Modèle de concours : CNC 2016 Mathématiques II (MP) — Concours National Commun
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En bref
Ce document est une ancienne épreuve écrite du concours de Concours d'accès aux écoles d'ingénieurs organisé par Concours National Commun (CNC) — CPGE (2016), publiée sur Wadifa Info en consultation et téléchargement PDF gratuits, avec une correction proposée.
- Organisme
- Concours National Commun (CNC) — CPGE
- Grade
- Concours d'accès aux écoles d'ingénieurs
- Spécialité
- Mathématiques II
- Année
- 2016
- Pages
- 5
- Langue des questions
- français
- Correction
- correction proposée disponible sur cette page
Sujet officiel de l'épreuve de Mathématiques II du Concours National Commun (CNC) 2016 d'admission dans les établissements de formation d'ingénieurs et assimilés, pour les élèves des classes préparatoires (CPGE) de la filière MP. Ce modèle contient les 5 pages de l'énoncé original. Les autres épreuves et sessions du CNC sont aussi disponibles sur le site.
📝 Texte des questions (extrait automatiquement des pages scannées)
Ce texte est extrait automatiquement des images de l'épreuve et peut contenir des erreurs de lecture — les images ci-dessus font foi.
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Ministère de l'Enseignement Supérieur de la Recherche
Scientifique de la Formation des Cadres
Présidence du Concours National Commun
École Nationale Supérieure des Mines de Rabat
CONCOURS NATIONAL COMMUN
d'admission aux Etablissements de Formation d'Ingénieurs et
Etablissements Assimilés
Session 2016
ÉPREUVE DES MATHÉMATIQUES II
Filière MP
Durée 4 heures
cette épreuve comporte 4 pages au format A4, en plus de cette page de garde
L'usage de la calculatrice est interdit
Page de garde
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— صفحة 2 —
Concours National Commun - Session 2016 - Filière MP
L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière MP,
comporte 4 pages.
L'usage de tout matériel électronique, y compris la calculatrice, est interdit.
Les candidats sont informés que la qualité de la rédaction et de la présentation, la clarté et la précision des raisonnements
constitueront des éléments importants pour l'appréciation des copies. Il convient en particulier de rappeler avec précision
les références des questions abordées.
“51, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et
poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Le sujet de cette épreuve est composé d’un problème.
Durée : 4 heures
Problème
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2, on désigne par EF = #(lR) l'espace vectoriel des matrices
carrées d'ordre n à coefficients réels et on note par E* = Z(E,R), le R-espace vectoriel des formes linéaires
sur £, (une forme linéaire sur Æ est une application linéaire de Æ sur R). On rappelle qu’un hyperplan de E
est un sous-espace vectoriel supplémentaire à une droite vectorielle dans Æ. La matrice transposée de M est
notée ‘M. Si M € E, on note Vect( M) le sous-espace vectoriel de F engendré par M. On désigne par I, la
matrice unité de .,,(R) et pour tout s € N, on note [1,n] = {1,…,s}.
On définit l'application trace, notée Tr, de E vers R comme suit, pour tout M = (mi;)i‹ij‹n € E,
7
L'objet du problème est de montrer, dans la partie V, que tout hyperplan vectoriel de Æ contient au moins une
matrice inversible et dans la partie VI, que tout hyperplan vectoriel de E qui est muni d’un produit scalaire,
contient au moins une matrice orthogonale.
Partie I
Étude de quelques propriétés de l'application trace
1. (a) Montrer que Tr est une forme linéaire.
(b) Montrer que pour tous éléments À et B de E, Tr(AB) = Tr(BA) = Tr((‘A)(‘B)).
(c) Déterminer la dimension de ker Tr.
(d) Montrer que F = ker Tr © Vect(I,,).
(e) Vérifier que ker Tr est un hyperplan de F qui contient au moins une matrice inversible.
2. Soit مب l'application qui, à toute matrice M de F associe ÿ(M) = M + Tr(M)In.
(a) Montrer que est un automorphisme de F.
iii. En déduire que م est diagonalisable et déterminer les valeurs propres de .ب
3. Soit J une matrice non nulle de Æ dont la trace est nulle. On considère ثب l'endomorphisme de E qui, à
toute matrice M de E associe (M) = M + Tr(M)J.
(a) Vérifier que le polynôme X? — 2X + 1 est un polynôme annulateur de نب
(b) Montrer que 1 est la seule valeur propre de .ل
(c) ب est-il diagonalisable ? Justifier la réponse.
Épreuve de Mathématiques 1 1/4 Tournez la page S.V.P.
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Concours National Commun - Session 2016 - Filière MP
Partie II
Un premier résultat préliminaire
Soient F et G deux espaces vectoriels de dimensions respectivement finies م € N’ et m € N°. Soit u une
application linéaire de F vers G, de rang r tel que r € N. Æn,p(R) désigne l’espace vectoriel des matrices à
coefficients réels, à m lignes et p colonnes.
1. Soit F, un supplémentaire de keru dans F, on considère l'application v : F, — Im(u) telle que
2 — v(x) = u(x). Montrer que v est un isomorphisme.
2. On suppose que 0 › 7 › min(p, m) et on note # = (e, …, ep) une base de F, telle que (e;, …, €.) soit
une base de F, et (e,.4-1, …, €) une base de ker w. On pose, pour tout entier naturel ; € [1, r], €; = v(e;).
(a) Montrer qu’il existe une famille (€,+1,… Em) de vecteurs de G, telle que la famille © = (e1, …, Em)
soit une base de G.
(b) Déterminer Matæ « (u), la matrice de u relativement aux bases # et ©.
3. En déduire que pour toute matrice M de ,لظام si 0 › r = rg(M) › min(m,p), alors il existe
deux matrices inversibles S et T respectivement de .#,7(R) et ,(R) telles que M = SJm,prT7! avec
Jp ( ; : ) € Mm,p(R) et I, la matrice identité de #,(R).
4. Quelle est la forme de la matrice Jm,p,r, dans chaque cas suivant, (0 ‹r=p‹m),(0‹r=m‹p)(
0‹r=m-= p)? ustifier la réponse.
Partie [I
Un deuxième résultat préliminaire
Soit L un espace vectoriel sur R de dimension finie s( s € N° ). Notons L* = Z(L,R) l'espace des formes
linéaires de L. Soit 4 = (L,,… L,) une base de L. On note, pour tout : € ]1, s], 1 la forme linéaire sur L définie
1 sii=j
; , le symbole de Kronecker.
0 sinon
de la façon suivante, pour tout entier j € ]1, s], /*(1;) = 8! où à = {
1. Montrer que 4* = (I, l£) est une famille libre de L*.
2. Soitr € Ltel quex = › æ;l;, montrer que, pour tout ÿ € [1, 4, 15 (æ) = x;.
3. En déduire que 4" est une famille génératrice de L*.
4. En déduire la dimension de L*.
Partie IV
Une caractérisation d’une forme linéaire sur F
Soit A une matrice de F, on définit l'application رن de E vers R, de la façon suivante, pour tout M de E,
1. Vérifier que da est une forme linéaire sur E.
2. Soit h l'application définie de E vers E* par À + h(A) = da.
Soit (à, 7) € [1, n] x [1, n], une matrice élémentaire E; ; = (er,1)i‹k.i‹n € لاما est définie comme suit,
pour tout couple d’entiers (k,/) € [1,n] x [1,n], بن = 61,67, (61, ( resp. 67) est le symbole de Kronecker
qui est défini dans la partie II).
(a) Vérifier que h est une application linéaire.
(b) i. On pose À = (az1)i‹ki‹n € (BR) et soit (i, j) € [1, n] x [1, n], calculer 6 4 (F;,;) en fonction
des coefficients de la matrice de À.
ii. En déduire que À est injective.
Épreuve de Mathématiques 1 2/4 Tournez la page S.V.P.
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Concours National Commun - Session 2016 - Filière MP
(c) En déduire que h est un isomorphisme d'espaces vectoriels.
Partie V
Tout hyperplan de E contient au moins une matrice inversible
Soit H un hyperplan de F.
1. Montrer que pour toute matrice À non nulle de F qui n'appartient pas à H, on a EF = H © Vect (A).
2. Montrer qu'il existe une matrice B de E telle que H = ker(é5).
0 see 0 À
1 0
3. On note r = rg(B) et on considère la matrice de F, P, = | 0
0 0 1 0
(a) Montrer que P; est une matrice inversible.
; . Montrer
Tig = 0 sinon
(b) On suppose que 0 › r › net on note R, = (ri,j)1‹i,j‹n , AVEC {
que P, appartient à ker(br,).
4. En déduire que tout hyperplan H de F contient au moins une matrice inversible.
Partie VI
Tout hyperplan de E contient au moins une matrice orthogonale
L'espace vectoriel F étant muni du produit scalaire défini comme suit, pour toutes matrices M et N de E,
(M|N) = Tr(EM N). On rappelle que le groupe orthogonal et l’espace vectoriel des matrices symétriques de
E sont notés respectivement 6, = {M € EF; ‘MM = I,} et S, = {M € E; 'M = M}.
Soit N un élément de @,, on définit l'application Ov de E dans lui-même comme suit, pour tout P de E,
On(P) = NPN.
1. On pose À = (ai,j)1‹i,j‹n et B = (bi,j)1‹i,j‹n deux éléments de F.
11 11
(a) Montrer que (A|B) = 5 Ÿ بريه
(b) Vérifier que tout hyperplan de F est l’orthogonal d’une matrice Y non nulle, cet hyperplan sera
noté #.
(c) Montrer que pour toute matrice orthogonale N de E, Ov est un automorphisme d'algèbres de F.
(d) Vérifier que pour toutes matrices N, et وا orthogonales de E, On, 9 Ov, = OnaN1€t (On, )7* = بر
2. Montrer que pour toute matrice orthogonale N de رك On est une bijection de م sur lui-même.
3. Montrer que pour toute matrice orthogonale N de FE, On est une bijection de ./, sur lui-même.
4. Soit Y une matrice non nulle de F, P un élément de F et N une matrice orthogonale de F, montrer que
la matrice P appartient à 2/1 si et seulement si On(P) appartient à Æ, (Y)-
1
5. On suppose dans cette question que n est pair. Soit Y un élément non nul de F. On pose Y, = 3 (Y+Y).
(a) Montrer que G, N74 24 = On VI OH,
(b) Montrer qu’il existe une matrice orthogonale U de F telle que “لآ = 0y(Y;) soit diagonale.
(c) On considère la matrice suivante Q = ؛ m | ” | 0 de E, vérifier que Q € 0م05 م6 277
100.0
Épreuve de Mathématiques 1 3/4 Tournez la page S.V.P.
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Concours National Commun - Session 2016 - Filière MP
(d) Montrer que لك 0م € (90) ن:0
(e) En déduire que si n est un nombre pair, alors tout hyperplan #- de E contient au moins une
matrice orthogonale et symétrique.
6. On suppose maintenant que n = 2p + 1 où p › 1. On rappelle qu’une matrice orthogonale est positive
si son déterminant est égal à 1. Soit Y une matrice non nulle de F.
(a) Montrer qu'il existe une matrice orthogonale U de E, telle que les éléments diagonaux d1,1, بعك …, dn,n
de D = 0(Y) vérifient |d; 1| £ |da,9| ‹ … اها ك
(b) Si d,,n = 0, déterminer dans ce cas, une matrice orthogonale et positive appartenant à كا
(c) On suppose que جيم 0 et on considère la suite (€4)1‹p‹n définie de la façon suivante, pour tout
entier k tel que 1 › k › n, €, est le signe de رمك si dj. x # 0, et €, = 1 si يك = 0.
Soit P” = (pi,;)1‹i,j‹n, la matrice carrée diagonale d'ordre 2p — 1, telle que, pour tout entier k,
1‹k‹2p— 1, p},, = (=1)*e,. On pose aussi, pour tout réel a,
AZ ( E2p COS © E2p Sin م ) Mo(R) et P, = ( P 0 ) € Mopr1(R).
Egp+1 SIN دجمو 086 0 A
. Vérifier que P, est une matrice orthogonale.
ii. Montrer qu'il existe trois réels a,b et c dépendant de (dpr)i‹k‹nr dap+1,2p7 dopop+1 et de
(E)1‹k‹n tels que (P,|D) = a cos a + bsin à — c, avec a › 0.
VETR et cos f = V5 ;
On suppose dans cette question que |c| ‹ a.
Montrer qu’il existe au moins un réel ه tel que Va? + خط sin(a + 8) = c.
iii. Soit / un réel tel que sin #8 =
iv. Soit (an)n›1 Une suite croissante de nombres réels positifs. Montrer que pour tout entier p › 1,
2p—1
0‹ مر 1- ( 3م ِ laz ‹ d2p + 20+1٠
k=1
v. En déduire qu'il existe un réel مه tel que (Pag|D) = 0.
vi. En déduire que la matrice ن:0 (Pao) € On NH.
vii. Établir que si n est un nombre impair, alors tout hyperplan #- de E contient au moins une
matrice orthogonale et positive.
FIN DE L'ÉPREUVE
Épreuve de Mathématiques I 4/4 FIN
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✅ Correction proposée
Il s'agit d'une correction proposée, rédigée par l'équipe wadifa-info pour vous aider à comprendre la méthode — ce n'est pas un corrigé officiel de l'administration organisatrice.
Cette épreuve est la Mathématiques II du Concours National Commun (CNC) 2016, filière MP, organisé par la présidence du CNC (École Nationale Supérieure des Mines de Rabat) pour l'admission dans les écoles d'ingénieurs marocaines. Durée : 4 heures, calculatrice interdite, 4 pages. Les pieds de page indiquent « Épreuve de Mathématiques I », alors que la page de garde annonce les Mathématiques II. C'est un problème d'algèbre linéaire en six parties. On y montre que tout hyperplan de E = ℳn(ℝ) contient une matrice inversible (partie V), puis une matrice orthogonale (partie VI). Les outils sont la trace, la dualité, la réduction à Jr et le théorème spectral. Voici une correction méthodologique proposée.
💡 Avant de commencer : les parties I à IV sont du cours (trace, rang, base duale, isomorphisme E ≅ E* via A ↦ Tr(A·)). Traitez-les vite et proprement : elles rapportent beaucoup de points. L'idée clé est qu'un hyperplan s'écrit H = {M ; Tr(BM) = 0}, et qu'on peut se ramener à B = Jr par équivalence (partie V) ou à B diagonale par similitude orthogonale (partie VI).
Partie I — Propriétés de la trace
- 1(a) Tr(λM + N) = Σ(λmkk + nkk) = λTr M + Tr N : Tr est une forme linéaire.
- 1(b) Tr(AB) = ΣiΣk aikbki = ΣkΣi bkiaik = Tr(BA). Comme la trace est invariante par transposition, Tr(tAtB) = Tr(t(BA)) = Tr(BA).
- 1(c) Tr est non nulle (Tr In = n ≠ 0), donc de rang 1. Par le théorème du rang, dim ker Tr = n2 − 1.
- 1(d) Si λIn ∈ ker Tr, alors nλ = 0, donc ker Tr ∩ Vect(In) = {0}. Les dimensions donnent (n2 − 1) + 1 = n2, d'où E = ker Tr ⊕ Vect(In). La décomposition explicite est M = (M − (Tr M/n)In) + (Tr M/n)In.
- 1(e) ker Tr admet une droite pour supplémentaire : c'est un hyperplan. Il contient la matrice inversible diag(1, …, 1, −(n − 1)), de trace nulle et de déterminant −(n − 1) ≠ 0.
2. φ(M) = M + Tr(M)In
- (a) φ est linéaire. Si φ(M) = 0, alors M = −Tr(M)In. En prenant la trace, Tr M = −nTr M, donc Tr M = 0, puis M = 0. φ est injective en dimension finie : c'est un automorphisme.
- (b) i. φ(M) = M ⇔ Tr(M)In = 0 ⇔ E1(φ) = ker Tr.
- ii. φ(M) = (n + 1)M ⇔ Tr(M)In = nM ⇔ M = (Tr M/n)In ∈ Vect(In). Réciproquement, φ(In) = (n + 1)In. Donc En+1(φ) = Vect(In).
- iii. Par 1(d), E = E1(φ) ⊕ En+1(φ) : φ est diagonalisable, de valeurs propres 1 (multiplicité n2 − 1) et n + 1 (multiplicité 1).
3. ψ(M) = M + Tr(M)J, avec J ≠ 0 et Tr J = 0
- (a) Tr ψ(M) = Tr M + Tr(M)Tr J = Tr M, donc ψ2(M) = ψ(M) + Tr(M)J = M + 2Tr(M)J. On en déduit ψ2 − 2ψ + id = 0 : X2 − 2X + 1 = (X − 1)2 annule ψ.
- (b) Toute valeur propre est racine de (X − 1)2, donc égale à 1. Et 1 est bien valeur propre, car ψ(J) = J avec J ≠ 0. Sp(ψ) = {1}.
- (c) Si ψ était diagonalisable avec 1 pour seule valeur propre, on aurait ψ = id, donc Tr(M)J = 0 pour tout M. Avec M = In, on obtient nJ = 0, ce qui contredit J ≠ 0. ψ n'est pas diagonalisable.
Partie II — Réduction du rang
- 1. v est linéaire. Si x ∈ F1 et u(x) = 0, alors x ∈ F1 ∩ ker u = {0} : v est injective. Pour y = u(x), on écrit x = x1 + x0 (x1 ∈ F1, x0 ∈ ker u), et y = u(x1) = v(x1) : v est surjective. v est un isomorphisme de F1 sur Im u.
- 2(a) (ε1, …, εr) est l'image d'une base de F1 par l'isomorphisme v : c'est une base de Im u, donc une famille libre de G. Le théorème de la base incomplète fournit εr+1, …, εm.
- 2(b) u(ei) = εi pour i ≤ r et u(ei) = 0 pour i > r, donc Matℬ,𝒞(u) = Jm,p,r = (Ir, 0 ; 0, 0).
- 3. Soit u : ℝp → ℝm canoniquement associée à M, de rang r. On prend ℬ et 𝒞 comme en 2. Soient T la matrice de passage de la base canonique de ℝp à ℬ, et S celle de la base canonique de ℝm à 𝒞. La formule de changement de bases donne M = S Jm,p,r T−1, avec S ∈ GLm(ℝ) et T ∈ GLp(ℝ).
- 4. La même construction marche dans les cas limites : si r = p, alors ker u = {0} et F1 = F ; si r = m, u est surjective. Les blocs nuls de taille 0 disparaissent : 0 < r = p < m : J = (Ip ; 0) (Ip au-dessus d'un bloc nul (m − p) × p) ; 0 < r = m < p : J = (Im 0) ; r = m = p : J = Ip.
Partie III — Base duale
- 1. Si Σλili* = 0, on évalue en lj : Σλiδij = λj = 0. ℬ* est libre.
- 2. lj*(x) = Σi xilj*(li) = Σi xiδji = xj.
- 3. Pour f ∈ L*, f(x) = Σ xjf(lj) = Σ f(lj)lj*(x), donc f = Σj f(lj) lj* : ℬ* est génératrice.
- 4. ℬ* est une base de L*, donc dim L* = s = dim L.
Partie IV — Formes linéaires sur E
- 1. M ↦ AM est linéaire et Tr est linéaire : φA ∈ E*.
- 2(a) φλA+B(M) = Tr(λAM + BM) = λφA(M) + φB(M) : h est linéaire.
- 2(b) i. (AEi,j)k,l = ak,iδlj, donc Tr(AEi,j) = Σk ak,iδkj = aj,i.
- ii. Si h(A) = 0, alors aj,i = φA(Ei,j) = 0 pour tous i, j, donc A = 0 : h est injective.
- 2(c) dim E* = dim E = n2 (III.4). Une application linéaire injective entre espaces de même dimension finie est bijective : h est un isomorphisme. Toute forme linéaire sur E s'écrit donc M ↦ Tr(AM).
Partie V — Tout hyperplan contient une matrice inversible
- 1. Si λA ∈ H avec λ ≠ 0, alors A ∈ H, ce qui est exclu. Donc H ∩ Vect(A) = {0}, et dim H + 1 = n2 = dim E : E = H ⊕ Vect(A).
- 2. On fixe A ∉ H et on définit la forme linéaire f(x + λA) = λ (x ∈ H), de noyau H. Par IV.2(c), il existe B ≠ 0 tel que f = φB, donc H = ker φB.
- 3(a) P1ej = ej+1 pour j < n et P1en = e1 : c'est la matrice de permutation d'un cycle. P1n = In (et det P1 = (−1)n−1), donc P1 est inversible.
- 3(b) RrP1 garde les r premières lignes de P1 et annule les autres. Comme tous les coefficients diagonaux de P1 sont nuls (n ≥ 2), φRr(P1) = Tr(RrP1) = 0. Cela reste vrai pour r = n.
- 4. On écrit H = ker φB avec r = rg B ≥ 1. Par II.3, B = SRrT−1 (si r = n, on prend S = B, T = In, Rn = In). On pose M = TP1S−1, qui est inversible. Alors φB(M) = Tr(SRrT−1TP1S−1) = Tr(RrP1) = 0 (Tr(XY) = Tr(YX)). Donc M ∈ H et M est inversible.
Partie VI — Tout hyperplan contient une matrice orthogonale
1. Préliminaires
- (a) (tAB)j,j = Σi ai,jbi,j, donc (A|B) = Σi,j ai,jbi,j : c'est le produit scalaire canonique de ℝn2.
- (b) Par V.2, H = {M ; Tr(BM) = 0} = {M ; (tB|M) = 0}. On a donc H = ℋY avec Y = tB ≠ 0. Autre argument : H⊥ est une droite Vect(Y), et H = (H⊥)⊥ en dimension finie.
- (c) θN est linéaire et θN(In) = In. Comme NtN = In, θN(PQ) = tNPNtNQN = θN(P)θN(Q). De plus θtN est une réciproque. θN est un automorphisme d'algèbres.
- (d) θN1(θN2(P)) = tN1tN2PN2N1 = t(N2N1)P(N2N1) = θN2N1(P). Avec N2 = tN1, on obtient θN1 ∘ θtN1 = θIn = id, et de même dans l'autre sens : (θN1)−1 = θtN1.
- 2. Si P ∈ 𝒪n, t(tNPN)(tNPN) = tNtPPN = In, donc θN(𝒪n) ⊂ 𝒪n. De même θtN(𝒪n) ⊂ 𝒪n, et c'est la réciproque : θN est une bijection de 𝒪n.
- 3. Si P est symétrique, t(tNPN) = tNtPN = θN(P). Même argument de réciproque : bijection de 𝒮n.
- 4. (θN(P)|θN(Y)) = Tr(tNtPNtNYN) = Tr(tNtPYN) = Tr(tPY) = (P|Y) : θN est une isométrie. De plus θN(Y) ≠ 0 (θN injective). Donc P ∈ ℋY ⇔ θN(P) ∈ ℋθN(Y).
5. n pair
- (a) Pour M symétrique, (M|tY) = Tr(MtY) = Tr(t(YM)) = Tr(YM) = Tr(MY) = (M|Y), donc (M|Ys) = (M|Y). Ainsi, pour M ∈ 𝒪n ∩ 𝒮n, M ∈ ℋY ⇔ M ∈ ℋYs. Remarque : si Y est antisymétrique, Ys = 0. On convient alors que ℋ0 = E, et l'égalité reste vraie car toute matrice symétrique est orthogonale à Y.
- (b) Ys est symétrique réelle. Par le théorème spectral, il existe U ∈ 𝒪n telle que tUYsU = θU(Ys) soit diagonale.
- (c) Q (des 1 sur l'antidiagonale) est symétrique et Q2 = In, donc tQQ = In : Q ∈ 𝒪n ∩ 𝒮n. Ensuite (Q|Y') = Σi y'i,n+1−i. Comme Y' est diagonale, ce terme n'est non nul que si i = n + 1 − i, c'est-à-dire i = (n + 1)/2, qui n'est pas entier car n est pair. Donc (Q|Y') = 0 et Q ∈ 𝒪n ∩ 𝒮n ∩ ℋY'.
- (d) On applique 4 avec N = tU : θtU(Y') = UtUYsUtU = Ys, donc θtU(Q) = UQtU ∈ ℋYs. Elle est orthogonale et symétrique par 2 et 3. Coquille probable : l'énoncé écrit θU(Q) (et « 𝒮nℋY » sans ∩). Avec Y' = θU(Ys), c'est θtU(Q) qui convient, comme en 6(c)vi.
- (e) Par 5(a), UQtU ∈ 𝒪n ∩ 𝒮n ∩ ℋY. Donc si n est pair, tout hyperplan contient une matrice orthogonale symétrique (grâce à 1(b)).
6. n = 2p + 1 impair
- (a) On prend U = matrice de permutation Pσ (orthogonale). Alors (tPσYPσ)j,j = yσ(j),σ(j). On choisit σ qui range les |yi,i| par ordre croissant.
- (b) Si dn,n = 0, tous les dk,k sont nuls, donc Tr Y = Tr D = 0 (la trace est invariante par similitude). Alors (In|Y) = Tr Y = 0 : In convient (orthogonale, de déterminant 1, dans ℋY).
- (c) i. P' est diagonale à coefficients ±1, donc orthogonale. Aα = diag(ε2p, ε2p+1) × rotation d'angle α, produit de deux matrices orthogonales. Pα, diagonale par blocs orthogonaux, est orthogonale.
- ii. Avec (P|D) = Σ pi,jdi,j et εkdk,k = |dk,k| :
(Pα|D) = Σk=12p−1 (−1)k|dk,k| + cos α (|d2p,2p| + |d2p+1,2p+1|) + sin α (ε2p+1d2p+1,2p − ε2pd2p,2p+1).
Donc a = |d2p,2p| + |d2p+1,2p+1| > 0 (car dn,n ≠ 0), b = ε2p+1d2p+1,2p − ε2pd2p,2p+1 et c = Σk=12p−1 (−1)k−1|dk,k|. - iii. a cos α + b sin α = √(a2+b2)(sin β cos α + cos β sin α) = √(a2+b2) sin(α + β). Comme |c| ≤ a ≤ √(a2+b2), on a c/√(a2+b2) ∈ [−1, 1]. On prend α = arcsin(c/√(a2+b2)) − β.
- iv. On regroupe les termes : Σk=12p−1 (−1)k−1ak = a1 + Σj=1p−1(a2j+1 − a2j) ≥ 0, car la suite est positive et croissante. C'est aussi égal à Σj=1p−1(a2j−1 − a2j) + a2p−1 ≤ a2p−1 ≤ a2p ≤ a2p + a2p+1.
- v. On applique iv à ak = |dk,k|, qui est croissante par (a) : 0 ≤ c ≤ a. Donc |c| ≤ a, et iii fournit α0 avec a cos α0 + b sin α0 − c = 0, c'est-à-dire (Pα0|D) = 0.
- vi. Pα0 ∈ 𝒪n ∩ ℋD avec D = θU(Y). Par 4 avec N = tU, et θtU(D) = Y (1(d)), on obtient θtU(Pα0) ∈ 𝒪n ∩ ℋY (2 pour l'orthogonalité).
- vii. det θtU(Pα0) = det Pα0 = ±1. Le sujet ne garantit pas directement le signe : det Pα0 = (−1)p(2p−1)Π εk, qui peut valoir −1. Si le déterminant vaut −1, on prend l'opposé : n est impair, donc det(−M) = −det M = 1, et −M reste orthogonale et dans l'hyperplan ℋY (sous-espace vectoriel). Avec le cas (b) (In), on conclut que si n est impair, tout hyperplan contient une matrice orthogonale positive.
💡 À retenir pour le CNC MP : (1) la dualité en dimension finie : base duale, dim E* = dim E, et toute forme linéaire sur ℳn(ℝ) s'écrit M ↦ Tr(AM) ; (2) la réduction équivalente M = SJrT−1 et l'invariance Tr(XY) = Tr(YX), qui permettent de ramener un problème sur un hyperplan quelconque à un cas modèle ; (3) le produit scalaire (A|B) = Tr(tAB), le fait que θN soit une isométrie, et le théorème spectral. Méthode : dans un problème long comme celui-ci, sécurisez les parties I à IV (questions de cours) avant d'attaquer la partie VI, et signalez les coquilles (θU au lieu de θtU en 5(d), « Mathématiques I » en pied de page).
Questions fréquentes sur ce sujet
Ce sujet est-il téléchargeable gratuitement ?
Oui. La totalité du sujet (5 pages) est consultable et téléchargeable gratuitement, sans inscription ni compte.
Le corrigé est-il inclus ?
Oui. Un corrigé proposé figure sur cette page, sous les pages du sujet : méthode de réponse et éléments attendus, rédigés par l'équipe Wadifa Info.
Quel organisme et quel grade concerne ce sujet ?
Ce sujet provient d'un concours organisé par Concours National Commun (CNC) — CPGE. Il concerne le grade : Concours d'accès aux écoles d'ingénieurs.
De quelle session s'agit-il et dans quelle langue ?
Session : 2016. Les questions sont en français.
Où trouver d'autres sujets du même concours ?
Tous nos sujets de la même famille sont regroupés sur la page Accès aux écoles et instituts supérieurs : /fr/modeles-concours/ecoles-instituts-superieurs. Les sujets y sont classés par session, du plus récent au plus ancien.
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Source : concours d'accès aux écoles et instituts supérieurs — document archivé tel que reçu ; l'avis officiel du concours fait foi.
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