Modèle de concours : CNC 2002 Physique I (MP) — Concours National Commun
En bref
Ce document est une ancienne épreuve écrite du concours de Concours d'accès aux écoles d'ingénieurs organisé par Concours National Commun (CNC) — CPGE (2002), publiée sur Wadifa Info en consultation et téléchargement PDF gratuits, avec une correction proposée.
- Organisme
- Concours National Commun (CNC) — CPGE
- Grade
- Concours d'accès aux écoles d'ingénieurs
- Spécialité
- Physique I
- Année
- 2002
- Pages
- 6
- Langue des questions
- français
- Correction
- correction proposée disponible sur cette page
📝 Texte des questions (extrait automatiquement des pages scannées)
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— صفحة 1 — ROYAUME DU MAROC Ministère de l'Education Nationale Ministère de l'Enseignement Enseignement Secondaire et Technique Supérieur, de la Formation des Cadres et de la Recherche Scientifique Concours National Commun d’Admission aux Grandes Écoles d’Ingénieurs Session 2002 ÉPREUVE DE PHYSIQUE I Durée 4 heures Concours MP Cette épreuve comporte 5 pages au format A4, en plus de cette page de garde L'usage de la calculatrice est interdit نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو wadifa-info.com — صفحة 2 — Concours National Commun - Session 2002 — MP L’énoncé de cette épreuve comporte 5 pages. L'usage de la calculatrice est interdit . On veillera à une présentation claire et soignée des copies. Il convient en particulier de rappeler avec précision les références |des questions abordées. Satellites artificiels Ce problème propose l’étude de quelques propriétés des satellites artificiels terrestres. Dans le cadre de cette étude on considère un modèle simple se basant sur les hypothèses suivantes : - le référentiel d'étude est le référentiel géocentrique Ra supposé galiléen ; la Terre de masse My est supposée sphérique de centre T et de rayon R7 ; le satellite artificiel sera assimilé à un point matériel S de masse m : — sauf mention explicite du contraire, le satellite est supposé soumis à la seule action de la Terre caractérisée par le champ de gravitation terrestre dont l'intensité à une distance 7 du centre T de la Terre est notée G(r) ; 1** partie Étude générale 1.1. En quelle année, le Maroc a-t-il lancé son premier satellite artificiel ? Quel nom porte-t-il ? À quel usage principal est-il destiné ? 1.2. Exprimer l'intensité du champ de pesanteur terrestre G(r) à la distance 7 du centre T de la Terre en fonction de r, Rr et وو = G(Ry) qui désigne l'intensité du champ de pesanteur à la surface de la Terre. 1.3. La mise sur orbite d'un satellite artificiel se fait à partir d’une fusée en un point Sy situé à une distance ro du centre T de la Terre, ro › Ry. La vitesse de lancement du satellite par rapport à Rg est Vo .On posera dans toute la suite et B0 = (Fée. Vo) 0 00 = 0ه 2011 1.3.1. Montrer que, après sa mise sur orbite, le satellite parcourt une trajectoire plane. Caractériser complètement le plan de la trajectoire. 1.3.2. Dans toute la suite, on repérera la position S du satellite dans le plan de sa trajectoire par : + la distance 7 telle que 7 TS =ri p: + l'angle 0 = (TS ; T3) orienté de FE, vers Ti. On posera aussi 07 5 EC et d. = d, x de (À r. To, À: ) constitue donc une base orthonormée directe. Faire un schéma représentatif dans le plan de la trajectoire du satellite montrant T, So, 5, Po =TSo, 7, Vo. 0 et F0. 1.3.3. Montrer que le moment cinétique Ÿ du satellite en T peut s’écrire @ = o 7. et donner l’expression de ه en fonction de m, ro, vo et F0. Épreuve de Physique I 1/5 Tournez la page S.V.P. نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو wadifa-info.com — صفحة 3 — Concours National Commun - Session 2002 - MP 1.4. On définit le vecteur de HAMILTON H du satellite artificiel par 0? r où x désigne le produit vectoriel et Æ une constante réelle. Montrer que le vecteur 72 reste constant au cours du mouvement à condition de donner كلة une expression particulière. Dans toute la suite du problème, K a l'expression déterminée à la question 1.4. H est alors une constante du mouvement appelée intégrale première de LANDAU. 1.5. On appelle hodographe H du mouvement le lieu des points À tels que 04 = 7, O étant un point quelconque de l’espace. Pour tracer H , on porte donc le vecteur Va partir d’un point 0. L'hodographe du mouvement est le lieu des points décrit par l'extrémité du vecteur vitesse 7 au cours du temps. 1.5.1. D’après les questions précédentes, exprimer 04 et en déduire la forme de l’hodographe dans le cas du mouvement d’une particule dans un champ central de force en 1/7? ? 1.5.2. Que peut-on dire à propos des directions permises pour le vecteur vitesse 7 selon que le point O est à l’extérieur ou à l’intérieur de H ? 1.5.3. À quel type de trajectoire correspond chacun des cas cités à la question 1.5.2. ? On se rappellera pour cela des résultats de l’étude générale du mouvement d’une particule dans un champ central de force en 1/2 1.5.4. Donner la direction du vecteur de HAMILTON. Que vaut H dans le cas d’une trajectoire circulaire ? 1.6. On introduit le vecteur @ défini par 7=2Rx7 1.6.1. Montrer que le vecteur Ÿ est une constante du mouvement. Dans quel plan se situe 73 1.6.2. En exprimant le produit scalaire 7 ٠ satellite peut se mettre sous la forme ©, montrer que l’équation polaire de la trajectoire du 5 où p, e et و0 sont des constantes, م › 0 et e › 0. Exprimer م et e en fonction de o, K et @. Que représente 0 ? 1.6.3. Exprimer م en fonction de ao, ry et / et montrer que e est donnée par e? = 1 +ao(ao - 2) sin” 80 1.7. Onse propose de discuter la nature de la trajectoire du satellite en fonction des conditions de sa mise sur orbite. 1.7.1. Tracer les courbes représentatives de e en fonction de مه pour les valeurs suivantes de 80 : 0, 1.7.2. Discuter la nature de la trajectoire en fonction de la valeur de مه et en déduire la valeur de la vitesse de libération vz à l'altitude 20 = ro — 11 1.7.3. À quelles conditions sur مم et 80 la trajectoire est-elle circulaire ? En déduire la vitesse du satellite sur son orbite circulaire de rayon R. 1.8. On considère le cas : ag = 1 et 0 › % › T/2. Épreuve de Physique I 2/5 › نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو wadifa-info.com — صفحة 4 — Concours National Commun - Session 2002 — MP 1.8.1. Quelle est la nature de la trajectoire ? 1.8.2. Déterminer و0 en fonction de #0. 1.8.3. Montrer que Sy est un sommet du petit axe de la trajectoire du satellite et positionner celle-ci en faisant un schéma clair et soigné. 2ème partie Satellites circulaires On considère le cas d’une trajectoire circulaire de rayon R. 2.1. Satellites en orbite basse 2.1.1. En appliquant le théorème de la résultante cinétique au satellite, retrouver directement l’expres- sion de sa vitesse v sur son orbite circulaire de rayon R. 2.1.2. En déduire la période de révolution T du mouvement du satellite. Retrouve-t-on la troisième loi de KEPLER ? 2.1.3. ا a-t-il une restriction concernant le plan de la trajectoire ainsi que le sens de rotation du satellite ? Pourquoi certains de ces satellites sont ils dits « satellites polaires » ? 2.2. Satellites géostationnaires Un satellite géostationnaire est un satellite qui apparaît fixe à un observateur terrestre. 2.2.1. Quel est l’intérêt de tels satellites ? Citer un exemple d'application. 2.2.2. Exprimer l’altitude و2 à laquelle il faut placer le satellite pour qu’il soit géostationnaire en fonction de go, RT et Ty qui désigne la période de rotation de la Terre par rapport au référentiel géocentrique. 2.2.3. Calculer numériquement و2 en prenant 7? = 10,90 = 10 m.s7?, RT = 6x 109 met Ty = 9x 10* s. Pourquoi Ty n’est-elle pas rigoureusement égale à la durée d’un jour ? 2.2.4. Préciser le plan de la trajectoire ainsi que le sens de rotation du satellite. 2.3. Transfert d’orbite On veut transférer un satellite artificiel de masse m d’une orbite circulaire basse (Cp) de rayon Rp à une orbite géostationnaire (Ca) de rayon Ra. Pour cela on emprunte une orbite de transfert elliptique appelée ellipse de HOHMANN. Une telle ellipse (Ey;) est tangente aux deux trajectoires (Cp) et (Ca) ; son périgée P est sur l’orbite basse alors que son apogée À est sur l'orbite géostationnaire. On appelle Av, et Av» les variations de vitesse qu’il faut communiquer au satellite pour le faire passer respectivement de (Cp) à (En) et de (En) à 2.3.1. Quelle est la particularité des plans des trois trajectoires ? Représenter graphiquement Cp, Ca et E; 1 2.3.2. En exprimant la conservation de l'énergie et du moment cinétique sur l'orbite de transfert, exprimer les vitesses du satellite va à l’apogée et vp au périgée sur l’orbite de transfert en fonction de go, Ry, Rp et Ra. 2.3.3. En déduire Av, et Av». Commenter. 2.3.4. Quelle est la durée minimale At de la phase de transfert sur l’ellipse de HOHMANN ? 2.3.5. Déterminer l’excentricité ex de l’ellipse de HOHMANN. Épreuve de Physique I 37/5 Tournez la page S.V.P. نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو wadifa-info.com — صفحة 5 — Concours National Commun - Session 2002 - MP 35“ partie Influence de l’atmosphère terrestre Dans cette partie, on se propose d’étudier l'influence de l’atmosphère terrestre sur la trajectoire d’un satellite artificiel en orbite circulaire basse. Pour cela on commence par développer un modèle de force de frottement avant de l’appliquer pour étudier le freinage du satellite par l’atmosphère. 3.1. Modèle de force de frottement On considère un satellite (S) animé d’une vitesse T7 sur une orbite circulaire basse à une altitude ب › Rx. Le frottement subit par le satellite est dû aux chocs avec les molécules de l’atmosphère supposées identiques. Dans le cadre du modèle utilisé, on supposera ces chocs parfaitement mous et on négligera la vitesse initiale des particules de l’atmosphère. 3.1.1. Montrer qu’au cours du choc entre le satellite et une molécule de masse “د de l'atmosphère, la quantité de mouvement du satellite subit une variation AD = Fans — D'avant donnée au 1°" ordre par AT ل اديه 3.1.2. Montrer que tout se passe comme si le satellite était soumis de la part de l'atmosphère à une force de frottement 7 donnée par où v = || ||. Pour cela on fera un bilan de quantité de mouvement entre les instants t et 2 + dt en comptant le nombre de chocs subis par le satellite que l’on pourra considérer comme une sphère de rayon a. Exprimer k(z) en fonction D = a? et de la masse volumique (قام de l’atmosphère à l'altitude z. Que représente N ? Le résultat obtenu dépend-il en réalité de la forme du satellite ? 3.1.3. On suppose qu’à une altitude z › Ry, la masse volumique de l'atmosphère est donnée par la Établir cette loi et exprimer les constantes مم et H dans le cadre du modèle d’atmosphère isotherme constituée d’un gaz parfait. Que représente م ? 3.2. Freinage du satellite Sous l'effet du frottement atmosphérique, le satellite de masse m perd de l'altitude. On suppose que le module de la force de frottement est petit devant celui de la force d'attraction terrestre de sorte que l’on puisse assimiler la trajectoire à un cercle de rayon R lentement décroissant. 3.2.1. En exprimant que la trajectoire reste approximativement circulaire entre les instants t et 4 + dt, déterminer une relation approchée entre la variation d’altitude عل et la variation de vitesse dv du satellite. 3.2.2. En utilisant des arguments énergétiques, expliquer qualitativement pourquoi la vitesse du satel- lite augmente au cours de sa chute. 3.2.3. Exprimer la variation dEy de l'énergie mécanique du satellite entre les instants + et t + dt en fonction de m, go, RT, R et dz. 3.2.4. Exprimer de même le travail dW des forces de frottement en fonction de E, j, v et dt. 3.2.5. En déduire que la variation d'altitude عل pendant l’intervalle de temps dt vérifie une équation différentielle du type régit: 17 où B est une constante réelle positive que l’on exprimera en fonction de E et m. Épreuve de Physique I 4/5 جب نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو wadifa-info.com — صفحة 6 — Concours National Commun - Session 2002-61 3.2.6. En utilisant l’approximation de l'orbite basse, = › Rp, donner une loi approchée de variation de l'altitude z(t) en fonction du temps en faisant apparaître la quantité 22 poRr VgoRT dont on précisera la dimension. 3.2.7. Application numérique : Calculer 7 puis la durée de chute d’un satellite artificiel depuis l’altitude h = 270 km. On prendra وو = 10 m.s7?,m = 10° kg, po = 1,5 kg.m73, H = 9 km, Ry = 6 x 109 m et D = 10 .ثم On donne exp 30 = 1013. Commenter le résultat obtenu. 3.2.8. Peut-on réellement négliger la vitesse d’agitation thermique vr, des particules de l’atmosphère devant la vitesse du satellite ? On prendra vrp = 0,5 فط FIN DE L’ÉPREUVE Épreuve de Physique I 5/5 FIN نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو wadifa-info.com
✅ Correction proposée
Il s'agit d'une correction proposée, rédigée par l'équipe wadifa-info pour vous aider à comprendre la méthode — ce n'est pas un corrigé officiel de l'administration organisatrice.
Ce sujet est l'épreuve de Physique I du Concours National Commun (CNC) 2002, filière MP, commun aux grandes écoles d'ingénieurs marocaines (CPGE). Il dure 4 heures et la calculatrice est interdite. C'est un problème de mécanique en trois parties sur les satellites artificiels : étude générale du mouvement képlérien (vecteur de Hamilton, hodographe, vecteur excentricité), satellites circulaires (orbite basse, géostationnaire, transfert de Hohmann), puis freinage par l'atmosphère. Voici une correction méthodologique proposée.
💡 Avant de commencer : tout le problème repose sur deux constantes du mouvement : le moment cinétique σ et le vecteur de Hamilton H. Posez tout de suite K/m = m g0RT2 (soit K = G MT m2) et gardez la relation θ' = σ/(m r2). Les parties 2 et 3 sont très classiques et indépendantes de la partie 1 : ne les sacrifiez pas si le calcul vectoriel de 1.4 à 1.6 vous bloque.
1re partie : étude générale
1.1. Premier satellite marocain
Le premier satellite marocain est Maroc-Tubsat (surnommé Zarqa' Al Yamama), lancé en décembre 2001 depuis Baïkonour. Il a été réalisé en coopération avec l'Université technique de Berlin. Sa mission principale était l'observation de la Terre (imagerie, télédétection), avec des expériences de télécommunication. Vérifiez ce point de culture dans une source officielle si vous voulez citer davantage de détails.
1.2. Champ de gravitation
Par le théorème de Gauss gravitationnel (Terre à symétrie sphérique), G(r) = G MT/r2. Avec g0 = G MT/RT2 : G(r) = g0 RT2/r2 (pour r ≥ RT).
1.3.1. Mouvement plan
La force est centrale (dirigée vers T), donc son moment en T est nul. Par le théorème du moment cinétique, σ = TS × m v est constant. Comme r ⊥ σ à chaque instant, S reste dans le plan passant par T et orthogonal à σ. Le plan de la trajectoire est le plan passant par T et contenant r0 = TS0 et v0 (si v0 n'est pas colinéaire à TS0). Si β0 = 0 ou π, le mouvement est rectiligne suivant la droite (TS0).
1.3.2. Schéma
Tracez T au centre, S0 à la distance r0 (θ = 0 sur l'axe TS0), v0 en S0 faisant l'angle β0 avec TS0, puis un point S quelconque repéré par r et θ, avec ur, uθ (rotation de +π/2) et uz sortant du plan.
1.3.3. Moment cinétique
σ = m r ur × (r' ur + r θ' uθ) = m r2 θ' uz. Il est constant ; on l'évalue en S0 : σ = m r0 v0 sin β0, et σ = m r2 θ'.
1.4. Vecteur de Hamilton
σ × (r/r) = σ uz × ur = σ uθ, donc H = m v − (K/σ) uθ.
dH/dt = m a − (K/σ) duθ/dt = −(m g0RT2/r2) ur + (K/σ) θ' ur. Avec θ' = σ/(m r2) : dH/dt = (K/m − m g0RT2) ur/r2.
H est constant si et seulement si K = m2 g0 RT2 = G MT m2.
1.5.1. Hodographe
OA = v = H/m + (K/(m σ)) uθ. Le point A décrit un cercle de centre C (avec OC = H/m, constant) et de rayon K/(mσ) = m g0RT2/σ. L'hodographe est un cercle (ou un arc de cercle) situé dans un plan parallèle au plan de l'orbite.
1.5.2. Directions permises
- O intérieur au cercle (|H| < K/σ) : v peut prendre toutes les directions du plan.
- O extérieur (|H| > K/σ) : v reste compris dans le secteur limité par les deux tangentes au cercle issues de O. Seul l'arc du cercle intérieur à ce secteur est parcouru.
1.5.3. Nature des trajectoires
On verra en 1.6 que e = σ|H|/K. O intérieur donne e < 1 : ellipse (état lié, le vecteur vitesse fait un tour complet). O extérieur donne e > 1 : hyperbole (les directions limites sont celles des asymptotes). O sur le cercle donne e = 1 : parabole (v → 0 à l'infini).
1.5.4. Direction de H, cas circulaire
Au périgée (θ = θ0), v = vP uθ, donc H = (m vP − K/σ) uθ(θ0). H est dans le plan de l'orbite, perpendiculaire au grand axe (à la ligne des apsides). Pour une orbite circulaire, m v2/r = K/(m r2) donne K/σ = m v, donc H = 0.
1.6.1. Vecteur excentricité
e = (1/K) H × σ est un produit de constantes, donc e est constant. Comme e ⊥ σ, e est dans le plan de la trajectoire (c'est le vecteur de Runge-Lenz, dirigé vers le périgée).
1.6.2. Équation polaire
r·e = (1/K) σ·(r × H). Or r × H = r × m v − (K/σ2) r × (σ × r)/r = σ − (K/σ2) r σ (car r ⊥ σ). Donc r·e = (σ2 − K r)/K.
Avec r·e = r e cos(θ − θ0), où θ0 est l'angle polaire de e : r (1 + e cos(θ − θ0)) = σ2/K. D'où p = σ2/K et e = |e| = σ|H|/K. θ0 repère la direction du périgée (r est minimal pour θ = θ0).
1.6.3. p et e en fonction des conditions initiales
p = m2r02v02sin2β0/(m2g0RT2), soit p = α0 r0 sin2β0.
H2 = m2v2 + K2/σ2 − 2(mK/σ) v·uθ, avec v·uθ = σ/(m r). En S0 : H2 = m2v02 + K2/σ2 − 2K/r0.
e2 = σ2H2/K2 = m2v02σ2/K2 + 1 − 2σ2/(K r0) = α02sin2β0 + 1 − 2α0sin2β0, d'où e2 = 1 + α0(α0 − 2) sin2β0.
1.7.1. Courbes e(α0)
- β0 = 0 : e = 1 pour tout α0 (mouvement radial, cas dégénéré).
- β0 = π/2 : e = |α0 − 1|, une courbe en V qui s'annule en α0 = 1.
- Cas général : toutes les courbes passent par e = 1 en α0 = 0 et α0 = 2. Leur minimum est en α0 = 1 avec emin = |cos β0| : √3/2 ≈ 0,87 (π/6), √2/2 ≈ 0,71 (π/4), 1/2 (π/3), 0 (π/2). Pour α0 grand, e ≈ α0 sin β0.
1.7.2. Nature de la trajectoire, vitesse de libération
Pour sin β0 ≠ 0 : 0 < α0 < 2 donne une ellipse, α0 = 2 une parabole, α0 > 2 une hyperbole, quel que soit β0. C'est cohérent avec l'énergie E = (K/(m r0))(α0/2 − 1). La libération correspond à α0 = 2 : vℓ = RT √(2g0/(RT + z0)).
1.7.3. Orbite circulaire
e = 0 impose α0 = 1 et sin2β0 = 1 : β0 = π/2 (vitesse orthoradiale) et v02 = g0RT2/r0. Sur un cercle de rayon R : v = RT √(g0/R).
1.8. Cas α0 = 1, 0 < β0 < π/2
- 1.8.1. e2 = 1 − sin2β0, donc e = cos β0 < 1 : ellipse.
- 1.8.2. En θ = 0, r = r0 et p = r0sin2β0, donc 1 + cos β0 cos θ0 = sin2β0, soit cos θ0 = −cos β0. Pour lever l'ambiguïté de signe : en S0, r' = v0cos β0 > 0 et θ' > 0, donc dr/dθ > 0. Or dr/dθ ∝ sin(θ − θ0), d'où sin(−θ0) > 0. Résultat : θ0 = β0 − π (modulo 2π).
- 1.8.3. Le demi-grand axe vaut a = p/(1 − e2) = r0sin2β0/sin2β0 = r0. Or les sommets du petit axe sont les seuls points de l'ellipse situés à la distance a du foyer. S0 est donc un sommet du petit axe. Pour le schéma : le grand axe fait l'angle π − β0 avec TS0 (le périgée est « derrière » S0). Le centre C de l'ellipse est à la distance c = a e = r0cos β0 de T. La vitesse v0 en S0 est parallèle au grand axe.
2e partie : satellites circulaires
2.1. Orbite basse
- 2.1.1. Le théorème de la résultante cinétique en projection sur −ur donne m v2/R = m g0RT2/R2 (et le mouvement est uniforme) : v = RT √(g0/R).
- 2.1.2. T = 2πR/v, donc T = 2π R3/2/(RT√g0) et T2/R3 = 4π2/(g0RT2) = 4π2/(G MT). C'est bien la 3e loi de Kepler.
- 2.1.3. Seule contrainte : le plan de l'orbite passe par T. Toute inclinaison et les deux sens de rotation sont possibles. Les satellites polaires ont un plan d'orbite contenant l'axe des pôles et survolent les pôles. Comme la Terre tourne sous eux, ils balayent toute la surface du globe, ce qui sert à l'observation et à la météorologie.
2.2. Satellites géostationnaires
- 2.2.1. Ils restent fixes au-dessus d'un point de l'équateur. On peut donc les viser avec des antennes fixes, et ils couvrent en permanence la même zone. Exemples : télécommunications, diffusion TV par satellite, météorologie (type Meteosat).
- 2.2.2. La période doit valoir T0 : (RT + zG)3 = g0RT2T02/(4π2), d'où zG = (g0RT2T02/(4π2))1/3 − RT.
- 2.2.3. g0RT2T02/(4π2) ≈ 10 × 36·1012 × 81·108/40 = 7,29·1022 m3. Donc RT + zG ≈ (72,9)1/3·107 ≈ 4,2·107 m, et zG ≈ 3,6·107 m ≈ 36 000 km. T0 est le jour sidéral (≈ 23 h 56 min), c'est-à-dire la rotation par rapport aux étoiles. Le jour solaire de 24 h est plus long d'environ 4 min, car la Terre avance d'environ 1° par jour sur son orbite autour du Soleil.
- 2.2.4. Le plan de l'orbite est le plan équatorial : une orbite inclinée ferait osciller le satellite en latitude. Le sens de rotation est celui de la Terre (d'ouest en est).
2.3. Transfert de Hohmann
- 2.3.1. Les trois trajectoires sont coplanaires : ce plan contient T et c'est le plan équatorial, puisque (CG) est géostationnaire et que les impulsions sont tangentielles. Pour le schéma : deux cercles concentriques de centre T, puis l'ellipse de foyer T tangente intérieurement à (CG) en A et extérieurement à (CB) en P, avec A et P diamétralement opposés.
- 2.3.2. Moment cinétique : RBvP = RGvA. Énergie : vP2 − vA2 = 2g0RT2(1/RB − 1/RG). D'où vP = RT √(2g0RG/(RB(RB + RG))) et vA = RT √(2g0RB/(RG(RB + RG))).
- 2.3.3. Δv1 = vP − RT√(g0/RB) = RT√(g0/RB) [√(2RG/(RB+RG)) − 1] > 0 et Δv2 = RT√(g0/RG) [1 − √(2RB/(RB+RG))] > 0. Il faut accélérer deux fois (poussées tangentielles en P puis en A), alors que la vitesse finale sur (CG) est plus faible que sur (CB). C'est le transfert à deux impulsions le plus économique.
- 2.3.4. Le transfert dure une demi-période de l'ellipse, avec a = (RB + RG)/2 : Δt = π ((RB + RG)/2)3/2/(RT√g0). Ordre de grandeur avec RB ≈ RT et RG ≈ 7RT : Δt ≈ (T0/2)(4/7)3/2 ≈ 5 h.
- 2.3.5. RB = a(1 − eH) et RG = a(1 + eH), donc eH = (RG − RB)/(RG + RB) (≈ 0,75 pour RG ≈ 7RB).
3e partie : influence de l'atmosphère
3.1. Modèle de force de frottement
- 3.1.1. Choc mou : la molécule repart avec la vitesse du satellite. La quantité de mouvement du système {satellite + molécule} se conserve : m v = (m + m')v', donc v' ≈ v(1 − m'/m). D'où Δp = m(v' − v) ≈ −m' v au premier ordre en m'/m.
- 3.1.2. Pendant dt, le satellite (section Σ = πa2) balaie un cylindre de volume Σ v dt, qui contient la masse μΣ v dt. La variation de quantité de mouvement vaut donc −μΣ v dt · v, ce qui équivaut à une force F = −μ(z)Σ v v, soit k(z) = μ(z) Σ. Σ est le maître-couple, c'est-à-dire l'aire de la section projetée perpendiculairement à v. Dans ce modèle de choc mou, le résultat ne dépend de la forme qu'à travers Σ. En réalité (chocs partiellement élastiques), un coefficient de traînée dépendant de la forme intervient.
- 3.1.3. On utilise l'équilibre hydrostatique dP/dz = −μ g0 (g ≈ g0 car z ≪ RT) et la loi des gaz parfaits P = μRT/M à T uniforme. On obtient dμ/dz = −(M g0/(RT)) μ, d'où μ = μ0 exp(−z/H) avec H = RT/(M g0) (= kBT/(mmolécule g0)). μ0 est la masse volumique de l'air au sol (μ0 = M P0/(RT)).
3.2. Freinage du satellite
- 3.2.1. Avec v2 = g0RT2/R et R = RT + z, on différencie : 2v dv = −g0RT2dz/R2, d'où dv/v = −dz/(2R). Quand dz < 0, dv > 0.
- 3.2.2. Sur une orbite circulaire, Ep = −2Ec, donc EM = −Ec. Le frottement fait diminuer EM, donc Ec augmente. La perte d'énergie potentielle vaut deux fois le gain d'énergie cinétique, et la moitié de cette perte est dissipée par le frottement.
- 3.2.3. EM = −m g0RT2/(2R), donc dEM = m g0RT2 dz/(2R2).
- 3.2.4. dW = F·v dt = −Σ μ v3 dt.
- 3.2.5. Le théorème de l'énergie mécanique donne dEM = dW. On remplace g0RT2 par v2R : m v2dz/(2R) = −Σμ v3dt, d'où dz/dt = −BμvR avec B = 2Σ/m.
- 3.2.6. Pour z ≪ RT, on prend R ≈ RT et v ≈ √(g0RT). Alors ez/Hdz = −(2Σμ0RT√(g0RT)/m) dt, soit d(ez/H)/dt = −1/τ. Avec z(0) = h : z(t) = H ln(eh/H − t/τ). τ est homogène à un temps : kg·m/(m2·kg·m−3·m·m·s−1) = s.
- 3.2.7. τ = 103 × 9·103/(2 × 10 × 1,5 × 6·106 × √(6·107)). Avec √(6·107) ≈ 7,7·103 : τ ≈ 9·106/1,4·1012, soit τ ≈ 6,5·10−6 s. La chute se termine quand z = 0 : tc = τ(eh/H − 1) ≈ τ e30, puisque h/H = 270/9 = 30. D'où tc ≈ 6,5·107 s ≈ 2 ans. Commentaire : l'essentiel de la durée se passe à haute altitude, puis la chute s'accélère brutalement à la fin (rentrée). Le résultat dépend exponentiellement de h/H. Le modèle isotherme avec H = 9 km sous-estime fortement la densité de la haute atmosphère, plus chaude, donc la durée de vie réelle à 270 km est nettement plus courte. Ce dernier point est qualitatif : ne chiffrez pas sans données.
- 3.2.8. v ≈ √(g0RT) ≈ 7,7 km/s, contre vTh = 0,5 km/s, soit un rapport ≈ 0,065. Les vitesses d'agitation ont des directions aléatoires (moyenne nulle) et la correction est d'ordre (vTh/v)2. L'approximation est donc justifiée.
💡 À retenir pour le CNC : les résultats clés de ce sujet sont G(r) = g0RT2/r2, K = m2g0RT2, p = σ2/K, e2 = 1 + α0(α0 − 2)sin2β0, vℓ = √(2g0RT2/r0), zG ≈ 36 000 km, eH = (RG − RB)/(RG + RB), dz/dt = −(2Σ/m)μvR. À réviser : mouvement à force centrale (Binet, énergie potentielle effective, coniques), vecteur de Runge-Lenz et hodographe, lois de Kepler, énergie d'une orbite circulaire (EM = −Ec, « paradoxe » du satellite qui accélère en freinant), transfert de Hohmann, modèle de l'atmosphère isotherme et bilans de quantité de mouvement sur un système ouvert. Soignez les schémas (1.3.2, 1.8.3, 2.3.1) : ils sont explicitement notés.
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