Modèle de concours : CNC 2008 Mathématiques II (MP) — Concours National Commun
En bref
Ce document est une ancienne épreuve écrite du concours de Concours d'accès aux écoles d'ingénieurs organisé par Concours National Commun (CNC) — CPGE (2008), publiée sur Wadifa Info en consultation et téléchargement PDF gratuits, avec une correction proposée.
- Organisme
- Concours National Commun (CNC) — CPGE
- Grade
- Concours d'accès aux écoles d'ingénieurs
- Spécialité
- Mathématiques II
- Année
- 2008
- Pages
- 5
- Langue des questions
- français
- Correction
- correction proposée disponible sur cette page
Sujet officiel de l'épreuve de Mathématiques II du Concours National Commun (CNC) 2008 d'admission dans les établissements de formation d'ingénieurs et assimilés, pour les élèves des classes préparatoires (CPGE) de la filière MP. Ce modèle contient les 5 pages de l'énoncé original. Les autres épreuves et sessions du CNC sont aussi disponibles sur le site.
📝 Texte des questions (extrait automatiquement des pages scannées)
Ce texte est extrait automatiquement des images de l'épreuve et peut contenir des erreurs de lecture — les images ci-dessus font foi.
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ROYAUME DU MAROC
Ministère de l’Éducation Nationale, de l'Enseignement
Supérieur, de la Formation des Cadres
et de la Recherche Scientifique
Présidence du Concours National Commun 2008
École Nationale de l'Industrie Minérale
ENIM
Concours National Commun
d’Admission aux
Grandes Écoles d'Ingénieurs ou Assimilées
Session 2008
ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES 1
Durée 4 heures
Filière MP
Cette épreuve comporte 4 pages au format A4, en plus de cette page de garde
L'usage de la calculatrice est interdit
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— صفحة 2 —
Concours National Commun - Session 2008 - MP
L’énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière MP,
comporte 4 pages.
L'usage de la calculatrice est interdit .
Les candidats sont informés que la qualité de la rédaction et de la présentation, la clarté et la précision des
raisonnements constitueront des éléments importants pour l'appréciation des copies. Il convient en particulier
de rappeler avec précision les | références | des questions abordées.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est
amené à prendre.
Sur les classes de similitude de matrices carrées d’ordre 2
L'objectif de ce problème est d'étudier quelques propriétés topologiques des classes de simili-
tudes de matrices carrées à coefficients réels ou complexes en liaison avec la diagonalisabilité.
Notations et rappels
Dans ce problème, K désigne le corps des réels ou celui des complexes (K = R ou نأ et M2(K)
l'algèbre des matrices carrées d'ordre 2 à coefficients dans K ; la matrice identité se notera 75. GLa(K)
désigne le groupe des matrices inversibles de M»(K).
Pour toute matrice A de M»(K), ‘A désigne la matrice transposée de A, tr (A) sa trace, det A son
déterminant et Spy (A) l’ensemble des valeurs propres de À appartenant à K.
Si A € Ma(C), on appelle matrice conjuguée de A et on note A, la matrice de M»(C) dont les
coefficients sont les conjugués de ceux de À ; la matrice transposée de la matrice À se notera A*.
On rappelle que deux matrices À et B de M»(K) sont dites semblables dans M»(K) s’il existe une
matrice P € GLa(K) telle que A = PBP-".11 s'agit d'une relation d'équivalence sur M»(K) ; les
classes d'équivalence de cette relation sont dites les classes de similitude de M»(K).
I. Résultats préliminaires
1. (a) Vérifier que si A € Ma(K), la classe de similitude de la matrice A dans M»(K), notée
Sg(A), est égale à {PAP-!; P € GL2(K)}-.
(b) Donner la classe de similitude d’une matrice scalaire, c’est à dire une matrice de la forme
xl» avecx € كلا
1 À 1 0
2. Pourtout \€ K,onpose رلا = 8 1 ) et FH, = 0 0
(a) Justifier que, pour tout À € K, رط et F, sont inversibles et exprimer leur inverses.
(c) On suppose que la classe de similitude (A) de A € Ma(K) est réduite à un singleton.
Montrer que À est une matrice scalaire.
(b) Soit A = (: ) € M»(K) ; calculer les produits E,AE;" et F,AF," où À € K.
1/2
(a) Montrer que A — || (| ع est une norme sur M2(K).
(b) Vérifier que, pour tout A € Ma(K), || اي = وال (AA*) et que si U € Ma(K) est une
matrice vérifiant UU* = و7 alors || وإ = ||U AU*||s = |U* AU||s.
Épreuve de Mathématiques II 1/4 Tournez la page S.V.P.
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Concours National Commun - Session 2008 - MP
4. On suppose que la classe de similitude ./x(A) de la matrice A € M»(K) est bornée.
(a) Justifier que les parties {F, AE, ‘; À € K} et {FAAF, ‘; À € K} de Mz(K) sont bornées.
(b) En déduire que À est une matrice scalaire.
5. Que peut-on dire d’une matrice B € M»(K) dont la classe de similitude est compacte ?
6. Montrer que les applications A — tr (A) et A — detA sont continues sur M»(K).
7. Montrer que si À et B sont deux matrices semblables de M»(K), elles ont le même déterminant,
la même trace et le même polynôme caractéristique.
IT. Condition pour qu’une classe de similitude de M»(K) soit fermée
1. Soit A € Mz(K).
(a) Si Spx(A) = مذ u }, justifier que A est semblable dans M»(K) à la matrice 0 9
(b) Si Spx(A) = {\}, montrer que À est diagonalisable dans M»(K) si et seulement si
A = AL.
(c) Si Spx(A) = {\} et À n’est pas une matrice scalaire, montrer que À est semblable dans
M2(K) à la matrice 0 2»
2. Soit A € M2(K).
(a) Si A est une matrice scalaire, justifier que la classe de similitude x (A) de A dans M»(K)
est fermée.
(b) SiSpx (A) = {A} et A non diagonalisable, on pose يا = o 1)\0 مال 1) keN.
Étudier la suite (Ar )ren et en déduire que la classe de similitude x (A) n’est pas fermée.
(c) Si Spx (A) = بها y}, soit (P,AP,*) pen Une suite d'éléments de ./x(A) qui converge vers
une matrice B € Mz(K). Soit a € {A, y}.
i. Étudier la suite (P,(A — al2)P;") pen
ii. Montrer alors que B € (A) et conclure que (A) est fermée.
et en déduire que det(B — als) = 0.
3. Montrer que si À € Ma(C) alors (A) est fermée si et seulement si A est diagonalisable dans
M3 (C) 5
4. Soit A € M»2(R) une matrice telle que Spr (A) = 0.
(a) Justifier que 4det A — (tr (A))? › 0. Dans la suite, on pose
A = 5 0 - LL) et A = 5 5 at) avec à : = y/4det A — (tr (A))?.
(b) Montrer que A”? = —I».
(c) On note f l'endomorphisme de R? canoniquement associé à A’ et on considère un vecteur
non nul e de 182. Montrer que la famille (e, f(e)) est une base de R? et écrire la matrice A;
de f dans cette base.
(d) Exprimer A’ en fonction de A, et en déduire que les matrices À et A” sont semblables
dans M2(R).
Épreuve de Mathématiques II 2/4 ب
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(e) Soit (PRAP: ‘ren une suite d'éléments de ./p(A) qui converge vers une matrice À
élément de Mz(R).
i. Montrer que tr (À) = tr (A) et det À = det A.
ii. Justifier alors que les matrices À et À sont semblables dans M»(R).
5. Montrer que si A € M»(R) alors /r(A) est fermée dans M»(R) si et seulement si A est
diagonalisable dans M»(R) ou bien Spp (A) = 0.
111. Une caractérisation des matrices diagonalisables de M»(K)
1. Un résultat de réduction
On muni le K-espace vectoriel 162 de son produit scalaire canonique noté ).|.( ; la norme
associée est notée |||. Ainsi (K*, (.].)) est un espace euclidien si K = R et hermitien si K = C.
Soit G € Mz(K) ; on note و l’endomorphisme de K? canoniquement associé à G. On suppose
de plus que Spz(G) # (si K = R.
(a) Justifier que les racines du polynôme caractéristique x« de G sont toutes dans K.
Dans la suite, on désigne par À et zu les racines de x« (éventuellement confondues) ;
ce sont les valeurs propres de g. On choisi un vecteur propre u, de g, associé à la
valeur propre À, qu’on complète en une base (u', uh) de K? et on note (u1, u2) la base
orthonormée de (K?, (.|.)) obtenue en appliquant le procédé de Schmidt à (u®, 4°).
(b) Rappeler les expressions des vecteurs uw; et u9 en fonction des vecteurs كن et u5.
(c) On note U la matrice de passage de la base canonique (ey, €») de K” à la base (u1,U2)-
Montrer que UU* = I». (on pourra exprimer les coefficients de U à l'aide du produit scalaire).
(d) On note T la matrice de g dans la base (u1, u2). Justifier que T est de la forme Ÿ ل et
que G = UTU*. Que vaut | 3
2. Calcul d’une borne inférieure
On considère une matrice A € M»(K) avec Spx(A) # 0 si K = R, et on désigne par À et y les
valeurs propres de À (éventuellement confondues).
(a) Justifier que l’ensemble {||PAP-*||s ; P € GL2(K)} possède une borne inférieure.
(b) Montrer que, pour toute matrice B € Zæ(A), ||B]|s › V|A[? + ار
(c) Montrer qu’il existe œ € K tel que, pour tout réel non nul t, la matrice (G 1 € .(شاردى
كارا + اذاي = |2
(e) Montrer que A est diagonalisable dans M»(K) si et seulement si la borne inférieure de
l’ensemble {||PAP7‘||y ; P € GL»(K)} est atteinte. (pour montrer que la condition est
suffisante, on pourra utiliser le résultat de la question 1.)
d) Déduire de ce qui précède que inf
(d) que q اوم
3. Application
On considère une matrice A € M»(K) avec Spx (4) # 0 si K = R, et on désigne par À et y les
valeurs propres de À (éventuellement confondues).
On suppose que la classe de similitude ./(A) de A est fermée.
(a) Justifier qu’il existe une suite (Pr) ReN d'éléments de GL»(K) telle que, pour tout entier
naturel k, || اما + ادارب › و || مقي + +.
Épreuve de Mathématiques II 3/4 Tournez la page S.V.P.
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(b) En considérant une sous-suite convergente de la suite (P,AP;*),nr dont on justifiera
préalablement l'existence, montrer que la matrice À est diagonalisable dans M»(K).
IV. Cas d’une matrice réelle n'ayant aucune valeur propre réelle
On considère une matrice M € M»(R) n'ayant aucune valeur propre réelle, ce qui signifie que
Spz (M) = 0. On a déjà vu que 4det M — (tr (M))? › 0; on pose alors 5 : = 4/4det M — (tr (M))? et
On rappelle que M” = —I, et on note f l’endomorphisme de R? canoniquement associé à M’.
7y sont des réels à préciser en fonction de a, b, c et رك puis vérifier que a? + وق = —1.
y 72
1. Onnote M = (: ) ; justifier que la matrice M' est de la forme M’ = fe 4 ,où ره 8 et
2. Pour tout vecteur v = (x,y) de l’espace euclidien (R*, ).|.((, exprimer le produit scalaire
(v|f(v)) et montrer qu’il existe un vecteur non nul € € 18 tel que la famille (e, f(e)) soit
orthogonale. Justifier que f(e) # 0.
3. Un tel vecteur e étant choisi, on pose u, = 7 .6 et u9
une base orthonormée de l’espace euclidien (R*, (.|.)) et écrire la matrice M, de f dans cette
base.
= mroy:/(e) ; Vérifier que (u1, u2) est
4. On note U la matrice de passage de la base canonique (e,, €) de R? à la base (u1, u,) ; justifier
que U est une matrice orthogonale et exprimer M’ en fonction de M, puis en déduire que
) , L étant un réel › 0 à préciser.
0
5. On sait, d’après les parties précédentes, que l’ensemble {||PMP-*||s ; P € GL2(R)} possède
une borne inférieure et que les matrices M et M” sont semblables dans M»(R).
(a) Justifier que inf ||B||s › ||M”||s = V2detM.
13675 )10(
(b) Montrer que ||M»||s › ||M”"||s et que, plus généralement, ||B||s › v2detM pour toute
matrice B € /w(M). Que vaut alors la borne inférieure à int 7 7
6. Conclure que la borne inférieure de l’ensemble {|| PMP-*||s ; P € GL2(R)} est atteinte et
caractériser toutes les matrices de 77 (M) en lesquelles cette borne est atteinte.
7. Conclusion : Soit A une matrice réelle d’ordre 2; montrer que la borne inférieure de
l’ensemble {||PAP-*||s ; P € GLe(R)} est atteinte si et seulement si la classe de similitude
#æ (A) est fermée (dans M2(R)).
FIN DE L'ÉPREUVE
Épreuve de Mathématiques II 4/4 FIN
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✅ Correction proposée
Il s'agit d'une correction proposée, rédigée par l'équipe wadifa-info pour vous aider à comprendre la méthode — ce n'est pas un corrigé officiel de l'administration organisatrice.
Épreuve de Mathématiques II du Concours National Commun (CNC) 2008, filière MP, concours d'admission aux grandes écoles d'ingénieurs marocaines (présidence ENIM). Durée : 4 heures, calculatrice interdite. C'est un problème d'algèbre linéaire et de topologie en quatre parties : « Sur les classes de similitude de matrices carrées d'ordre 2 » — on relie le caractère fermé de la classe de similitude SK(A) = {PAP−1 ; P ∈ GL2(K)} à la diagonalisabilité de A, puis à l'existence d'un élément de norme minimale. Voici une correction méthodologique proposée.
💡 Avant de commencer : trois outils reviennent partout : (1) la trace, le déterminant et le polynôme caractéristique sont invariants par similitude et continus ; (2) en dimension finie, un fermé se teste par les suites et un borné admet une sous-suite convergente (Bolzano-Weierstrass) ; (3) le théorème de Cayley-Hamilton en taille 2 : A2 − tr(A)A + det(A)I2 = 0. Notez ‖A‖S la norme de Schur (norme euclidienne des 4 coefficients).
I. Résultats préliminaires
- 1(a) B ∈ SK(A) ⇔ ∃Q ∈ GL2(K), A = QBQ−1 ⇔ B = PAP−1 avec P = Q−1. Donc SK(A) = {PAP−1 ; P ∈ GL2(K)}.
- 1(b) P(xI2)P−1 = xI2 : SK(xI2) = {xI2}.
- 2(a) det Eλ = det Fλ = 1 ; Eλ−1 = E−λ, Fλ−1 = F−λ (vérifier EλE−λ = I2).
- 2(b) Calcul direct :
EλAEλ−1 = [[a+λc , b+λ(d−a)−λ2c] ; [c , d−λc]]
FλAFλ−1 = [[a−λb , b] ; [c+λ(a−d)−λ2b , d+λb]] (lignes entre crochets). - 2(c) Si SK(A) = {A}, alors EλAEλ−1 = A pour tout λ : le coefficient (2,2) donne c = 0, puis λ(d−a) = 0 donne d = a ; avec Fλ : b = 0. Donc A = aI2 est scalaire.
- 3(a) ‖A‖S est la norme euclidienne (hermitienne) de (a,b,c,d) ∈ K4 transportée par l'isomorphisme M2(K) → K4 : séparation, homogénéité et inégalité triangulaire (Minkowski) en découlent.
- 3(b) Les coefficients diagonaux de AA* sont |a|2+|b|2 et |c|2+|d|2, donc ‖A‖S2 = tr(AA*). Si UU* = I2, alors U*U = I2 (matrice carrée) et tr((UAU*)(UAU*)*) = tr(UAA*U*) = tr(AA*U*U) = tr(AA*). Idem pour U*AU : ‖A‖S = ‖UAU*‖S = ‖U*AU‖S.
- 4(a) Ces deux parties sont incluses dans SK(A), qui est bornée.
- 4(b) Le coefficient b + λ(d−a) − λ2c est une fonction polynomiale de λ bornée sur K : c'est une constante, donc c = 0 et d = a. De même avec Fλ : b = 0. A est scalaire.
- 5 Compacte ⇒ bornée ⇒ B scalaire ; réciproquement {xI2} est compact. SK(B) compacte ⇔ B scalaire.
- 6 tr est linéaire sur un espace de dimension finie, det(A) = ad − bc est polynomiale en les coordonnées : les deux sont continues.
- 7 det(PBP−1) = det B ; tr(PBP−1) = tr(BP−1P) = tr B ; XI2 − PBP−1 = P(XI2 − B)P−1 donne χA = χB.
II. Condition pour qu'une classe de similitude soit fermée
1. Réductions
- (a) Deux valeurs propres distinctes en dimension 2 ⇒ A diagonalisable ; dans une base de vecteurs propres, A ~ diag(λ, μ).
- (b) Si A est diagonalisable avec Sp = {λ}, A = P(λI2)P−1 = λI2. Réciproque évidente. A diagonalisable ⇔ A = λI2.
- (c) χA a pour racines λ et tr A − λ ; cette seconde racine est dans K, c'est une valeur propre, donc égale à λ : χA = (X−λ)2. Cayley-Hamilton : (A − λI2)2 = 0. Comme A ≠ λI2, on choisit v avec u = (A−λI2)v ≠ 0 ; alors (A−λI2)u = 0, Au = λu et Av = λv + u. v n'est pas vecteur propre, donc (u, v) est une base, dans laquelle la matrice est [[λ, 1] ; [0, λ]].
2. Fermeture
- (a) SK(λI2) est un singleton : fermé.
- (b) Calcul : Ak = [[λ, 2−k] ; [0, λ]], semblable à [[λ,1];[0,λ]] donc à A (1(c)) : Ak ∈ SK(A). Or Ak → λI2, qui n'est pas semblable à A (sa classe est {λI2} et A ≠ λI2). SK(A) n'est pas fermée.
- (c) i. Pk(A − αI2)Pk−1 = PkAPk−1 − αI2 → B − αI2. Par continuité du déterminant : det(B − αI2) = lim det(A − αI2) = 0, donc det(B − αI2) = 0.
- (c) ii. λ et μ sont deux valeurs propres distinctes de B, donc B ~ diag(λ, μ) ~ A : B ∈ SK(A). Par la caractérisation séquentielle, SK(A) est fermée.
3. Cas complexe
Sur C, SpC(A) ≠ ∅. Si A est diagonalisable : ou bien scalaire (2(a)), ou bien à deux valeurs propres distinctes (2(c)) : fermée. Sinon A a une seule valeur propre et n'est pas diagonalisable (2(b)) : non fermée. SC(A) fermée ⇔ A diagonalisable dans M2(C).
4. Matrice réelle sans valeur propre réelle
- (a) χA = X2 − tr(A)X + det A n'a pas de racine réelle : discriminant (tr A)2 − 4det A < 0, soit 4det A − (tr A)2 > 0.
- (b) Notons t = tr A. A'2 = (4/δ2)(A2 − tA + (t2/4)I2) et, par Cayley-Hamilton, A2 − tA = −det(A)I2. D'où A'2 = ((t2 − 4det A)/δ2)I2 = −I2.
- (c) Si f(e) = ce, alors f2(e) = c2e = −e, soit c2 = −1 : impossible dans R. Donc (e, f(e)) est une base et, puisque f(f(e)) = −e, A1 = [[0, −1] ; [1, 0]].
- (d) Avec Q la matrice de passage vers (e, f(e)) : A' = QA1Q−1. Alors A = (t/2)I2 + (δ/2)A' = Q((t/2)I2 + (δ/2)A1)Q−1 et (t/2)I2 + (δ/2)A1 = (1/2)[[t, −δ] ; [δ, t]] = A''. A et A'' sont semblables.
- (e) i. tr(PkAPk−1) = tr A et det(PkAPk−1) = det A pour tout k ; par continuité (I.6) : tr à = tr A, det à = det A.
- (e) ii. Ã a le même polynôme caractéristique que A, donc aucune valeur propre réelle ; A'' ne dépend que de la trace et du déterminant, donc par (d) : Ã ~ A'' ~ A. Ã ∈ SR(A) : la classe est fermée.
5. Cas réel
Si SpR(A) = ∅ : fermée (4(e)). Sinon χA est scindé sur R : si A est diagonalisable, elle est scalaire ou à deux valeurs propres distinctes, classe fermée (2(a), 2(c)) ; sinon elle a une valeur propre double et la classe n'est pas fermée (2(b)). SR(A) fermée ⇔ A diagonalisable dans M2(R) ou SpR(A) = ∅.
III. Une caractérisation des matrices diagonalisables
1. Trigonalisation en base orthonormée (Schur)
- (a) Si K = C : C est algébriquement clos. Si K = R : χG a une racine réelle λ (Sp ≠ ∅) et l'autre racine vaut tr G − λ ∈ R.
- (b) Gram-Schmidt : u1 = u'1/‖u'1‖ et u2 = w/‖w‖ avec w = u'2 − (u1|u'2)u1 (produit scalaire linéaire à droite ; avec l'autre convention, écrire (u'2|u1)).
- (c) La colonne j de U contient les coordonnées de uj, donc (U*U)ij = (ui|uj) = δij : U*U = I2, U est inversible d'inverse U*, d'où UU* = I2.
- (d) u1 est colinéaire à u'1, donc g(u1) = λu1 : la première colonne de T est (λ, 0). T est triangulaire, ses coefficients diagonaux sont les racines de χT = χG : T = [[λ, α] ; [0, μ]]. Formule de changement de base : G = UTU−1 = UTU*. Par I.3(b) : ‖G‖S = ‖T‖S = √(|λ|2 + |μ|2 + |α|2).
2. Calcul d'une borne inférieure
- (a) Partie non vide de R minorée par 0 : la borne inférieure existe.
- (b) B ∈ SK(A) a les mêmes valeurs propres λ, μ (même χ) et vérifie l'hypothèse de 1 ; donc ‖B‖S = √(|λ|2+|μ|2+|αB|2) ≥ √(|λ|2+|μ|2).
- (c) Par 1 appliqué à A : A = UTU*, T = [[λ, α] ; [0, μ]]. Avec Dt = diag(t, 1) : DtTDt−1 = [[λ, tα] ; [0, μ]] = (DtU*)A(DtU*)−1 ∈ SK(A).
- (d) La norme de cette matrice vaut √(|λ|2+|μ|2+t2|α|2) → √(|λ|2+|μ|2) quand t → 0 ; avec (b) : infB∈S(A) ‖B‖S = √(|λ|2+|μ|2).
- (e) Si A est diagonalisable, diag(λ, μ) ∈ SK(A) atteint la borne. Réciproquement, si ‖B‖S = √(|λ|2+|μ|2) pour un B ∈ SK(A), on écrit B = UTU* (question 1) : |α|2 = 0, donc T = diag(λ, μ), B puis A sont diagonalisables. A diagonalisable ⇔ la borne est atteinte.
3. Application
- (a) Par définition de la borne inférieure m = √(|λ|2+|μ|2), pour tout k il existe Pk avec ‖PkAPk−1‖S ≤ m + 1/(k+1).
- (b) La suite (PkAPk−1) est bornée en dimension finie : sous-suite convergente vers B (Bolzano-Weierstrass). SK(A) fermée ⇒ B ∈ SK(A) ; en passant à la limite, ‖B‖S ≤ m, donc = m : la borne est atteinte et, par 2(e), A est diagonalisable.
IV. Matrice réelle sans valeur propre réelle
- 1 Avec t = a + d : M' = (2/δ)[[(a−d)/2, b] ; [c, (d−a)/2]], donc α = (a−d)/δ, β = 2b/δ, γ = 2c/δ. Et α2 + βγ = ((a−d)2 + 4bc)/δ2 = ((a+d)2 − 4(ad−bc))/δ2 = −1.
- 2 f(v) = (αx + βy, γx − αy), d'où (v|f(v)) = αx2 + (β+γ)xy − αy2. Si α = 0, e = (1, 0) convient. Sinon cette forme vaut α en (1,0) et −α en (0,1) : sur l'arc du cercle unité joignant ces points, la fonction continue change de signe, donc s'annule en un e ≠ 0 (on peut aussi résoudre α + (β+γ)y − αy2 = 0, de discriminant (β+γ)2 + 4α2 > 0). f(e) ≠ 0 car f2 = −Id rend f bijective.
- 3 u1, u2 sont unitaires et orthogonaux : base orthonormée. En posant ℓ = ‖e‖/‖f(e)‖ : f(u1) = (1/ℓ)u2 et f(u2) = f2(e)/‖f(e)‖ = −ℓu1, donc M1 = [[0, −ℓ] ; [1/ℓ, 0]].
- 4 U fait passer d'une base orthonormée à une autre : U est orthogonale, M' = UM1tU. Alors M = (t/2)I2 + (δ/2)M' = U((t/2)I2 + (δ/2)M1)tU = UM2tU avec M2 = (1/2)[[t, −δℓ] ; [δ/ℓ, t]], ℓ = ‖e‖/‖f(e)‖ > 0.
- 5(a) M'' ∈ SR(M) (II.4(d)), donc inf ≤ ‖M''‖S, et ‖M''‖S2 = (2t2 + 2δ2)/4 = (t2 + 4det M − t2)/2 = 2det M : ‖M''‖S = √(2det M).
- 5(b) ‖M2‖S2 = (2t2 + δ2(ℓ2 + ℓ−2))/4 ≥ (2t2 + 2δ2)/4 car ℓ2 + ℓ−2 − 2 = (ℓ − 1/ℓ)2 ≥ 0 : ‖M2‖S ≥ ‖M''‖S. Tout B ∈ SR(M) est réel, sans valeur propre réelle, de même trace et même déterminant (donc même δ) : les questions 1–4 appliquées à B et l'invariance orthogonale (I.3(b)) donnent ‖B‖S ≥ √(2det M). Donc inf = √(2det M).
- 6 La borne est atteinte en M''. Pour B = [[p, q] ; [r, s]] on a ‖B‖S2 − 2det B = (p − s)2 + (q + r)2. Donc, dans SR(M), l'égalité a lieu ssi s = p et r = −q ; la trace impose p = t/2 et le déterminant p2 + q2 = det M impose q = ±δ/2. Les matrices réalisant le minimum sont exactement M'' = (1/2)[[t, −δ] ; [δ, t]] et tM'' = (1/2)[[t, δ] ; [−δ, t]] (toutes deux dans SR(M) par II.4(e) ii : même trace, même déterminant, pas de valeur propre réelle).
- 7 Conclusion. Si SpR(A) = ∅ : borne atteinte (6) et classe fermée (II.4). Si SpR(A) ≠ ∅ : borne atteinte ⇔ A diagonalisable dans M2(R) (III.2(e), K = R) ⇔ classe fermée (II.5). Dans tous les cas : borne atteinte ⇔ SR(A) fermée.
💡 À retenir et à réviser pour le CNC MP : ce sujet est un classique de réduction « en taille 2 » : réduction de Jordan 2×2 via Cayley-Hamilton, trigonalisation en base orthonormée (théorème de Schur), invariance de la norme de Frobenius par conjugaison unitaire, caractérisations séquentielles des fermés et des compacts, Bolzano-Weierstrass en dimension finie. Les résultats finaux à connaître : classe de similitude fermée ⇔ A diagonalisable (sur C), et sa norme minimale √(|λ|2+|μ|2) est atteinte exactement dans ce cas. Soignez la rédaction : citez les numéros de questions, les parties II et III réutilisent sans cesse la partie I.
Questions fréquentes sur ce sujet
Ce sujet est-il téléchargeable gratuitement ?
Oui. La totalité du sujet (5 pages) est consultable et téléchargeable gratuitement, sans inscription ni compte.
Le corrigé est-il inclus ?
Oui. Un corrigé proposé figure sur cette page, sous les pages du sujet : méthode de réponse et éléments attendus, rédigés par l'équipe Wadifa Info.
Quel organisme et quel grade concerne ce sujet ?
Ce sujet provient d'un concours organisé par Concours National Commun (CNC) — CPGE. Il concerne le grade : Concours d'accès aux écoles d'ingénieurs.
De quelle session s'agit-il et dans quelle langue ?
Session : 2008. Les questions sont en français.
Où trouver d'autres sujets du même concours ?
Tous nos sujets de la même famille sont regroupés sur la page Accès aux écoles et instituts supérieurs : /fr/modeles-concours/ecoles-instituts-superieurs. Les sujets y sont classés par session, du plus récent au plus ancien.
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Source : concours d'accès aux écoles et instituts supérieurs — document archivé tel que reçu ; l'avis officiel du concours fait foi.
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