Modèle de concours : CNC 2018 Mathématiques II (MP) — Concours National Commun

Ce sujet est l'épreuve de Mathématiques II du Concours National Commun (CNC) 2018, filière MP, commun aux écoles d'ingénieurs marocaines recrutant après les classes préparatoires (CPGE). L'énoncé fait 4 pages, la calculatrice est interdite. Il comporte un exercice d'algèbre linéaire (réduction d'une matrice « a sur la diagonale, b ailleurs » puis application à une famille de n+1 vecteurs unitaires d'un espace euclidien de dimension n) et un problème qui démontre le théorème d'Aupetit (1988) : si pour tout x la famille (x, f(x), …, fⁿ(x)) est liée, alors (id_E, f, …, fⁿ) est liée. Type : exercice + problème. Voici une correction méthodologique proposée.

💡 Avant de commencer : l'exercice est rapide et très rentable (rang, spectre, polynôme minimal, racine carrée d'une matrice symétrique positive) : traitez-le en premier. Dans le problème, la 1ère partie (théorème de Liouville pour les fractions rationnelles) et la 2ème partie (endomorphismes qui stabilisent toutes les droites) sont des classiques indépendants ; la 3ème partie est longue mais chaque question utilise les précédentes, donc admettez un résultat plutôt que de bloquer.

Exercice — 1ère partie : réduction de A

On note J la matrice de M_n(ℝ) dont tous les coefficients valent 1. Alors A = (a − b) I_n + b J = β I_n + b J.

1.1. Rang de A − βI_n

A − βI_n = bJ : toutes les colonnes sont égales au vecteur non nul b(1,…,1) (b ≠ 0). Donc rg(A − βI_n) = 1.

1.2. β valeur propre

Par le théorème du rang, dim Ker(A − βI_n) = n − 1 ≥ 1 (n ≥ 2). Donc β est valeur propre et E_β(A) est de dimension n − 1 : c'est l'hyperplan H = {x ∈ ℝⁿ : x₁ + … + x_n = 0}.

1.3. Diagonalisation orthogonale

Avec U = (1,…,1)^T : AU = (a + (n−1)b)U = γU, donc γ est valeur propre, et γ − β = nb ≠ 0. A est symétrique réelle : par le théorème spectral ses sous-espaces propres sont orthogonaux et supplémentaires ; ici ℝⁿ = H ⊕ ℝU (orthogonaux). On prend une base orthonormée (ε₁,…,ε_n−1) de H et ε_n = U/√n ; la matrice Q de colonnes ε₁,…,ε_n est orthogonale et A = QDQ^T. P = Q^T convient : A = ^tPDP.

1.4. Déterminant

det A = det D = βⁿ⁻¹γ = (a − b)ⁿ⁻¹(a + (n−1)b). A est inversible si et seulement si a ≠ b et a ≠ −(n−1)b.

1.5. Polynôme minimal et inverse

A est diagonalisable avec exactement deux valeurs propres distinctes β et γ, donc π_A = (X − β)(X − γ) (scindé à racines simples, et A n'est pas scalaire). Ainsi A² − (β+γ)A + βγ I_n = 0, avec β + γ = 2a + (n−2)b et βγ = (a−b)(a+(n−1)b). Si A est inversible (βγ ≠ 0) :

A⁻¹ = [ (2a + (n−2)b) I_n − A ] / [ (a − b)(a + (n−1)b) ].

1.6. Racine carrée symétrique positive

Si β, γ ≥ 0, on pose Δ = diag(√β, …, √β, √γ) et S = ^tPΔP : S est symétrique, ses valeurs propres √β, √γ sont ≥ 0 et S² = ^tPΔ²P = ^tPDP = A. Forme explicite : S = √β I_n + ((√γ − √β)/n) J. Vérification (J² = nJ) : S² = βI_n + [2√β(√γ−√β) + (√γ−√β)²]/n · J = βI_n + ((γ − β)/n) J = βI_n + bJ = A.

Exercice — 2ème partie : famille de n+1 vecteurs unitaires

2.1.1. α ∈ [−1, 1[

Cauchy–Schwarz : |α| = |(u_i|u_j)| ≤ ‖u_i‖‖u_j‖ = 1 et α ≠ 1, d'où α ∈ [−1, 1[. Le cas d'égalité de Cauchy–Schwarz dit que (u_i, u_j) est liée ssi |α| = 1, c'est-à-dire ici ssi α = −1 (u_j = −u_i). Si α ∈ ]−1, 1[ la famille (u_i, u_j) est libre ; elle est liée seulement si α = −1. Remarque : α = −1 est en fait impossible, car n + 1 ≥ 3 donnerait u₂ = −u₁, u₃ = −u₁, donc (u₂|u₃) = 1 ≠ −1.

2.1.2.

n + 1 vecteurs dans un espace de dimension n forment une famille liée.

2.1.3. G non inversible

Soit (λ₁,…,λ_n+1) ≠ 0 avec Σ_j λ_ju_j = 0. Pour tout i : Σ_j λ_j(u_i|u_j) = (u_i|Σ λ_ju_j) = 0, donc GΛ = 0 avec Λ = (λ_j) ≠ 0 : les colonnes de G sont liées, G n'est pas inversible.

2.1.4. Valeur de α

G est la matrice de la 1ère partie d'ordre n+1 avec a = 1, b = α ≠ 0. Par 1.4, det G = (1 − α)ⁿ(1 + nα) = 0 ; comme α ≠ 1 : α = −1/n.

2.2.1. Racine carrée de M

M est du même type (ordre n+1, a = 1, b = c = −1/n ≠ 0) : β = 1 + 1/n > 0 et γ = 1 + n·c = 0 ≥ 0. Par 1.6, il existe B symétrique (à valeurs propres ≥ 0) telle que M = B².

2.2.2.

m_i,j = Σ_k b_i,kb_k,j = Σ_k b_k,ib_k,j (B symétrique) : c'est le produit scalaire canonique des colonnes i et j de B.

2.2.3.

On prend w_i = i-ème colonne de B. Alors ⟨w_i, w_j⟩ = m_i,j, et ‖w_i‖² = m_i,i = 1 : les w_i sont unitaires.

2.2.4. Le sous-espace F

det M = βⁿγ = 0 : M n'est pas inversible, et MU = 0 avec U = (1,…,1)^T. Alors ‖BU‖² = U^TB^TBU = U^TMU = 0, donc BU = Σ w_j = 0, et comme B est symétrique, ⟨w_i, U⟩ = (BU)_i = 0. F = U^⊥ = {x : x₁ + … + x_n+1 = 0} est un hyperplan (dimension n) contenant tous les w_i. (Autre voie : F = Im B, de rang n puisque 0 est valeur propre simple de B.)

2.2.5. La réciproque

E et F sont deux espaces euclidiens de même dimension n. Soient (f_k) une base orthonormée de F et (e_k) une base orthonormée de E ; l'application linéaire φ : F → E définie par φ(f_k) = e_k conserve le produit scalaire (elle envoie une base orthonormée sur une base orthonormée). On pose v_i = φ(w_i) : ‖v_i‖ = 1 et (v_i|v_j) = ⟨w_i, w_j⟩ = c = −1/n pour i ≠ j. Conclusion de l'exercice : une telle famille existe si et seulement si α = −1/n.

Problème — 1ère partie : fractions rationnelles bornées

3.1.

Pour z ∉ D c'est l'hypothèse. Si z ∈ D : D est fini, donc z est limite d'une suite (z_k) de ℂ \ D ; par continuité des fonctions polynomiales, |R(z_k)| ≤ M|Q(z_k)| passe à la limite. Pour tout z ∈ ℂ, |R(z)| ≤ M|Q(z)|.

3.2.

Si z₀ est une racine de Q, alors |R(z₀)| ≤ 0, donc R(z₀) = 0 et X − z₀ divise R et Q, ce qui contredit R ∧ Q = 1. Donc Q n'a aucune racine complexe : d'après d'Alembert–Gauss, Q est une constante non nulle et R/Q = P est un polynôme, avec |P(z)| ≤ M pour tout z.

3.3.1.

∫₀^2π e^i(k−q)t dt = 2π si k = q, et 0 si k ≠ q (primitive e^i(k−q)t/(i(k−q)), 2π-périodique).

3.3.2.

P(re^it)e^−iqt = Σ_k=0^d a_kr^ke^i(k−q)t ; par linéarité et 3.3.1 : ∫₀^2π P(re^it)e^−iqt dt = 2π a_q r^q.

3.3.3.

|2π a_q r^q| ≤ ∫₀^2π |P(re^it)| dt ≤ 2πM, donc |a_q| ≤ M / r^q → 0 quand r → +∞ (q ≥ 1). Donc a_q = 0 pour q = 1,…,d : P = a₀ est constant (version polynomiale du théorème de Liouville).

Problème — 2ème partie : le cas n = 1 et applications

4.1.1.

x ≠ 0 et (x, f(x)) liée : μx + νf(x) = 0 avec (μ, ν) ≠ (0, 0). Si ν = 0 alors μx = 0 avec μ ≠ 0, impossible ; donc f(x) = λ_xx avec λ_x = −μ/ν. Unicité : λx = λ'x et x ≠ 0 donnent λ = λ'.

4.1.2.

(x, y) liée, x, y ≠ 0 : y = μx avec μ ≠ 0. f(y) = μf(x) = λ_xμx = λ_xy, donc par unicité λ_y = λ_x.

4.1.3.

(x, y) libre : x + y ≠ 0 et f(x + y) = λ_x+y(x + y) = λ_xx + λ_yy. Par liberté : λ_x = λ_x+y = λ_y.

4.1.4.

λ_x = λ ne dépend pas de x ≠ 0, et f(0) = 0 = λ·0 : f = λ id_E, homothétie, et f − λ id_E = 0 montre que (id_E, f) est liée.

4.2.1.

Si f(ℂx) ⊂ ℂx pour tout x ≠ 0, alors f(x) ∈ ℂx et (x, f(x)) est liée pour tout x : f est une homothétie par 4.1.4.

4.2.2.

x ≠ 0 : on complète en une famille libre (x, y, z) (dim E ≥ 3). Les plans Π₁ = Vect(x, y) et Π₂ = Vect(x, z) sont stables, donc f(x) ∈ Π₁ ∩ Π₂ = ℂx. f stabilise toutes les droites : homothétie par 4.2.1.

4.2.3.

• (i) Sinon (x, f(x)) serait liée pour tout x et f serait une homothétie (4.1.4) : il existe x₀ avec (x₀, f(x₀)) libre.
• (ii) Théorème de la base incomplète (dim E = p ≥ 2) : on complète cette famille libre en une base (x₀, f(x₀), e₃, …, e_p).
• (iii) h(x₀) = x₀ et h(f(x₀)) = −f(x₀). Donc h(f(x₀)) = −f(x₀) et f(h(x₀)) = f(x₀). Comme f(x₀) ≠ 0, ces deux vecteurs sont différents : hf ≠ fh.

4.2.4.

Par contraposée : si f n'est pas une homothétie, la symétrie h de 4.2.3 ne commute pas avec f. Donc si fg = gf pour tout g ∈ L(E), f est une homothétie (le centre de L(E) est formé des homothéties).

4.2.5.

Si A = λI_p, AM = λM = MA. Réciproquement, on applique 4.2.4 à l'endomorphisme f_A de ℂ^p canoniquement associé : il commute avec tous les endomorphismes (via l'isomorphisme M_p(ℂ) ≅ L(ℂ^p)), donc f_A = λ id et A = λI_p est scalaire.

Problème — 3ème partie : le cas général (théorème d'Aupetit)

5.1.1. L'entier n_x

L'ensemble K = {k ∈ {1,…,n} : (x, f(x), …, f^k(x)) liée} contient n (hypothèse), il a donc un plus petit élément n_x. Si n_x = 1, la famille (x) est libre car x ≠ 0 ; si n_x ≥ 2, (x, …, f^n_x−1(x)) est libre par minimalité. Unicité : si m convient, la liberté de (x, …, f^m−1(x)) entraîne celle des sous-familles, donc m ≤ n_x, et la liaison au rang m donne n_x ≤ m. n_x existe et est unique.

5.1.2.

Une famille libre complétée par un vecteur devient liée ⇒ ce vecteur est combinaison des autres : f^n_x(x) ∈ V_x = Vect(x, …, f^n_x−1(x)). Pour k ≤ n_x − 1, f(f^k(x)) = f^k+1(x) ∈ V_x : V_x est stable par f, et donc contient tous les f^k(x), k ∈ ℕ.

5.2.1.

{n_x} est une partie non vide (E ≠ {0}, sinon tout est trivial) de {1,…,n} : p = max existe et p ≤ n ; un x₀ réalisant ce maximum vérifie les propriétés de 5.1.1 avec n_x0 = p.

5.2.2.

f^p(x₀) ∈ Vect(x₀, …, f^p−1(x₀)) s'écrit de façon unique Σ_k<p c_kf^k(x₀) ; P = X^p − Σ_k<p c_kX^k vérifie P(f)(x₀) = 0. Si Q = Σ_k<p q_kX^k ≠ 0, Q(f)(x₀) = Σ q_kf^k(x₀) ≠ 0 par liberté. Unicité : si P' convient aussi, P − P' ∈ ℂ_p−1[X] annule x₀, donc P = P'.

5.3.1. F est stable

F = V_x0 + V_e : en effet f^k(x₀) ∈ V_x0 et f^k(e) ∈ V_e pour tout k (5.1.2), et V_e = Vect(e, …, f^n_e−1(e)) avec n_e ≤ p. Somme de deux sous-espaces stables, F est stable par f.

5.3.2.

dim V_x0 = p et dim V_e = n_e ≤ p, donc p ≤ dim F ≤ 2p.

5.3.3.

On complète la famille libre (x₀, …, f^p−1(x₀)) en une base de F ; φ_j = j-ème forme coordonnée de la base duale (j = 0,…,p−1) vérifie φ_j(fⁱ(x₀)) = δ_i,j.

5.4. Δ(λ) polynôme

φ_j(fⁱ(v_λ)) = δ_i,j + λ φ_j(fⁱ(e)) : chaque coefficient est un polynôme de degré ≤ 1 en λ. Le déterminant, somme de produits de p coefficients, est un polynôme de degré ≤ p, et Δ(0) = det I_p = 1. En particulier Δ ≠ 0 et Z (ensemble de ses racines) est fini, avec 0 ∉ Z.

5.5.

Si v_λ = 0, on prend α_k(λ) = 0. Sinon n_vλ ≤ p et V_vλ est stable (5.1.2), donc f^p(v_λ) ∈ V_vλ ⊂ Vect(v_λ, …, f^p−1(v_λ)) : la relation (1) existe.

5.6.1.

v_λ ∈ F et F est stable, donc tous les f^k(v_λ) sont dans F ; on applique la forme linéaire φ_j à (1) : on obtient (2).

5.6.2. Les α_k sont rationnelles

(2) est un système linéaire de p équations, d'inconnues α₀(λ), …, α_p−1(λ), dont la matrice (φ_j(f^k(v_λ)))_j,k est la transposée de celle de Δ(λ). Pour λ ∉ Z, il est de Cramer : α_k(λ) est unique et, par les formules de Cramer, α_k(λ) = Δ_k(λ)/Δ(λ), où Δ_k est un déterminant dont les coefficients sont polynomiaux en λ (le second membre φ_j(f^p(v_λ)) est affine en λ). Sur ℂ \ Z, les α_k sont des fractions rationnelles.

5.7.1.

Si Σ μ_ifⁱ(v_λ) = 0, on applique φ_j : Σ_i μ_iφ_j(fⁱ(v_λ)) = 0 pour tout j, système de déterminant Δ(λ) ≠ 0, donc μ = 0 : la famille est libre.

5.7.2.

Q_j = Π_k≠j(X − β_k(λ)) est unitaire de degré p − 1, donc Q_j(f)(v_λ) = f^p−1(v_λ) + Σ_i<p−1 q_ifⁱ(v_λ) est une combinaison non triviale d'une famille libre : Q_j(f)(v_λ) ≠ 0.

5.7.3.

(1) s'écrit P_λ(f)(v_λ) = 0 et P_λ = (X − β_j(λ))Q_j. Avec w = Q_j(f)(v_λ) ∈ F, w ≠ 0 : (f − β_j(λ)id)(w) = 0. β_j(λ) est valeur propre de f_F.

5.8. Norme subordonnée

• Bien défini : F est de dimension finie, g est continue et la sphère unité est compacte, donc le sup est fini.
• 5.8.1 : ‖g‖ ≥ 0 ; ‖g‖ = 0 ⇒ g(x) = 0 sur la sphère, donc partout par homogénéité ; ‖μg‖ = |μ|‖g‖ ; ‖(g+h)(x)‖ ≤ ‖g(x)‖ + ‖h(x)‖ ≤ ‖g‖ + ‖h‖. C'est une norme.
• 5.8.2 : par homogénéité ‖g(y)‖ ≤ ‖g‖‖y‖ pour tout y, donc ‖gh(x)‖ ≤ ‖g‖‖h(x)‖ ≤ ‖g‖‖h‖ pour ‖x‖ = 1 : ‖gh‖ ≤ ‖g‖‖h‖.
• 5.8.3 : un vecteur propre w unitaire associé à β_j(λ) donne |β_j(λ)| = ‖f_F(w)‖ ≤ ‖f_F‖. |β_j(λ)| ≤ ‖f_F‖, borne indépendante de λ (F ne dépend que de x₀ et e).

5.8.4. Viète

On a Π_k(X − β_k) =X^p + Σ_m=1^p (−1)^mσ_mX^p−m, où σ_m = Σ_i1<…<im β_i1…β_im (fonctions symétriques élémentaires). En identifiant avec P_λ : α_k(λ) = (−1)^p−k+1 σ_p−k(β₀(λ), …, β_p−1(λ)). D'où |α_k(λ)| ≤ C(p, p−k)‖f_F‖^p−k : les α_k sont bornées sur ℂ \ Z.

5.9. Conclusion

Chaque α_k est, sur ℂ \ Z (Z fini), une fraction rationnelle (mise sous forme irréductible R/Q) définie et bornée : par la 1ère partie, α_k est constante. Donc P_λ ne dépend pas de λ ∈ ℂ \ Z ; pour λ = 0 ∉ Z, v₀ = x₀ et l'unicité de 5.2.2 donne P₀ = P. Ainsi P_λ = P pour tout λ ∉ Z (et pour λ ∈ Z on peut choisir α_k(λ) égaux aux coefficients de P, (1) restant vraie d'après ce qui suit). Par (1) : 0 = P(f)(v_λ) = P(f)(x₀) + λP(f)(e) = λP(f)(e). En prenant λ ∈ ℂ \ Z non nul (Z est fini) : P(f)(e) = 0. Ceci pour tout e ≠ 0, donc P(f) = 0 : f^p est combinaison de id_E, …, f^p−1, la famille (id_E, …, f^p) est liée, et (id_E, f, …, fⁿ) aussi puisque p ≤ n. C'est le théorème d'Aupetit.

💡 Ce qu'il faut retenir et réviser pour le CNC MP (Maths II) : la matrice βI + bJ (spectre, polynôme minimal, inverse par π_A, racine carrée par diagonalisation orthogonale) revient très souvent ; revoyez le théorème spectral, les matrices de Gram (G = ^tBB, liaison ⇔ det G = 0), la construction d'isométries entre espaces euclidiens de même dimension, les endomorphismes commutant avec tous les autres (centre de L(E)), le théorème de la base incomplète, les formules de Cramer et de Viète, la norme subordonnée et le « Liouville polynomial » par les coefficients de Fourier ∫ P(re^it)e^−iqt dt. Méthode : rappelez toujours le numéro de la question et citez le théorème utilisé, c'est explicitement noté dans le barème.