Modèle de concours : CNC 2005 Mathématiques II (MP) — Concours National Commun

Ce sujet est l'épreuve de Mathématiques II du Concours National Commun (CNC) 2005 d'admission aux grandes écoles d'ingénieurs marocaines, filière MP (classes préparatoires), organisé sous la présidence de l'EHTP. Durée : 4 heures, calculatrice interdite. C'est un problème d'algèbre linéaire en trois parties : préliminaires (série du binôme (1+x)^α, endomorphismes nilpotents), étude de l'équation X² = A dans M_n(R) (exemple 3×3, racine carrée de I + u avec u nilpotent, cas trigonalisable), puis racine carrée d'une matrice symétrique positive (existence, unicité, continuité, C¹-difféomorphisme). Voici une correction méthodologique proposée.

💡 Avant de commencer : deux idées portent tout le sujet. (1) Un endomorphisme qui commute avec u stabilise les sous-espaces propres de u : c'est ce qui force la racine carrée à être « diagonale » dans la bonne base (II-A, II-B-5, III-3). (2) Les coefficients b_k du développement de √(1+x) vérifient Σ b_kb_q−k = 0 pour q ≥ 2 : en remplaçant x par un nilpotent u, on obtient une racine carrée polynomiale de I + u. Citez toujours la question utilisée (I-1-3, II-B-2…).

I. Préliminaires

1. Série entière de (1+x)^α

• 1-1. f_α'(x) = α(1+x)^α−1, donc (1+x)f_α'(x) = αf_α(x) sur ]−1,+∞[.
• 1-2 (a). Sur ]−r,r[, S_a' = Σ(k+1)a_k+1x^k, donc (1+x)S_a' − αS_a = Σ[(k+1)a_k+1 + ka_k − αa_k]x^k = 0. Par unicité du développement en série entière : (k+1)a_k+1 = (α − k)a_k pour tout k ≥ 0.
• (b) Par récurrence : a_k = α(α−1)…(α−k+1)/k! · a₀ pour k ≥ 1.
• (c) Avec a₀ = 1. Si α ∈ N, a_k = 0 pour k > α : polynôme, ρ = +∞. Sinon a_k ≠ 0 pour tout k et |a_k+1/a_k| = |α−k|/(k+1) → 1 : par d'Alembert ρ = 1. Coïncidence : sur ]−1,1[ (et ]−ρ,ρ[ ∩ ]−1,+∞[), S et f_α sont solutions de l'équation linéaire (1), de coefficient dominant 1+x ≠ 0, avec la même condition initiale S(0) = f_α(0) = 1 ; par Cauchy-Lipschitz (ou en dérivant S/f_α, de dérivée nulle) S = f_α. Si α ∈ N, c'est la formule du binôme, valable partout.
• 1-3. Pour |x| < 1, f_1/2(x)² = 1 + x. Le produit de Cauchy donne Σ_q(Σ_k=0^q b_kb_q−k)x^q = 1 + x ; par unicité des coefficients : b₀² = 1 (et b₀ = f_1/2(0) = 1), 2b₀b₁ = 1 et Σ_k=0^q b_kb_q−k = 0 pour q ≥ 2. Valeurs utiles : b₀ = 1, b₁ = 1/2, b₂ = −1/8, b₃ = 1/16.

2. Endomorphismes nilpotents

• 2-1. Par minimalité de p, u^p−1 ≠ 0 (si p = 1, u⁰ = I_E ≠ 0) : il existe x₀ avec u^p−1(x₀) ≠ 0.
• 2-2. Si Σ_k=0^p−1 λ_ku^k(x₀) = 0, on applique u^p−1 : il reste λ₀u^p−1(x₀) = 0, donc λ₀ = 0 ; puis u^p−2 donne λ₁ = 0, etc. La famille est libre.
• 2-3. p vecteurs libres dans un espace de dimension n : p ≤ n, et uⁿ = u^n−pu^p = 0.
• 2-4. X^p annule u, donc π_u divise X^p : π_u = X^k, k ≤ p ; comme u^k ≠ 0 pour k < p, π_u = X^p.

II. Équations du type X² = A — A. Un exemple

A = (2 1 1 ; 1 2 1 ; 0 0 2) (lignes séparées par « ; »).

• 1. Par blocs (dernière ligne) : χ_A(λ) = (2−λ)[(2−λ)² − 1] = (1−λ)(2−λ)(3−λ). Sp(u) = {1, 2, 3} : trois valeurs propres distinctes en dimension 3, donc A est diagonalisable.
• 2. λ₁ = 1 : z = 0, x + y = 0 → e₁ = (−1, 1, 0). λ₂ = 2 : y + z = 0, x + z = 0 → e₂ = (1, 1, −1). λ₃ = 3 : z = 0, x = y → e₃ = (1, 1, 0). (Vérification : Ae₂ = (2, 2, −2).)
• 3. Vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes : famille libre de 3 vecteurs, donc base. D = diag(1, 2, 3) et A = PDP⁻¹ avec P = (−1 1 1 ; 1 1 1 ; 0 −1 0) (colonnes e₁, e₂, e₃) et, en résolvant PX = Y, P⁻¹ = (−1/2 1/2 0 ; 0 0 −1 ; 1/2 1/2 1).
• 4-1. B² = A donne v² = u, puis uv = v³ = vu.
• 4-2. u(v(e_i)) = v(u(e_i)) = λ_iv(e_i) : v(e_i) ∈ Ker(u − λ_iI), qui est la droite Re_i (valeurs propres simples). Donc v(e_i) est colinéaire à e_i.
• 4-3. Donc V = diag(α₁, α₂, α₃) et V² = D : α₁ = ±1, α₂ = ±√2, α₃ = ±√3.
• 5. Réciproquement toute matrice P diag(a, b, c) P⁻¹ avec a² = 1, b² = 2, c² = 3 convient. En développant P diag(a,b,c) P⁻¹ :
  X = ( (a+c)/2, (c−a)/2, c−b ; (c−a)/2, (a+c)/2, c−b ; 0, 0, b ), avec a ∈ {±1}, b ∈ {±√2}, c ∈ {±√3}.
  (Contrôle : a = 1, b = 2, c = 3 redonne A.) Les triplets donnent des matrices distinctes : 8 solutions.

II. B. Quelques résultats généraux

1. Condition nécessaire

• 1-1. v^2p = u^p = 0 et v^2(p−1) = u^p−1 ≠ 0. Donc v est nilpotent d'indice q ≥ 2p − 1 ; par I-2-3 appliqué à v, q ≤ n, d'où 2p − 1 ≤ n : p ≤ (n+1)/2.
• 1-2. Pour n = 2, p ≤ 3/2 impose p = 1, c'est-à-dire u = 0. Donc M = (0 1 ; 0 0) (nilpotente d'indice 2) n'a pas de racine carrée dans M₂(R).

2. Une racine carrée de I_E + u

Les puissances de u commutent : w² = Σ_{0≤i,j≤n−1} b_ib_ju^i+j. On regroupe selon q = i + j ; u^q = 0 pour q ≥ n (I-2-3), et pour q ≤ n−1 la somme des b_ib_j avec i + j = q vaut Σ_k=0^q b_kb_q−k. Par I-1-3 : w² = b₀²I_E + 2b₀b₁u + 0 = I_E + u, et (−w)² = w².

3. Cas p = n : unicité au signe près

• 3-1. Par I-2-2 avec p = n, la famille (x₁, …, uⁿ⁻¹(x₁)) est libre de cardinal n : c'est une base, et g(x₁) s'y décompose.
• 3-2. u = g² − I_E est un polynôme en g, donc gu = ug. Posons h = Σα_ku^k ; h(x₁) = g(x₁) et, pour tout k, g(u^kx₁) = u^kg(x₁) = u^kh(x₁) = h(u^kx₁). g et h coïncident sur une base : g = α₀I_E + α₁u + … + α_n−1uⁿ⁻¹.
• 3-3. Si Σc_ku^k = 0, l'évaluation en x₁ et la liberté de 3-1 donnent c_k = 0 : (I_E, …, uⁿ⁻¹) est libre. Comme en B-2, g² = Σ_q=0ⁿ⁻¹(Σ_k=0^qα_kα_q−k)u^q = I_E + u ; en identifiant : α₀² = 1, 2α₀α₁ = 1, Σ_k=0^qα_kα_q−k = 0 pour 2 ≤ q ≤ n−1.
• 3-4. Posons ε = α₀ ∈ {−1, 1} ; α₀ = εb₀. Puis α₁ = 1/(2ε) = ε/2 = εb₁. Récurrence forte pour q ≥ 2 : la relation s'écrit 2α₀α_q = −Σ_k=1^q−1α_kα_q−k = −ε²Σ_k=1^q−1b_kb_q−k, d'où α_q = −(ε/2)Σ_k=1^q−1b_kb_q−k ; la même relation pour les b_k (b₀ = 1) donne b_q = −(1/2)Σ_k=1^q−1b_kb_q−k. Donc α_k = εb_k et g = εw = ±w.

4. Application

La matrice est I₄ + N avec N = (0 1 0 0 ; 0 0 1 0 ; 0 0 0 1 ; 0 0 0 0), N³ ≠ 0, N⁴ = 0 : on est dans le cas p = n = 4. Par B-2 et B-3, les solutions sont exactement ±W avec W = I + (1/2)N − (1/8)N² + (1/16)N³ :

X = ± (1 1/2 −1/8 1/16 ; 0 1 1/2 −1/8 ; 0 0 1 1/2 ; 0 0 0 1) — deux solutions. (Contrôle du coefficient (1,4) de W² : 2·(1/16) + 2·(1/2)(−1/8) = 0.)

5. Cas trigonalisable à spectre strictement positif

• 5-1. Si x ∈ E_λ : d(ν(x)) = ν(d(x)) = λν(x), donc ν(E_λ) ⊂ E_λ ; ν_λ^k = (ν^k) restreint à E_λ = 0 pour k assez grand : ν_λ est nilpotent.
• 5-2. E_λ ≠ {0} et ν_λ nilpotent n'est pas injectif : il existe y ∈ E_λ, y ≠ 0, avec ν(y) = 0 ; alors u(y) = d(y) = λy, donc λ ∈ Sp(u). Ainsi Sp(d) ⊂ R₊^*, 0 ∉ Sp(d) : d est inversible.
• 5-3. d est diagonalisable : E = E_λ1 ⊕ … ⊕ E_λr et d(x) = λ₁x₁ + … + λ_rx_r.
• 5-4. On pose δ(x) = √λ₁ x₁ + … + √λ_r x_r (λ_i > 0). Alors δ² = d. Comme ν stabilise chaque E_λi et que δ y agit comme √λ_i·Id, on a δν(x_i) = √λ_iν(x_i) = νδ(x_i) : νδ = δν. (Variante : δ = L(d) où L est le polynôme de Lagrange tel que L(λ_i) = √λ_i.)
• 5-5. δ a pour valeurs propres les √λ_i ≠ 0 : δ inversible, d'inverse x ↦ Σλ_i^−1/2x_i. ν commute avec δ donc avec δ⁻² ; si ν^m = 0, (νδ⁻²)^m = ν^mδ^−2m = 0 : νδ⁻² est nilpotent.
• 5-6. N = νδ⁻² est nilpotent, donc Nⁿ = 0 (I-2-3). Avec P = Σ_k=0ⁿ⁻¹ b_kX^k, le calcul de B-2 (qui n'utilise que Nⁿ = 0) donne w = P(N), w² = I_E + νδ⁻². On pose v = δw : w est un polynôme en N qui commute avec δ, donc v² = δ²w² = d(I_E + νδ⁻²) = d + νdδ⁻² = d + ν = u (car dδ⁻² = I_E).

III. Racine carrée d'une matrice symétrique positive

• 1. ^t(^tMM) = ^tMM et ^tX(^tMM)X = ‖MX‖² ≥ 0 : ^tMM ∈ S_n⁺. Si M est symétrique : M² ∈ S_n⁺.
• 2-1 / 2-2. Théorème spectral : A = PD^tP, P orthogonale, D = diag(λ_i). Avec Y = ^tPX (bijection, Y ≠ 0 ⇔ X ≠ 0) : ^tXAX = Σλ_iy_i². Si tous les λ_i ≥ 0 (resp. > 0), la forme est ≥ 0 (resp. > 0 pour X ≠ 0). Réciproquement, pour X vecteur propre unitaire, ^tXAX = λ. D'où A ∈ S_n⁺ ⇔ Sp(A) ⊂ R₊ et A ∈ S_n⁺⁺ ⇔ Sp(A) ⊂ R₊^*.
• 3-1. A = P diag(λ_i) ^tP, λ_i ≥ 0 ; B = P diag(√λ_i) ^tP est symétrique à valeurs propres ≥ 0, donc dans S_n⁺ (2-1), et B² = A. Si A ∈ S_n⁺⁺, les √λ_i > 0 : B ∈ S_n⁺⁺.
• 3-2 (a). g commute avec f = g² ; si f(x) = λx, f(g(x)) = g(f(x)) = λg(x) : E_λ(f) est stable par g.
• (b) g_λ est autoadjoint (restriction d'un autoadjoint à un sous-espace stable, produit scalaire induit), donc diagonalisable. Si g_λ(y) = μy, y ≠ 0 : λy = f(y) = μ²y, donc μ² = λ, et μ‖y‖² = <g(y), y> ≥ 0 donne μ ≥ 0 : Sp(g_λ) = {√λ}, d'où g_λ = √λ Id_Eλ(f).
• (c) f autoadjoint est diagonalisable : E = ⊕ E_λ(f). Pour x = Σx_λ, g(x) = Σ√λ x_λ : g ne dépend que de f, donc B est unique.
• 3-3. Soit L le polynôme d'interpolation de Lagrange avec L(λ) = √λ pour λ ∈ Sp(A). Alors L(A) = P diag(L(λ_i)) ^tP = P diag(√λ_i) ^tP : √A = L(A).
• 4-1. √AC√A est symétrique et ^tX√AC√AX = ^tYCY ≥ 0 (Y = √AX) : √AC√A ∈ S_n⁺. Sa trace est la somme de valeurs propres ≥ 0, et Tr(√AC√A) = Tr(C√A√A) = Tr(CA) : Tr(AC) ≥ 0.
• 4-2. √A est inversible (3-1) et AC = √A(√AC√A)√A⁻¹ : AC est semblable à une matrice symétrique réelle, donc diagonalisable. Contre-exemple : A = diag(1, 0) ∈ S₂⁺, C = (0 1 ; 1 0) : AC = (0 1 ; 0 0), nilpotente non nulle, non diagonalisable.
• 5-1. ^t(AB) = BA = AB : AB symétrique. √B = L(B) (3-3) est un polynôme en B, donc A commute avec √B.
• 5-2. Même argument : √A = L'(A) commute avec √B. Alors (√A√B)² = AB, et √A√B est symétrique (^t(√A√B) = √B√A = √A√B) : AB est le carré d'une matrice symétrique, donc AB ∈ S_n⁺ (III-1).
• 5-3. √A et √B sont dans S_n⁺ et commutent : par 5-2 appliqué à eux, √A√B ∈ S_n⁺. C'est une racine positive de AB, donc par unicité (3-2) √(AB) = √A√B.
• 6-1. S_n⁺ = Ker(M ↦ M − ^tM) ∩ ⋂_X{M : ^tXMX ≥ 0} : intersection de fermés (images réciproques de fermés par des applications linéaires continues en dimension finie) : fermé.
• 6-2. Φ est injective car X = (√X)², surjective car pour Y ∈ S_n⁺, Y² ∈ S_n⁺ et √(Y²) = Y (unicité). Φ⁻¹(Y) = Y², continue (coordonnées polynomiales).
• 6-3. Tr est linéaire en dimension finie, donc continue : Tr(A_k) → Tr(A). Pour la norme euclidienne associée à (M, N) ↦ Tr(^tMN) : ‖√A_k‖² = Tr(√A_k√A_k) = Tr(A_k), bornée (suite convergente) : (√A_k) est bornée (normes équivalentes).
• 6-4. Bornée en dimension finie : elle a au moins une valeur d'adhérence L (Bolzano-Weierstrass). Si √A_φ(k) → L, alors L ∈ S_n⁺ (6-1) et A_φ(k) = (√A_φ(k))² → L², donc L² = A et L = √A (unicité). Unique valeur d'adhérence et suite bornée : √A_k → √A, donc Φ est continue (caractérisation séquentielle).
• 7-1. T : H ↦ AH + HA est linéaire de M_n(R) dans lui-même ; il suffit de montrer l'injectivité. A = PD^tP, D = diag(λ_i), λ_i > 0. Si AH + HA = 0, K = ^tPHP vérifie DK + KD = 0, soit (λ_i + λ_j)k_ij = 0, donc K = 0 et H = 0 : T est un automorphisme.
• 7-2. Ψ(A + H) = A² + AH + HA + H² et ‖H²‖ ≤ ‖H‖² = o(‖H‖) (norme d'algèbre) : Ψ différentiable, dΨ(A)(H) = AH + HA (Ψ est même C^∞, coordonnées polynomiales).
• 7-3. On travaille dans l'espace S_n des matrices symétriques, dont S_n⁺⁺ est un ouvert (si λ_min(A) = c > 0, ^tX(A+H)X ≥ (c − ‖H‖)‖X‖² > 0 pour ‖H‖ < c, norme subordonnée). Ψ envoie S_n⁺⁺ dans S_n⁺⁺ (valeurs propres λ_i² > 0) et y est bijective d'inverse Φ (3-1 et 6-2). Ψ est C¹ et, pour A ∈ S_n⁺⁺, dΨ(A) : H ↦ AH + HA envoie S_n dans S_n et est injective (7-1), donc est un automorphisme de S_n. Par le théorème d'inversion globale (C¹, injective, différentielle partout inversible), Ψ est un C¹-difféomorphisme de S_n⁺⁺ sur lui-même, et dΦ(B) = (dΨ(√B))⁻¹.

💡 À retenir et à réviser pour le CNC MP : résultats clés — ρ = 1 et b₀ = 1, b₁ = 1/2, b₂ = −1/8, b₃ = 1/16 ; π_u = X^p et p ≤ n ; X² = A (exemple 3×3) a 8 solutions ; un nilpotent d'indice p n'a de racine carrée que si p ≤ (n+1)/2 ; I + u (u d'indice n) a exactement deux racines ±Σb_ku^k ; toute A ∈ S_n⁺ a une unique racine positive √A = L(A), et X ↦ √X est continue sur S_n⁺ et C¹ sur S_n⁺⁺. À réviser : séries entières et équations différentielles linéaires (unicité de Cauchy), produit de Cauchy, nilpotents et polynôme minimal, commutation et sous-espaces propres stables, décomposition de Dunford, théorème spectral et matrices symétriques positives, interpolation de Lagrange, compacité et valeurs d'adhérence en dimension finie, différentielle et théorème d'inversion globale. Rédaction : citez précisément les questions utilisées, comme l'exige l'énoncé.