Modèle de concours : CNC 2021 Mathématiques II (MP) — Concours National Commun

Ce modèle est l'épreuve de Mathématiques II du Concours National Commun (CNC) 2021, filière MP, commune aux écoles d'ingénieurs marocaines (accès après les classes préparatoires). Durée : 4 heures, calculatrice interdite. Le sujet comporte un exercice (4 points sur 20 : diagonalisation d'une famille de matrices M_a et système différentiel linéaire) et un problème en cinq parties sur les racines carrées de matrices (valeurs propres distinctes, matrices scalaires par blocs, matrices nilpotentes, matrices symétriques positives, cas complexe). Type : problème d'algèbre linéaire. Voici une correction méthodologique proposée.

💡 Avant de commencer : l'exercice est rapide et rapporte 4 points sûrs : faites-le en premier, en vérifiant chaque calcul (produit M_ae'_i, puis vérification finale de la solution dans le système). Dans le problème, une seule idée revient partout : si R² = A, alors R commute avec A (RA = R³ = AR), donc R laisse stables les sous-espaces propres de A. Retenez-la, elle résout les parties 1, 2 et 4.

Exercice (4 points)

M_a = [[1, a−2, 2−a], [1−a, 2a−1, 1−a], [1−a, a, 0]] ; e'₁ = e₁+e₂+e₃, e'₂ = e₂+e₃, e'₃ = e₁−e₃.

1.a) B' est une base

La matrice des coordonnées de (e'₁, e'₂, e'₃) dans B est P = [[1, 0, 1], [1, 1, 0], [1, 1, −1]] (colonnes). En développant selon la première ligne : det P = 1·(1·(−1) − 0·1) − 0 + 1·(1·1 − 1·1) = −1 ≠ 0. Trois vecteurs libres en dimension 3 : B' est une base de E.

1.b) Vecteurs propres

• M_a(1,1,1)^T = (1 + a − 2 + 2 − a, 1 − a + 2a − 1 + 1 − a, 1 − a + a) = (1,1,1) : f_a(e'₁) = e'₁ (valeur propre 1).
• M_a(0,1,1)^T = (a − 2 + 2 − a, 2a − 1 + 1 − a, a) = (0, a, a) : f_a(e'₂) = a·e'₂.
• M_a(1,0,−1)^T = (1 − 2 + a, 1 − a − 1 + a, 1 − a) = (a − 1, 0, 1 − a) : f_a(e'₃) = (a − 1)·e'₃.

1.c) Matrice de passage

P = [[1, 0, 1], [1, 1, 0], [1, 1, −1]]. En résolvant x = y₁+y₃, y = y₁+y₂, z = y₁+y₂−y₃ on obtient P⁻¹ = [[1, −1, 1], [−1, 2, −1], [0, 1, −1]] (utile pour la suite).

1.d) et 1.e) Diagonalisabilité

B' est une base de E formée de vecteurs propres de f_a : M_a est diagonalisable pour tout réel a (même quand deux valeurs propres coïncident, par exemple a = 1 ou a = 2). Formule de changement de base : M_a = P D_a P⁻¹ avec D_a = diag(1, a, a − 1).

2.a) Valeur de a₀

Le système s'écrit X' = M X avec M = [[1, 1, −1], [−2, 5, −2], [−2, 3, 0]]. Identification avec M_a : a − 2 = 1 donne a = 3, et on vérifie 1 − a = −2, 2a − 1 = 5, a = 3. a₀ = 3, D₃ = diag(1, 3, 2).

2.b) Système découplé

Y = P⁻¹X (P constante) donne Y' = P⁻¹X' = P⁻¹M₃X = P⁻¹(P D₃ P⁻¹)X = D₃P⁻¹X = D₃Y.

2.c) Fonctions y_i

y'₁ = y₁, y'₂ = 3y₂, y'₃ = 2y₃ : y₁(t) = c₁e^t, y₂(t) = c₂e^3t, y₃(t) = c₃e^2t, (c₁, c₂, c₃) ∈ ℝ³.

2.d) Solution générale

X = PY :
x(t) = c₁e^t + c₃e^2t
y(t) = c₁e^t + c₂e^3t
z(t) = c₁e^t + c₂e^3t − c₃e^2t

2.e) Conditions initiales

c₁ + c₃ = 0, c₁ + c₂ = 1, c₁ + c₂ − c₃ = 2 ⇒ c₃ = −1, c₁ = 1, c₂ = 0.
x(t) = e^t − e^2t, y(t) = e^t, z(t) = e^t + e^2t.
Vérification : x + y − z = e^t − 2e^2t = x' ; −2x + 5y − 2z = e^t = y' ; −2x + 3y = e^t + 2e^2t = z'.

Problème — Partie 1 : A possède n valeurs propres distinctes

1.a)

χ_A est scindé sur ℝ à racines simples λ₁ < … < λ_n : chaque sous-espace propre est de dimension 1 et leur somme vaut n. A est diagonalisable : A = PDP⁻¹, P inversible dont les colonnes sont des vecteurs propres.

1.b)

R² = A ⇔ R² = PDP⁻¹ ⇔ P⁻¹R²P = D ⇔ (P⁻¹RP)² = D, car (P⁻¹RP)² = P⁻¹R²P.

2.a) à 2.c)

• ΔD = Δ·Δ² = Δ³ = Δ²·Δ = DΔ.
• Coefficient (i, j) : (ΔD)_ij = δ_ijλ_j et (DΔ)_ij = λ_iδ_ij (ici δ_ij = coefficient de Δ), donc (λ_j − λ_i)Δ_ij = 0. Pour i ≠ j, λ_i ≠ λ_j ⇒ Δ_ij = 0 : Δ est diagonale.
• Δ² = diag(δ₁², …, δ_n²) = D : δ_i² = λ_i pour tout i.

3.

Si un λ_i < 0, l'équation δ_i² = λ_i n'a pas de solution réelle : D n'a pas de racine carrée réelle, et par 1.b) ℛ_n(A) = ∅.

4.

• a) ℛ_n(D) = { diag(ε₁√λ₁, …, ε_n√λ_n) : ε_i ∈ {−1, 1} } (réciproque immédiate).
• b) ℛ_n(A) = { P diag(ε₁√λ₁, …, ε_n√λ_n) P⁻¹ : ε_i = ±1 }.
• c) L'application Δ ↦ PΔP⁻¹ est injective. Si tous les λ_i > 0, les 2ⁿ choix de signes donnent des matrices distinctes : 2ⁿ racines. Si 0 est valeur propre, c'est forcément λ₁ (valeurs distinctes, toutes ≥ 0) et le signe ε₁ est sans effet : 2ⁿ⁻¹ racines.

5. A = [[1, 0, 0], [0, 2, 1], [0, 0, 3]]

A triangulaire : valeurs propres 1, 2, 3 (distinctes, positives). Vecteurs propres : e₁ (λ = 1), e₂ (λ = 2), (0, 1, 1) (λ = 3, car (A − 3I)v = 0 donne v₁ = 0, v₂ = v₃). P = [[1, 0, 0], [0, 1, 1], [0, 0, 1]], P⁻¹ = [[1, 0, 0], [0, 1, −1], [0, 0, 1]].
Avec a = ±1, b = ±√2, c = ±√3 : P diag(a, b, c) P⁻¹ = [[a, 0, 0], [0, b, c − b], [0, 0, c]].
Contrôle : le coefficient (2,3) de R² vaut b(c − b) + (c − b)c = c² − b² = 3 − 2 = 1. ℛ₃(A) contient exactement 8 matrices.

Partie 2 : A = diag(λ₁I_n1, …, λ_rI_nr)

1. Racines carrées de I_n

• a) R² = I_n : le polynôme X² − 1 = (X − 1)(X + 1), scindé à racines simples, annule R : R est diagonalisable, de spectre inclus dans {−1, 1}.
• b) Donc R = P diag(ε₁, …, ε_n) P⁻¹ avec ε_i = ±1 ; réciproquement (P diag(ε)P⁻¹)² = P diag(ε_i²)P⁻¹ = I_n. D'où l'égalité d'ensembles demandée.
• c) Pour λ > 0 : R² = λI_n ⇔ (R/√λ)² = I_n, donc ℛ_n(λI_n) = { √λ · P diag(ε₁, …, ε_n) P⁻¹ : P ∈ GL_n(ℝ), ε_i = ±1 }.

2.a) Commutant de A

On découpe M en blocs M_ij de taille n_i × n_j. Alors (AM)_ij = λ_iM_ij et (MA)_ij = λ_jM_ij. AM = MA ⇒ (λ_i − λ_j)M_ij = 0 ⇒ M_ij = 0 pour i ≠ j (λ distincts) : M est diagonale par blocs diag(A₁, …, A_r).

2.b) ℛ_n(A)

Si R² = A, RA = R³ = AR, donc R = diag(R₁, …, R_r) et R² = A équivaut à R_i² = λ_iI_ni pour tout i. Par 1.c) :
ℛ_n(A) = { diag(√λ₁P₁E₁P₁⁻¹, …, √λ_rP_rE_rP_r⁻¹) : P_i ∈ GL_ni(ℝ), E_i diagonale à coefficients ±1 }. La réciproque se vérifie par un calcul par blocs.

3. Caractère borné (norme N(M) = max |m_ij|)

• a) S_q = [[−1, q], [0, 1]] : S_q² = [[1, −q + q], [0, 1]] = I₂. Donc S_q ∈ ℛ₂(I₂) et N(S_q) = max(1, q) → +∞ : ℛ₂(I₂) n'est pas bornée.
• b) Non. Pour n ≥ 3, la matrice diagonale par blocs diag(S_q, I_n−2) vérifie (diag(S_q, I_n−2))² = I_n et sa norme vaut max(1, q), non bornée quand q → +∞.

Partie 3 : A nilpotente d'indice p, B² = A

1.

• a) B^2p = A^p = 0 et B^2(p−1) = A^p−1 ≠ 0 (définition de l'indice).
• b) B est nilpotente, son polynôme minimal est X^k avec k son indice. B^2p = 0 ⇒ k ≤ 2p ; B^2p−2 ≠ 0 ⇒ k > 2p − 2. Donc π_B = X^2p−1 ou π_B = X^2p.
• c) deg π_B ≤ n (π_B divise χ_B, Cayley-Hamilton), donc 2p − 1 ≤ n, soit p ≤ (n + 1)/2.

2.

• a) P²(A) = I_n + A ⇔ (P² − X − 1)(A) = 0 ⇔ π_A divise P² − X − 1. Or A nilpotente d'indice p : π_A = X^p. D'où P²(A) = I_n + A ⇔ X^p | P² − X − 1.
• b) Q_p est la partie régulière du DL d'ordre p − 1 de √(1+x). Alors Q_p(x)² = (√(1+x) + o(x^p−1))² = 1 + x + o(x^p−1). Le polynôme Q_p² − X − 1 est donc un o(x^p−1) en 0 : ses coefficients de degré 0 à p − 1 sont nuls (unicité du DL), il est divisible par X^p. Par a), Q_p(A)² = I_n + A.

3.

• a) Si α = 0 : I_n ∈ ℛ_n(I_n). Si α ≠ 0 : αA est nilpotente d'indice p, donc Q_p(αA) est une racine carrée de I_n + αA. ℛ_n(αA + I_n) ≠ ∅.
• b) A + βI_n = β(I_n + A/β) ; la matrice √β · Q_p(A/β) a pour carré β(I_n + A/β) = A + βI_n.

4. H = [[1, −1, 0], [0, 1, −1], [0, 0, 1]]

H = I₃ + N avec N = [[0, −1, 0], [0, 0, −1], [0, 0, 0]], N² = [[0, 0, 1], [0, 0, 0], [0, 0, 0]], N³ = 0 (p = 3). √(1+x) = 1 + x/2 − x²/8 + o(x²), donc Q₃ = 1 + X/2 − X²/8 :
X = I₃ + N/2 − N²/8 = [[1, −1/2, −1/8], [0, 1, −1/2], [0, 0, 1]].
Vérification : X² = I + N + (1/4 − 1/4)N² + (termes en N³, N⁴ nuls) = I + N = H.

Partie 4 : A symétrique réelle positive

1.

Théorème spectral : S = QΛQ^T, Q orthogonale, Λ = diag(μ_i). Si S est positive et SX = μX, X ≠ 0 : X^TSX = μ‖X‖² ≥ 0 ⇒ μ ≥ 0. Réciproquement, avec Y = Q^TX : X^TSX = Y^TΛY = Σ μ_iy_i² ≥ 0. S ∈ S_n⁺(ℝ) ⇔ Sp(S) ⊂ ℝ₊.

2.

• a) Théorème spectral : A = PDP^T = PDP⁻¹, P orthogonale, D = diag(λ_i) avec λ_i ≥ 0 d'après 1.
• b) S = P diag(√λ₁, …, √λ_n) P^T : S^T = S, ses valeurs propres √λ_i sont ≥ 0 donc S ∈ S_n⁺(ℝ) par 1, et S² = PDP^T = A.

3. Unicité

• a) S₁² = S₂² s'écrit P₁D₁²P₁⁻¹ = P₂D₂²P₂⁻¹. On multiplie à gauche par P₂⁻¹ et à droite par P₁ : PD₁² = D₂²P avec P = P₂⁻¹P₁.
• b) D₁ = diag(a_j), D₂ = diag(b_i) avec a_j, b_i ≥ 0 (valeurs propres de matrices positives, question 1). Coefficient (i, j) : p_ij(a_j² − b_i²) = 0. Si p_ij ≠ 0, a_j² = b_i² donc a_j = b_i (positivité) ; dans tous les cas p_ija_j = b_ip_ij, soit PD₁ = D₂P. Alors P₂⁻¹P₁D₁ = D₂P₂⁻¹P₁ ⇒ P₁D₁P₁⁻¹ = P₂D₂P₂⁻¹ : S₁ = S₂.

Partie 5 : cas complexe, Sp(A) ∩ ℝ⁻ = ∅

1.

z ∈ ℂ \ ℝ⁻ s'écrit z = re^iθ, r > 0, θ ∈ ]−π, π[. y = √r e^iθ/2 convient : y² = z et Re(y) = √r cos(θ/2) > 0 car θ/2 ∈ ]−π/2, π/2[. Unicité : les solutions de y² = z sont exactement y et −y, de parties réelles opposées ; aucune n'a une partie réelle nulle (sinon y = it et z = −t² ∈ ℝ⁻). Une seule a donc Re > 0.

2. Récurrence sur n

n = 1 : c'est la question 1. Hérédité : on écrit T = [[T', c], [0, t_nn]], T' triangulaire supérieure d'ordre n − 1, c ∈ ℂⁿ⁻¹. On cherche X = [[X', u], [0, x]] avec X'² = T' et Re(x'_ii) > 0 (hypothèse de récurrence), x² = t_nn, Re(x) > 0 (question 1). Alors X² = [[X'², X'u + xu], [0, x²]], et il reste à résoudre (X' + xI_n−1)u = c. X' + xI_n−1 est triangulaire supérieure, de coefficients diagonaux x'_ii + x, de partie réelle > 0 donc non nuls : elle est inversible et u = (X' + xI_n−1)⁻¹c. X est triangulaire supérieure, de diagonale à parties réelles > 0, et X² = T.

3. Conclusion

Dans ℂ, A est trigonalisable : A = QTQ⁻¹, T triangulaire supérieure de diagonale Sp(A), donc t_ii ∉ ℝ⁻. Par 2, il existe X_T triangulaire supérieure avec X_T² = T et Re((X_T)_ii) > 0. On pose X = QX_TQ⁻¹ : X² = QTQ⁻¹ = A et Sp(X) = {(X_T)_ii} ⊂ {z ∈ ℂ | Re(z) > 0}.

💡 Résultats clés à retenir : a₀ = 3, D₃ = diag(1, 3, 2), solution (e^t − e^2t, e^t, e^t + e^2t) ; 2ⁿ racines (2ⁿ⁻¹ si 0 est valeur propre) ; ℛ_n(I_n) non bornée ; p ≤ (n+1)/2 ; racine de H = I + N/2 − N²/8 ; unicité de la racine carrée positive. À réviser pour le CNC MP : réduction (critères de diagonalisabilité, polynôme minimal, polynômes annulateurs, trigonalisation dans ℂ), commutant d'une matrice diagonale, théorème spectral et matrices symétriques positives, systèmes différentiels linéaires X' = AX, développements limités usuels (√(1+x)), normes sur M_n(ℝ) et parties bornées, récurrences par blocs.