Modèle de concours : CNC 2006 Mathématiques II (MP) — Concours National Commun

Ce sujet est l'épreuve de Mathématiques II du Concours National Commun (CNC) 2006, filière MP, commun à l'admission aux grandes écoles d'ingénieurs marocaines (présidence : EMI). Durée : 4 heures, calculatrice interdite, 4 pages. C'est un problème d'algèbre linéaire sur les « préservateurs » : endomorphismes de M_n(ℂ) qui conservent le déterminant ou le polynôme caractéristique, applications Φ telles que χ_Φ(A)Φ(B) = χ_AB, puis endomorphismes de S_n(ℝ) qui conservent S_n⁺⁺(ℝ). Voici une correction méthodologique proposée.

💡 Avant de commencer : tout le problème repose sur trois outils : la base canonique (E_i,j) avec E_i,jE_k,l = δ_j,kE_i,l, le lemme « Tr(AM) = 0 pour tout M ⇒ A = 0 », et le résultat admis (un endomorphisme qui conserve le rang est u_P,Q ou v_P,Q). Chaque partie se ramène à la précédente : gardez les références exactes des questions pour les citer.

Préliminaires

1. Commutant

• (a) AE_i,j = Σ_k a_k,i E_k,j (la j-ème colonne est la i-ème colonne de A, les autres sont nulles) et E_i,jA = Σ_l a_j,l E_i,l (la i-ème ligne est la j-ème ligne de A).
• (b) AE_i,j = E_i,jA. On compare les coordonnées : sur E_k,j avec k ≠ i, on obtient a_k,i = 0 ; sur E_i,j, on obtient a_i,i = a_j,j. Donc A est diagonale à coefficients diagonaux égaux : A = a_1,1I_n.

2. Trace

• (a) Tr(AE_i,j) = a_j,i (seule la j-ème colonne de AE_i,j est non nulle et son coefficient diagonal est a_j,i).
• (b) Avec M = E_i,j : a_j,i = 0 pour tout (i, j), donc A = 0.

3.

Tr(AB) = Σ_iΣ_k a_i,kb_k,i = Σ_kΣ_i b_k,ia_i,k = Tr(BA).

4.

Multiplier à gauche ou à droite par une matrice inversible ne change pas le rang, et rg(^tM) = rg(M). Donc rg(PMQ) = rg(P^tMQ) = rg(M).

Première partie — A. Endomorphismes qui conservent le déterminant

1.

Les s premières colonnes de λJ_s + A sont λe_k + A_k, les autres sont A_k. Par la formule de Leibniz (ou la multilinéarité par rapport aux colonnes), chaque terme est un produit où au plus s facteurs contiennent λ, chacun au degré 1. Donc det(λJ_s + A) est un polynôme en λ de degré ≤ s.

2.

• (a) Théorème du rang : toute matrice de rang r est équivalente à J_r, donc M = RJ_rS avec R, S ∈ GL_n(ℂ).
• (b) λM + N = R(λJ_r + K_r)S = R diag(λ,…,λ,1,…,1)S (r fois λ), d'où det(λM + N) = λ^r det R det S.
• (c) Par 2(a) appliqué à Φ(M) (rang s) : Φ(M) = R'J_sS', donc det(λΦ(M) + Φ(N)) = det R' det S' det(λJ_s + R'^-1Φ(N)S'^-1), polynôme de degré ≤ s par A.1 (si s = 0, c'est une constante). Par linéarité et conservation du déterminant, ce polynôme vaut det Φ(λM + N) = det(λM + N) = λ^r det R det S, de degré exactement r (car det R det S ≠ 0). Donc r ≤ s, soit rg M ≤ rg Φ(M).

3.

Si Φ(M) = 0 avec M ≠ 0, on aurait 1 ≤ rg M ≤ rg Φ(M) = 0 : absurde. Donc ker Φ = {0}, Φ injectif, et comme M_n(ℂ) est de dimension finie, Φ est bijectif.

4.

Pour M donnée : det Φ^-1(M) = det Φ(Φ^-1(M)) = det M.

5.

On applique 2(c) à Φ et à Φ^-1 : rg M ≤ rg Φ(M) ≤ rg Φ^-1(Φ(M)) = rg M. Donc Φ conserve le rang et, par le résultat admis, Φ = u_P,Q ou v_P,Q. La condition det Φ(M) = det M s'écrit det P det Q det M = det M pour tout M, soit det(PQ) = 1. Réciproquement ces applications conservent le déterminant. Les endomorphismes cherchés sont M ↦ PMQ et M ↦ P^tMQ avec P, Q ∈ GL_n(ℂ) et det(PQ) = 1.

Première partie — B. Endomorphismes qui conservent le polynôme caractéristique

1.

χ_M(0) = det M et le coefficient de λ^n-1 dans χ_M(λ) = det(M − λI_n) vaut (−1)^n-1Tr M. Donc χ_Φ(M) = χ_M entraîne det Φ(M) = det M et Tr Φ(M) = Tr M.

2.

Φ conserve le déterminant, donc par A.5 : Φ = u_P,Q ou Φ = v_P,Q.

3.

• (a) Tr Φ(E_i,j) = Tr E_i,j. Si Φ = u_P,Q, c'est directement Tr(PE_i,jQ) = Tr(E_i,j). Si Φ = v_P,Q, Φ(E_j,i) = PE_i,jQ, d'où Tr(PE_i,jQ) = Tr(E_j,i) = δ_i,j = Tr(E_i,j). Dans les deux cas Tr(PE_i,jQ) = Tr(E_i,j).
• (b) Tr(PE_i,jQ) = Tr(QPE_i,j) = (QP)_j,i (Préliminaire 2a) et Tr(E_i,j) = δ_i,j = (I_n)_j,i. Donc QP = I_n, Q = P^-1.

4.

Φ(M) = PMP^-1 ou Φ(M) = P^tMP^-1. Réciproquement, deux matrices semblables ont le même polynôme caractéristique et χ_^tM = χ_M. Les endomorphismes cherchés sont exactement u_P,P^-1 et v_P,P^-1, P ∈ GL_n(ℂ).

Deuxième partie : χ_Φ(A)Φ(B) = χ_AB

1.

• (a) Même polynôme caractéristique ⇒ même trace : Tr(Φ(E_i,j)Φ(E_k,l)) = Tr(E_i,jE_k,l) = δ_j,kTr(E_i,l) = δ_j,kδ_i,l.
• (b) Si Σ c_i,jΦ(E_i,j) = 0, on multiplie à droite par Φ(E_k,l) et on prend la trace : Σ c_i,jδ_j,kδ_i,l = c_l,k = 0. La famille est libre et a n² = dim M_n(ℂ) éléments : c'est une base.

2.

• (a) Tr(Φ(A+B)Φ(E_i,j)) = Tr((A+B)E_i,j) = Tr(AE_i,j) + Tr(BE_i,j) = Tr(Φ(A)Φ(E_i,j)) + Tr(Φ(B)Φ(E_i,j)), d'où Tr((Φ(A+B) − Φ(A) − Φ(B))Φ(E_i,j)) = 0.
• (b) Soit D = Φ(A+B) − Φ(A) − Φ(B). Tr(DX) = 0 pour X dans la base (Φ(E_i,j)), donc pour tout X par linéarité de X ↦ Tr(DX). Par le Préliminaire 2(b), D = 0 : Φ(A+B) = Φ(A) + Φ(B).

3.

De même Tr((Φ(λA) − λΦ(A))Φ(E_i,j)) = Tr(λAE_i,j) − λTr(AE_i,j) = 0, donc Φ(λA) = λΦ(A) : Φ est linéaire. Son image contient la base (Φ(E_i,j)), donc Φ est surjectif, donc bijectif en dimension finie : Φ est un automorphisme.

4.

Pour i ≠ j : E_i,j² = δ_j,iE_i,j = 0, E_i,j est nilpotente. Alors χ_Φ(Ei,j)² = χ_Ei,j² = χ₀ = (−X)ⁿ ; Φ(E_i,j)² n'a que 0 comme valeur propre, donc (Cayley-Hamilton) (Φ(E_i,j)²)ⁿ = 0 : Φ(E_i,j) est nilpotente.

5.

G existe car Φ est bijectif.

• (a) χ_Φ(A) = χ_Φ(A)In = χ_Φ(A)Φ(G) = χ_AG.
• (b) E_i,jG a pour seule ligne non nulle la ligne i, égale à la ligne j de G. Dans E_i,jG − XI_n, les lignes k ≠ i n'ont qu'un coefficient −X sur la diagonale ; en développant, det = (−X)^n-1(g_j,i − X), soit χ_Ei,jG = (−1)ⁿX^n-1(X − g_j,i).
• (c) Pour i ≠ j, Φ(E_i,j) est nilpotente donc χ_Φ(Ei,j) = (−1)ⁿXⁿ ; avec (a) et (b) : X − g_j,i = X, donc g_j,i = 0 : G est diagonale. Ensuite χ_G² = χ_Φ(G)Φ(G) = χ_In = (1 − X)ⁿ ; G² = diag(g_i,i²) a toutes ses valeurs propres égales à 1, donc G² = I_n.

6.

• (a) Ψ est linéaire (Φ l'est) et χ_Ψ(A) = χ_Φ(AG) = χ_AG·G = χ_A (5a et G² = I_n) : Ψ conserve le polynôme caractéristique.
• (b) Par I.B.4, Ψ = u_P,P^-1 ou v_P,P^-1. Comme G^-1 = G, Φ(M) = Ψ(MG). D'où Φ(M) = PMGP^-1 ou Φ(M) = P^t(MG)P^-1 = PG^tMP^-1 (G diagonale donc ^tG = G).

7.

• (a) Tr(Φ(A)Φ(B)) = Tr(AB). Premier cas : Φ(A)Φ(B) = P(AGBG)P^-1, de trace Tr(AGBG). Second cas : Φ(A)Φ(B) = P(G^tAG^tB)P^-1, de trace Tr(G^tAG^tB) = Tr(^t(G^tAG^tB)) = Tr(BGAG) = Tr(AGBG). Dans les deux cas Tr(AGBG) = Tr(AB).
• (b) Tr(A(GBG − B)) = 0 pour tout A, donc (Préliminaire 2b) GBG = B.
• (c) En multipliant GBG = B à gauche par G : BG = GB pour tout B. Par le Préliminaire 1(b), G = εI_n et G² = I_n donne ε² = 1 : G = εI_n, ε ∈ {−1, 1}. Ainsi Φ = ε u_P,P^-1 ou Φ = ε v_P,P^-1.

8. Réciproque

Si w = ε u_P,P^-1 : w(A)w(B) = ε²PABP^-1 = PABP^-1, semblable à AB. Si w = ε v_P,P^-1 : w(A)w(B) = P^tA^tBP^-1 = P^t(BA)P^-1, de polynôme caractéristique χ_BA. Il reste le résultat classique χ_BA = χ_AB : si A est inversible, BA = A^-1(AB)A ; sinon A − (1/k)I_n est inversible pour k assez grand et on passe à la limite (continuité du polynôme caractéristique, densité de GL_n(ℂ)). Donc χ_w(A)w(B) = χ_AB dans les deux cas.

Troisième partie : endomorphismes de S_n(ℝ) conservant S_n⁺⁺(ℝ)

1.

• (a) Théorème spectral : A symétrique réelle est diagonalisable dans une base orthonormée, A = ^tPDP avec P orthogonale. Les coefficients diagonaux de D sont les valeurs propres de A (avec multiplicités).
• (b) Avec Y = PX : ^tXAX = ^tYDY = Σ d_iy_i². Si tous les d_i ≥ 0, c'est ≥ 0. Réciproquement, pour X vecteur propre associé à λ : ^tXAX = λ‖X‖² ≥ 0 ⇒ λ ≥ 0. A positive ⇔ Sp(A) ⊂ ℝ₊.
• (c) Même raisonnement, X ≠ 0 ⇔ Y ≠ 0 (P inversible) : A définie positive ⇔ Sp(A) ⊂ ℝ₊^*.

2.

• (a) (A + μI_n)X = (λ + μ)X ⇔ AX = λX : Sp_ℝ(A + μI_n) = {λ + μ ; λ ∈ Sp_ℝ(A)}.
• (b) A symétrique a au moins une valeur propre réelle ; on pose α = −min Sp(A). Pour x > α, toutes les valeurs propres λ + x de A + xI_n sont > 0, donc A + xI_n ∈ S_n⁺⁺(ℝ) par 1(c).

3.

• (a) I_n ∈ S_n⁺⁺ = Φ(S_n⁺⁺) ⊂ Φ(S_n(ℝ)). Pour S ∈ S_n(ℝ), on choisit x > max(α, 0) : S = (S + xI_n) − xI_n, différence de deux éléments de S_n⁺⁺, donc de Im Φ, qui est un sous-espace : Φ est surjectif.
• (b) Endomorphisme surjectif d'un espace de dimension finie ⇒ Φ automorphisme de S_n(ℝ).

4.

• (a) S_n⁺(ℝ) = ∩_X {S ; ^tXSX ≥ 0} : intersection d'images réciproques de [0, +∞[ par les formes linéaires (continues en dimension finie) S ↦ ^tXSX. C'est un fermé.
• (b) S_n⁺ est l'adhérence de S_n⁺⁺ : si A ∈ S_n⁺, A + (1/k)I_n ∈ S_n⁺⁺ tend vers A, et S_n⁺⁺ ⊂ S_n⁺ fermé. Φ linéaire bijective en dimension finie est un homéomorphisme, donc Φ(adh S_n⁺⁺) = adh Φ(S_n⁺⁺) = adh S_n⁺⁺ : Φ(S_n⁺) = S_n⁺.

5. Cas n = 2, Φ(I₂) = I₂

• (a) A symétrique est diagonalisable ; avec une seule valeur propre λ, A = λI₂, donc Φ(A) = λΦ(I₂) = λI₂ = A.
• (b) i. A − μI₂ est symétrique, de valeurs propres λ − μ > 0 et 0 : positive (1b) et de rang 1 (diagonalisable avec une seule valeur propre non nulle).
• ii. Φ(A) − μI₂ = Φ(A − μI₂). Φ étant bijective avec Φ(S₂⁺) = S₂⁺ et Φ(S₂⁺⁺) = S₂⁺⁺, elle envoie S₂⁺ \ S₂⁺⁺ sur lui-même. Donc Φ(A − μI₂) est symétrique positive non définie : elle a la valeur propre 0, donc rang ≤ 1 ; elle est non nulle (Φ injective), donc de rang 1. Comme 0 est valeur propre de Φ(A) − μI₂, μ ∈ Sp_ℝ(Φ(A)).
• iii. −A a les valeurs propres −μ > −λ ; ii appliqué à −A donne −λ ∈ Sp(Φ(−A)) = Sp(−Φ(A)), donc λ ∈ Sp_ℝ(Φ(A)).
• (c) Si A a deux valeurs propres distinctes, Φ(A) (2×2) a exactement λ et μ, donc χ_Φ(A) = (λ − X)(μ − X) = χ_A ; sinon Φ(A) = A par (a). Pour tout A ∈ S₂(ℝ), χ_Φ(A) = χ_A.

💡 À réviser pour le CNC MP (Maths II) : calcul dans la base canonique (E_i,j) et commutant de M_n(𝕂) ; forme linéaire trace et dualité A ↦ (M ↦ Tr(AM)) ; matrices équivalentes et théorème du rang (M = RJ_rS) ; coefficients du polynôme caractéristique (trace, déterminant), χ_AB = χ_BA ; nilpotence et Cayley-Hamilton ; théorème spectral et caractérisation spectrale de S_n⁺ et S_n⁺⁺ ; topologie en dimension finie (continuité des applications linéaires, adhérence). Les questions « en déduire » rapportent vite : citez toujours la question utilisée.