Modèle de concours : CNC 2019 Mathématiques II (MP) — Concours National Commun

Ce sujet est l'épreuve de Mathématiques II du Concours National Commun (CNC) 2019, filière MP, commun aux écoles d'ingénieurs marocaines recrutant après les classes préparatoires (CPGE). L'énoncé fait 3 pages, la calculatrice est interdite. Il comporte un exercice noté sur 4 points (réduction d'une matrice 3×3 non diagonalisable et calcul de son exponentielle) et un problème : déterminant de Cauchy, matrices et déterminants de Gram, distance à un sous-espace, puis application au minimum de ∫₀¹(1 − a₁t − … − a_ntⁿ)² dt. Type : exercice + problème. Voici une correction méthodologique proposée.

💡 Avant de commencer : l'exercice est purement calculatoire : vérifiez chaque produit matriciel (N³ = 0 est un bon contrôle). Dans le problème, les trois parties s'enchaînent : la formule de Cauchy (2.4.3) sert en 4.2.2, et la formule de distance par Gram (3.5.2) sert en 4.2.4 et 4.3. Même si une démonstration vous échappe, admettez le résultat et utilisez-le : la fin du problème rapporte beaucoup.

Exercice

A = [[3, 1, −1], [1, 1, 1], [2, 0, 2]] (lignes).

1.1. Polynôme caractéristique

tr A = 6 ; somme des mineurs principaux d'ordre 2 : (3·1 − 1·1) + (3·2 − (−1)·2) + (1·2 − 1·0) = 2 + 8 + 2 = 12 ; det A = 3·2 − 1·(2 − 2) + (−1)·(0 − 2) = 8. Donc χ_A = X³ − 6X² + 12X − 8 = (X − 2)³ et λ = 2 est l'unique valeur propre.

1.2. Sous-espace propre

A − 2I₃ = [[1, 1, −1], [1, −1, 1], [2, 0, 0]] : la 3e ligne donne x = 0, puis y − z = 0. Ker(v − 2 id) = Vect((0, 1, 1)), de dimension 1.

1.3.

A n'est pas diagonalisable : la dimension du seul sous-espace propre (1) est inférieure à 3. A est trigonalisable dans M₃(ℝ) car χ_A est scindé sur ℝ.

1.4.1. u nilpotent

Par Cayley–Hamilton, (A − 2I₃)³ = 0, donc u³ = 0 : u est nilpotent.

1.4.2. Noyau de u²

N = A − 2I₃, N² = [[0, 0, 0], [2, 2, −2], [2, 2, −2]]. Donc Ker u² = {(x, y, z) : x + y − z = 0} = Vect((1, 0, 1), (0, 1, 1)). Pour e₁ = (1, 0, 0) : 1 + 0 − 0 = 1 ≠ 0, donc e₁ ∉ Ker u² (u²(e₁) = (0, 2, 2) ≠ 0).

1.4.3. La base ℬ et la matrice T

u(e₁) = (1, 1, 2), u²(e₁) = (0, 2, 2). Liberté : si a u²(e₁) + b u(e₁) + c e₁ = 0, on applique u² (u³ = 0) : c u²(e₁) = 0 donc c = 0 ; on applique u : b = 0 ; puis a = 0. Trois vecteurs libres en dimension 3 : ℬ est une base.

v = u + 2 id : v(u²e₁) = 2u²e₁, v(ue₁) = u²e₁ + 2ue₁, v(e₁) = ue₁ + 2e₁. D'où T = [[2, 1, 0], [0, 2, 1], [0, 0, 2]].

Avec la matrice de passage Q (colonnes u²(e₁), u(e₁), e₁) = [[0, 1, 1], [2, 1, 0], [2, 2, 0]], det Q = 2 et Q⁻¹ = [[0, 1, −1/2], [0, −1, 1], [1, 1, −1]] : A = Q T Q⁻¹.

1.4.4. Exponentielle

A = 2I₃ + N avec 2I₃ et N qui commutent et N³ = 0 : exp(A) = e² exp(N) = e²(I₃ + N + N²/2).

exp(A) = e² [[2, 1, −1], [2, 1, 0], [3, 1, 0]].

Problème — 1ère partie : déterminant de Cauchy

2.1.

Si a_i1 = a_i2 avec i₁ ≠ i₂, les lignes i₁ et i₂ de la matrice sont égales : Δ_n = 0.

2.2.

Les racines complexes du premier sont les b_k (k ≤ n−1), celles du second les −a_k. Une racine commune donnerait b_k = −a_j, soit a_j + b_k = 0, exclu. Sans racine commune dans ℂ, les deux polynômes sont premiers entre eux.

2.3.1.

La fraction est irréductible (2.2), donc ses pôles sont les racines du dénominateur : −a₁, …, −a_n, deux à deux distincts, donc tous simples.

2.3.2.

deg R = (n − 1) − n = −1 < 0 : partie entière nulle, et les pôles sont simples, d'où R = Σ α_k/(X + a_k) avec α_k = [(X + a_k)R](−a_k) :

α_k = Π_j=1ⁿ⁻¹(−a_k − b_j) / Π_i≠k(a_i − a_k). En particulier α_n ≠ 0 puisque a_n + b_j ≠ 0.

2.4.1.

On remplace la dernière ligne L_n par α_nL_n + Σ_k<n α_kL_k : le déterminant est multiplié par α_n (multilinéarité, et ajouter des combinaisons des autres lignes ne change rien). Le coefficient j de la nouvelle ligne vaut Σ_k α_k/(a_k + b_j) = R(b_j). D'où la formule demandée.

2.4.2.

R(b_j) = 0 pour j ≤ n − 1 (b_j racine du numérateur). La dernière ligne vaut (0, …, 0, R(b_n)) ; en développant selon cette ligne, le cofacteur de la place (n, n) est Δ_n−1 : α_nΔ_n = R(b_n)Δ_n−1.

2.4.3.

Δ₂ = 1/((a₁+b₁)(a₂+b₂)) − 1/((a₁+b₂)(a₂+b₁)) ; le numérateur commun vaut (a₁+b₂)(a₂+b₁) − (a₁+b₁)(a₂+b₂) = a₁b₁ + a₂b₂ − a₁b₂ − a₂b₁, d'où Δ₂ = (a₂ − a₁)(b₂ − b₁) / Π_i,j≤2(a_i + b_j).

Récurrence : Δ_n = (R(b_n)/α_n) Δ_n−1, avec R(b_n) = Π_j<n(b_n − b_j) / Π_k≤n(a_k + b_n) et 1/α_n = Π_i<n(a_i − a_n) / Π_j<n(−(a_n + b_j)) = Π_i<n(a_n − a_i) / Π_j<n(a_n + b_j) (les signes (−1)ⁿ⁻¹ se compensent). Le facteur multiplicatif contient exactement les nouveaux termes (a_n − a_i)(b_n − b_i), i < n, au numérateur et les nouveaux (a_i + b_j) avec i = n ou j = n au dénominateur. Donc Δ_n = Π_i<j(a_j − a_i)(b_j − b_i) / Π_i,j(a_i + b_j). Si deux a_i sont égaux, les deux membres sont nuls (2.1) : la formule vaut dans tous les cas.

Problème — 2ème partie : matrices de Gram et distance

3.1.

|G(u₁, u₂)| = ‖u₁‖²‖u₂‖² − (u₁|u₂)² ≥ 0 par Cauchy–Schwarz, avec égalité si et seulement si la famille est liée (cas d'égalité).

3.2.

(u_i|u_j) = (u_j|u_i) : G est symétrique.

3.3.1.

w_k = Σ_l q_l,ku_l où Q = I_p + Σ_j≠i λ_jE_j,i (identité modifiée seulement dans la colonne i, hors diagonale). Par bilinéarité, G(w) = ^tQ G(u) Q. Q est un produit de transvections, det Q = 1, donc |G(w₁, …, w_p)| = |G(u₁, …, u_p)|. (Autre lecture : C_i ← C_i + Σ λ_jC_j puis L_i ← L_i + Σ λ_jL_j.)

3.3.2.

Si la famille est liée, un u_i s'écrit Σ_j≠i μ_ju_j ; avec λ_j = −μ_j, w_i = 0, donc G(w) a une ligne nulle : |G(u)| = |G(w)| = 0.

3.4.1. et 3.4.2.

La base (e_k) étant orthonormée : (u_i|u_j) = Σ_k b_k,ib_k,j, qui est le coefficient (i, j) de ^tBB : G(u₁, …, u_p) = ^tBB.

3.4.3.

(u₁, …, u_p) et (e₁, …, e_p) sont deux bases de Vect(u₁, …, u_p), B est la matrice de passage, donc inversible : |G| = (det B)² > 0. Bilan : |G| ≥ 0, avec |G| = 0 ⇔ famille liée.

3.5.1.

p_F(x) = Σ μ_jv_j et y = x − p_F(x) ∈ F^⊥. Par 3.3.1 (on retranche Σ μ_jv_j au dernier vecteur) : |G(v₁, …, v_n, x)| = |G(v₁, …, v_n, y)|. Comme y ⊥ v_j, cette matrice est diagonale par blocs [G(v), 0 ; 0, ‖y‖²], donc son déterminant vaut ‖y‖²|G(v)|. Enfin (v₁, …, v_n, p_F(x)) est liée, donc |G(v₁, …, v_n, p_F(x))| = 0 (3.3.2). L'égalité demandée en découle.

3.5.2.

d(x, F) = ‖x − p_F(x)‖ et |G(v₁, …, v_n)| > 0 (famille libre, 3.4.3) : d(x, F) = √( |G(v₁, …, v_n, x)| / |G(v₁, …, v_n)| ).

3.6.1.

La matrice de (v₁, …, v_n) dans la base canonique est triangulaire supérieure avec des 1 sur la diagonale (déterminant 1) : la famille est libre (c'est une base de ℝⁿ).

3.6.2.

⟨v_i, v_j⟩ = nombre d'indices communs à {1, …, i} et {1, …, j} : ⟨v_i, v_j⟩ = min(i, j). Donc A_n = G(v₁, …, v_n) est une matrice de Gram.

3.6.3.

A_n est symétrique réelle : orthogonalement diagonalisable (théorème spectral). Avec V la matrice des v_j (inversible), A_n = ^tVV ; si A_nX = μX avec X ≠ 0, alors μ‖X‖² = ^tXA_nX = ‖VX‖² > 0 : toutes les valeurs propres sont strictement positives.

Problème — 3ème partie : calcul d'un minimum

4.1. Produit scalaire

(.|.) est bilinéaire (linéarité de l'intégrale), symétrique, positive (∫₀¹P² ≥ 0). Définie : si ∫₀¹P² = 0, la fonction continue positive P² est nulle sur [0, 1], donc P a une infinité de racines : P = 0. C'est un produit scalaire.

4.2.1.

(P_ni|P_nj) = ∫₀¹ t^n_i+n_j dt = 1/(n_i + n_j + 1).

4.2.2.

C'est un déterminant de Cauchy avec a_i = n_i et b_j = n_j + 1 (a_i + b_j = n_i + n_j + 1 > 0). Par 2.4.3 :

|G(P_n1, …, P_np)| = Π_1≤i<j≤p(n_j − n_i)² / Π_1≤i,j≤p(n_i + n_j + 1).

4.2.3.

Les n_i sont deux à deux distincts, donc ce déterminant est non nul ; par 3.3.2 (contraposée), la famille est libre (on peut aussi invoquer les degrés distincts).

4.2.4. Distance à 𝒲_p

Si r est l'un des n_k, P_r ∈ 𝒲_p, la distance est nulle et la formule donne bien 0. Sinon, les entiers n₁, …, n_p, r sont distincts et par 3.5.2 d(P_r, 𝒲_p)² = |G(P_n1, …, P_np, P_r)| / |G(P_n1, …, P_np)|. Dans le quotient des deux formules de 4.2.2, il reste au numérateur les facteurs (r − n_k)² et au dénominateur (2r + 1) (terme i = j = r) et (n_k + r + 1)² (termes (k, r) et (r, k)) :

d(P_r, 𝒲_p)² = Π_k(n_k − r)² / [(2r + 1) Π_k(n_k + r + 1)²], d'où d(P_r, 𝒲_p) = (1/√(2r+1)) Π_k=1^p |n_k − r| / (n_k + r + 1).

4.3.1. Existence et unicité du minimum

ψ(x₁, …, x_n) = ‖P₀ − Σ_k=1ⁿ x_kP_k‖² pour la norme de 4.1. Avec 𝒲 = Vect(P₁, …, P_n) (dimension finie n), inf ψ = d(P₀, 𝒲)², et la distance est atteinte en un unique point : la projection orthogonale p_𝒲(P₀) (Pythagore : ‖P₀ − W‖² = ‖P₀ − p_𝒲(P₀)‖² + ‖p_𝒲(P₀) − W‖²). Comme (P₁, …, P_n) est libre, p_𝒲(P₀) = Σ a_kP_k avec (a₁, …, a_n) unique.

4.3.2. Valeur du minimum

On applique 4.2.4 avec r = 0, p = n et n_k = k : d(P₀, 𝒲) = (1/√1) Π_k=1ⁿ k/(k + 1) = 1/(n + 1) (produit télescopique). Donc ψ(a₁, …, a_n) = 1/(n + 1)². Contrôle pour n = 1 : ∫₀¹(1 − at)²dt = 1 − a + a²/3, minimal en a = 3/2, de valeur 1/4 = 1/2².

💡 Ce qu'il faut retenir et réviser pour le CNC MP (Maths II) : réduction des endomorphismes (χ_A, Cayley–Hamilton, nilpotents, base de Jordan u²(e), u(e), e, exponentielle d'une matrice 2I + N avec N nilpotente), décomposition en éléments simples avec pôles simples, opérations sur les lignes et développement d'un déterminant, déterminant de Cauchy (et celui de Hilbert 1/(i+j−1) qui en est un cas particulier), matrices de Gram (G = ^tBB, det G ≥ 0, nul ssi famille liée), projection orthogonale et formule d(x, F)² = |G(v, x)|/|G(v)|, théorème spectral. L'application finale (minimum de ∫(1 − Σ a_kt^k)² = 1/(n+1)²) est un classique à connaître.