Modèle de concours : CNC 2000 Physique I (MP) — Concours National Commun

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ROYAUME DU MAROC

Ministère Chargé de l'Enseignement Ministère de l'Enseignement
Secondaire et Technique Supérieur, de la Formation des Cadres
et de la Recherche Scientifique

Concours National Commun
d’Admission aux

Grandes Écoles d’Ingénieurs
Session 2000

ÉPREUVE DE PHYSIQUE I

Durée 4 heures

Concours MP

Cette épreuve comporte 9 pages au format A4, en plus de cette page de garde
L'usage de la calculatrice est interdit

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L’énoncé de cette épreuve comporte 9 pages.
L'usage de la calculatrice est interdit .

On veillera à une présentation claire et soignée des copies. Il convient en particulier de rappeler avec précision les

références | des questions abordées.

Premier problème
Etude de quelques aspects mécaniques d’une roue de voiture

1° partie
Équilibrage d’une roue de voiture

Lorsqu'une roue de voiture possède des défauts de répartition de masse, elle présente alors un défaut
d’équilibrage qui se traduit par des vibrations parasites que nous nous proposons d’étudier.

Une roue parfaite complète de voiture - jante et pneumatique — est modélisée (figure 1) par un cylindre de
section circulaire d’axe O"X, de rayon R, d'épaisseur 2e › R et de masse M. Lorsque la roue est parfaite, la
répartition des masses possède la symétrie cylindrique d'axe O'X. L'utilisation du véhicule sur des routes
difficiles peut déformer la roue et détruire la symétrie cylindrique en changeant la répartition des masses.

Nous modélisons la roue déformée en supposant qu’elle se compose :

— d’une roue parfaite complète R de centre d'inertie 0, d'’axe O'X, de rayon R, d'épaisseur 2e › R et de
masse m = M — Am:

- d’une masse Am supposée ponctuelle, placée en un point À de la périphérie de la roue, sur sa face
extérieure.

bras mobile

bâti fixe

roue complète déformée

Figure 1: Roue complète déformée montée sur l’équilibreur - vue de coupe

Pour étudier la déformation de la roue et les vibrations parasites qu’elle entraîne, on la place sur un

appareil de mesure appelé équilibreur. Ce dispositif se compose d’un bâti fixe et d’un bras mobile. On note

(O, Xo, Yo. Zo) Un repère fixe du référentiel (Ro), du laboratoire, supposé galiléen. On munit ce repère de la
tai = :

base cartésienne (7e, Te ,K 0 habituelle.

On note )0' , X,Y, Z) un repère fixe du référentiel (R) constitué par le bras mobile. Le bras peut seulement

effectuer un mouvement de translation rectiligne de faible amplitude, sans frottement, parallèlement à l’axe

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010 et reste toujours dans le plan (OXoY9) (figure 1).

On note (0", X',Y", Z') un repère fixe du référentiel (R') constitué par la roue complète déformée. La roue
est reliée au bras par une liaison pivot parfaite et effectue un mouvement de rotation d'angle 0 par rapport à
l’axe OX (figure 2). La roue reste toujours dans le plan (OY9 Zo).

Le défaut ponctuel (A,Am) est placé à la périphérie de la roue parfaite complète, sur sa face extérieure.

On négligera la masse et l'influence des parties mobiles de l’équilibreur devant celles de la roue complète.
On pose D › 0 la distance du point 0 au plan (0'Y Z). Le champ de pesanteur 7 est uniforme et dirigé selon
la verticale descendante du lieu.

Les angles seront comptés positivement dans le sens trigonométrique.

roue complète déformée
Figure 2: Roue complète déformée montée sur l’équilibreur - vue de face

1.1. Étude cinétique

On notera Xo(t), Yo(t) et Zo(t) les coordonnées de O' relativement à (O, Xo, Yo, Zo).
On exprimera impérativement les composantes de tous les vecteurs dans la base (7. ; 7 8 Ko) ;
On rappelle l'expression du moment d'inertie ZA, d’un cylindre de révolution homogène de section circulaire
de rayon R, de masse m et d’axe de révolution À x :

x 2
1.1.1. Exprimer les composantes du vecteur position O' À sur la base (7e, 5 1 0 , ‏د‎ fonction de e,
R,etô.
1.1.2. Soit 6 le centre d’inertie de la roue complète déformée. Exprimer les composantes du vecteur

O'G sur la base (7e ; Te ,Kk 0) ,en fonction de m, Am, e, R, et 0.

1.1.3. Déterminer les composantes de * 4, vecteur vitesse du défaut ponctuel (A, Am) par rapport
au référentiel (R) lié au bras mobile.

1.1.4. Exprimer les composantes de #74 (0'), moment cinétique de (A, Am) au point 0 par rapport
au référentiel (R).

1.1.5.  Rappeler la définition du référentiel barycentrique (R*). Quel est le référentiel barycentrique de la
roue parfaite ?

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1.1.6. Énoncer le théorème ‏عل‎ KôNIG relatif au moment cinétique.

1.1.7. Exprimer les composantes de Ron (0'), moment cinétique de la roue complète parfaite au point
O' par rapport au référentiel (R), en fonction de m, R, et 0 = 0/0

1.1.8. D'après les questions précédentes, déterminer les composantes de 770 ) le moment cinétique
de la roue complète déformée au point 0 par rapport au référentiel (R).
1.2. Etude dynamique

On suppose que le bâti exerce sur le bras mobile une réaction 7 de composantes (Rx,., ‏بجا‎ Rz, ) dans la
base 7 Li. Ko)

La roue complète déformée est fixée sur le bras par l'intermédiaire d’une liaison pivot parfaite qui exerce

sur la roue un effort de moment 2 dont les composantes sont données par (Cx,» ‏و‎ za) dans la base
7. T6,R

D'autre part on suppose qu’un dispositif annexe, que l’on n'étudiera pas, exerce sur la roue un couple de

moment * = T(t) 1 9 qui permet de maintenir la vitesse angulaire Ô de la roue constante. On notera w = 0
cette vitesse angulaire ou pulsation constante dans toute la suite du problème.

1.2.1. Le mouvement de translation du bras se faisant sans frottement, que vaut Ry, ?
1.2.2. Rappeler la définition d’une liaison pivot parfaite d’axe O'X. Que vaut Cx, dans ce cas ?
1.2.3. Rappeler l'énoncé du théorème du centre d'inertie.

1.2.4.  Rappeler l'énoncé du théorème du moment cinétique en un point fixe d’un référentiel galiléen
(Ro). Que devient ce théorème si le référentiel n'est pas galiléen ?

1.2.5. Effectuer dans le référentiel (R) le bilan des forces qui s'appliquent sur le système composé de
la roue complète déformée.

1.2.6. Appliquer le théorème du centre d'inertie par rapport au référentiel (R), au système composé
de la roue complète déformée et du bras mobile.

1.2.7. En déduire que Y9(t) obéit à l'équation différentielle suivante :

Yo(t) = ram cos (ut + 00) (1)

On donne pour toute la suite du problème les conditions initiales suivantes : ‏و0‎ = 0, Y9(0) = 0 et 9 (0) = 0.

1.2.8. Appliquer le théorème du moment cinétique au système composé de la roue complète déformée,
au point 0 et par rapport au référentiel (R).

1.2.9. Montrer qu'en toute rigueur, le bras mobile décrit des oscillations selon 016 à la pulsation w
constante si le couple '(t) obéit à une relation que l’on donnera en fonction de R, Am, m, g,w et t.

1.3. Applications

1.3.1. Déduire de la relation (1) la nature du mouvement de l'ensemble {bras mobile + roue complète }
dans le plan (OX0 Yy). On donnera en particulier l'expression de l'amplitude ‏قل‎ max EN fonction des données
du problème.

1.3.2. En réalité le mouvement du bras mobile dans le plan OXo}9 est un mouvement de rotation
d'angle ‏م‎ autour de 070 de très faible amplitude, assimilable au mouvement de translation selon 016 que
nous avons étudié. En utilisant les résultats précédents, exprimer Praz ‏له‎ fonction de ‏وا‎ max Et D.

1.3.3. Que valent % maz et ‏وميم‎ POUT Une roue complète parfaite ?

1.3.4. Comment Y mar et Pmaz Varient-ils avec Am ?

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1.3.5. On suppose qu’une voiture équipée d’une roue déformée présentant un défaut d’équilibrage se
déplace en ligne droite à vitesse constante. Le volant du véhicule est fixé sur l’axe 020. Comment le défaut
d'équilibrage peut-il être ressenti par le conducteur ?

On suppose que la roue déformée présente un défaut d’équilibrage (A, Am) externe, à la périphérie de la
roue complète, comme indiqué sur la figure ٠

1.3.6. Montrer en faisant un minimum de calculs que l’on peut remédier à ce défaut en plaçant une
masse supplémentaire Am en un endroit bien précis de la roue complète que l’on déterminera.

2ème partie
Modélisation d’une suspension d’automobile

Nous abordons dans cette partie une modélisation élémentaire de la suspension d’une roue complète de
voiture. Cette roue est supposée parfaite (pas de défaut d’équilibrage).

On suppose que le véhicule est équipé de quatre suspensions identiques, que l’on modélise comme indiqué
sur la figure 3.

Roue complète

zo(t)
; pris ES mé ‏ساس لس نا‎ › x
Route parfaitement horizontale

Route déformée

Figure 3: Suspension d’une roue de voiture

Chaque suspension est composée d’une part d’un ressort de raideur À et de longueur à vide ‏.ونا‎ D'autre
part un amortisseur fluide à huile de coefficient d’amortissement à permet d’atténuer d'éventuelles oscil-
lations. On rappelle qu’un amortisseur fluide du type représenté sur la figure 3 exerce sur chacune de
ses extrémités une force dissipatrice proportionnelle à la vitesse relative d’une de ses extrémités par rap-
port à l’autre. D'autre part le coefficient a est d'autant plus grand que le fluide utilisé est visqueux. Ainsi
Qhuite › Œair Par exemple.

Cet ensemble {ressort + amortisseur} est relié au véhicule (châssis) et à la roue complète parfaite par des
articulations supposées elles aussi parfaites. On ne s’intéressera dans ce problème qu'aux mouvements ver-
ticaux du châssis, selon l’axe Oz ascendant.

La masse du véhicule dans les conditions de l'étude (avec passagers) est m' = 4m. On néglige la masse de
l’ensemble {ressort + amortisseur} devant la masse m = m'/4 du quart de châssis représenté sur la figure 3.
Le référentiel d'étude est supposé galiléen. On travaillera dans le repère (O,x,y,z) muni de la base
cartésienne habituelle T, sa F) . La variable z(t) représente l’écart de position du châssis par rapport à
sa position lorsqu'il n’y a aucun mouvement vertical. La variable z0(t) représente le profil de la route, c’est à
dire l'écart de celle-ci par rapport à l'horizontale choisie comme niveau de référence. Par conséquent, lorsque

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la route est parfaitement horizontale et le mouvement stabilisé, on a z(t) = 0 et z0(t) = 0

2.1. Équation différentielle

On suppose tout d’abord que le véhicule est au repos sur une route parfaitement horizontale. La longueur
de chaque ressort est alors lo.

2.1.1. Déterminer l’expression de Aly = Lo — ly en fonction des données du problème.

On suppose maintenant que le véhicule est en mouvement sur une route rectiligne de profil quelconque.

2.1.2. Faire un bilan des forces exercées sur la masse m qui représente un quart du châssis. On
exprimera les différentes forces en fonction des données du problème.

2.1.3. Établir l'équation différentielle vérifiée par z(t) et montrer qu'elle peut se mettre sous la forme :

avec f((t) une fonction du temps dont on donnera l'expression en fonction de z0(t), #o(t) et d'autres données
du problème.

2.1.4. Mettre l'équation différentielle précédente sous la forme :
wo “9

Exprimer la pulsation propre ‏وس‎ et le coefficient /# en fonction des données. Pourquoi appelle-t-on / coefficient
d'amortissement ou coefficient d'amortissement réduit ?

2.2. Réponse indicielle

On suppose que le véhicule suit une trajectoire rectiligne selon 02 à la vitesse constante Vo =v 7 dansla
base cartésienne habituelle (7, 7 ; 7 ) avec 00 › 0. Le conducteur peu attentif monte de face sur un trottoir

dont le profil est représenté sur la figure 4.

Figure 4: Profil de route

On suppose que le mouvement selon Oz reste rectiligne uniforme même pendant le passage de l'obstacle
et que la roue reste toujours en contact avec la route.

2.2.1. Représenter graphiquement sur la copie le profil de la route 20 = z0(t) en fonction du temps. On
posera € = (x; — x0)/vo et on prendra t = 0 pour x = x.

2.2.2. Donner les équations horaires de z0(t) pour les instants 2 tels que t € [0, €] et pour + € [e, +œ|.

On donne pour toute la suite de cette partie œ = 10* SI, k = 40 x 103 SI, x, — x = 1em,m = 400 kg,
20 = 10cmetwy = 10 18-1

2.2.3. Quelles sont les unités de k et à dans le système international ? Déterminer numériquement les
valeurs de ‏وه‎ et 2.

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2.2.4. Montrer que pour les instants ) appartenant à [0, €], on peut supposer en bonne approximation
que la fonction G(t) du second membre de l'équation différentielle (3) est constante.

2.2.5. D'après la question précédente, donner l'expression de G(t) et résoudre l'équation différentielle
(3) pour les instants + appartenant à [0, €]. On mettra z(t) sous la forme :

z(t) = Aexprit + Bexprat + ©

avec ra › T,. Donner les expressions de 7, et ra en fonction de 8 et wy ainsi que l’expression de ‏ل‎ en fonction
des données du problème.

2.2.6. On donne les conditions initiales suivantes en t = 0 : z(0) = 0 et #(0) = 0. On admet sans caleul
que les valeurs numériques des données du problème sont telles que |er,| › 1 et |er2| › 1. Montrer que 2)2(
est nul à l'ordre zéro en € alors que #(e) ne l’est pas. On prendra aussi désormais pour la suite #(e) = 0.

2.2.7. Résoudre l'équation différentielle (3) pour les instants t appartenant à [£, ‏.]عه‎ On exprimera les
constantes d'intégration ‏لك‎ et B' en fonction des données du problème.

2.2.8. Rappeler l'expression de 4 en fonction de a, m et k. Représenter sur la copie l'allure de z(#) pour
8 ›1 puis pour 3 › 1.
Lorsque le véhicule est neuf, les caractéristiques physiques ‏ه‎ et k de la suspension sont telles que 3 › 1 pour
un bon confort et une meilleure sécurité des usagers. En vieillissant, les amortisseurs fluides se dégradent et
l’huile peut devenir moins visqueuse ou être remplacée en partie par de l'air.

2.2.9. Quelle est la conséquence de ce vieillissement sur le facteur d'amortissement # ? Quelle peut en
être la conséquence sur le confort des usagers lorsque le véhicule rencontre un obstacle sur la route ?

2.2.10. Il arrive que des automobilistes imprudents dépassent la charge maximale autorisée pour leur

véhicule aux suspensions déjà usées. Quelles peuvent être les conséquences sur la sécurité ?

2.3. Réponse harmonique
On suppose cette fois que le profil de la route est de la forme :

20 ( t ) = 7 coswt

Le véhicule se déplace toujours en ligne droite selon Or avec une vitesse moyenne constante : 7 71 avec
v › 0. On adoptera la notation complexe habituelle :

z(t) = Zexpiwt

2.3.1. Établir l'expression de la fonction de transfert harmonique H(iw) = Z/Z, de la suspension en
fonction de 3, wo et w. Z et Z, sont les amplitudes complexes associées respectivement à z(t) et zo(t).

2.3.2. Déterminer le diagramme de BODE asymptotique du gain G(w) = ‏مج201‎ H (w) de la suspen-
sion, avec H(w) = |H(iw)| le module de la fonction de transfert, pour w › wo etw 3 wo.

2.3.3. Représenter graphiquement sur la copie le diagramme de BODE asymptotique du gain en
fonction de w/wo en représentation semi-logarithmique pour w/wo variant de 0,1 à 10. Que peut-on en
déduire du comportement de G(w) ?

L'usager a un bon confort de conduite si le châssis est pratiquement insensible aux ondulations de la route.

2.3.4.  Exprimer la pulsation w en fonction de la vitesse moyenne v et de À la période spatiale des
ondulations de la route.

2.3.5. Lors du rallye Paris-Dakar, les concurrents affrontent souvent des profils de route de type « tôle
ondulée ». Si la période spatiale d’un tel profil est À = 1,5 m, quelle vitesse minimum doit-on conseiller aux
pilotes ?

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2.3.6. Si les pilotes entrent dans une zone où le profil ondulé s’élargit, c’est à dire si À augmente, que
faut-il conseiller aux pilotes ?

Deuxième problème
Etude thermodynamique d’un moteur de voiture

Ce problème traite de quelques aspects élémentaires du fonctionnement d’un moteur thermique à com-
bustion interne.
On raisonne sur une masse unité d’un mélange de gaz dont la nature évolue au cours d’un cycle. Pour sim-
plifier l'analyse, on assimilera ce mélange à de l'air supposé se comporter comme un gaz parfait de capacités
calorifiques massiques c, et c, constantes et de rapport y = ‏ولي‎ = 1,4.
On suit l’évolution de cette masse unité pour un cycle de fonctionnement d'un des quatre cylindres iden-
tiques du moteur.
Le volume offert au gaz dans ce cylindre varie entre la valeur maximale V, — piston au point mort bas — et la
valeur minimale ‏وآ‎ — piston au point mort haut — On définit un taux de compression 7 par 7 = V,/V2 › 1et
un rapport ‏له‎ des températures extrêmes du cycle par : a = T max /Tmin-
On utilise la convention de signe habituelle de la thermodynamique.
On a représenté sur la figure 1 un cycle théorique représentant l’évolution réversible en diagramme PV de
l'unité de masse de gaz dans un cylindre.

Figure 1: Cycle réversible théorique
Les différentes étapes du cycle sont réversibles et se décomposent ainsi :

Étape ‏نه‎ le gaz est admis dans le cylindre à la pression atmosphérique P, = 105 Pa et à la température
ambiante 7, = 300 Æ du point mort bas (point 1):

Étape B : le gaz est ensuite comprimé de manière adiabatique pour atteindre le point 2 à la pression
P», la température T› et le volume V2 du point mort haut ;

Étape ©: le gaz subit une explosion qui le détend à pression constante et élève ainsi sa température
jusqu’à T3 (point 3) ;

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Étape D : le gaz subit une détente adiabatique jusqu'au point 4 de volume V,, de température 7, et de
pression P, :

Étape E: le gaz est finalement rejeté vers l'atmosphère en terminant le cycle au point 1.

On donne les valeurs numériques suivantes pour tout le problème : 109:4 = 2, 5 ; 10-0:4/1:4 = $ (10-04) 1,4
1014/04 = 3» 103 : 7 ‏م :1,4 حلي جح‎ 210 67 10.

1** partie
Étude qualitative du cycle

1.1. Après avoir représenté le cycle sur la copie, indiquer par des flèches le sens de parcours moteur du
cycle en justifiant ce choix.

1.2. Placer les points 1, 2, 3 et 4 sur ce cycle.
1.3. Indiquer sur le cycle les transferts thermiques positifs et négatifs.
2ème partie
Étude quantitative du cycle

On exprimera toutes les températures en fonction de 1١ et des paramètres choisis parmi à, 7 et y uniquement.
De même on exprimera toutes les pressions en fonction de P, et des paramètres choisis parmi a, T et y
uniquement.

2.1. Point 2

2.1.1. Déterminer l’expression littérale de la température ‏.و1‎ Calculer numériquement la température

2.1.2. Déterminer l’expression littérale de la pression P». Calculer numériquement la pression P».

2.2. Point 3

2.2.1. Déterminer l’expression de ‏ه‎ en fonction de deux températures choisies parmi 7), T›, T3 ‏ا‎

2.2.2. Déterminer l'expression littérale de la température T3. Calculer numériquement la température

T3.
2.2.3. Déterminer l’expression littérale de la pression P3. Calculer numériquement la pression ٠

2.3. Point 4

2.3.1. Déterminer l'expression littérale de la température 1. Calculer numériquement la température

T4.
2.3.2. Déterminer l’expression littérale de la pression P,. Calculer numériquement la pression P,.
35“ partie
Rendement d’un cycle moteur
3.1. Rappeler la définition du rendement 7» d’un cycle moteur.

3.2. Rendement du cycle théorique

3.2.1. Donner l'expression de ‏و‎ en fonction de 11. 15, T3, T4 et y.

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3.2.2. En déduire l’expression littérale de » en fonction de a, 7 et y.

3.2.3. Calculer numériquement la valeur ‏.عل‎

3.3. Cycle de Carnot

3.3.1. Rappeler la définition d'un cycle de CARNOT. Représenter sur la copie un cycle de CARNOT
moteur, entre les températures extrêmes T'min ‏عملا‎ EN diagramme (P, V) .

3.3.2. Établir l’expression du rendement 7. du cycle moteur de CARNOT en fonction de T'nin €t ‏عمو‎

3.3.3. Établir l'expression du rendement 7. d’un cycle de CARNOT moteur qui fonctionnerait entre les
mêmes températures extrêmes que le cycle théorique du problème. Calculer numériquement ce rendement

3.3.4. Comparer n et n. et conclure.
4°"° partie
Prise en compte des frottements internes

En réalité les étapes B (compression adiabatique) et D (détente adiabatique) ne sont pas réversibles du fait des
frottements internes du piston sur la chambre du cylindre. Elles gardent cependant leur caractère adiabatique.
On suppose ici que l’irréversibilité ne modifie que les températures des points 2 et 4, tous les autres paramètres
thermodynamiques gardant par ailleurs la même valeur que dans la situation réversible. Les étapes Cet E

sont donc toujours supposées réversibles.
On notera avec un « ‘») les grandeurs thermodynamiques relatives aux transformations irréversibles.

4.1. Représenter sur la copie l'allure du cycle moteur totalement réversible de la partie 1 en diagramme TS
avec l’entropie S en abscisses. On appelle (TS1) cette figure. Indiquer sur cette figure (TS1) le sens de parcours
du cycle et placer les points 1, 2, 3 et 4.

4.2. Rappeler l'énoncé du second principe de la thermodynamique.

4.3. On suppose maintenant que les étapes B et D sont irréversibles. Représenter en pointillés sur la
figure (TS1) des étapes irréversibles (B’) et (D’) possibles. Justifier ce choix.

4.4. Comparer en le justifiant T; et T3 ainsi que T, et T;.

4.5. Onnote 3 = T;/T2 un facteur correctif dû aux frottements internes. On supposera pour simplifier
que l'on a aussi 21/11 = 8.

45.1. Exprimer le rendement n° du cycle moteur avec irréversibilités en fonction de T,, T;, T3, T} et y.

4.5.2. En déduire l'expression du rendement n° du cycle moteur avec irréversibilités en fonction ‏بعك‎

4.5.3. Montrer que 7° › 7.

4.5.4. Quel est le rôle des huiles de lubrification utilisées dans les moteurs ?

FIN DE L’ÉPREUVE

Épreuve de Physique I 9/9

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