Modèle de concours : CNC 2014 Mathématiques II (MP) — Concours National Commun

Ce sujet est l'épreuve de Mathématiques II du Concours National Commun (CNC) 2014, filière MP, commune aux écoles d'ingénieurs marocaines (présidence : École Mohammadia d'Ingénieurs). Durée : 4 heures, calculatrice interdite, 3 pages d'énoncé. C'est une épreuve d'algèbre linéaire composée d'un exercice (matrices symétriques positives, décomposition A = ^tMM) et d'un problème en trois parties (commutant en dimension 2, diagonalisation simultanée, sous-espaces de M₂(K) formés de matrices diagonalisables). Voici une correction méthodologique proposée.

💡 Avant de commencer : tout le problème repose sur deux faits en dimension 2 : (1) une matrice diagonalisable qui n'a qu'une seule valeur propre est scalaire ; (2) si A n'est pas scalaire, son commutant est Vect(I₂, A). Démontrez-les proprement en partie 1 et en 2.1, puis réutilisez-les en citant la question. L'exercice, lui, est un classique (théorème spectral + Cauchy-Schwarz) à traiter rapidement pour sécuriser des points.

Exercice : matrices symétriques positives

Coquilles de l'énoncé : en 4(a) et 4(b), lire « couple (i, j) » et non (i, i).

1. Valeurs propres positives

Si AX = λX avec X ≠ 0 : ^tXAX = λ ^tXX = λ‖X‖². Or ^tXAX ≥ 0 et ‖X‖² > 0, donc λ ≥ 0.

2. Existence de M telle que A = ^tMM

A est symétrique réelle : par le théorème spectral, A = P D ^tP avec P orthogonale et D = diag(λ₁, …, λ_n), λ_i ≥ 0 (question 1). On pose Δ = diag(√λ₁, …, √λ_n) et M = Δ ^tP. Alors ^tMM = P Δ Δ ^tP = P D ^tP = A.

3. Noyaux et rangs

• (a) Si MX = 0, alors AX = ^tM(MX) = 0. Réciproquement, si AX = 0, alors 0 = ^tXAX = ^t(MX)(MX) = ‖MX‖², donc MX = 0. Ker A = Ker M.
• (b) Par le théorème du rang, rg A = n − dim Ker A = n − dim Ker M = rg M : A et M ont le même rang.

4. Coefficients et inégalité

• (a) a_i,j = (^tMM)_i,j = Σ_k m_k,i m_k,j = ^tC_iC_j = <C_i, C_j>.
• (b) Par Cauchy-Schwarz : a_i,j² = <C_i, C_j>² ≤ ‖C_i‖²‖C_j‖² = a_i,i a_j,j.

5. Caractérisation du rang 1

Remarque : il faut supposer A ≠ 0 pour le sens réciproque (A = 0 vérifie la condition mais est de rang 0) ; signalez-le sur la copie.

• Si rg A = 1, alors rg M = 1 (question 3) : toutes les colonnes sont colinéaires à un vecteur V ≠ 0, C_i = t_iV. Alors a_i,j = t_it_j‖V‖² et a_i,j² = (t_i²‖V‖²)(t_j²‖V‖²) = a_i,ia_j,j.
• Réciproquement, si a_i,j² = a_i,ia_j,j pour tous i, j, c'est le cas d'égalité de Cauchy-Schwarz : C_i et C_j sont colinéaires pour tous i, j, donc rg M ≤ 1. Comme A ≠ 0, M ≠ 0, d'où rg A = rg M = 1.

6. La matrice B = (1/a_i,j)

• (a) Les a_i,i sont ≥ 0 (a_i,i = ‖C_i‖²) et non nuls, donc > 0. Si B est symétrique positive, la question 4(b) appliquée à B donne b_i,j² ≤ b_i,ib_j,j, soit 1/a_i,j² ≤ 1/(a_i,ia_j,j), i.e. a_i,ia_j,j ≤ a_i,j². Avec 4(b) pour A : a_i,j² = a_i,ia_j,j, et A ≠ 0, donc rg A = 1 par la question 5.
• (b) A est de rang 1, symétrique positive : ses valeurs propres sont 0 (d'ordre n − 1) et μ > 0. Si X₁ est un vecteur propre unitaire associé à μ, le théorème spectral donne A = μ X₁^tX₁. On pose U = √μ X₁ : A = U ^tU, soit a_i,j = u_iu_j. Les a_i,j étant non nuls, tous les u_i ≠ 0. On pose V = (1/u₁, …, 1/u_n)^t : b_i,j = 1/(u_iu_j), donc B = V ^tV et, pour tout X, ^tXBX = (^tVX)² ≥ 0 : B est positive.

Problème, 1^re partie : homothéties et commutant en dimension 2

1.1. Endomorphisme f tel que (x, f(x)) soit toujours liée

• 1.1.1. Pour x ≠ 0, il existe (a, b) ≠ (0, 0) avec a x + b f(x) = 0. Si b = 0, alors a x = 0 avec a ≠ 0, impossible ; donc b ≠ 0 et f(x) = λ_x x avec λ_x = −a/b. Unicité : si λx = λ'x avec x ≠ 0, alors λ = λ'.
• 1.1.2. On applique ce résultat à e₁ + e₂ (non nul) : λ_e1+e2(e₁ + e₂) = f(e₁) + f(e₂) = λ_e1e₁ + λ_e2e₂. Par liberté de (e₁, e₂) : λ_e1 = λ_e1+e2 = λ_e2.
• 1.1.3. f et λ id_E coïncident sur la base (e₁, e₂), donc f = λ id_E.

1.2. Structure de C(f)

• 1.2.1. C(f) est le noyau de l'application linéaire g ↦ fg − gf de L(E) dans L(E) : c'est un sous-espace vectoriel.
• 1.2.2. Si f = λ id_E, tout g commute avec f : C(f) = L(E) (dimension 4).

1.3. f n'est pas une homothétie

• 1.3.1. Par contraposée de 1.1, il existe e tel que (e, f(e)) soit libre ; comme dim E = 2, c'est une base.
• 1.3.2. (α, β) existe et est unique : ce sont les coordonnées de g(e) dans la base (e, f(e)). Si g ∈ C(f), alors g(f(e)) = f(g(e)) = αf(e) + βf²(e) = (α id + βf)(f(e)), et g(e) = (α id + βf)(e) : g et α id + βf coïncident sur une base, donc g = α id_E + βf. Réciproquement α id + βf commute avec f.
• 1.3.3. C(f) = Vect(id_E, f), et (id_E, f) est libre puisque f n'est pas une homothétie : dim C(f) = 2.

1.4. Traduction matricielle

• 1.4.1. Si A = λI₂ : C(A) = M₂(K).
• 1.4.2. On applique 1.3 à l'endomorphisme canoniquement associé à A (qui n'est pas une homothétie) : C(A) = Vect(I₂, A), de dimension 2.

2^e partie : diagonalisation simultanée dans M₂(K)

2.1. Matrice triangulaire A = (a b ; 0 c)

Le polynôme caractéristique est (X − a)(X − c). Si a ≠ c : deux valeurs propres distinctes en dimension 2, A est diagonalisable. Si a = c : la seule valeur propre est a, et A diagonalisable ⇔ A semblable à aI₂ ⇔ A = aI₂ ⇔ b = 0. A est diagonalisable si et seulement si a ≠ c ou b = 0.

Fait retenu pour la suite : une matrice diagonalisable de M₂(K) à valeur propre double est scalaire.

2.2. Contre-exemple

A = (0 1 ; 0 0) (a = c = 0, b = 1) n'est pas diagonalisable.

2.3. Translation par λI₂

A = PDP⁻¹ ⇔ A + λI₂ = P(D + λI₂)P⁻¹, et D + λI₂ est diagonale si et seulement si D l'est : A diagonalisable ⇔ A + λI₂ diagonalisable.

2.4. A et B diagonalisables qui commutent

• 2.4.1. Si A = λI₂ est scalaire, on prend P telle que PBP⁻¹ soit diagonale ; PAP⁻¹ = λI₂ l'est aussi. Sinon, B ∈ C(A) = Vect(I₂, A) (1.4.2), donc B = αI₂ + βA ; si PAP⁻¹ = D est diagonale, PBP⁻¹ = αI₂ + βD est diagonale.
• 2.4.2. Avec ce P : P(A + λB)P⁻¹ = PAP⁻¹ + λPBP⁻¹ est diagonale : A + λB est diagonalisable pour tout λ.

2.5. Familles de matrices diagonalisables

• 2.5.1. Si toutes les A_i sont scalaires, P = I₂ convient. Sinon, soit A_i0 non scalaire ; chaque A_i commute avec A_i0, donc A_i ∈ Vect(I₂, A_i0) : A_i = α_iI₂ + β_iA_i0. Toute P qui diagonalise A_i0 diagonalise simultanément toutes les A_i.
• 2.5.2. (On suppose les A_k deux à deux distinctes, sinon l'énoncé est faux.) M² = I₂ : M est annulée par X² − 1 = (X − 1)(X + 1), scindé à racines simples, donc M est diagonalisable avec valeurs propres dans {−1, 1}. Par 2.5.1, il existe P telle que chaque PA_kP⁻¹ soit diagonale à coefficients ±1 : il n'y a que 4 telles matrices (diag(±1, ±1)), et k ↦ PA_kP⁻¹ est injective, donc m ≤ 4.

2.6. Contre-exemple réel : J = (0 0 ; 0 1), K = (a 1 ; 1 d)

• 2.6.1. J + λK = (λa λ ; λ 1 + λd) est symétrique réelle, donc diagonalisable dans M₂(R) (théorème spectral).
• 2.6.2. JK = (0 0 ; 1 d) et KJ = (0 1 ; 0 d) : JK ≠ KJ. Donc dans le cas réel, « A + λB diagonalisable pour tout λ » n'implique pas AB = BA (J et K sont bien diagonalisables : J est diagonale, K est symétrique).

2.7. Cas complexe : réciproque

(Lire M₂(C) au lieu de M_n(C) dans l'énoncé.)

• 2.7.1. B est diagonalisable ; si ses deux valeurs propres étaient égales, B serait scalaire (fait de 2.1). Donc B = P diag(α, β) P⁻¹ avec α ≠ β.
• 2.7.2. P⁻¹(A + λ(B − αI₂))P = (a b ; c d) + λ diag(0, γ) = (a b ; c d + λγ). Donc χ_λ = X² − (a + d + λγ)X + a(d + λγ) − bc et
  δ_λ = (a + d + λγ)² − 4(ad + aλγ − bc) = (a − d − λγ)² + 4bc = γ²λ² − 2γ(a − d)λ + (a − d)² + 4bc,
  polynôme de degré 2 en λ car γ = β − α ≠ 0.
• 2.7.3. C étant algébriquement clos, δ_λ admet une racine λ₀. La matrice A + λ₀(B − αI₂) = (A + λ₀B) − λ₀αI₂ est diagonalisable (hypothèse + 2.3) et a une valeur propre double (discriminant nul) : elle est donc scalaire, égale à μI₂.
• 2.7.4. A = μI₂ − λ₀(B − αI₂) est un polynôme en B, donc AB = BA. Conclusion : dans M₂(C), pour A et B diagonalisables, AB = BA ⇔ A + λB diagonalisable pour tout λ ∈ C.

3^e partie : sous-espaces formés de matrices diagonalisables

3.1. Cas complexe

• 3.1.1. Soit M ∈ F. Pour tout λ ∈ C, M + λA ∈ F est diagonalisable ; M et A sont diagonalisables et A n'est pas scalaire : 2.7 (appliqué au couple (M, A)) donne MA = AM. Donc F ⊂ C(A) = Vect(I₂, A), de dimension 2. Comme A ∈ F, dim F ∈ {1, 2} : si dim F = 2, F = C(A) ; si dim F = 1, F = C.A.
• 3.1.2. Cas restant : toutes les matrices de F sont scalaires, F ⊂ C.I₂ et F ≠ {0}, donc F = C.I₂, de dimension 1.

3.2. Exemples

Dimension 1 : C.I₂ (ou C.diag(1, 0)). Dimension 2 : l'ensemble des matrices diagonales = C(diag(1, 0)).

3.3. Conjugaison d'un sous-espace

L'application M ↦ PMP⁻¹ est un automorphisme linéaire de M₂(R) (réciproque M ↦ P⁻¹MP). L'image d'un sous-espace par un isomorphisme est un sous-espace de même dimension.

3.4. S₂(R)

S₂(R) est le noyau de la forme linéaire non nulle M ↦ m_1,2 − m_2,1 : c'est un hyperplan (dimension 3). Toute matrice symétrique réelle est diagonalisable (théorème spectral).

3.5. Conjugués de S₂(R)

Par 3.3, RS₂(R)R⁻¹ est de dimension 3, donc un hyperplan ; chacun de ses éléments RSR⁻¹ est semblable à une matrice symétrique, donc diagonalisable.

3.6. Tout hyperplan de matrices diagonalisables est conjugué à S₂(R)

• 3.6.1. Par l'absurde : si I₂ ∉ F, alors M₂(R) = F ⊕ R.I₂ (dimensions 3 + 1). On écrit N = (0 1 ; 0 0) = F₀ + tI₂ avec F₀ ∈ F. Alors F₀ = N − tI₂ a pour seule valeur propre −t sans être scalaire : elle n'est pas diagonalisable, contradiction. Donc I₂ ∈ F.
• 3.6.2. (Lire R.I₂.) A est diagonalisable non scalaire : A = Q diag(λ₁, λ₂) Q⁻¹ avec λ₁ ≠ λ₂. Comme I₂ ∈ F, (A − λ₂I₂)/(λ₁ − λ₂) ∈ F, et cette matrice vaut Q diag(1, 0) Q⁻¹.
• 3.6.3. B − (a − d)A₁ − dI₂ = (0 b ; c 0) ∈ W. Elle n'est pas dans Vect(I₂, A₁), sinon B y serait. Donc (b, c) ≠ (0, 0). Son polynôme caractéristique est X² − bc. Si bc < 0, pas de valeur propre réelle ; si bc = 0, seule valeur propre 0 pour une matrice non nulle, donc non diagonalisable. Comme elle est diagonalisable dans M₂(R) : bc > 0.
• 3.6.4. On divise par c : (0 b/c ; 1 0) ∈ W avec b/c > 0 ; w = √(b/c). La famille (I₂, A₁, B₁) est libre (regarder les coefficients) et contenue dans W de dimension 3 : W = Vect(I₂, A₁, B₁).
• 3.6.5. B₁ a pour valeurs propres ±w, de vecteurs propres (w, 1) et (−w, 1) : B₁ = R diag(w, −w) R⁻¹ avec R = (w −w ; 1 1). Les colonnes de R deviennent orthogonales après la dilatation D⁻¹ où D = diag(w, 1) ; concrètement, D⁻¹B₁D = (0 w ; w 0) est symétrique, tandis que D⁻¹I₂D = I₂ et D⁻¹A₁D = A₁. Donc D⁻¹WD = Vect(I₂, A₁, (0 1 ; 1 0)) = S₂(R), puis F = QWQ⁻¹ = (QD) S₂(R) (QD)⁻¹. Avec 3.5 : les hyperplans de M₂(R) formés de matrices diagonalisables sont exactement les conjugués de S₂(R).

3.7. Tout sous-espace V de matrices diagonalisables est conjugué à un sous-espace de S₂(R)

• dim V = 0 : trivial. dim V = 4 : impossible (N ∉ V). dim V = 3 : question 3.6.
• dim V = 1 : V = R.M avec M = PΔP⁻¹, Δ diagonale ; P⁻¹VP = R.Δ ⊂ S₂(R).
• dim V = 2 et I₂ ∈ V : V = Vect(I₂, A), A non scalaire, A = PΔP⁻¹ ; P⁻¹VP = Vect(I₂, Δ) = matrices diagonales ⊂ S₂(R).
• dim V = 2 et I₂ ∉ V : V ⊕ R.I₂ est de dimension 3 et formé de matrices diagonalisables (2.3). Par 3.6 il est égal à PS₂(R)P⁻¹, donc P⁻¹VP ⊂ S₂(R).

3.8. Matrices orthogonalement diagonalisables

M = ODO^t avec O orthogonale implique ^tM = M ; réciproquement, le théorème spectral s'applique. Les matrices réelles orthogonalement diagonalisables sont donc exactement les matrices symétriques, et les sous-espaces cherchés sont les sous-espaces vectoriels de S₂(R).

💡 À retenir et à réviser : théorème spectral et matrices symétriques positives (décomposition A = ^tMM, Gram, Cauchy-Schwarz et son cas d'égalité) ; commutant d'une matrice (Vect(I, A) en dimension 2, polynômes en A en général) ; critères de diagonalisabilité (polynôme annulateur scindé à racines simples, valeur propre unique ⇒ scalaire) ; diagonalisation simultanée de matrices qui commutent ; invariance par similitude. Au CNC MP, l'épreuve de Maths II est presque toujours une épreuve d'algèbre linéaire : la rédaction des « petites » questions (1.x, 2.1, 3.3, 3.4) rapporte beaucoup, et signaler les coquilles de l'énoncé (i, i), M_n(C), C.I₂, hypothèse A ≠ 0 est valorisé.