Modèle de concours : CNC 2010 Mathématiques II (MP) — Concours National Commun

Ce sujet est l'épreuve de Mathématiques II de la filière MP du Concours National Commun (CNC) 2010 d'admission aux grandes écoles d'ingénieurs marocaines (présidence ESITH). Durée : 4 heures, calculatrice interdite. C'est un problème d'algèbre linéaire en trois parties : géométrie de l'ellipse dans ℂ, matrices unitaires et compacité de U(n), puis démonstration du théorème « pour toute matrice complexe A, il existe U unitaire telle que les coefficients diagonaux de UAU⁻¹ soient tous égaux ». Voici une correction méthodologique proposée.

💡 Avant de commencer : les parties 1 et 2 sont indépendantes et presque entièrement « de cours » : ce sont elles qui rapportent le plus de points. La partie 3 réutilise deux résultats clés : 1.3.4 (existence de z₀ de module 1 rendant (bz₀+c z̄₀)/a réel) et 2.8.3 (U(n) est compact). Retenez aussi que f n'est que ℝ-linéaire (à cause du conjugué), et que la trace est invariante par similitude : c'est elle qui donne la valeur commune des termes diagonaux.

1^ère partie — Un peu de géométrie

1.1. Question de cours

• Équation réduite : x²/a² + y²/b² = 1 avec a > b > 0.
• On pose c = √(a² − b²). Foyers : F(c, 0) et F'(−c, 0).
• Directrices : x = a²/c et x = −a²/c ; excentricité e = c/a (0 ≤ e < 1 ; e = 0 pour un cercle).

1.2.1. L'ensemble E_λ,μ

λe^iθ + μe^−iθ = (λ+μ)cos θ + i(λ−μ)sin θ. Donc x = (λ+μ)cos θ, y = (λ−μ)sin θ avec λ − μ ≠ 0, et quand θ décrit [0, 2π] on obtient tous les points de :

x²/(λ+μ)² + y²/(λ−μ)² = 1, ellipse de centre 0, de demi-axes λ+μ (sur Ox, grand axe car λ+μ ≥ |λ−μ|) et |λ−μ| (cercle si λμ = 0).

1.2.2. L'application r_w,φ

z ↦ w + e^iφ(z − w) fixe w et multiplie z − w par e^iφ : c'est la rotation de centre w et d'angle φ.

1.2.3. L'ensemble E_b,c

Avec z = e^iθ, b = λe^iε, c = μe^iτ :

bz + c z̄ = λe^i(ε+θ) + μe^i(τ−θ) = e^i(ε+τ)/2 (λe^iψ + μe^−iψ) avec ψ = θ + (ε−τ)/2.

Quand θ décrit un intervalle de longueur 2π, ψ aussi. Donc E_b,c = r_0,(ε+τ)/2(E_λ,μ) : image d'une ellipse centrée en 0 par une rotation de centre 0, c'est une ellipse centrée à l'origine.

1.3.1. Linéarité et injectivité de f(z) = bz + c z̄

• Pour α réel : f(αz + z') = αf(z) + f(z') car le conjugué de αz est α z̄. f est ℝ-linéaire (pas ℂ-linéaire si c ≠ 0).
• Si |b| ≠ |c| et f(z) = 0 : |b||z| = |c||z| donc z = 0 ; f injective.
• Si |b| = |c| = λ : si λ = 0, f = 0. Sinon z = e^{i(τ−ε+π)/2} donne f(z) = λe^i(ε+τ)/2(e^iπ/2 + e^−iπ/2) = 0 avec z ≠ 0.

Conclusion : f injective ⇔ |b| ≠ |c|.

1.3.2.

f injective ⇔ |b| ≠ |c| ; l'image du cercle unité est E_b,c, qui est une ellipse de centre 0 d'après 1.2.3.

1.3.3.

|b| = |c| = λ : f(e^iθ) = 2λ cos(θ + (ε−τ)/2) e^i(ε+τ)/2. Comme le cosinus prend toutes les valeurs de [−1, 1], l'image est le segment [−2|b|e^i(ε+τ)/2, 2|b|e^i(ε+τ)/2], centré en 0 (réduit à {0} si b = c = 0).

1.3.4. Existence de z₀

On cherche |z₀| = 1 avec f(z₀) ∈ ℝa (droite passant par 0 dirigée par a).

• f non injective : l'image est un segment contenant 0 ; il existe z₀ (cos = 0) tel que f(z₀) = 0, et 0/a = 0 est réel.
• f injective : dans le repère tourné de (ε+τ)/2, l'ellipse s'écrit X²/A² + Y²/B² = 1 avec A = λ+μ > 0, B = |λ−μ| > 0. Si la droite ℝa a pour vecteur directeur (cos δ, sin δ) dans ce repère, le point s(cos δ, sin δ) est sur l'ellipse pour s = (cos²δ/A² + sin²δ/B²)^−1/2. Ce point est de la forme f(z₀) avec |z₀| = 1, et f(z₀)/a ∈ ℝ.

2^ème partie — Matrices unitaires

2.1.

I_n, ou plus généralement diag(e^iθ₁, …, e^iθ_n).

2.2.

det(A*) est le conjugué de det A. Donc 1 = det(A*A) = |det A|², d'où |det A| = 1.

2.3. Les matrices unitaires d'ordre 2

• Sens direct : A unitaire ⇔ AA* = I₂ ⇔ les lignes de A sont orthonormées dans ℂ². La première ligne (u, v) vérifie |u|² + |v|² = 1. L'orthogonal de (u, v) est la droite complexe engendrée par (−v̄, ū). La seconde ligne vaut donc λ(−v̄, ū), et elle est unitaire ssi |λ| = 1.
• Réciproque : on calcule A*A. Terme (1,1) : |u|² + |λ|²|v|² = 1. Terme (1,2) : ūv − |λ|²ūv = 0. Terme (2,2) : |v|² + |u|² = 1. Donc A*A = I₂.

2.4.

D*D = diag(|λ₁|², …, |λ_n|²) : D est unitaire ⇔ |λ_k| = 1 pour tout k.

2.5. Cas réel

• 2.5.1 : si A est réelle, A* = ^tA, donc A*A = I_n ⇔ ^tAA = I_n : unitaire ⇔ orthogonale.
• 2.5.2 : les colonnes d'une matrice de permutation sont les vecteurs e_σ(1), …, e_σ(n), famille orthonormée. La matrice est donc réelle orthogonale, donc unitaire par 2.5.1.

2.6.

Si C₁, …, C_n sont les colonnes de A, alors (A*A)_i,j = C_i* C_j = <C_i, C_j>. Donc A*A = I_n ⇔ <C_i, C_j> = δ_i,j ⇔ les colonnes forment une famille orthonormée, donc une base, puisqu'il y en a n = dim ℳ_n,1(ℂ).

2.7.

U(n) ⊂ GL_n(ℂ) et I_n ∈ U(n). Si A, B ∈ U(n) : (AB)*(AB) = B*A*AB = I_n. De plus A⁻¹ = A* et (A*)*A* = AA* = I_n. Donc U(n) est un sous-groupe de GL_n(ℂ).

2.8. Compacité de U(n)

• 2.8.1 : le coefficient (i, j) de A*A vaut Σ_k ā_k,i a_k,j, polynôme en les parties réelles et imaginaires des coefficients de A. L'application est donc continue (on peut aussi invoquer la continuité de A ↦ A*, ℝ-linéaire en dimension finie, et du produit, bilinéaire).
• 2.8.2 : ||A||₂² = tr(A*A), où (A, B) ↦ tr(A*B) est un produit scalaire hermitien sur ℳ_n(ℂ). C'est la norme euclidienne canonique de ℂⁿ² : c'est une norme. Si A est unitaire : ||A||₂² = tr(I_n) = n, donc ||A||₂ = √n.
• 2.8.3 : U(n) = φ⁻¹({I_n}) avec φ(A) = A*A continue, donc U(n) est fermé. Il est borné (inclus dans la sphère de rayon √n). En dimension finie, fermé + borné ⇒ U(n) compact.

3^ème partie — Démonstration du résultat annoncé

3.1.1.

U est de la forme 2.3 avec λ = 1, et |u|² + |v|² = cos²α + sin²α = 1 : U est unitaire.

3.1.2. Calcul de A₁ et A₂

On a U* = (ū, −v ; v̄, u). Le calcul de UAU* donne, avec uv̄ = e^i(β−γ)cos α sin α :

A₁ = a₁cos²α + a₂sin²α + cos α sin α (b e^i(β−γ) + c e^{−i(β−γ)})

A₂ = a₁sin²α + a₂cos²α − cos α sin α (b e^i(β−γ) + c e^{−i(β−γ)})

Vérification : A₁ + A₂ = a₁ + a₂ = tr A.

3.1.3.1. p réel

Par 1.3.4 appliqué à a = a₁ − a₂ ≠ 0, il existe z₀ = e^iθ₀ tel que (bz₀ + c z̄₀)/(a₁ − a₂) soit réel. On choisit β − γ = θ₀ (par exemple γ = 0 et β = θ₀) : p est réel.

3.1.3.2. t = 1/2

p étant réel, t(α) = cos²α + p cos α sin α est une fonction réelle continue sur [0, π/2], avec t(0) = 1 et t(π/2) = 0. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe α ∈ [0, π/2] tel que t(α) = 1/2.

3.1.3.3.

On a (a₁ − a₂)p = b e^i(β−γ) + c e^{−i(β−γ)}, et 1 − t = sin²α − p cos α sin α. Donc :

A₁ = a₁(cos²α + p cos α sin α) + a₂(sin²α − p cos α sin α) = t a₁ + (1−t)a₂, et de même A₂ = t a₂ + (1−t)a₁.

Pour t = 1/2 : A₁ = A₂ = (a₁ + a₂)/2. Comme U* = U⁻¹, le théorème est établi pour n = 2 (le cas a₁ = a₂ est trivial avec U = I₂).

3.2.1. Continuité de f

f(M) = (m_i,i − m_j,j)_i,j est linéaire en dimension finie, donc continue. Directement : ||f(M)||_∞ ≤ 2||M||_∞, donc f est 2-lipschitzienne.

3.2.2. L'application g_A(H) = ||f(HAH*)||_∞

• 3.2.2.1 : H ↦ HAH* est continue (coefficients polynomiaux en Re et Im des coefficients de H), f est continue et la norme est 1-lipschitzienne. Par composition, g_A est continue.
• 3.2.2.2 : g_A est continue à valeurs réelles sur le compact U(n) (2.8.3). Elle est donc bornée et atteint ses bornes. En particulier H₀ réalisant le minimum existe.

Remarque : ||f(M)||_∞ = max_i,j |m_i,i − m_j,j|. Pour n = 2, 3.1 fournit H avec g_A(H) = 0, d'où « donc n ≥ 3 » dans 3.2.3.

3.2.3.1. Permutation

Soit σ une permutation telle que σ(1) = i₀ et σ(2) = j₀ (i₀ ≠ j₀ car g_A(H₀) > 0), et P = Σ_k E_k,σ(k). Alors (PA'P*)_k,l = a'_σ(k),σ(l) : la diagonale de PA'P* est celle de A' permutée, donc g_A(PH₀) = g_A(H₀). PH₀ est unitaire (2.5.2 et 2.7), réalise encore le minimum, et le maximum est atteint en (i₀, j₀) = (1, 2).

3.2.3.2.

a'_1,1 ≠ a'_2,2 car leur écart vaut g_A(H₀) > 0. Par 3.1 appliqué à B, il existe U₀ ∈ U(2) telle que U₀BU₀* ait deux termes diagonaux égaux. Leur somme vaut tr(U₀BU₀*) = tr B = a'_1,1 + a'_2,2, donc chacun vaut (a'_1,1 + a'_2,2)/2.

3.2.3.3.

U*U = diag(U₀*U₀, I_n−2) = I_n : U est unitaire. En écrivant A' par blocs (B, C ; D, E), on obtient UA'U* = (U₀BU₀*, U₀C ; DU₀*, E). La diagonale est donc x₀, x₀, a'_3,3, …, a'_n,n avec x₀ = (a'_1,1 + a'_2,2)/2.

3.2.3.4.

Notons g = g_A(H₀) = ||f(A')||_∞. Les écarts diagonaux de UA'U* sont :

• 0 pour la paire (1, 2) ;
• |a'_i,i − a'_j,j| ≤ g pour i, j ≥ 3 (inchangés) ;
• |x₀ − a'_i,i| = |(a'_1,1 − a'_i,i) + (a'_2,2 − a'_i,i)|/2 ≤ g pour i ≥ 3.

Donc ||f(UA'U*)||_∞ ≤ ||f(A')||_∞. L'inégalité est stricte pour i ≥ 3. En effet, l'égalité imposerait |a'_1,1 − a'_i,i| = |a'_2,2 − a'_i,i| = g, avec ces deux complexes positivement liés (cas d'égalité de l'inégalité triangulaire). Ils seraient alors égaux, d'où a'_1,1 = a'_2,2, ce qui contredit g > 0. D'où |x₀ − a'_i,i| < |a'_1,1 − a'_2,2|.

3.2.3.5. Contradiction

Soit N(M) le nombre de paires {i, j} telles que |m_i,i − m_j,j| = g. D'après 3.2.3.4, le passage de A' à UA'U* ne crée aucune nouvelle paire maximale : les paires contenant 1 ou 2 ont maintenant un écart < g, les autres sont inchangées. Il supprime au moins la paire (1, 2) : N diminue d'au moins 1 et le maximum reste ≤ g.

Tant que N ≥ 1, la nouvelle matrice (H'AH'* avec H' unitaire) a encore un maximum égal à g, qui est le minimum. On peut donc recommencer : permutation (3.2.3.1), puis bloc U (3.2.3.3). Comme N ≤ n(n−1)/2, après un nombre fini d'étapes on obtient N = 0. On a alors H, produit fini de matrices de permutation et de matrices du type U, donc unitaire (2.7), avec ||f(HA'H*)||_∞ < ||f(A')||_∞.

Mais HH₀ ∈ U(n) et g_A(HH₀) = ||f(HA'H*)||_∞ < g = min g_A : contradiction.

3.2.4. Conclusion

L'hypothèse g_A(H₀) > 0 est absurde, donc g_A(H₀) = 0 : tous les coefficients diagonaux de H₀AH₀* sont égaux. Comme H₀* = H₀⁻¹, U = H₀ convient. La valeur commune est nécessairement tr(A)/n (invariance de la trace).

💡 À réviser pour le CNC MP (Maths II) : coniques (équation réduite, foyers, directrices, excentricité) ; nombres complexes et rotations ; matrices unitaires/orthogonales, produit hermitien, bases orthonormées ; groupes de matrices ; topologie en dimension finie (continuité des applications polynomiales, fermé + borné = compact, fonction continue sur un compact) ; théorème des valeurs intermédiaires ; invariance de la trace par similitude ; raisonnement par l'absurde avec une quantité entière strictement décroissante. Rédigez en citant précisément les numéros des questions utilisées (1.3.4, 2.8.3), comme l'exige l'énoncé.