ce sujet est-il téléchargeable gratuitement ?
Oui. La totalité du sujet (12 pages) est consultable et téléchargeable gratuitement, sans inscription ni compte.
Le corrigé est-il inclus ?
Oui. Un corrigé proposé figure sur cette page, sous les pages du sujet : méthode de réponse et éléments attendus, rédigés par l'équipe Wadifa Info.
Quel organisme et quel grade concerne ce sujet ?
Ce sujet provient d'un concours organisé par Concours National Commun (CNC) — CPGE. Il concerne le grade : Concours d'accès aux écoles d'ingénieurs.
De quelle session s'agit-il et dans quelle langue ?
Session : 2009. Les questions sont en français.
Où trouver d'autres sujets du même concours ?
Tous nos sujets de la même famille sont regroupés sur la page Accès aux écoles et instituts supérieurs : /fr/modeles-concours/ecoles-instituts-superieurs. Les sujets y sont classés par session, du plus récent au plus ancien.
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