Modèle de concours : CNC 2007 Mathématiques II (MP) — Concours National Commun
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En bref
Ce document est une ancienne épreuve écrite du concours de Concours d'accès aux écoles d'ingénieurs organisé par Concours National Commun (CNC) — CPGE (2007), publiée sur Wadifa Info en consultation et téléchargement PDF gratuits, avec une correction proposée.
- Organisme
- Concours National Commun (CNC) — CPGE
- Grade
- Concours d'accès aux écoles d'ingénieurs
- Spécialité
- Mathématiques II
- Année
- 2007
- Pages
- 5
- Langue des questions
- français
- Correction
- correction proposée disponible sur cette page
📝 Texte des questions (extrait automatiquement des pages scannées)
Ce texte est extrait automatiquement des images de l'épreuve et peut contenir des erreurs de lecture — les images ci-dessus font foi.
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ROYAUME DU MAROC
Ministère de l’Éducation Nationale, de l'Enseignement
Supérieur, de la Formation des Cadres
et de la Recherche Scientifique
Présidence du Concours National Commun 2007
École Nationale Supérieure d’Électricité et de Mécanique
ENSEM
Concours National Commun
d’Admission aux
Grandes Écoles d’Ingénieurs ou Assimilées
Session 2007
ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES II
Durée 4 heures
Filière MP
Cette épreuve comporte 4 pages au format A4, en plus de cette page de garde
L'usage de la calculatrice est interdit
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— صفحة 2 —
Concours National Commun - Session 2007 - MP
L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière MP,
comporte 4 pages.
L'usage de la calculatrice est interdit .
Les candidats sont informés que la qualité de la rédaction et de la présentation, la clarté et la précision des
raisonnements constitueront des éléments importants pour l'appréciation des copies. Il convient en particulier
de rappeler avec précision les | références | des questions abordées.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est
amené à prendre.
Diverses démonstrations du théorème fondamental de l'algèbre
Le théorème de d’Alembert-Gauss appelé aussi théorème fondamental de l'algèbre affirme que
“tout polynôme non constant à coefficients complexes admet au moins une racine complexe”.
L'objectif de ce problème est d'établir ce résultat fondamental par des méthodes analytiques et
une méthode faisant appel à des techniques d’algèbre linéaire.
Les deux parties du problème sont indépendantes.
PREMIÈRE PARTIE : MÉTHODES ANALYTIQUES
A. Résultats préliminaires
Soit P un polynôme à coefficients complexes s’écrivant P = S. ap X" avec d › 1 et aq # 0.
k=0
1. (a) Montrer que |P(z)| nu |aa|=|*, la variable z étant complexe.
(b) En déduire qu’il existe R › 0 tels que, pour tout z € ©
1
“اغالما2 › ا(فامظا › “اداامعاج = 7‹ |
2. (a) Justifier que l'application ع — |P(z)| est bornée sur tout disque fermé borné de C et y
atteint sa borne inférieure.
(b) Montrer alors que l'application ع — |P(z)| est minorée sur C et atteint sa borne
inférieure. On pourra appliquer la question précédente sur un disque bien choisi ٠
B. Première méthode analytique
1. Soient b un complexe non nul et Q un polynôme à coefficients complexes tel que @(0) = 0; on
pose Q; = 1 + bX* + X*Q, k € N*. Soit enfin à une racine k-ième de -+.
(a) Montrer qu’il existe ty €]0, 1[ tel que |a*Q(ato)] ›
(b) Un tel to étant choisi ; montrer que |Q1(ato)| › 1.
2. Inégalité d’Argand : Soient P un polynôme non constant à coefficients complexes, et y un
nombre complexe tel que P(y) # 0. Montrer qu'il existe 6, complexe tel que |P(6)] › |P(5)|-
On pourra considérer le polynôme Q1 tel que Q1(z) = PE 61.
3. Application : Soit P un polynôme non constant à coefficients complexes ; on note = un
complexe où l'application z — |P(z)| atteint sa valeur minimale. Montrer que 20 est un
Zéro du polynôme P.
Épreuve de Mathématiques II 1/4 Tournez la page S.V.P.
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Concours National Commun - Session 2007 - MP
C. Deuxième méthode analytique
Soit P un polynôme non constant à coefficients complexes ; on va montrer par l'absurde que P
possède au moins une racine dans C. Supposons le contraire et considérons la fonction f, à valeurs
complexes, définie sur 182 par
1
فيج = )1010 )0(
1. Justifier que f est de classe 01 sur R° et calculer ses dérivées partielles premières.
27 do
(a) Justifier que F est dérivable sur R et calculer sa dérivée.
2. Pour tout réel 7, on pose
(b) Montrer que F tend vers 0 en +00. On pourra utiliser les préliminaires.
(c) Calculer F(0) et trouver une contradiction puis conclure.
DEUXIÈME PARTIE : MÉTHODE ALGÉBRIQUE
Dans toute cette partie, K désigne le corps des réels ou celui des complexes (K = R ou C) et n un
entier naturel non nul. On note M, (K) l'algèbre des matrices carrées d'ordre n à coefficients dans
K ; la matrice identité se notera I,,.
Pour toute matrice A de M,(K), “A désigne la matrice transposée de A, Tr (A) sa trace, x a son
polynôme caractéristique et Spy (A) l’ensemble des valeurs propres de A appartenant à K.
Si A = (ap«) € Mn (C), on appelle matrice conjuguée de A et on note À, la matrice de M, (C)
dont le coefficient de la k-ième ligne et la £-ième colonne est égal au conjugué م du complexe az «,
pour tout couple (k, €) d'éléments de {1,...,n}.
Pour tout couple (k, /) d'éléments de {1,...,n}, on note F7; 12 matrice de M, (K) dont tous les
coefficients sont nuls sauf celui de la k-ième ligne et la £-ième colonne valant 1 ; on rappelle que la
famille (Ere) 1‹p pen ESt Une base de M, (K), dite base canonique.
On rappelle ici que l’objectif de cette partie aussi est d’établir le théorème fondamental de
l'algèbre et il ne sera donc pas possible de l'utiliser; on a tout de même le résultat élémentaire
selon lequel “ tout polynôme du second degré à coefficients complexes se factorise sur C 7
A. Premiers résultats
1. (a) Montrer que tout polynôme à coefficient réels de degré impair possède au moins une
racine réelle. On pourra utiliser le théorème des valeurs intermédiaires.
(b) En déduire que tout endomorphisme d’un espace vectoriel réel de dimension impaire
possède au moins une valeur propre.
(c) Application : Existe-t-il une matrice A € M3(R) telle que A? + A + 15 = 0?
2. Soit £ un K -espace vectoriel de dimension finie n = 1, et soient u et v deux endomorphismes
de 7 qui commutent.
(a) Montrer que pour tout À € K, les sous-espaces vectoriels Ker (u — Aid) et Im (u — Aidz)
sont stables par u et v.
(b) Montrer que si K = R et د impair et distinct de 1 alors F possède au moins un sous-
espace vectoriel strict de dimension impaire, et stable par les endomorphismes u et v.
Épreuve de Mathématiques II 2/4 ب
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Concours National Commun - Session 2007 - MP
3. Montrer par récurrence sur la dimension que deux endomorphismes commutables d’un espace
vectoriel réel de dimension impaire possèdent au moins un vecteur propre commun.
B. Endomorphismes d’un C -espace vectoriel de dimension impaire
On note أ un complexe tel que 2# = —1 et F le sous-ensemble de M, (C) défini par
On suppose de plus que n est impair.
1. Montrer que F est un espace vectoriel réel.
2. Vérifier que la famille constituée des éléments ...بيرط En,ns نظ + Per, يمه )ا — Ecæ) avec
(k,l) € {1,...,n}* et k › L, est une base de 7 ; quelle est alors la dimension de 7 ? quelle est
sa parité ?
3. Soit A une matrice de M, (C) ; on considère les deux applications u et v définies sur 7 par
(a) Montrer que u et v sont des endomorphismes de F.
(b) Vérifier que u et v commutent puis justifier qu’ils possèdent au moins un vecteur propre
commun.
(c) On note My € F un vecteur propre commun aux endomorphismes u et v et on suppose
que v(My) = AM, et que v(Mo) = pu My, (À, y) € R?.
Exprimer la matrice AMpy en fonction de la matrice My et montrer soigneusement que
À + عر est une valeur propre de la matrice A.
4. (a) Justifier que tout endomorphisme d’un espace vectoriel complexe de dimension impaire
possède au moins une valeur propre.
(b) Montrer par récurrence sur la dimension que deux endomorphismes commutables d'un
espace vectoriel complexe de dimension impaire possèdent au moins un vecteur propre
commun.
C. Étude du cas général
On sait que tout entier naturel non nul n s’écrit de manière unique sous la forme n = 2*p où
k € Net p est un entier naturel impair.
On considère la propriété P, suivante :
Pour tout entier naturel impair p, et tout espace vectoriel complexe E de dimension 2*p :
() tout endomorphisme de E possède au moins une valeur propre ;
(ii) deux endomorphismes commutables de E possèdent au moins un vecteur propre commun.
On se propose de montrer cette propriété par récurrence sur l’entier naturel k.
La propriété Po vient d’être établie dans la section précédente. Soit donc k € N* et supposons
la propriété P; vraie pour tout entier naturel / › رم soit p un entier naturel impair et Æ un espace
vectoriel complexe de dimension 2*p .
C.l. Étude de l’assertion (i) de P;.
Soit f un endomorphisme de F ; on note A la matrice de f dans une base quelconque de F et on
considère le sous-espace vectoriel , noté G, de M,(C) défini par
Épreuve de Mathématiques II 3/4 Tournez la page S.V.P.
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Concours National Commun - Session 2007 - MP
1. Préciser la dimension du C -espace vectoriel G.
2. On considère les deux applications u et v définies sur G par
(a) Vérifier que u et v sont des endomorphismes de 0 et que u et v commutent.
(b) Justifier soigneusement que les endomorphismes u et v possèdent au moins un vecteur
propre commun.
(c) On note Ny € G un vecteur propre commun aux endomorphismes u et v et on suppose
que u(No) = AN et que v(No) = u No, (A, p) € C?.
i. Vérifier que (A? — AA + p I) No = 0.
Dans la suite, on notera W un vecteur colonne non nul de la matrice Ny et on
désignera par به et 3 les racines complexes du polynôme du second degré X?—AX + y.
ii. Vérifier que (A — al, )(A — /1,)W = 0
iii. Justifier alors que a ou 8 est valeur propre de À et conclure .
CII. Étude de l’assertion (ii) de P;.
Soient f et و deux endomorphismes commutables de Æ ; on cherche à montrer que f et g ont au
moins un vecteur propre commun.
1. Si f est une homothétie de E, justifier que f et و ont au moins un vecteur propre commun.
2. Si f n’est pas une homothétie de F, soit À une valeur propre de f. On sait que les sous-espaces
vectoriels F, = Ker (f — Aidz) et Fa = Im (f — Aidz) sont stables par f et 9.
(a) Si la dimension de l’un des sous-espaces vectoriels 71 ou F› s'écrit 2‘qavecl › ketq
impair, comment peut-on conclure ?
(b) Sinon, c’est que l’un de ces deux sous-espaces vectoriels est de dimension 256 où و est
impair et l’autre de dimension 2*r avec r pair.
Justifier alors que م › و et indiquer comment on pourrait montrer que les endomor-
phismes f et g ont au moins un vecteur propre commun.
D. Retour au théorème fondamental de l'algèbre
Soit P = X" — 1 a, X* un polynôme unitaire de degré n à coefficients complexes ; on note /
k=0
l’endomorphisme du C -espace vectoriel “نا canoniquement associée à la matrice
A=10 ÿ €
1 0 an
0 0 1 ani
1. Calculer le polynôme caractéristique de la matrice A.
2. Justifier alors que le polynôme P possède au moins une racines complexe.
3. Montrer le théorème fondamental de l'algèbre.
FIN DE L'ÉPREUVE
Épreuve de Mathématiques II 4/4 FIN
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✅ Correction proposée
Il s'agit d'une correction proposée, rédigée par l'équipe wadifa-info pour vous aider à comprendre la méthode — ce n'est pas un corrigé officiel de l'administration organisatrice.
Ce sujet est l'épreuve de Mathématiques II du Concours National Commun (CNC) 2007, filière MP, pour l'admission aux grandes écoles d'ingénieurs marocaines (présidence : ENSEM). Durée : 4 heures, calculatrice interdite, 4 pages. C'est un problème intitulé « Diverses démonstrations du théorème fondamental de l'algèbre » (d'Alembert-Gauss) : deux preuves analytiques (inégalité d'Argand, puis intégrale F(r) = ∫02π dθ / P(reiθ)) et une preuve algébrique par vecteurs propres communs d'endomorphismes qui commutent, avec récurrence sur la valuation 2-adique de la dimension. Les deux parties sont indépendantes. Voici une correction méthodologique proposée.
💡 Avant de commencer : la Première partie est rapide et très rentable (équivalents, compacité, dérivation sous l'intégrale). La Deuxième partie est une longue récurrence : le lemme clé est « le noyau et l'image de u − λid sont stables par tout endomorphisme qui commute avec u », et l'argument de parité (dim Ker + dim Im = n). Interdiction d'utiliser le théorème de d'Alembert dans la Deuxième partie : ne dites jamais « χA a une racine complexe ».
Première partie — A. Résultats préliminaires
1.
- (a) Pour z ≠ 0 : P(z) / (adzd) = 1 + Σk<d (ak/ad) zk−d → 1 quand |z| → +∞ (chaque terme est majoré par |ak/ad| |z|k−d → 0). Donc |P(z)| ∼ |ad| |z|d.
- (b) Il existe R > 0 tel que |z| ≥ R ⇒ |P(z)/(adzd) − 1| ≤ 1/2, donc 1/2 ≤ |P(z)| / (|ad||z|d) ≤ 3/2 ≤ 2 : (1/2)|ad||z|d ≤ |P(z)| ≤ 2|ad||z|d.
2.
- (a) z ↦ |P(z)| est continue (polynomiale) et un disque fermé borné est compact : elle y est bornée et atteint ses bornes.
- (b) On choisit R' ≥ R tel que (1/2)|ad|R'd ≥ |P(0)|. Sur le disque D' = D̄(0, R'), le minimum m = |P(z0)| est atteint et m ≤ |P(0)|. Pour |z| > R' : |P(z)| ≥ (1/2)|ad|R'd ≥ |P(0)| ≥ m. Donc |P| est minorée sur ℂ et atteint sa borne inférieure en z0.
Première partie — B. Première méthode : inégalité d'Argand
1.
- (a) φ : t ↦ αkQ(αt) est continue et φ(0) = αkQ(0) = 0 ; par continuité en 0, il existe t0 ∈ ]0, 1[ avec |αkQ(αt0)| ≤ 1/2.
- (b) Comme bαk = −1 : Q1(αt0) = 1 − t0k + t0k αkQ(αt0). Donc |Q1(αt0)| ≤ (1 − t0k) + t0k/2 = 1 − t0k/2 < 1.
2. Inégalité d'Argand
Q1(z) = P(γ + z)/P(γ) est un polynôme non constant (même degré que P) avec Q1(0) = 1. Soit k ≥ 1 le plus petit indice ≥ 1 de coefficient b ≠ 0 : Q1 = 1 + bXk + XkQ avec Q(0) = 0. Par 1(b), z = αt0 vérifie |Q1(z)| < 1, soit |P(γ + z)| < |P(γ)| : δ = γ + αt0 convient.
3. Application
z0 existe par A.2(b). Si P(z0) ≠ 0, l'inégalité d'Argand donne δ avec |P(δ)| < |P(z0)| = min |P| : contradiction. Donc P(z0) = 0 : c'est le théorème de d'Alembert-Gauss.
Première partie — C. Deuxième méthode analytique
1.
(r, θ) ↦ P(reiθ) est C1 (polynôme en r cos θ, r sin θ) et ne s'annule pas (hypothèse absurde), donc f = 1/P(reiθ) est C1 et
- ∂f/∂r = −eiθP'(reiθ) / P(reiθ)2 ;
- ∂f/∂θ = −ireiθP'(reiθ) / P(reiθ)2, d'où la relation ∂f/∂θ = ir ∂f/∂r.
2.
- (a) f et ∂f/∂r sont continues sur ℝ × [0, 2π] (segment) : par le théorème de dérivation sous le signe intégrale, F est C1 et F'(r) = ∫02π ∂f/∂r(r, θ) dθ. Pour r ≠ 0, F'(r) = (1/(ir)) ∫02π ∂f/∂θ dθ = (1/(ir)) [f(r, 2π) − f(r, 0)] = 0 (2π-périodicité). Par continuité de F', F'(0) = 0 aussi (ou directement : ∫02π eiθdθ = 0). Donc F' ≡ 0 : F est constante.
- (b) Pour r ≥ R (A.1b) : |f(r, θ)| ≤ 2/(|ad|rd), donc |F(r)| ≤ 4π/(|ad|rd) → 0 : F → 0 en +∞.
- (c) F(0) = 2π/P(0) ≠ 0. Or F constante de limite 0 est nulle : contradiction. Donc P a au moins une racine dans ℂ.
Deuxième partie — A. Premiers résultats
1.
- (a) Soit P réel de degré d impair, quitte à diviser, unitaire : P(x) ∼ xd, donc P → −∞ en −∞ et +∞ en +∞. P étant continu, le théorème des valeurs intermédiaires donne une racine réelle.
- (b) Le polynôme caractéristique χu est réel de degré n impair : il a une racine réelle, qui est une valeur propre de u.
- (c) A ∈ M3(ℝ) aurait une valeur propre réelle λ, de vecteur propre X ≠ 0 : (A2 + A + I3)X = (λ2 + λ + 1)X = 0, donc λ2 + λ + 1 = 0, impossible dans ℝ (discriminant −3). Réponse : non.
2.
- (a) Posons w = u − λidE ; u et v commutent avec w. Si w(x) = 0 : w(v(x)) = v(w(x)) = 0, donc Ker w est stable par v (de même par u). Si y = w(x) : v(y) = w(v(x)) ∈ Im w, donc Im w est stable.
- (b) n impair ≥ 3. Par 1(b), u a une valeur propre λ. Si u ≠ λid : F1 = Ker(u − λid) et F2 = Im(u − λid) sont stables par u et v, non nuls et distincts de E (F1 ≠ {0} car λ valeur propre, F1 ≠ E car u ≠ λid), et dim F1 + dim F2 = n impair (théorème du rang) : l'un des deux est de dimension impaire. Si u = λid, tout sous-espace est stable par u ; on raisonne de même avec une valeur propre μ de v (si v = μid aussi, une droite quelconque convient, strict car n ≥ 3). E possède un sous-espace strict non nul de dimension impaire stable par u et v.
3.
Récurrence forte sur n impair. n = 1 : tout vecteur non nul est propre pour u et v. n ≥ 3 : par 2(b), on a F strict, stable, de dimension impaire < n ; les restrictions uF, vF commutent, et l'hypothèse de récurrence donne un vecteur propre commun dans F, qui l'est pour u et v.
Deuxième partie — B. ℂ-espace de dimension impaire
1.
0 ∈ ℱ et pour a, b réels : t(aM + bN) = atM + btN = a M̄ + b N̄ = conj(aM + bN). ℱ (matrices hermitiennes) est un sous-espace du ℝ-espace vectoriel Mn(ℂ).
2.
M ∈ ℱ ⇔ mk,k ∈ ℝ et mℓ,k = conj(mk,ℓ). En écrivant mk,ℓ = xk,ℓ + iyk,ℓ (k < ℓ) : M = Σ mk,kEk,k + Σk<ℓ [xk,ℓ(Ek,ℓ + Eℓ,k) + yk,ℓ i(Ek,ℓ − Eℓ,k)]. Ces matrices sont dans ℱ, la famille est génératrice, et libre sur ℝ (les coefficients réels sont lus sur les parties réelles et imaginaires des coefficients). dimℝ ℱ = n + 2·n(n − 1)/2 = n2, impaire car n est impair.
3.
- (a) u, v sont ℝ-linéaires. Avec tM = M̄ : tu(M) = (1/2)(M̄tA + ĀM̄) = conj((1/2)(MtĀ + AM)) = conj(u(M)) ; tv(M) = (1/(2i))(M̄tA − ĀM̄) et conj(v(M)) = (1/(−2i))(ĀM̄ − M̄tA), égaux. u, v sont des endomorphismes de ℱ.
- (b) L : M ↦ AM et R : M ↦ MtĀ commutent (associativité). u = (L + R)/2 et v = (L − R)/(2i) commutent donc. ℱ est un ℝ-espace de dimension impaire n2 : par A.3, u et v ont un vecteur propre commun.
- (c) u + iv = (L + R)/2 + (L − R)/2 = L, donc AM0 = u(M0) + iv(M0) = (λ + iμ)M0. M0 ≠ 0 a une colonne X ≠ 0, et AX = (λ + iμ)X : λ + iμ est valeur propre de A.
4.
- (a) La matrice A d'un endomorphisme en dimension impaire n a une valeur propre par 3(c), donc l'endomorphisme aussi.
- (b) Même récurrence forte qu'en A.3, en remplaçant A.1(b) par 4(a) : A.2(a) est valable sur ℂ, et l'argument de parité de A.2(b) fournit un sous-espace strict, non nul, de dimension impaire, stable par u et v. Deux endomorphismes qui commutent en dimension impaire ont un vecteur propre commun : c'est P0.
Deuxième partie — C. Cas général (récurrence sur k)
C.I. Assertion (i)
- 1. 𝒢 = matrices antisymétriques, n = 2kp : dim 𝒢 = n(n − 1)/2 = 2k−1·p(2kp − 1), avec p(2kp − 1) impair (k ≥ 1).
- 2(a). tu(M) = tMtA + AtM = −(MtA + AM) = −u(M) et tv(M) = AtMtA = −v(M) : u, v ∈ L(𝒢). Avec L(M) = AM, R(M) = MtA qui commutent : u = L + R, v = L∘R, donc uv = vu.
- 2(b). 𝒢 est un ℂ-espace de dimension 2k−1q, q impair, et k − 1 < k : l'hypothèse de récurrence Pk−1(ii) donne un vecteur propre commun.
- 2(c) i. AN0 + N0tA = λN0 et AN0tA = μN0. On multiplie la première par A à gauche : A2N0 + μN0 = λAN0, soit (A2 − λA + μIn)N0 = 0.
- ii. X2 − λX + μ = (X − α)(X − β), donc A2 − λA + μIn = (A − αIn)(A − βIn) ; appliqué à la colonne W de N0 : (A − αIn)(A − βIn)W = 0.
- iii. Si (A − βIn)W = 0, β est valeur propre (W ≠ 0). Sinon Y = (A − βIn)W ≠ 0 vérifie AY = αY : α est valeur propre. f a une valeur propre : (i) de Pk est établie.
C.II. Assertion (ii)
- 1. Si f = c·idE, g a une valeur propre par (i) : tout vecteur propre de g est propre pour f.
- 2(a). F1, F2 sont non nuls, stricts, stables par f et g. Si l'un, disons F, est de dimension 2ℓq avec ℓ < k, q impair, les restrictions fF, gF commutent et Pℓ(ii) fournit un vecteur propre commun dans F, donc pour f et g.
- 2(b). Sinon les deux dimensions sont divisibles par 2k. Elles ne peuvent pas être toutes deux divisibles par 2k+1 (leur somme 2kp ne l'est pas) : l'une vaut 2kq (q impair), l'autre 2kr avec r pair, et r ≥ 2 (sous-espace non nul). De q + r = p, on tire q = p − r < p. On conclut par une récurrence forte sur l'entier impair p (k fixé) : l'hypothèse « (ii) vraie en dimension 2kq pour tout q impair < p », appliquée aux restrictions de f et g au sous-espace de dimension 2kq, donne le vecteur propre commun. Pour p = 1 ce cas est impossible (2kq + 2kr ≥ 3·2k > 2k), donc 2(a) suffit : la récurrence est bien initialisée. Pk est vraie pour tout k.
Deuxième partie — D. Retour au théorème fondamental
1.
Dans A − XIn, on fait L1 ← L1 + XL2 + X2L3 + … + Xn−1Ln : la nouvelle première ligne est nulle sauf son dernier coefficient Σk=0n−1 akXk − Xn = −P(X). En développant selon cette ligne, le mineur associé (lignes 2..n, colonnes 1..n−1) est triangulaire à diagonale de 1. D'où det = (−1)1+n(−P(X)), soit χA = (−1)nP (A est la matrice compagnon de P).
2.
n = 2kp ; par Pk(i), f a une valeur propre λ ∈ ℂ, et χA(λ) = 0 donne P(λ) = 0.
3.
Soit Q non constant de degré n ≥ 1 et de coefficient dominant c ≠ 0 : Q/c est unitaire, de la forme Xn − Σ akXk, et a une racine par 2 ; c'est une racine de Q. Tout polynôme non constant de ℂ[X] a une racine complexe.
💡 À réviser pour le CNC MP (Maths II) : équivalents de polynômes et compacité (existence d'un minimum), dérivation sous le signe intégrale sur un segment, théorème des valeurs intermédiaires ; stabilité de Ker et Im par des endomorphismes qui commutent, théorème du rang et arguments de parité, restrictions à un sous-espace stable ; matrices hermitiennes et antisymétriques (dimensions n2 sur ℝ et n(n − 1)/2), matrice compagnon et son polynôme caractéristique ; récurrences fortes à double indice (k puis p). Rédigez proprement les récurrences : c'est là que se jouent les points de la Deuxième partie.
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